1、数学 八年级上册 BS版第四章一次函数第四章一次函数专题专题4 4一次函数在图形中的应用一次函数在图形中的应用数学 八年级上册 BS版专题解读专题解读典例讲练典例讲练目录目录CONTENTS数学 八年级上册 BS版返回目录返回目录 问题综述一次函数是初中阶段所接触的第一种初等函数，体现了数形结合的数学思想，在中考中是重要的考点.在解决问题时，除了一些基础的问题，例如点的坐标、字母系数的取值及取值范围，还常常涉及面积问题、最值问题等综合性较强的问题.我们要掌握常见的解题方法，化繁为简，达到事半功倍的效果.数学 八年级上册 BS版返回目录返回目录要点归纳1.边在坐标轴上或边与坐标轴平行的三角形，叫
2、做坐标三角形.2.一般三角形的面积问题 坐标三角形的面积问题.3.四边形的面积问题 坐标三角形的面积问题.4.求坐标系中三角形面积的方法：补、割、移.数学 八年级上册 BS版0 2典例讲练典例讲练数学 八年级上册 BS版返回目录返回目录 类型一一次函数与坐标三角形的面积问题 已知一次函数 y1 k1 x 4（k10）和一次函数 y24 x b 与坐标轴围成的三角形的面积都是24，求这两个一次函数的表达式.数学 八年级上册 BS版返回目录返回目录数学 八年级上册 BS版返回目录返回目录【点拨】已知直线与两坐标轴所围成的三角形的面积，求一次函数的表达式时，先设出一次函数的表达式，再用待定字母表示出
3、直线与两坐标轴的交点坐标（这一步要考虑直线与 x 抽、y 轴相交时的位置的不同情况），然后利用已知三角形的面积求出待定字母的值，最后代回所设的一次函数的表达式即可.数学 八年级上册 BS版返回目录返回目录 已知四条直线 y kx 3，y 1，y 3，x 1所围成的四边形的面积是12，求 k 的值.显然四边形 ABCD 是梯形，且梯形的高是4，根据梯形的面积是12，则梯形的上、下底的和是6.数学 八年级上册 BS版返回目录返回目录类型二由面积关系求点的坐标 如图1，在平面直角坐标系中，已知直线 l1：y x 1与 x 轴交于点 A，直线 l2：y 3 x 3与 x 轴交于点 B，与 l1相交于点
4、 C.（1）写出点 A，B，C 的坐标：A ，B ，C .（1，0）（1，0）（2，3）数学 八年级上册 BS版返回目录返回目录图1图2（2）如图2，动直线 x t 分别与直线 l1，l2交于 P，Q 两点.若 PQ 2，求 t 的值.是否存在点 Q，使得 S AQC 2 S ABC？若存在，请求出此时点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由.数学 八年级上册 BS版返回目录返回目录（1）【解析】对于直线 l2：y 3 x 3，令 y 3 x 30，解得 x 1，故点 B 的坐标为（1，0）.对于 l1：y x 1，同理可得，点 A 的坐标为（1，0）.由3 x 3 x 1，解得 x 2.则 y
5、3 x 33.故点 C 的坐标为（2，3）.故答案为（1，0），（1，0），（2，3）.（2）解：点 P 在直线 l1上，则设点 P（t，t 1），同理点 Q（t，3 t 3），则 PQ t 13 t 32，解得 t 1或 t 3.存在.理由如下：当 t 2时，BQ BC，可得点 Q 的坐标为（0，3）；当 t 2时，AQC 不存在；当 t 2时，CQ 2 BC，所以点 Q 的纵坐标为9.当 y 9时，93 x 3，解得 x 4.所以点 Q 的坐标为（4，9）.综上所述，存在点 Q，使得 S AQC 2 S ABC，点 Q 的坐标为（0，3）或（4，9）.【点拨】在涉及面积问题时要结合图形具体
6、分析，这样考虑更全面，解题更简单.数学 八年级上册 BS版返回目录返回目录 如图，在平面直角坐标系中，已知点 O 为坐标原点，直线 AB 分别与 x 轴、y 轴交于点 A（5，0），B（0，5），动点 P 的坐标为（a，a 1）.（1）求直线 AB 的函数表达式；解：（1）设直线 AB 的函数表达式为 y kx b（k 0）.由题意，得 b 5，5 k b 0.所以 k 1.所以直线 AB 的函数表达式为 y x 5.数学 八年级上册 BS版返回目录返回目录答图（2）连接 AP，若直线 AP 将 AOB 的面积分成相等的两部分，求此时点 P 的坐标.数学 八年级上册 BS版返回目录返回目录类型
7、三一次函数图象的平移问题 已知一次函数 y kx b（k，b 为常数，且 k 0）的图象过点（3，2）和（0，4），交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 B.（1）求一次函数的表达式.（2）规定：横、纵坐标都为整数的点为整点；该一次函数的图象与 y x 的图象及 y 轴围成的区域（不含边界）称为区域 W.求区域 W 中整点的个数；将一次函数 y kx b 的图象至少向上平移多少个单位长度，才能使得区域 W 中整点的个数为0？数学 八年级上册 BS版返回目录返回目录解：（1）根据题意，得 b 4，3 k b 2.所以 k 2.所以一次函数的表达式为 y 2 x 4.（2）令2 x 4 x，解得 x
