1、第 4 章万有引力定律及航天 习题课:天体运动中的三类典型问题 课后篇巩固提升 基础巩固 1.由于通信和广播等方面的需要,许多国家发射了地球同步卫星,这些卫星的( ) A.质量可以不同 B.轨道半径可以不同 C.轨道平面可以不同 D.速率可以不同 解析地球同步卫星轨道必须在赤道平面内,离地面高度相同的同一轨道上,角速度、线速度、周期一 定,与卫星的质量无关。选项 A 正确,B、C、D错误。 答案 A 2. 如图所示,地球赤道上的山丘 e、近地卫星 p和同步卫星 q均在赤道平面上绕地心做匀速圆周运动。 设 e、p、q 的圆周运动速率分别为 v1、v2、v3,向心加速度分别为 a1、a2、a3,则
2、( ) A.v1v2v3 B.v1v2a2a3 D.a1a3a2 解析卫星的速度 v= 地 ,可见卫星距离地心越远,即 r 越大,则速度越小,所以 v3v1=r1,选项 A、B均错误。由 G 地 =ma,得 a= 地 ,同步卫星 q 的轨道半径大于近地卫星 p的轨道半径,可知 q的向心加速度 a3a2。由于同步卫星 q的角速度 与地球自转的角速度相同,即与地球赤道上的山丘 e的角速度相 同,但 q 轨道半径大于 e 的轨道半径,根据 a=2r 可知 a1TT,故 A正确,B 错误; 嫦娥三号在由高轨道降到低轨道时,都要在 P 点进行“刹车制动”,所以经过 P点时,在三个轨道上的线 速度关系为
3、vvv,所以 C 错误;由于嫦娥三号在 P 点时的加速度只与所受到的月球引力有关,故 D正确。 答案 AD 5. a 是地球赤道上一栋建筑,b是在赤道平面内做匀速圆周运动的卫星,c 是地球同步卫星,已知 c到地心 的距离是 b 的二倍,某一时刻 b、c 刚好位于 a 的正上方(如图所示),经 48 h,a、b、c的大致位置是图 中的( ) 解析在某时刻 c 在 a 的正上方,则以后永远在 a 的正上方,对 b和 c,根据 G 地 =m r,推知 Tc=2 Tb,又由 2Tc=nbTb,得 nb=22 =5.66 圈,所以 B正确。 答案 B 6.两个质量不同的天体构成双星系统,它们以二者连线上
4、的某一点为圆心做匀速圆周运动,下列说法 正确的是 ( ) A.质量大的天体线速度较大 B.质量小的天体角速度较大 C.两个天体的向心力大小相等 D.若在圆心处放一个质点,它受到的合力为零 解析双星系统的结构是稳定的,故它们的角速度相等,故 B 项错误;两个星球间的万有引力提供向心 力,根据牛顿第三定律可知,两个天体的向心力大小相等,故 C项正确;根据牛顿第二定律,有 G =m12r1=m22r2 其中:r1+r2=L 故 r1= L r2= L 故 故质量大的天体线速度较小,A 错误; 若在圆心处放一个质点,合力 F=G -G 0,故 D错误。 答案 C 7.某宇宙飞船由运载火箭先送入近地点为
5、 A、远地点为 B的椭圆轨道,在 B点实施变轨后,再进入预 定圆轨道,如图所示。已知飞船在预定圆轨道上飞行 n 圈所用时间为 t,近地点 A距地面高度为 h1,地 球表面重力加速度为 g,地球半径为 R。求: (1)飞船在近地点 A的加速度 aA为多大? (2)远地点 B 距地面的高度 h2为多少? 解析(1)设地球质量为 M,飞船的质量为 m,在 A点飞船受到的地球引力为 F=G ,地球表面的重 力加速度 g=G 由牛顿第二定律得 aA= 。 (2)飞船在预定圆轨道飞行的周期 T= 由牛顿第二定律得 G =m 2(R+h 2) 解得 h2= -R。 答案(1) (2) -R 8. 如图所示,
6、两个星球 A、B组成双星系统,它们在相互之间的万有引力作用下,绕连线上某点做周期相 同的匀速圆周运动。已知 A、B 星球质量分别为 mA、mB,引力常量为 G,求 (其中 L为两星中心距 离,T为两星的运动周期)。 解析设 A、B 两个星球做圆周运动的半径分别为 rA、rB。则 rA+rB=L,对星球 A:G =mArA ,对星 球 B:G =mBrB ,联立以上三式求得 。 答案 能力提升 1.有 a、b、c、d 四颗地球卫星,a 在地球赤道上未发射,b在地面附近近地轨道上正常运动,c是地球同 步卫星,d是高空探测卫星。各卫星排列位置如图,则有( ) A.a 的向心加速度等于重力加速度 g
