1、任意角和弧度制、三角函数的概念与诱导公式知识导引本专题主要涉及的知识为三角函数的概念、同角三角函数的基本关系、诱导公式.在学习过程中,要会利用定义、公式求解三角函数值、化简三角函数式、证明三角恒等式,体会并理解数形结合、转化与化归的思想方法.1.弧度制和角度制的换算:;变形:.弧长公式,扇形的面积公式.2.象限角、终边相同的角的集合表示.3.任意角的三角函数概念.用单位圆上的点坐标表示锐角三角函数,在此基础上定义任意角的三角函数.设是单位圆与任意角的终边的交点,则.直接用定义研究三角函数的定义域、函数值的符号、诱导公式以及同角三角函数的基本关系.在单位圆中构造出以任意角的正弦线、余弦线为直角边
2、的直角三角形,得出同角三角函数的平方关系,商数关系.(1)三角函数的终边比值定义在平面直角坐标系中,设是角的终边上的任意一点,记.(2)同角三角函数的基本关系变形:.进阶提升题目1若角是第三象限象限角,则是第_象限角.审题此题为已知角终边所在象限,求半角所在象限问题.常用方法为由题目所给的条件先写出的集合,再求出的范围,注意对整数进行讨论.解析1因为角是第三象限角,设,则.当时,则是第二象限角;当时,则是第四象限角.故是第二或第四象限角.解析2(八卦图法)如图,将平面直角坐标系各象限分成两份,按逆时针方向依次标注记为,标满为止.由于角是第三象限角,现在看标有3的数字在图中哪些象限,注意到第二、
3、四象限均有3,所以是第二或第四象限角.回炉已知角终边所在象限,求半角终边所在象限,可对整分两类讨论,即,.若是求三分之一角终边所在象限,可对整数分三类讨论,即,;也可用八卦图法,将坐标系各象限分成3份,按逆时针方向依次标注,标满为止,然后观察求解.当求边所在象限时,不要忽略终边在坐标轴上的情况.【相似题1】已知集合,则（）A.B.C.D.(1)若,求扇形的弧长.(2)已知扇形的周长为,面积为,求扇形的圆心角弧度.(3)若扇形的周长为,当扇形的圆心角为多少弧度时,这个扇形的面积最大?审题已知扇形的圆心角和半径,求解长和面积时应注意两种度量单位之间的换算,合理运用计算公式;若已知扇形的周长和面积的
4、值,求圆心角弧度数只要建立关于半径和弧长的等式,解方程组即可.解析(1)弧长.(2)由题意得解得或所以圆心角的弧度,舍去)或.(3)由题意得,所以扇形的面积.当时,面积达到最大,此时弧长,圆心角弧度.回炉解题时注意圆心角弧度值小于.【相似题2】九章算术是我国古代数学成就的杰出代表作,其中“方田”章计算弧田面积所用的经验公式为:弧田面积(弦矢矢).弧田(如图),由圆弧和其所对的弦围成,公式中“弦”指圆弧所对的弦长,“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为、半径等于4米的弧田.按照上述方法计算出弧田的面积约为（）A.6平方米B.9
5、平方米C.12平方米D.15平方米【题目3】已知角的终边经过点,则_.审题任意角的三角函数是用单位来定义的,若角的终边上的点不在单位图上,则可考虑终边比值定义.若角的终边位置不确定,则需对可能的情况进行分类讨论.解析点到原点的距离.由三角函数的定义知,.若,则,故;若,则,故.综上可得,.回炉任意角的三角函数可用终边比值定义,也可用单位圆定义,注意.本题中,应该对分和两种情况讨论.【相似题3】若角的终边过点,且,则的值为（）A.B.C.D.【题目4】若,且,则是()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角审题任意角的三角函数涉及角所在的象限、函数名、符号.由角某一三角函数符号判
6、定其所在象限时,注意口诀“-全正、二正弦、三正切、四余弦”.解析由可知,角的终边在第三象限或轴负半轴或第四象限.由可知,角的终边在第一象限或第三象限.综上可得,角的终边在第三象限,故选.回炉三角函数在各个象限的符号规律为“一全正、二正弦、三正切、四余弦”.当时,注意角的终边可能会在轴负半轴上;当时,角的终边可能会在轴正半轴上.余弦值也类似.【相似题4】若点在第四象限,则内的的取值范围是（）A.B.C.D.【题目5】满足的角的集合为_.审题由某一三角函数值的范围求相应角的范围,常借助单位圆中的三角函数线或三角函数图象进行求解.解析已知,如图.当且时,或.由角的终边与单位圆交点的横坐标得.所以角的
7、集合为.回炉解三角不等式可用单位圆法或三角函数图象法.对单位圆中的三角函数线可进行拓展学习,注意正弦线、余弦线、正切线的位置和方向.【相似题5】函数的定义域为_.题目6已知,则_.审题已知角的某一三角函数值,求其余三角函数值,一般先用平方关系,再用商数关系.本题涉及角两个三角函数值的关系,借助“知二求一”的规律进行解方组求解.解析1(利用平方关系和解方程(组)思想)由得,即,解得.于是.解析2(化齐次式和“1”的代换)等号两边平方得,即,整理得,解得.另外,由得,即,解得,解析3(构造对偶式)利用,得,于是.解析4(利用辅助角公式)因为能取最大值,所以,解.*解析5（极值处导数值为0)利用辅助
8、角公式,能取最大值,则最大值处导数值为0.等号两边求导得,即.回炉本题利用弦切互化解方程的常规思路可求;由于条件给出的是特殊形式,考虑将等号两边平方,转化成齐次式,通过齐次式求解;若满足的形式,则;从导数的角度很容易理解,若取得最值或极值,则必有.解题时应注意角的范围及三角函数值的符号.【相似题6】定义在区间上的函数的图象与的图象的交点为,过点作轴于点,直线与的图象交于点,则线段的长为_.【题目7】已知,求：(1)的值;(2)的值.审题已知角的某一三角函数值,求其余三角函数值,一般先用平方关系,再用商数关系.已知,得,结合平方关系,分角位于-、三象限进行讨论,求解,该方法较烦琐;本题中已知,常
9、规方法为“切化弦”,巧用平方关系,进行“1”的代换.解析(1)解析1由得.换.解析2原式分子、分母同除以得.(2)原式除以得.回炉在同角三角函数关系中,已知角的正切值,求齐次式的值有两种常见类型:类型1:分式型,分子、分母同除以,得到与正切有关的分式;类型二次齐次型,分母1化为,然后将分子、分母同除以,得到与正切有关的分式.【相似题7】若是第四象限角且,则_.题目8已知是第三象限角,且.(1)化简.(2)若,求的值.(3)若,求的值.审题利用诱导公式对先化简,再求值,涉及三角恒等变换.在运用诱导公式化简时,可把当作锐角.解析(1).(2)因为,所以.又是第三象限角,于是.(3).”与角的三角函数关系时,可将角当作锐角,“奇变偶不变,符号看象限”这里的“奇”“侗”指是奇效或是偶数.“变”与不变”指函数名,当是奇数时,函数名变为余名函数名;当是偶数时,函数名不变.如:在化简左边时,不能把当作第三象限角;用导公式时,将角当作锐角.【相似题8】化简:.