8、 4.当 x 4时，y 4.所以两直线的交点坐标为（4，4）.画出函数 y x 和 y 2 x 4的图象如图所示.分析可知区域 W 内的整点有（1，1），（1，0），（2，1），共3个.故区域 W 内的整点有3个.数学 八年级上册 BS版返回目录返回目录当平移后的直线经过点（1，0）时，区域 W 内有0个整点.设平移后的直线的函数表达式为 y 2 x n.把（1，0）代入，得02 n，解得 n 2.所以2（4）2.所以将一次函数 y kx b 的图象至少向上平移2个单位长度，才能使得区域 W 中整点的个数为0.【点拨】对于此类题目通常需要结合图象进行解题，所以准确作出图象是解题的关键.数学 八
9、年级上册 BS版返回目录返回目录 数学 八年级上册 BS版返回目录返回目录（2）当 x 4时，对于 x 的每一个值，函数 y mx（m 0）的值都大于一次函数 y kx b 的值，求 m 的取值范围.数学 八年级上册 BS版返回目录返回目录类型四一次函数与图形的综合问题 如图1，已知直线 AB 分别交平面直角坐标系中 x 轴和 y 轴于 A，B 两点，点 A 的坐标为（3，0），点 B 的坐标为（0，6），点 C 在直线 AB 上，且点 C 的坐标为（a，a）.（1）求直线 AB 的函数表达式和点 C 的坐标；（2）点 D 是 x 轴上的一动点，当 S AOB S ACD 时，求点 D 的坐标
10、；数学 八年级上册 BS版返回目录返回目录（3）如图2，点 E 坐标为（0，1），连接 CE，点 P 为直线 AB 上一点，且 CEP 45，求点 P 的坐标.图1图2备用图数学 八年级上册 BS版返回目录返回目录解：（1）设直线 AB 的函数表达式为 y kx b（k 0）.因为 A（3，0），B（0，6），所以 b 6，3 k b 0.所以 k 2.所以直线 AB 的函数表达式为 y 2 x 6.因为点 C（a，a）在直线 AB 上，所以 a 2 a 6，解得 a 2.所以点 C 的坐标为（2，2）.数学 八年级上册 BS版返回目录返回目录（3）如图1，当点 P 在射线 CB 上时，过点
11、C 作 CF CE 交直线 EP 于点 F.因为 CEF 45，所以 CE CF.过点 C 作 x 轴的垂线 l，分别过点 F，E 作 FM l，EN l，所以 FMC CNE 90，MCF MFC 90.因为 CF CE，因为 MCF NCE 90.所以 MFC NCE.所以 FMC CNE（AAS）.图1数学 八年级上册 BS版返回目录返回目录所以 FM CN 3，CM EN 2，即点 F 的坐标为（1，4）.设直线 EF 的函数表达式为 y mx n（m 0），由题意，得 n 1，m n 4.所以 m 5.所以直线 EF 的函数表达式为 y 5 x 1.数学 八年级上册 BS版返回目录返
12、回目录如图2，当点 P 在射线 CA 上时，过点 C 作 CH PE 交直线 PE 于点 H，过点 H 作 HK y 轴于点 K，过点 H 作 GH x 轴，过点 C 作 CG GH 于点 G.因为 GHK CHE 90，所以 CHG CHK CHK EHK.所以 CHG EHK.因为 CEP 45，所以 CH HE.所以 CHG EHK（AAS）.图2数学 八年级上册 BS版返回目录返回目录【点拨】本题是一次函数的综合题，熟练掌握一次函数的图象及性质，三角形全等的判定及性质是解题的关键.数学 八年级上册 BS版返回目录返回目录 如图，直线 AB：y x 2与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于
13、点 B，点 C 是线段 AB 上一点（不与点 A，B 重合）.以 OC 为一边作 OCD，其中 COD 90，OC OD，连接 AD.（1）求点 A，B 的坐标和线段 AB 的长；（2）试猜想线段 AD 和 BC 之间的数量与位置关系，并说明理由；（3）当 BC OB 时，求点 D 的坐标.数学 八年级上册 BS版返回目录返回目录（2）猜想：AD BC，AD BC.理由如下：因为 COD 90，OA OB，所以 COD AOB 90.所以 DOA COB.数学 八年级上册 BS版返回目录返回目录所以 DOA COB（SAS）.所以 AD BC，DAO CBO.因为 CBO OAB 90，所以 DAO OAB 90，即 DAB 90.所以 AD BC.所以 AD BC，AD BC.因为点 A（2，0），点 B（0，2），所以 OA OB.数学 八年级上册 BS版返回目录返回目录数学 八年级上册 BS版演示完毕 谢谢观看
