1、2024内蒙古中考数学二轮专项训练 题型十二 几何综合题 类型一与动点有关1. 如图，已知ABC是等边三角形，P是ABC内部的一点，连接BP，CP.(1)如图，以BC为直径的半圆O交AB于点Q，交AC于点R，当点P在上时，连接AP，在BC边的下方作BCDBAP，CDAP，连接DP，求CPD的度数；(2)如图，E是BC边上一点，且EC3BE，当BPCP时，连接EP并延长，交AC于点F.若AB4BP，求证：4EF3AB；(3)如图，M是AC边上一点，当AM2MC时，连接MP.若CMP150，AB6a，MPa，ABC的面积为S1，BCP的面积为S2，求S1S2的值(用含a的代数式表示)第1题图2.
2、已知， 在ABC中，BAC90，ABAC.(1)如图，已知点D在BC边上，DAE90，ADAE，连接CE.试探究BD与CE的关系；(2)如图，已知点D在BC下方，DAE90，ADAE，连接CE.若BDAD，AB2，CE2，AD交BC于点F，求AF的长；(3)如图，已知点D在BC下方，连接AD、BD、CD.若CBD30，BAD15，AB26，AD24，求sinBCD的值第2题图3. 已知在ACD中，P是CD的中点，B是AD延长线上的一点，连接BC，AP.(1)如图，若ACB90，CAD60，BDAC，AP，求BC的长；(2)过点D作DEAC，交AP延长线于点E，如图所示若CAD60，BDAC，求
3、证：BC2AP；(3)如图，若CAD45，是否存在实数m，当BDmAC时，BC2AP？若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由第3题图4. 如图，矩形ABCD中，点P为对角线AC所在直线上的一个动点，连接PD，过点P作PEPD，交直线AB于点E，过点P作MNAB，交直线CD于点M，交直线AB于点N，AB4，AD4.(1)如图，当点P在线段AC上时，PDM和EPN的数量关系为：PDM_EPN；的值是_；(2)如图，当点P在CA延长线上时，(1)中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由；(3)如图，以线段PD，PE为邻边作矩形PEFD.设PM的长为x，矩形PEFD的面积为y.请直
4、接写出y与x之间的函数关系式及y的最小值第4题图类型二与平移有关1. 在综合实践课上，老师让同学们对一张长AB4，宽BC3的矩形纸片ABCD进行剪拼操作，如图，希望小组沿对角线AC剪开得到两张三角形纸片ABC和ADC.(1)将这两张三角形纸片按如图摆放，判断 AC与AC的位置关系，并说明理由；(2)在图中，将ACD纸片沿射线BC的方向平移如图，当点A在AC上时，AC与AB交于点E，求此时重叠部分四边形ADBE的面积；如图，当点C与点B重合时，AC与AC交于点F，直接写出BFC的面积第1题图2. 如图，在RtABC和RtDEF中，BACEDF90，ABAC，DEDF，点D在射线AB上，AB2DF
5、6，连接EA，EC，交射线AB于点H，取CE的中点G，连接DG.(1)当点F与点A重合时，求DH的长；(2)如图，保持ABC固定不动，将DEF沿射线AB平移m个单位，判断DG与EA的位置关系和数量关系，并说明理由；(3)如图，继续平移DEF，使得DEF的一个顶点恰好在直线BC上，求此时HG的长第2题图3. 在平面直角坐标系中，O为原点，OAB是等腰直角三角形，OBA90，BOBA，顶点A(4，0)，点B在第一象限，矩形OCDE的顶点E(，0)，点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限，射线DC经过点B.(1)如图，求点B的坐标；(2)将矩形OCDE沿x轴向右平移，得到矩形OCDE，点O，C，D，E
6、的对应点分别为O，C，D，E.设OOt，矩形OCDE与OAB重叠部分的面积为S.如图，当点E在x轴正半轴上，且矩形OCDE与OAB重叠部分为四边形时，DE与OB相交于点F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；当t时，求S的取值范围(直接写出结果即可)第3题图4.综合与实践问题情境：如图，纸片ABC是等边三角形，纸片DEF是直角三角形，其中DEF90，DFE30，ABDF6，M是BC的中点实践操作：第一步：将图中的两张三角形纸片按图的方式摆放，使DF与AB重合；第二步：将图中的DEF沿射线BC方向平移，直线AB与直线EF交于点G，DF与AC交于点H，连接GH，如图，设平移的距离为m.
