1、2024天津中考数学二轮重难题型专题训练 题型一 第12题二次函数的图象与性质 天津近10年中考命题规律近10年考查10次，考查题型有选择题(9次)和填空题(1次)考查的知识点有：二次函数的性质(7次)；二次函数图象与系数a、b、c的关系(5次)；二次函数图象的平移与对称变换(1次)；二次函数的解析式的确定(1次)；二次函数与一元二次方程的关系(5次)类型一二次函数的性质典例精讲例 1yx2(1a)x1是关于x的二次函数，当x的取值范围是1x3时， y在x1时取得最大值，则实数a的取值范围是()A. a5 B. a3 C. a3 D. a5【思维教练】要确定a的取值范围，先根据对称轴是否在1x
2、3内分情况讨论，当对称轴不在1x3内时，由y轴在x1时取得最大值可知对称轴一定在1x3的右边，解出a的取值范围；当对称轴在1x3内时，再解出a的取值范围，综合分析即可求得a的取值范围针对演练1. 二次函数y(x4)25的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是()A. 向上，直线x4，(4，5)B. 向下，直线x4，(4，5)C. 向上，直线x4，(4，5)D. 向上，直线x4，(4，5)2. 在平面直角坐标系中，若点A(a，b)关于x轴对称的点在第三象限，则抛物线yax2bx1的顶点在()A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限 D. 第四象限3. 已知二次函数yax2bxc，当yn时，x
3、的取值范围是m3x1m，且该二次函数的图象经过P(3，t210)，Q(d，6t)两点，则d的值可能是()A. 0 B. 1 C. 4 D. 94. 已知二次函数y(xa1)(xa1)2a9(a 是常数)的图象与x轴没有公共点，且当x2时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是()A. a2 B. a4C. 2a4 D. 2a45. 已知A、B两点的坐标分别为(3，4)、(0，2)，线段AB上有一动点M(m，n)，过点M作x轴的平行线交抛物线ya(x1)22于P(x1，y1)、Q(x2，y2)两点若x1mx2，则a的取值范围为()A. 4a B. 4aC. a0 D. a06. 在二次函数ya
4、x2bxc(a0)中，y与x的部分对应值如下表：x0134y2422有下列结论：抛物线开口向下；当x1时，y随x的增大而减小；抛物线一定经过点(1，2)；当0x2时，y2.其中，正确结论的个数是()A. 1 B. 2 C. 3 D. 47. 关于二次函数yax24ax5(a0)的三个结论：图象与y轴的交点为(0，5)；对任意实数m，都有x12m与x22m对应的函数值相等；若3x4，对应的y的整数值有4个，则a1或1a.其中，正确结论的个数是()A. 0 B. 1 C. 2 D. 3类型二二次函数图象的平移与对称变换典例精讲例 2已知抛物线yx22x3与y轴交于点A，顶点为M，平移该抛物线，若平
5、移后点A的对应点A恰好落在x轴的正半轴上，点M的对应点为M，且MM5，则平移后的抛物线的解析式为()A. yx210x24 B. yx210x24 C. yx210x24 D. yx210x24【思维教练】抛物线的对称变换可看作其顶点的对称变换，要牢记在平移时，二次项系数a不改变，根据MM的长即可确定抛物线的变换情况，然后设顶点式，代入最终顶点M的坐标即可求得解析式针对演练1. 将二次函数yx24xa的图象向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，若得到的函数图象与直线y2有两个交点，则a的取值范围是()A. a3 B. a3 C. a5 D. a52. 在平面直角坐标系中，抛物线yx2n
6、x2关于y轴对称的抛物线的对称轴与该抛物线的对称轴相距8个单位长度，则n的值为 ()A. 8 B. 4或8C. 8或8 D. 83. 在平面直角坐标系中，抛物线yax24x2的对称轴为直线x2，将该抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到新的抛物线，则新的抛物线关于原点对称的抛物线的解析式为()A. yx22x2 B. yx22x2C. yx22x2 D. yx22x24. 已知抛物线yx2kxk2的对称轴在y轴右侧，现将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点则k的值是()A. 5或2 B. 5C. 2 D. 2类型三二次函数图
