1、人教版高中数学选择性必修第一册1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系精讲精练同步训练【考点梳理】考点一：空间中点、直线和平面的向量表示1.空间中点的位置向量如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示我们把向量称为点P的位置向量2.空间中直线的向量表示式直线l的方向向量为a ，且过点A.如图，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使ta，把a代入式得t，式和式都称为空间直线的向量表示式3.空间中平面的向量表示式平面ABC的向量表示式：空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使xy.我们称为空间平面ABC的向量
2、表示式 考点二空间中平面的法向量平面的法向量如图，若直线 l ，取直线 l 的方向向量a ，我们称a为平面的法向量；过点A且以 a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 P|a0 考点三：空间中直线、平面的平行1.线线平行的向量表示设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1l2u1u2R，使得u1u2.2.线面平行的向量表示设u是直线 l 的方向向量，n是平面的法向量，l，则lunun0.面面平行的向量表示设n1 ，n2 分别是平面，的法向量，则n1n2R，使得n1n2 .考点四：空间中直线、平面的垂直1.线线垂直的向量表示设 u1，u2 分别是直线 l1 , l2 的方向向量，则l1
3、l2u1u2u1u20.2.线面垂直的向量表示设u是直线 l 的方向向量，n是平面的法向量， l，则lunR，使得un.知识点三面面垂直的向量表示设n1，n2 分别是平面，的法向量，则n1n2n1n20. 【题型归纳】题型一：平面的法向量的求法1若直线l的方向向量为（1,0,2），平面的法向量为，则（ ）ABC或Dl与斜交2如图，在正方体ABCD中，以D为原点建立空间直角坐标系，E为B的中点，F为的中点，则下列向量中，能作为平面AEF的法向量的是A(1，2，4)B(4,1，2)C(2，2，1)D(1，2，2)3如图，在单位正方体中，以为原点，为坐标向量建立空间直角坐标系，则平面的法向量是（ ）
4、A，1，B，1，C，D，1， 题型二：空间中点、直线和平面的向量表示4已知平面内两向量，若为平面的法向量且，则，的值分别为（ ）A，B，C，D，5已知在正方体中，为空间任意两点，如果，那么点必（ ）A在平面内B在平面内C在平面内D在平面内6已知光线沿向量（，）照射，遇到直线后反射，其中是直线的一个方向向量，是直线的一个法向量，则反射光线的方向向量一定可以表示为ABCD 题型三：空间中直线、平面的平行7已知(2，4，5)，(3，x，y)分别是直线l1、l2的方向向量若l1l2，则（ ）Ax6，y15Bx3，yCx3，y15Dx6，y8设平面的一个法向量为(1，2，2)，平面的一个法向量为(2，4
5、，k)，若，则k（ ）A-5B-4C2D49如图，在正方体AC1中，PQ与直线A1D和AC都垂直，则直线PQ与BD1的关系是（ ）A异面直线B平行直线C垂直不相交D垂直且相交 题型四：空间中直线、平面的垂直10已知平面的法向量为=（1，2，-2），平面的法向量为=（-2，-4，k），若，则k等于（ ）A4B-4C5D-511已知两不重合直线l1和l2的方向向量分别为a(31，0，2)，b(1，1，)，若l1l2，则的值为（ ）A1或B1或C1或D1或12在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，则PA与底面ABCD的关系是（ ）A相交B垂直C不垂直D成60角 【双基达标】一、单选题13
6、若直线的方向向量为，平面的法向量为，则（ ）ABCD与相交14已知向量是平面的两个不相等的非零向量，非零向量是直线的一个方向向量，则且是l的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件15若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则能使l的是（ ）A，B，C，D， 16直线的方向向量，平面的法向量为，若直线平面，则实数的值为（ ）ABCD17已知正方体，是棱的中点，则在棱上存在点，使得（ ）ABC平面D平面18平面的一个法向量是,，平面的一个法向量是,6,，则平面与平面的关系是（ ）A平行B重合C平行或重合D垂直19如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为a，
