1、第3讲 一次函数综合（学生版）目标层级图课前检测1在平面直角坐标系里，一条线段的函数表达式为，则与它垂直交于轴的函数表达式是 2平面直角坐标系中把函数的图象关于轴对称后得到新的函数图象，则该新图象对应的函数表达式是 .3在平面直角坐标系中，已知 ，点是轴上一点，若为等腰三角形，则点的坐标为 4如图，已知直线与直线交于点，与轴交于点，且直线过点和点，连接（1）求直线的解析式；（2）求交点的坐标，并求出的面积；课中讲解一.一次函数的解析式例1.（1）已知一次函数的图象经过点和，则此函数的解析式为 （2）已知一次函数的图象经过点且和平行，则函数解析式为 （3）已知直线与轴、轴的交点分别为、，则线段的
2、垂直平分线的解析式为 （4）将直线向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后，所得的直线的表达式为 （5）一直线关于轴对称的直线函数表达式是 过关检测1平面直角坐标系中，已知点和点，则直线的解析式为 2一次函数的图象在轴上的截距为3，且与直线平行，那么这个一次函数的解析式是 3已知直线过，且垂直于直线，直线的解析式为 4将直线向下平移2个单位，再向左平移2个单位，所得直线的函数表达式是 5若一次函数与函数的图象关于轴对称，且交点在轴上，则这个函数的表达式为： 6已知直线，则直线关于轴对称的直线函数关系式是 二.一次函数背景下的方案选择例1世界环境日的主题为“多个物种、一颗星球、一个未来”为
3、了响应节能减排的号召，某品牌汽车店准备购进型（电动汽车）和型（太阳能汽车）两种不同型号的汽车共16辆，以满足广大支持环保的购车者的需求市场营销人员经过市场调查得到如下信息：成本价（万元辆）售价（万元辆）型3032型4245（1）若经营者的购买资金不少于576万元且不多于600万元，则有哪几种进车方案？（2）在（1）的前提下，如果你是经营者，并且所进的汽车能全部售出，你会选择哪种进车方案才能使获得的利润最大？最大利润是多少？（3）假设每台电动汽车每公里的用电费用为0.65元，且两种汽车最大行驶里程均为30万公里，那么从节约资金的角度，你做为一名购车者，将会选购哪一种型号的汽车？并说明理由过关检测
4、1某工厂从外地购得种原料16吨，种原料13吨，现计划租用甲，乙两货车共6辆将购得的原料一次性运回工厂已知一辆甲种货车可装2吨种原料和3吨原料；一辆乙种货车可装3吨种原料和2吨种原料设安排甲种货车辆（1）如何安排甲，乙两种货车？写出所有可行方案（2）若甲种货车的运费是每辆500元，乙种货车的运费是每辆350元设总运费为元，（元与（辆之间的函数关系式；（3）在（2）的前提下，当为何值时，总运费最少，此时总运费是多少元？三.一次函数与面积例1如图，直线分别与轴、轴交于点，已知点的坐标为，点的坐标为（1）求的值；（2）若点是该直线上的一个动点，且在第二象限内运动，试写出的面积关于的函数解析式，并写出自
5、变量的取值范围（3）探究：当点运动到什么位置时，的面积为，并说明理由过关检测1如图，直线与轴相交于点，与轴相交于点（1）求的面积；（2）过点作直线与轴相交于点，若的面积是16，求点的坐标；四.一次函数背景下的存在性问题例1如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线相交于点（1）求直线的函数表达式；（2）求的面积；（3）在轴上是否存在一点，使是等腰三角形若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出点的坐标例2如图，直线的函数关系式为，且与轴交于点，直线经过点，直线与交于点（1）求直线的函数关系式；（2）求的面积；（3）点是轴上一动点，问是否存在一点，恰好使为直角三角形？若存在，直接
6、写出点的坐标；若不存在，请说明理由五.一次函数与动点例1如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，点在直线上，点是线段上的一个动点，过点作轴交直线点，设点的横坐标为（1）的值为 ；（2）用含有的式子表示线段的长；（3）若的面积为，求与之间的函数表达式，并求出当最大时点的坐标；例2如图（），直线经过点、，直线交轴于点，且与直线交于点，连接（1）求直线的表达式；（2）求的面积；（3）如图（），点是直线上的一动点；连接交线段于点，当与的面积相等时，求点的坐标六.一次函数与几何综合例1如图，在等边中，点，点是原点，点是轴正半轴上的动点，以为边向左侧作等边，当时，求的长例2如图所示，把矩形纸片放入直角坐