7、(1)在图中，连接AM，求四边形EBMA的面积；(2)当AHGH时，求m的值；(3)当GHBC时，判断四边形AGHD的形状，并说明理由第4题图类型三与旋转有关1. 如图，在RtABC中，ACB90，AC4，BC2，RtABC绕点C按顺时针方向旋转得到RtABC，AC与AB交于点D.(1)如图，当ABAC时，过点B作BEAC，垂足为E，连接AE.求证：ADBD；求的值；(2)如图，当ACAB时，过点D作DMAB，交BC于点N，交AC的延长线于点M，求的值第1题图2. 数学课堂上，有这样一道探究题如图，已知ABC中，ABACm，BCn, BAC(0180)，点P为平面内不与点A，C重合的任意一点，
8、连接CP，将线段CP绕点P顺时针旋转，得线段PD，连接CD，AP，点E，F分别为BC，CD的中点，设直线AP与直线EF相交所成的较小角为，探究的值和的度数与m，n，的关系请你参与学习小组的探究过程，并完成以下任务：(1)填空：【问题发现】小明研究了60时，如图，求出了的值和的度数分别为_，_；小红研究了90时，如图，求出了的值和的度数分别为_，_；【类比探究】他们又共同探究了120时，如图，也求出了的值和的度数；【归纳总结】最后他们终于共同探究得出规律：_(用含m，n的式子表示)； _(用含的式子表示)；(2)求出120时的值和的度数第2题图3.如图，AOB和COD是等腰直角三角形，点O为直角
9、顶点，连接AD、BC，E是BC的中点，连接OE.【问题解决】(1)如图，当点C、D分别在边OA、OB上时，线段EO与线段AD之间的数量关系为_；【类比探究】(2)将COD绕点O逆时针旋转到如图所示位置，请探究线段EO与线段AD之间的数量关系，并说明理由；【拓展延伸】(3)在COD的旋转过程中，当AOC150时，若OA8，OC4，请直接写出OE的长4. 如图，在矩形ABCD中，E是边AB上一点，BEBC，EFCD，垂足为F.将四边形CBEF绕点C顺时针旋转 (015，当x时，易知与BAD15相矛盾，x，即CM，BDCG2CM1，DTBC，CBD30，DTBDsin30，BTBDcos30，TCB
10、CBT，在RtDTC中，DC，sinBCD.3. (1)解：ACB90，CAD60，AB2AC.BDAC，ADAC，ADC是等边三角形，ACD60.P是CD的中点，APCD.在RtAPC中，AP，AC2，BCACtan602；(2)证明：如解图，连接BE，第3题解图DEAC，CAPDEP.在CPA和DPE中，CPADPE(AAS)，APEPAE，CADE.BDAC，BDDE.又DEAC，BDECAD60，BDE是等边三角形，BDBE，EBD60.BDAC，ACBE.在CAB和EBA中，CABEBA(SAS)，BCAE，BC2AP；(3)存在，m.【解法提示】如解图，作DEAC交AP延长线于E，
11、连接BE，由(2)同理可得DEAC，EDBCAD45，AE2AP，当BDAC时，即BDDE，EDB45，过点B作BFDE于点F，BDDF，DEDF，点E，F重合，BED90，EBDEDB45，BEDEAC，同(2)可证CABEBA(SAS)，BCAE2AP，存在m，使得BC2AP.第3题解图4. 解：(1)；【解法提示】DPEPMD90，PDMDPMDPMEPN90.PDMEPN.；【解法提示】PDMEPN，DMPPNE90，PDMEPN.四边形ABCD是矩形，BADADC90.ANM90，四边形ADMN是矩形DMAN.PNBC.，.(2)成立证明：四边形ABCD是矩形，ADBC4，BBADA