7、M，N分别为A1B和AC上的点，A1MAN，则MN与平面BB1C1C的位置关系是（ ）A相交B平行C垂直DMN在平面BB1C1C内20下列命题中，正确命题的个数为（ ）若分别是平面，的法向量，则；若分别是平面，的法向量，则 ；若是平面的法向量，是直线l的方向向量，若l与平面平行，则；若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面不垂直A1B2C3D4 21如图，在正方体中，点，分别是线段，的中点，则直线与，的位置关系是（ ）A与，均垂直B与垂直，与不垂直C与不垂直，与垂直D与，均不垂直22如图所示，正方体中，分别在上，且，则（ ）A至多与之一垂直BC与相交D与异面 【高分突破】一：单选题23已知向量
8、， ，分别是直线 、 的方向向量，若 ，则A ，B ，C ，D ，24已知A,B,C三点不共线,对于平面ABC外的任一点O,下列条件中能确定点M与点A,B,C一定共面的是ABCD25已知向量，平面的一个法向量，若，则A，B，CD26已知为直线l的方向向量，分别为平面，的法向量不重合那么下列说法中：；正确的有A1个B2个C3个D4个27在如图所示的坐标系中,为正方体,给出下列结论:直线 的一个方向向量为(0,0,1);直线的一个方向向量为(0,1,1); 平面的一个法向量为(0,1,0);平面的一个法向量为(1,1,1).其中正确的个数为()A1B2C3D4 28设空间四点O、A、B、P满足=m
9、+n，其中m+n=1，则A点P一定在直线AB上B点P一定不在直线AB上C点P不一定在直线AB上D以上都不对29在三棱锥中，、两两垂直，如图，建立空间直角坐标系，则下列向量中是平面的法向量的是（）ABCD30如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB，AF1，M在EF上，且AM平面BDE.则M点的坐标为（ ）A(1，1，1)BCD 二、多选题31如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60，下列说法中正确的是（ ）ABC向量与的夹角是60D与AC所成角的余弦值为32如图，正方体的棱长为1，是的中点，则（ ）A直线平面BC三棱锥的
10、体积为D异面直线与所成的角为33（多选）下列命题是真命题的有（ ）.A直线的方向向量为，直线的方向向量为，则与垂直B直线的方向向量为，平面的法向量为，则C平面，的法向量分别为，则D平面经过三点，向量是平面的法向量，则 34已知空间中三点，则下列说法正确的是（ ）A与是共线向量B与同向的单位向量是C和夹角的余弦值是D平面的一个法向量是35已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果，下列结论正确的有（ ）ABC是平面ABCD的一个法向量D36已知矩形，将沿矩形的对角线所在的直线进行翻折，翻折过程中（ ）A存在某个位置，使得B存在某个位置，使得C存在某个位置，使得D存在某个位置，使得，、均不
11、等于零 三、填空题37已知平面经过点O（0，0，0），且（1，2，3）是的一个法向量，M（x，y，z）是平面内任意一点，则x，y，z满足的关系式是_.38已知，为两个不重合的平面，设平面与向量(1，2，4)垂直，平面与向量(2，4，8)垂直，则平面与的位置关系是_39若是平面的一个法向量，且(1，2，1)，均与平面平行，则向量_.40如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，P为C1D1的中点，M为BC的中点，则AM与PM的位置关系是_.41在ABC中，A(1，2，1)，B(0，3，1)，C(2，2，1)若向量与平面ABC垂直，且，则的坐标为_42在如图所示的坐标系中，ABCDA1B1C1D
12、1表示棱长为1的正方体，给出下列结论：直线DD1的一个方向向量为(0，0，1)；直线BC1的一个方向向量为(0，1，1)；平面ABB1A1的一个法向量为(0，1，0)；平面B1CD的一个法向量为(1，1，1)其中正确的是_(填序号) 四、解答题43如图，已知P是平面四边形ABCD所在平面外一点，连接PAPBPD.点EFGH分别为PABPBCPCDPDA的重心.，求证：（1）EFGH四点共面；（2）平面EFGH平面ABCD. 44如图,在等腰梯形中,平面,且,Q分别是线段,AB的中点（1）求证：平面平面；（2）求证：PQ平面 45如图，在四面体ABOC中，OCOA，OCOB，AOB120，且OA