7、象与系数a、b、c的关系典例精讲例 3抛物线yax2bxc(a0)的对称轴是直线x1，与x轴的一个交点为A(x1，0)，2x10；8ac0，其中正确结论的个数是()A. 0个 B. 1个C. 2个 D. 3个【思维教练】要确定bc的正负，已知a的正负，根据对称轴的位置和抛物线与x轴交点A的位置，分别确定b，c的正负即可；要确定8ac的正负，由对称轴可知a与b的数量关系，再利用当x2时，确定4a2bc的正负，结合a与b的数量关系即可求解；要确定5ab2c的正负，利用当x1时，确定abc的正负，再结合a与b的数量关系确定3ac的正负，最后再利用a与b的数量关系即可求解针对演练1. 已知抛物线yax
8、2bxc(a，b，c为常数，且a0)的图象如图所示有下列结论：ba；若1mn1，则mn0；若点A(3，y1)，点B(3，y2)都在抛物线上，则y1y2；ab0. 其中正确结论的个数为()A. 0 B. 1 C. 2 D. 33. 已知抛物线yax2bxc(a，b，c为常数，a0)的对称轴是直线x1，且与x轴、y轴分别交于A, B两点，其中点A在点(3, 0)的右侧，直线yxc经过A，B两点有下列结论：c；2a2bc0；a.其中正确结论的个数是()A. 0 B. 1 C. 2 D. 35. 如图，抛物线yax2bxc(a，b，c为常数，且a0)交x轴于A(2，0)和点B，交y轴负半轴于点C，且O
9、BOC.下列结论：c2b2；a；bac1；0.其中正确结论的个数是()A. 1 B. 2 C. 3 D. 4第5题图6. 抛物线yax2bxc经过点(2，0)，且对称轴为直线x1，其部分图象如图所示对于此抛物线有如下四个结论：b2a；4a2bc0；若nm0，则x1m时的函数值小于x1n时的函数值；点(，0)一定在此抛物线上其中正确结论的个数是()A. 4 B. 3 C. 2 D. 1第6题图7. 函数yax2bxc(a，b，c为常数，a0)的图象与x轴交于点(2，0)，顶点坐标为(1，n)，其中n0.有下列结论：abc0；16ac4b；函数yax2bxc在x1和x2处的函数值相等；点M(x1，
10、y1)，N(x2，y2)在函数yax2bxc的图象上，若3x11x2，则y1y2.其中，正确结论的个数是()A. 1 B. 2C. 3 D. 48. 如图，已知抛物线yax2bxc (a，b，c为常数， a0)经过点(2, 0)，且对称轴为直线x，有下列结论：abc0；ab0；4a2b 3c0；无论a，b，c取何值，抛物线一定经过(，0)；4am2 4bmb0.其中正确结论的个数是()A. 1个 B. 2个C. 3个 D. 4个第8题图类型四二次函数与一元二次方程的关系典例精讲例 4已知抛物线yx2bx1的对称轴是直线x1，且x2bx1m0(m为实数)在0x3范围内有实数根，则m的取值范围是(
11、)A. 0m1 B. 0m3C. 1m3 D. 0m4【思维教练】已知抛物线的对称轴即可求出b的值，进而确定抛物线的解析式，已知方程在x的某一范围内有实数根，要确定m的取值范围，利用二次函数与一元二次方程的关系知，只需确定抛物线在该范围内的函数值的取值范围即可针对演练1. 已知抛物线yx2bx3的对称轴为直线x1，若关于x的一元二次方程x2(b2)x3t0(t为实数)在1x4的范围内有实数根，则t的取值范围是()A. 3t19 B. 2t15C. 6t11 D. 2t62. 如图，二次函数yax2bxc的图象与x轴的两个交点分别为点A(1，0)，B，对称轴为直线x1，则一元二次方程cx2bxa
12、0的根为()第2题图A. 1和 B. 1和C. 1和 D. 1和 3. 已知抛物线yax22ax在其对称轴的左侧y随x的增大而减小，关于x的方程ax22axm(m0)的一个根为4，而关于x的方程ax22axn(0nm)有两个整数根，则这两个根的积是()A. 0 B. 3C. 6 D. 8参考答案类型一二次函数的性质典例精讲例 1D【解析】当二次函数的对称轴不在1x3内时，由y在x1时取得最大值可知对称轴一定在1x3的右边，x3，即a7；当对称轴在1x3内时，当对称轴在1x3中点左边时，在x3时取得最大值，不符合题意，对称轴在1x3中点的右边，x2，解得a5，综上所述，a的取值范围是a5.针对演