7、B.b在相同时间内转过的弧长最长 C.c在 4 h内转过的圆心角是 D.d 的运行周期有可能是 20 h 解析对于卫星 a,根据万有引力定律、牛顿第二定律列式可得 G -N=ma向,又由 G =mg,故卫星 a 的向心加速度小于重力加速度 g,选项 A 错误;由 G =m 得,v= ,故轨道半径越小,线速度越大, 故 b、c、d 三颗卫星的线速度的大小关系为 vbvcvd,而卫星 a与同步卫星 c的周期相同,故卫星 c 的线速度大于卫星 a 的线速度,选项 B正确;由 c是地球同步卫星,可知卫星 c在 4 h内转过的圆心角 是 ,选项 C 错误;由 G =m 2r 得,T=2 ,轨道半径越大,
8、周期越长,故卫星 d 的周期大于同步 卫星 c 的周期,选项 D错误。 答案 B 2.(多选)目前,在地球周围有许多人造地球卫星绕着它运转,其中一些卫星的轨道可近似为圆,且轨道 半径逐渐变小。若卫星在轨道半径逐渐变小的过程中,只受到地球引力和稀薄气体阻力的作用,则下 列判断正确的是 ( ) A.卫星的动能逐渐减小 B.由于地球引力做正功,引力势能一定减小 C.由于气体阻力做负功,地球引力做正功,机械能保持不变 D.卫星克服气体阻力做的功小于引力势能的减小 解析由于空气阻力做负功,卫星轨道半径变小,由 G =m 可知,卫星线速度增大,地球引力做正功,引 力势能一定减小,故动能增大,机械能减小,选
9、项 A、C错误,B正确;根据动能定理,卫星动能增大,卫星 克服阻力做的功小于地球引力做的正功,而地球引力做的正功等于引力势能的减小,所以卫星克服阻 力做的功小于引力势能的减小,选项 D正确。 答案 BD 3.(多选)如图所示,甲、乙、丙是位于同一直线上的离其他恒星较远的三颗恒星,甲、丙围绕乙在半径 为 R 的圆轨道上运行,若三颗星质量均为 M,万有引力常量为 G,则( ) A.甲星所受合外力为 B.乙星所受合外力为 C.甲星和丙星的线速度相同 D.甲星和丙星的角速度相同 解析由万有引力定律可知,甲、乙和乙、丙之间的万有引力大小均为 F1=G ,甲、丙之间的万有引 力为 F2=G ,甲星所受两个
10、引力的方向相同,故合力为 F1+F2= ,选项 A 正确;乙星所受 两个引力等大、反向,合力为零,选项 B 错误;甲、丙两星线速度方向始终不同,选项 C 错误;由题知甲、 丙两星周期相同,由角速度定义可知,两星角速度相同,选项 D正确。 答案 AD 4.(多选)(2018全国)2017年,人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波。根据科学家们复 原的过程,在两颗中子星合并前约 100 s 时,它们相距约 400 km,绕二者连线上的某点每秒转动 12 圈。 将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体,由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识,可以 估算出这一时刻两颗中子星 ( ) A.质量之
11、积 B.质量之和 C.速率之和 D.各自的自转角速度 解析设两中子星质量为 m1、m2,环绕半径为 r1、r2,两星间距为 r。所以有 G =m12r1 G =m22r2 可解得 m1= ;m2= 所以 m1+m2= ,故 B项正确; 设两星速率分别为 v1、v2。所以有 v1+v2=(r1+r2)=r 由题意可得 、r,故 C项正确。 答案 BC 5.宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统。其中有一种三星系统如图所示,三颗质量均为 m 的 星体位于等边三角形的三个顶点,三角形边长为 R。忽略其他星体对它们的引力作用,三星在同一平 面内绕三角形中心 O做匀速圆周运动,引力常量为 G。则每颗星做
12、圆周运动的周期为多大? 解析任意两个星体之间的万有引力 F= ,每一颗星体受到的合力 F1= F 由几何关系知,它们的轨道半径 r= R 合力提供它们的向心力 解得 T=2 。 答案均为 2 6.太阳系以外存在着许多恒星与行星组成的双星系统,它们运行的原理可以理解为,质量为 m0的恒星 和质量为 m的行星(m0m),在它们之间的万有引力作用下有规律地运动着。如图所示,我们可认为行 星在以某一定点 C 为中心、半径为 a 的圆周上做匀速圆周运动(图中没有表示出恒星)。设引力常量 为 G,恒星和行星的大小可忽略不计。 (1)试在图中粗略画出恒星运动的轨道。 (2)试计算恒星与点 C 间的距离和恒星的运行速率 v。 解析(1)恒星运动的轨道大致如图。 (2)对行星 m 有 F=m2Rm 对恒星 m0有 F=m02Rm0 根据牛顿第三定律,F与 F大小相等 由得 Rm0= a 对恒星 m0有 =G 代入数据得 v= 。 答案(1)见解析 (2) a