13、OBOC1，设P为AC的中点，Q在AB上且AB3AQ，证明：PQOA 46如图，在底面是矩形的四棱锥中，底面，、分别是、的中点，.求证：（1）平面；（2）平面平面. 47如图所示，平面CDEF平面ABCD，且四边形ABCD为平行四边形，DAB45，四边形CDEF为直角梯形，EFDC，EDCD，AB3EF3，EDa，AD（1）求证：ADBF；（2）若线段CF上存在一点M，满足AE平面BDM，求的值； 【答案详解】1C ， ，即或.故选：C.2B设正方体棱长为2，则A（2，0，0），E（2，2，1），F（1，0，2），=（0，2，1），=（1，0，2）设向量=（x，y，z）是平面AEF的一个法向量
14、则，取y=1，得x=4，z=2=（4，1，2）是平面AEF的一个法向量因此可得：只有B选项的向量是平面AEF的法向量故选B3A在单位正方体中，以为原点，为坐标向量建立空间直角坐标系，0，1，1，1，0，设平面的法向量是，则，取，得，1，平面的法向量是，1，.故选：.4A因为，所以，因为为平面的法向量，所以，即，解得：，所以，的值分别为，故选：A.5C因为，所以，四点共面6B不妨设入射光线与反射光线的方向向量模相等，即如图中，则向量时，向量.故选B.7D由l1l2得，解得x6，y.8D因为，所以，则 ，解之得，故选：D9B设正方体的棱长为1，取D点为坐标原点建系后如图所示：则， ，(1，0，1)
15、，(1，1，0)，设(a，b，c)，则取(1，1，1)，(0，0，1)(1，1，0)(1，1，1)，PQBD1.故选：B10D解：由平面的法向量为，平面的法向量为，.故选：D.11D【详解】由题意知，ab，31220，1或.12B解：因为，所以；因为，所以，又，所以平面ABCD故选：B13B，由已知可得，则，因此，.故选：B.14B【详解】当不共线时，由且，可推出l；当为共线向量时，由且，不能够推出，所以且是l的不充分条件；若，则一定有且，所以且是l的必要条件.故选：.15D【详解】由题意得，若使l，那么就要使，即.对于A，故A错误；对于B，故B错误；对于C，故C错误；对于D，故D正确.故选：
16、D.16D因为直线的方向向量，平面的法向量为，直线平面，所以，即，解得： 故选：D.17B建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则，设（，则，因为，所以不可能平行，即不可能平行，又，因此可以垂直，即与可能垂直，设平面的一个法向量为，则，取，则，与不可能平行，因此与平面不可能垂直，因此与不可能垂直，因此与平面不可能平行，故选：B18C平面的一个法向量是,，平面的一个法向量是,6,，平面与平面的关系是平行或重合故选：C19B以点C1为坐标原点，分别以C1B1，C1D1，C1C所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由于A1MAN，则又C1D1平面BB1C1C，所以(0，
17、a，0)为平面BB1C1C的一个法向量因为，所以，又平面BB1C1C，所以MN平面BB1C1C.故选：B20C中平面，可能平行，也可能重合，结合平面法向量的概念，可知正确故选：C21A如图，以D为原点，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为，则，则，即，即所以直线与，均垂直，故选：A22B如图，以为坐标原点，分别以，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为3，则，.，A错误，B正确；，即，C，D错误.故选：B.23D【详解】， ，选D24D设，若点与点共面,则，只有选项D满足，.故选D.25A因为，所以，由，得，.故选A【点睛】本题考查了空间法向量的定义，空间向量共线的坐标表示，
18、属于基础题26B平面，不重合；平面，的法向量平行垂直等价于平面，平行垂直；正确；直线l的方向向量平行垂直于平面的法向量等价于直线l垂直平行于平面；都错误故选B27C DD1AA1,=(0,0,1)，故正确；BC1AD1,=(0,1,1), 故正确；直线AD平面ABB1A1,=(0,1,0). 故正确；点C1的坐标为(1,1,1),与平面B1CD不垂直,故错.28A由可得：，结合题意可知：，即：，据此可知：APB三点共线，点P一定在直线AB上.29A，设平面的一个法向量为，由则，解得，又，因此，平面的一个法向量为.故选：A.30C设交于点，连结，因为正方形与矩形所在的平面互相垂直，点在上，且平面