12、DCDANADM90.MNAB，ANM90，四边形ADMN为矩形，DMAN.PEPD，DPE90，DPMEPNDPMPDM90，PDMEPN.MPNE90，PDMEPN，.DMAN，.ANPABC90，PANCAB，APNACB，；(3)y与x之间的函数关系式为yx28x16(x0)，y的最小值为4.【解法提示】，PEDP.矩形PEFD的面积为yDPPEDP2.PMx，PN4x.PDMEPN，.DMPN4x.DP2DM2PM2(4x)2x24x224x48.yDP2(4x224x48)，即yx28x16.yx28x16(x3)24，0，当x3时，y有最小值，最小值为4.类型二与平移有关1. 解
13、：(1)ACAC，理由如下：如解图，延长CA交AC于点G，易知AC，ABCCDA90，AAAGCCAB，AGACDA90，即ACAC；第1题解图(2)由平移可知ADAB，且ADCC，ABCC，ADCABC，CBECDA，.ABDC4，BCAD3，ACAC5.，DC，BDBCDC3，CBCDBD4.，BE，S四边形ADBE(3)；.【解法提示】由(1)可知BFAC，在RtABC中，由勾股定理得AC5，由三角形面积公式得，ABBCACBF，BF，在RtBCF中，由勾股定理得CF，SBCFBFCF.2. 解：(1)EDACAB90，DEAC，DHEAHC.ABAC，DEDF，DHADAB1；(2)D
14、GEA，DGEA.理由如下：由(1)知，EDHCAH，点G是EC的中点，HEHGHCHG，2HGHCHEHE，.DHGAHE，DHGAHE，HDGHAE，DGEA，DGEA；(3)当点D在直线BC上时，此时点D和点B重合，如解图，第2题解图易得，AB6，BH2，BE3，在RtBHE中，由勾股定理得EH.由(2)得，HGEH；当点F在直线BC上时，此时点F，H与点B重合，如解图，EHDE3，第2题解图HGEH.综上所述，HG的长为或.3. 解：(1)如解图，过点B作BHOA，垂足为点H，由点A(4，0)，得OA4，BOBA，OBA90，OHHAOA2BH，点B的坐标为(2，2)；第3题解图(2)
15、由点E(，0)，得OE，由平移知，四边形OCDE是矩形，得OED90，OEOE，OEOOOEt，FEO90.BOBA，OBA90，BOABAO45，OFE90BOA45，FOEOFE，FEOEt，SFOEOEFE(t)2，SSOABSFOE42(t)2，即St2t，其中t的取值范围是4t；S.【解法提示】如解图，当t时，SSAOBSAOM4(4t)2(t4)24，对称轴为直线t4，0.当t时，S随t的增大而增大，将t和t分别代入，得S和S，S；第3题解图如解图，当t4时，SSAOBSAOMSOEN4(4t)2(t)2t2t，对称轴为直线t，10，当t时，S有最大值，此时S，由得当x时，S，S；
16、 第3题解图如解图，当4t时，SSAOBSOEN4(t)2(t)24，0，对称轴为t，当t4时，S有最大值为，当t时，S有最小值为，S.综上所述，得S.第3题解图4. 解：(1)如解图，连接AM，M是BC的中点，ABAC，AMBC，AMB90.DFE30，ABC60，EBM90.又DEF90，四边形EBMA是矩形AB6，EBA30，AE3，在RtAEB中，BE3，S四边形EBMA339；第4题解图(2)当AHGH时，AHG90.ABC是等边三角形，BACABCACB60.由平移的性质可知DEBC，DACACB60.在RtDEF中，EDFDFE90，DFE30，EDF903060，ADH是等边三
17、角形，AHADDH.由平移的性质可知ADm，AHm.在RtAGH中，cosGAH，即cos60，解得AG2m.由平移的性质可知ABDF，ADBFm，BGFDFE30，BG2BF2m.AGBGAB6，2m2m6，m；(3)四边形AGHD是菱形理由如下：如解图，由平移的性质知ADBC，ABDF，GHBC，ADGH，四边形AGHD是平行四边形由(2)知ADDH，四边形AGHD是菱形第4题解图类型三与旋转有关1. (1)证明：RtABC绕点C按顺时针方向旋转得到RtABC，BACA.ABAC，ACAA，BACACA，ADCD.ACDBCD90，BACABC90，BCDABC，CDBD，ADBD；解：在