7、标系中，使、分别落在、轴的正半轴上，连接，且，（1）求所在直线的解析式；（2）将纸片折叠，使点与点重合（折痕为，求折叠后纸片重叠部分的面积（3）求所在的直线的函数解析式学习任务1已知直线与直线互相垂直，且直线经过点，现将直线先向上平移2个单位，再向右平移3个单位得到的新直线解析式为 2一条直线经过点，且与直线平行， 则这条直线的解析式为 3已知，如图，一次函数的图象经过了点和，与轴交于点（1）求一次函数的解析式；（2）在轴上存在一点，且的面积为，求点的坐标4今年6月份，海南某果农收获荔枝30吨，香蕉13吨，现计划租用甲、乙两种货车共10辆将这批水果全部运往深圳，已知甲种货车可装荔枝4吨和香蕉1
8、吨，一种货车可装荔枝香蕉各2吨；若甲种货车每辆要付运输费2000元，乙种货车每辆要付运输费1300元，设总运费为，租用甲种货车辆（1）该果农按排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来（2）写出和的函数关系式；该果农应选择哪种方案，使运费最少？最少运费是多少元？5已知：如图，直线与轴交于，直线分别与轴交于点，与轴交于点，两条直线相交于点，连接（1）直接写出直线、的函数表达式；（2）求的面积；（3）在轴上存在点，能使为等腰三角形，求出所有满足条件的点的坐标第3讲 一次函数综合（解析版）目标层级图课前检测1在平面直角坐标系里，一条线段的函数表达式为，则与它垂直交于轴的函数表达式是【解答】解：令
9、，则，令，则，解得，所以，直线与轴的交点坐标为，与轴的交点坐标为，所求直线与垂直交于轴，所求直线与轴的交点坐标为，与轴的交点坐标为，设直线解析式为，则，解得，函数表达式为故答案为：2平面直角坐标系中把函数的图象关于轴对称后得到新的函数图象，则该新图象对应的函数表达式是【解答】解：因为函数的图象经过，两点，关于轴对称后得到新的坐标为，把，代入，可得：，解得：，所以该新图象对应的函数表达式是，故答案为：3在平面直角坐标系中，已知 ，点是轴上一点，若为等腰三角形，则点的坐标为 【解答】解：如图所示：，分三种情况：当时，可得到2点，；当时，可得到一点，；当时，可得到一点，故答案为：，4如图，已知直线与
10、直线交于点，与轴交于点，且直线过点和点，连接（1）求直线的解析式；（2）求交点的坐标，并求出的面积；【解答】解：（1）设直线解析式为：，直线过点和点，直线解析式为：，（2）根据题意得：，解得：，点坐标为；直线与轴交于点，和点，；课中讲解一.一次函数的解析式例1.（1）已知一次函数的图象经过点和，则此函数的解析式为【解答】解：由题意可得方程组，解得，则此函数的解析式为：（2）已知一次函数的图象经过点且和平行，则函数解析式为【解答】解：由一次函数的图象平行于直线，可知则一次函数为，将的坐标代入，得：，解得：这个一次函数的解析式是故答案为：（3）已知直线与轴、轴的交点分别为、，则线段的垂直平分线的解
11、析式为【解答】解：直线与轴、轴的交点分别为、，当时，当时，线段的中点为，设线段的垂直平分线的解析式为，代入得，解得，线段的垂直平分线的解析式为，故答案为（4）将直线向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后，所得的直线的表达式为【解答】解：根据题意知，平移后的直线解析式是：即故答案是：（5）一直线关于轴对称的直线函数表达式是【解答】解：关于轴对称的点纵坐标不变横坐标互为相反数，直线关于轴对称的直线函数表达式为故答案为过关检测1平面直角坐标系中，已知点和点，则直线的解析式为【解答】解：设直线的解析式为，把，代入得到，解得，直线的解析式为，故答案为2一次函数的图象在轴上的截距为3，且与直线平行
12、，那么这个一次函数的解析式是【解答】解：设所求直线解析式为，一次函数的图象在轴上的截距为3，且与直线平行，所求直线解析式为故答案为3已知直线过，且垂直于直线，直线的解析式为【解答】解：直线与直线垂直，可设直线的解析式是，把代入得：，直线解析式是，故答案为：4将直线向下平移2个单位，再向左平移2个单位，所得直线的函数表达式是【解答】解：将直线先向下平移2个单位，得到直线，即，再向左平移2个单位，所得的解析式为，即故答案为：5若一次函数与函数的图象关于轴对称，且交点在轴上，则这个函数的表达式为：【解答】解：两函数图象交于轴，解得：，与关于轴对称，故答案为：6已知直线，则直线关于轴对称的直线函数关系