13、练1. D【解析】在二次函数y(x4)25中，a0，该函数图象开口向上，对称轴是直线x4，顶点坐标为(4，5)2. A【解析】点A(a，b)关于x轴对称的点在第三象限，点A在第二象限，a0，b0，0，0，抛物线yax2bx1的顶点在第一象限3. D【解析】由题意可得抛物线开口向下，抛物线对称轴为直线x1.yPyQt2106t(t3)210，yPyQ，3(1)|d(1)|，即d14或d14，解得d3或d5.4. C【解析】二次函数y(xa1)(xa1)2a9(xa)22a8，二次函数的对称轴为直线xa，开口向上，最小值为2a8.图象与x轴没有交点，2a80，a4.当x2时，y随x的增大而减小，a
14、2，则2a4.5. C【解析】由题意得线段AB(B点除外)位于第四象限，过点M且平行x轴的直线在x轴的下方，抛物线ya(x1)22的顶点坐标为(1，2)，此顶点位于第一象限，a0，画出函数图象如解图，结合图象可知，若x12，即，解得a，又a0，a时，y随x的增大而减小，错误；当x1时，y1322，正确；(0，2)和(3，2)是关于抛物线对称轴的对称点，且抛物线开口向下，当0x2，当0x2.正确综上所述，正确结论的个数是3个7. D【解析】将x0代入yax24ax5得，y5，图象与y轴的交点为(0，5)，故正确；抛物线对称轴为2，x12m与x22m对应的函数值相等，故正确；函数图象的对称轴为直线
15、x2，当3x4时，对应y的整数值有4个，函数图象单调递增或单调递减当x3时，y9a12a53a5，当x4时，y5，当a0时，53a5，由题意得93a58，解得1a；当a0时，53a5，由题意得23a51，解得a1，故正确综上所述，正确结论的个数是3.类型二二次函数图象的平移与对称变换典例精讲例 2A【解析】令x0，得y3，则点A(0，3)，点A的对应点A恰好落在x轴的正半轴上，抛物线向上平移了3个单位，且向右平移，MM5，抛物线向右平移了4个单位，由题可得M(1，4)，M(5，1)，平移后的抛物线的解析式为y(x5)21x210x24.针对演练1. C【解析】yx24xa(x2)24a，将二次
16、函数yx24xa的图象向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的函数解析式为y(x21)24a1(x1)2a3.直线y2与平移后的函数图象有两个交点，a32，a5，即a的取值范围是a5.2. C【解析】抛物线yx2nx2(x)22，与该抛物线关于y轴对称的抛物线为y(x)22，两条抛物线的对称轴相距8个单位长度，|()|8，解得n8或n8.3. C【解析】抛物线的对称轴为直线x2，2，a1，抛物线的解析式为yx24x2(x2)22.抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，新抛物线的解析式为y(x1)23，顶点坐标为(1，3)，顶点关于原点对称的坐标为(1，3)，将点(1，
17、3)代入顶点式得y(x1)23x22x2.4. B【解析】将抛物线yx2kxk2向右平移3个单位，得y(x3)2k(x3)k2，再向上平移1个单位，得y(x3)2k(x3)k21，得到的抛物线正好经过坐标原点，0(03)2k(03)k21，即k23k100，解得k5或k2，抛物线yx2kxk2的对称轴在y轴右侧，x0，k0，k5.类型三二次函数图象与系数a、b、c的关系典例精讲例 3D【解析】抛物线yax2bxc(a0)的对称轴是直线x1，与x轴的一个交点为A(x1，0)，2x10，a0，bc0，正确；当x2时，y4a2bc0，4a4ac0，即8ac0，即abc0，b2a，a2ac0，3ac0
18、，c0，5a2a2c0，5ab2c0，正确，综上所述，正确结论的个数是3个针对演练1. D【解析】抛物线开口向下，a0.0，b0，ba，故正确；设抛物线与x轴的两个交点的横坐标分别是x1和x2，且x1x2，若1mn1，则x1x2mn，x1x2，mn，故正确；1，a0，b2a，2ab0，x1时，yabc0，3a2bc0，3ac2b，a0，c0，b0，3a3|a|，c|c|，2b2|b|，3|a|c|2|b|，故正确综上所述，正确结论的个数是3个2. C【解析】 抛物线经过点(1，0)和(m，0)，且1m2，ya(x1)(xm)当x0.ya(x1)(xm)ax2(1m)axam，抛物线的对称轴为直
19、线x0，在y轴的右侧，ba(1m)0，cam0，故正确；抛物线经过点(1，0)和(m，0)，且1m2，0m11，即0，抛物线的对称轴满足0x3x，3离对称轴较3离对称轴远，点A(3，y1)，点B(3，y2)都在抛物线上，抛物线开口向上，y1y2，故错误；0m11，0，0，b0，故正确，综上所述，正确结论的个数是2个3. D【解析】直线yxc过点A且点A在(3，0)的右侧，直线过第一、二、四象限，c0，抛物线开口向下a0.1，b2a0.直线yxc经过点A，点A在点(3，0)的右侧，3c0，c，故正确；a0，c0，b2a，2a2bc2a4ac2ac0，故正确；当x3时，9a3bcc，9a3b，3a