19、，所以，又，所以是平行四边形，所以是的中点，因为，所以，故选C31AB以顶点A为端点的三条棱长都相等, 它们彼此的夹角都是60，可设棱长为1,则 而， 所以A正确. =0,所以B正确.向量,显然 为等边三角形，则.所以向量与的夹角是 ,向量与的夹角是,则C不正确又， 则， 所以，所以D不正确.故选：AB32ABD解：如图建立空间直角坐标系，所以，即，所以，故B正确；，设异面直线与所成的角为，则，又，所以，故D正确；设平面的法向量为，则，即，取，则，即，又直线平面，所以直线平面，故A正确；，故C错误；故选：ABD33AD，则，直线与垂直，故A正确；，则，则，或，故B错误；，与不共线，不成立，故C
20、错误；点，.向量是平面的法向量，即，解得，故D正确.故选：AD34BD对于A，可知，与不共线，A错误；对于B，即与同向的单位向量是，B正确；对于C，即和夹角的余弦值为，C错误；对于D，设平面的法向量，则，令，解得：，即平面的一个法向量为，D正确.故选：BD.35ABC因为，所以，A正确；因为，所以，B正确；由,，可得是平面ABCD的一个法向量，C正确；BD在平面ABCD内，可得，D错误故选：ABC36AD在矩形中，分别过点、作、，垂足分别为点、.由已知条件，. 对于A选项，若存在某个位置，使得，平面，平面，则，在中，斜边，存在，故A正确；对于B选项，若存在某个位置，使得，平面，平面，则，在中，
21、斜边，矛盾，故B错误；对于C选项，若存在某个位置，使得，平面，平面，在平面内，过点能作两条直线与垂直，矛盾，故C错误；对于D选项，取平面平面，平面平面，平面，平面，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、，则，则，则，D选项正确.故选：AD.37x2y3z0解：由题意得，则，所以x，y，z满足的关系式是x2y3z0.故答案为：x2y3z0.38平行，所以，又分别是平面的法向量，所以.故答案为：平行39解析由题意，知即解得所以.故答案为：40PMAM【详解】解：以点为原点，、为轴、轴、轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系可得，由此可得，即，可得故答案为：41(
22、2，4，1)或(2，4，1)【详解】据题意，得(1，1，2)，(1，0，2)设(x，y，z)，与平面ABC垂直， 即 可得，解得或当时，；当时，的坐标为(2，4，1)或(2，4，1)故答案为：(2，4，1)或(2，4，1)42 解析(0，0，1)，故正确；(0，1，1)，故正确；直线AD平面ABB1A1，(0，1，0)，故正确；向量的坐标为(1，1，1)，与平面B1CD不垂直，错43（1）EFGH分别是所在三角形的重心.M、N、Q、R为所在边的中点，顺次连接M、N、Q、R所得四边形为平行四边形，且有，.四边形MNQR为平行四边形，则.由共面向量定理得EFGH四点共面；（2）由（1）知，MQEG
23、，由平面ABCD，平面ABCD，从而EG平面ABCD，又，MNEF，由平面ABCD，平面ABCD，从而EF平面ABCD，又EGEF=E，平面EFGH,平面EFGH平面ABCD.44（1）平面，平面，则，在中，由余弦定理：，在中，由正弦定理：，解得，又，则，于是，即，又，故平面，又平面，则平面平面.（2）由第一问知，是平面的法向量，于是只要证明即可，即证，由向量的运算：，两式相加得：，于是，即，显然点平面，点平面，则直线平面，于是PQ平面.45 , .PQOA46以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则、，所以、，.（1）因为，所以，即.又平面，平面，所以平面;（2）因为，所以，同理可得，即，.又，所以平面.平面，所以平面平面.47（1）面CDEF面ABCD，EDCD，面，面面，ED面ABCD，面，即，过作于，过作交于，CDEF为直角梯形，AB3EF3，即，则，且，得，即，而，即面，又面，故.（2）以D为原点，过点D垂直于DC的直线为x轴，DC所在直线为y轴，所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如下图示：，若，则，设，则，设平面BDM的法向量为，则，取x12，则，若AE平面BDM，则，解得，线段CF上存在一点M，满足AE平面BDM，此时