13、式是【解答】解：关于轴对称的点纵坐标不变，横坐标互为相反数，直线与直线关于轴对称，则直线的解析式为故答案为：二.一次函数背景下的方案选择例1世界环境日的主题为“多个物种、一颗星球、一个未来”为了响应节能减排的号召，某品牌汽车店准备购进型（电动汽车）和型（太阳能汽车）两种不同型号的汽车共16辆，以满足广大支持环保的购车者的需求市场营销人员经过市场调查得到如下信息：成本价（万元辆）售价（万元辆）型3032型4245（1）若经营者的购买资金不少于576万元且不多于600万元，则有哪几种进车方案？（2）在（1）的前提下，如果你是经营者，并且所进的汽车能全部售出，你会选择哪种进车方案才能使获得的利润最大
14、？最大利润是多少？（3）假设每台电动汽车每公里的用电费用为0.65元，且两种汽车最大行驶里程均为30万公里，那么从节约资金的角度，你做为一名购车者，将会选购哪一种型号的汽车？并说明理由【解答】解：（1）设型汽车购进辆，则型汽车购进辆根据题意得：，解得：为整数，取6、7、8有三种购进方案：型6辆7辆8辆型10辆9辆8辆（2）设总利润为万元根据题意得：，随的增大而减小，当时，有最大值，（万元）当购进型车6辆，型车10辆时，可获得最大利润，最大利润是42万元（3）设电动汽车行驶的里程为万公里当时，解得：选购太阳能汽车比较合算过关检测1某工厂从外地购得种原料16吨，种原料13吨，现计划租用甲，乙两货车
15、共6辆将购得的原料一次性运回工厂已知一辆甲种货车可装2吨种原料和3吨原料；一辆乙种货车可装3吨种原料和2吨种原料设安排甲种货车辆（1）如何安排甲，乙两种货车？写出所有可行方案（2）若甲种货车的运费是每辆500元，乙种货车的运费是每辆350元设总运费为元，（元与（辆之间的函数关系式；（3）在（2）的前提下，当为何值时，总运费最少，此时总运费是多少元？【解答】解：（1）由题意可得，解得，有两种可行方案，方案一：安排甲种货车1辆，乙种货车5辆，方案二：安排甲种货车2辆，乙种货车4辆；（2）由题意可得，即（元与（辆之间的函数关系式是；（3）由（2）知，当时，取得最小值，此时，答：为1时，总运费最少，此
16、时总运费是2250元三.一次函数与面积例1如图，直线分别与轴、轴交于点，已知点的坐标为，点的坐标为（1）求的值；（2）若点是该直线上的一个动点，且在第二象限内运动，试写出的面积关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围（3）探究：当点运动到什么位置时，的面积为，并说明理由【解答】解；（1）直线过点，；（2）点的坐标为，点是第二象限内的直线上的一个动点，的面积；（3）设点时，其面积，则，解得，则或者（舍去），当时，则，故，时，三角形的面积为过关检测1如图，直线与轴相交于点，与轴相交于点（1）求的面积；（2）过点作直线与轴相交于点，若的面积是16，求点的坐标；【解答】解：（1）把代入得：，即点的坐标
17、为：，把代入得：，解得：，即点的坐标为：，即的面积为12，（2）根据题意得：点到的距离为4，解得：，即点到点的距离为8，即点的坐标为：或四.一次函数背景下的存在性问题例1如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线相交于点（1）求直线的函数表达式；（2）求的面积；（3）在轴上是否存在一点，使是等腰三角形若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出点的坐标【解答】解：（1）将点，代入中，得，直线的函数表达式为；（2）由（1）知，直线的函数表达式为，直线，联立解得，；（3）设，是等腰三角形，当时，或，当时，当时，（舍或，即：满足条件的点的坐标为或或或，例2如图，直线的函数关系式为，且与