18、RtABC中，AB2.BEAC，BEC90.在RtBEC和RtACB中，BCEABC，tanBCEtanABC，2，BE2CE.在RtBEC中，BE2CE2BC2，(2CE)2CE24，CE.由得CDAB，CD，DECDCE，.ADBD，SADESBDE，SABE2SADE，；(2)解：由得AB2，SABCACBCABCD，422CD，CD.在RtACD中，AD2CD2AC2，AD2()242，解得AD.DMAB，CDMA.又DCNACB，CDNCAB，即，解得CN.ADCACB90，CNAD，CMNAMD，3.2. 解：(1)【问题发现】，60；，45；【归纳总结】；【解法提示】如解图，连接
19、AE，PF，延长EF、AP交于点Q，当60时，ABC和PDC都是等边三角形，PCDACB60，PCCD，ACCB，F、E分别是CD、BC的中点，又ACPACDECFACD，ACPECF.ECFACP，CEFCAP，QACB60；如解图，当90时，ABC和PDC都是等腰直角三角形，PCDACB45，PCCD，ACCB，F、E分别是CD、BC的中点，又ACPACDECFACDACPECF，ECFACP，CEFCAP，QACB45，可归纳出，ACB.图图第2题解图(2)120，ABACm，BCn，ABC为等腰三角形，AEBC，ACB30，CEACcos30m，n2CEm，909030.3. 解：(1
20、)EOAD；【解法提示】在BOC和AOD中，BOCAOD(SAS)，BCAD.E是BC的中点，EOBCAD.(2)EOAD，理由如下：如解图，延长OE至点F，使得EFOE，连接BF、CF，第3题解图BECE，EOEF，四边形COBF是平行四边形，BFCO，BFCODO，FBOBOC180.BOACOD90，BOCBOD1BOD90，1BOC.1DOA180，FBODOA.BOAO，FBODOA(SAS)，FOAD，EOAD；(3)OE的长为2或2.【解法提示】如解图，当COD绕点O逆时针旋转150时，AOC150，此时BOC60，过点C作CFOB于点F，过点E作EGOB于点G，OC4，BOC6
21、0，CFOCsin602，OFOCcos602.E为BC的中点，EGCF，EGCF，BGGF.OAOB8，BF6，BGGF3，OG5，OE2；如解图，当COD绕点O逆时针旋转210时，AOC150，此时BOC120，过点C作CFBO，交BO的延长线于点F，过点E作EGOB于点G，BOC120，COF60.OC4，CFOCsin602，OFOCcos602.E是BC的中点，EGCF，EGCF，BGFG.OAOB8，BF10，BGGF5，OG3，OE2.综上所述，OE的长为2或2.图图第3题解图4. (1)证明：在矩形ABCD中，BBCD90，EFCD，EFC90，四边形BEFC是矩形BEBC，四
22、边形BEFC是正方形；(2)证明：GCKDCH90，BEF90，CDFH90，KGCH90，KGCCDF.由(1)可知，四边形BEFC是正方形，BCCF，GBCCFD，CGBCDF(AAS)，GCDC；解：设正方形BEFC的边长为a，KBCF，BKOFCO，BKFCBCa.在RtBKC中，BK2BC2CK2，(a)2a232，a.由，可得BKKEa，KECFDKEDCF，DEEFCFa，易得DEPCFD，PEDF2a，PKa.易得EDKBCK，KDKC，APGH，PKGC，DKPCKG，PKDGKC(AAS)，PKGK，PG2PK5a6；(3)解：如解图，延长BF交CH的延长线于点R.第4题解