20、，a，a0，故正确4. B【解析】二次函数yax2bxc的图象经过点A(1，0)，B(5，0)，解得，yax26ax5a.抛物线与x轴有两个不同交点，且顶点在x轴的下方，二次函数图象的开口向上，a0，c5a0，ac0，错误；b6a，c5a0，bca0，错误；二次函数图象的对称轴为直线x3，顶点在x轴下方，且到x轴的距离大于1，当x3时，y9a3bc9a18a5a4a，正确5. D【解析】抛物线yax2bxc中，点C(0，c)(c0)，OBOC|c|c，B(c，0)，将A(2，0)，B(c，0)代入yax2bxc中得，即，将bac1代入4a2bc0得4a2ac2c0，即(2a1)(2c)0，a或
21、c2，c0，c0.对称轴在y轴左侧，0，ab0，c0，0，4a2bc0，正确；抛物线开口向下，对称轴为直线x1，横坐标是1n的点的对称点的横坐标为1n，nm0，1n1m，x1m时的函数值大于x1n时的函数值，错误；b2a，抛物线为yax22axc，抛物线yax2bxc经过点(2，0)，4a4ac0，即8ac0，c8a，4，点(2，0)的对称点是(4，0)，点(，0)一定在此抛物线上，正确，综上所述，正确结论的个数为2个7. B【解析】根据题意，画出图形如解图，函数yax2bxc(a0)图象的顶点坐标为(1，n)，把x1代入得nabc，n0，abc0，故错误；对称轴为直线x1，与x轴的一个交点为
22、(2，0)，函数图象与x轴另一个交点坐标为(4，0)，当x4时，y0，把x4代入函数得16a4bc0，即16ac4b，故正确；对称轴为直线x1，x1与x3的函数值相等，故错误；观察图象可知：横坐标距离对称轴越近，函数值越大，3x11，x21，M点距离对称轴的距离小于2，N点距离对称轴的距离大于2，y1y2，故正确，综上所述，正确结论的个数为2个第7题解图8. D【解析】抛物线yax2bxc(a，b，c为常数，a0)开口向上，a0，抛物线对称轴为直线x，ba0，抛物线与y轴的负半轴相交，c0，abc0，故正确；ba，ab0，故错误；抛物线yax2bxc经过点(2，0)，4a2bc0，4a2b3c
23、4a2bc2c2c0，故正确；ba，抛物线为yax2axc.抛物线yax2bxc经过点(2，0)，4a2ac0，即2ac0，c2a，1.点(2，0)关于抛物线对称轴对称的点是(1，0)，点(1，0)在抛物线上，即抛物线一定经过(，0)，故正确；由题意知当x时，函数有最小值，对于任意实数m，都有am2bmcabc，整理得4am24bma2b0，又ba，4am24bmb2b0，即4am24bmb0，故正确，综上所述，正确的结论有4个类型四二次函数与一元二次方程的关系典例精讲例 4D【解析】抛物线的对称轴为直线x1，解得b2，抛物线的解析式为yx22x1，x2bx1m0的解即为yx22x1与直线ym
24、交点的横坐标，x2bx1m0(m为实数)在0x3范围内有实数根，抛物线yx22x1与直线ym在0x3范围内有交点，当0x3时，抛物线yx22x1的取值范围为0y4，0m4.针对演练1. A【解析】抛物线yx2bx3的对称轴为直线x1，1，解得b2，关于x的一元二次方程x2(b2)x3t0(t为实数)化为x2t3，关于x的一元二次方程x2(b2)x3t0(t为实数)在1x4的范围内有实数根，即yx2与yt3在1x4范围内有交点，当1x4时，yx2的取值范围为0y16，0t316，3t19.2. B【解析】二次函数yax2bxc的图象与x轴一个交点为(1，0)，对称轴为直线x1，1，b2a，二次函
25、数的图象与x轴另一个交点坐标为(3，0)，ya(x1)(x3)ax22ax3a，c3a，cx2bxa3ax22axa0，解得x1或x.3. B【解析】抛物线yax22ax的对称轴为直线x1，抛物线yax22ax在其对称轴的左侧y随x的增大而减小，a0，抛物线的开口向上，当y0时，ax22ax0，解得x10，x22，即抛物线yax22ax与x轴的交点坐标为(0，0)，(2，0)，如解图，关于x的方程ax22axm(m0)的一个根为4，关于x的方程ax22axm(m0)的另一个根为2，关于x的方程ax22axn(0nm)有两个整数根，关于x的方程ax22axn(0nm)的两个整数根为x13，x21，这两个根的积是3.第3题解图