18、轴交于点，直线经过点，直线与交于点（1）求直线的函数关系式；（2）求的面积；（3）点是轴上一动点，问是否存在一点，恰好使为直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）设直线的函数关系式为：，直线过点，解得：，直线的函数关系式为：；（2）直线与交于点，解得，将代入得，点的坐标是，点的坐标是，；（3）存在一点，恰好使为直角三角形，点的坐标为或，如图，当时，轴，由（2）知，点坐标为，当时，设，则，在中，在中，解得：，即：满足条件的点的坐标为或五.一次函数与动点例1如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，点在直线上，点是线段上的一个动点，过点作轴交直线点，设点的横坐标
19、为（1）的值为7；（2）用含有的式子表示线段的长；（3）若的面积为，求与之间的函数表达式，并求出当最大时点的坐标；【解答】解：（1）点在直线上，则，故答案为：7；（2）点的横坐标为，点，轴交直线于点，点，；（3）直线与轴交于点，点，的面积的面积，随的增大而增大，点是线段上的一个动点，当点与点重合时，有最大值，即时，有最大值当时，点；例2如图（），直线经过点、，直线交轴于点，且与直线交于点，连接（1）求直线的表达式；（2）求的面积；（3）如图（），点是直线上的一动点；连接交线段于点，当与的面积相等时，求点的坐标【解答】解：（1），则点、的坐标分别为：、，将点、的坐标代入一次函数表达式：得：，解得
20、：，故直线的表达式为：；（2）联立、的表达式得：，解得：，故点；的面积；（3）与的面积相等，则，则点、到的距离相等，故所在的直线与平行，则直线的表达式为：，联立并解得：，则点，六.一次函数与几何综合例1如图，在等边中，点，点是原点，点是轴正半轴上的动点，以为边向左侧作等边，当时，求的长【解答】解：如图，连结，作交于点，和是等边三角形，又，的长为例2如图所示，把矩形纸片放入直角坐标系中，使、分别落在、轴的正半轴上，连接，且，（1）求所在直线的解析式；（2）将纸片折叠，使点与点重合（折痕为，求折叠后纸片重叠部分的面积（3）求所在的直线的函数解析式【解答】解：（1），可设，则，在中，由勾股定理可得，
21、解得舍去），设直线解析式为，解得，直线解析式为；（2）由折叠的性质可知，设，则，在中，由勾股定理可得，解得，即重叠部分的面积为10；（3）由（2）可知，设直线的解析式为，解得，直线的解析式为学习任务1已知直线与直线互相垂直，且直线经过点，现将直线先向上平移2个单位，再向右平移3个单位得到的新直线解析式为【解答】解：设直线的解析式为，直线与直线互相垂直，直线经过点，直线先向上平移2个单位，再向右平移3个单位，新直线的解析式为，故答案为2一条直线经过点，且与直线平行， 则这条直线的解析式为【解答】解： 设所求直线解析式为，直线与直线平行，把代入得，解得，所求直线解析式为故答案是：3已知，如图，一次
22、函数的图象经过了点和，与轴交于点（1）求一次函数的解析式；（2）在轴上存在一点，且的面积为，求点的坐标【解答】解：（1）设一次函数的解析式为，把点和代入得，解得，所以一次函数解析式为；（2）当时，解得，则，在轴上存在一点，且的面积为，即，或4今年6月份，海南某果农收获荔枝30吨，香蕉13吨，现计划租用甲、乙两种货车共10辆将这批水果全部运往深圳，已知甲种货车可装荔枝4吨和香蕉1吨，一种货车可装荔枝香蕉各2吨；若甲种货车每辆要付运输费2000元，乙种货车每辆要付运输费1300元，设总运费为，租用甲种货车辆（1）该果农按排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来（2）写出和的函数关系式；该果农
23、应选择哪种方案，使运费最少？最少运费是多少元？【解答】解：（1）设租用甲种货车辆，则租用乙种货车辆，根据题意得，解不等式得，解不等式得，所以，不等式组的解集是，为货车的辆数，是正整数，、6、7，租车方案有：方案一：租用甲货车5辆，乙货车5辆，方案二：租用甲货车6辆，乙货车4辆，方案三：租用甲货车7辆，乙货车3辆；（2），随的增大而增大，时，运费最少，最少运费是：元5已知：如图，直线与轴交于，直线分别与轴交于点，与轴交于点，两条直线相交于点，连接（1）直接写出直线、的函数表达式；（2）求的面积；（3）在轴上存在点，能使为等腰三角形，求出所有满足条件的点的坐标【解答】解：（1）直线与轴交于，直线的解析式，直线分别与轴交于点，直线的解析式；（2）由（1）知，直线的解析式，直线的解析式，联立解得，对于直线的解析式，令，；（3）设，是等腰三角形，当时，当时，（舍或，当时，或，即：点的坐标为，或或，或40