23、图CFGP，RBBM，GFCR，GBMGRB，tanGtanFCH.设FHx.则CF2x，CHx，CBCFEFBC2x.CBHE，RBCRFH，2，CHRH，BFRF，CR2CH2x，SCFR2SCFH.CBHE，GBCGEH，GB2(1)x.BMRB，GBMCRF，()22.SCRF2SCHF，.类型四与折叠有关1. (1)证明：在正方形ABCD中，AABCC90，MHBC，MHBMHNC90.四边形ABHM为矩形，ABMH.又BCAB，ABMHBC.根据折叠的性质可知，点B，E关于MN对称，则MNBE，EBCBNM90.又NMHBNM90，EBCNMH，EBCNMH；(2)证明：在矩形AB
24、CD中，C90，MHBC，MHNC90.点B，E关于MN对称，MNBE，EBCBNM90.又NMHBNM90，EBCNMH，EBCNMH；或.【解法提示】如解图，当CE2DE时，设BE与MN的交点为G，设AB3m，则BC2AB6m，EC2m，在RtBCE中，BE2m，BGm.BGNC90，NBGEBC，EBCNBG，即，BNm.在RtMNH中，MHAB3m，HNm，BHBNNHm，AMBHm，；如解图，当DE2CE时，设BE与MN的交点为I，同理可得，综上所述，的值为或.图图第1题解图2. 解：(1)PDC沿直线PD折叠，点C的对应点为点E，且A，E两点重合，由折叠的性质得PDAC，PDA90
25、.B90，BC4，AB8，AC4.点D是边AC的中点，ADAC2.又BPDA90，AA，ADPABC，即，解得AP5；(2)四边形CDEP是菱形，点D是边AC的中点，AC4，CPCDADAC2.B90，BC4，BP2，APABBP826.如解图，过点P作PQAC于点Q，第2题解图BAQP90，AA，AQPABC，即，解得AQ，QP，DQAQAD，PD2，；(3)分以下两种情况讨论：如解图，当C、E位于AB异侧时，设DE交AB于点F，过点P作PGAC于点G，点D是边AC的中点，SAPDSCPDSPAC.PDE与ABC重叠部分的面积为S1，PAC的面积为S2，S1S2，SPFDSPAC，SPFDS
26、APD，点F是AP的中点，由折叠的性质得SEPDSCPD，SEPDSPAC，SPFDSEPD，点F是DE的中点，四边形AEPD是平行四边形，EPAD2，AEDPDE.由折叠的性质得CPEP2，PDCPDE，AEDPDC，BP2，APABBP6.同理由(2)可得GP，DG，tanAEDtanPDC3；第2题解图如解图，当C、E位于AB同侧时，设PE交AC于点F，过点D作DKAB于点K，点D是边AC的中点，ABC90，DK是ABC的中位线，DKBC2，AKAB4.同理由可得四边形AEDP是平行四边形，由折叠的性质得CDED，CDEDAP2，AEDAPD，PKAPAK24，tanAEDtanAPD2
27、.综上所述，tanAED的值为3或2.第2题解图3. 解：(1)EFBF；证法一：如解图，分别延长AD, BF相交于点M，第3题解图四边形ABCD是平行四边形，ADBC，2C，M1.F为CD的中点，DFCF，MDFBCF，FMFB，即F为BM的中点，BFBM.BEAD，BEM90，在RtBEM中，EFBM，EFBF；证法二：如解图，过点F作FMEB交EB于点M，EMF90.BEAD，AEB90，AEBEMF，ADFM. 四边形ABCD是平行四边形，ADBC.ADFMBC，.F为CD的中点，DFFC，EMMB.FMEB，FM垂直平分EB，EFBF；第3题解图(2)AGBG；证法一：如解图，由折叠可知，12CFC，FCFC，F为CD的中点，FCFD
