1、类型四图形形状变化问题类型四图形形状变化问题(2017.27)1.综合与实践综合与实践【问题情境】【问题情境】在平行四边形在平行四边形ABCD中中，E，H，F，G分别为分别为AB，BC，CD，DA边上的边上的点，线段点，线段GH与与EF交于点交于点O.【独立思考】【独立思考】(1)如图如图，A90，GHEF，AB5，ADk.用用k表示表示 的值；的值；EFGH第第1题图题图(1)解：解：如图，过点如图，过点H作作AD的垂线，垂足为的垂线，垂足为M，过点，过点F作作AB的垂线，垂的垂线，垂足为足为N.在四边形在四边形AEOG中，中，AEOG90，AEOAGO180.AEONEF180，NEFAG
2、O.ENFGMH90，ENFGMH，；5kEFGHNFMHADAB第第1题图题图MN依次连接点依次连接点E，G，F，H，E，得到四边形，得到四边形EGFH，若，若AEFC1，求，求k的值与的值与GH的长；的长；EGFHABCDSS四四边边形形矩矩形形35第第1题图题图MN解：解：如图，如图，ENFGMH，.设设 x.S四边形四边形EGFH EFOG EFOH FEGH，S矩形矩形ABCDNFMH，x2.EGFHABCDSS四四边边形形矩矩形形EFNFGHMHEFNFGHMH12121212EF GHNF MH 12 ，x2 ，解得，解得x (负值已舍去负值已舍去)，.MHAB5，GH5 ，EF
3、 NF.AB5，AECF1，ENABAEBN3.EGFHABCDSS四四边边形形矩矩形形305123535305GHMHEFNF30530530第第1题图题图MN在在RtEFN中，由勾股定理得中，由勾股定理得EN2NF2(NF)2，即即32NF2(NF)2，解得解得NF3 (负值已舍去负值已舍去)，k3 ；30530555第第1题图题图MN【拓展探究】【拓展探究】(2)如图如图，连接，连接AO，若，若BAD90，GOE90，且，且 ，OEOG，求证：，求证：BAODAO.第第1题图题图ADABEFGH(2)证明：证明：如图，过点如图，过点B，E作作CD的垂线，分别交的垂线，分别交DC的延长线于
4、点的延长线于点B，E，过点过点A，G作作BC的垂线，的垂线，垂足分别为垂足分别为A，G，EE与与GG交于点交于点P.BEAGPABDC，ABABCB.AABBBC90，ABABCB，.，ADBC，RtGGHRtEEF，GGHEEF.ABBCAABBABBCGGEEADABBCABEFGHEFGHGGEEGHEF第第1题图题图BEAGPPEOGPEEOGOGP，EPGGOE.在四边形在四边形AEPG中，中，PEAAGP90，EPGEAG180，GOEEAG180，A，E，O，G四点共圆四点共圆EOGO，EAODAO.第第1题图题图BEAGP2.【问题解决】【问题解决】如图如图，在菱形，在菱形AB
5、CD中，点中，点P为射线为射线AC上的一点，连接上的一点，连接DP，过点，过点P作作PM，使得，使得DPMBAD180，PM与射线与射线BC交于点交于点M，以，以PD，PM为邻边作平行四边形为邻边作平行四边形DPMN.(1)求证：四边形求证：四边形DPMN为菱形；为菱形；第第2题图题图(1)证明：证明：如图，过点如图，过点P作作PECD于点于点E，PFBC于点于点F，EFPEDPFMPEC90，EPFBCD180.四边形四边形ABCD是菱形，是菱形，DCABCA，BADBCD，PEPF，EPFBAD180.DPMBAD180，DPMEPF，DPEMPF.第第2题图题图EF在在DPE和和MPF中
6、，中，DPEMPF(ASA)，PDPM.四边形四边形DPMN是平行四边形，是平行四边形，四边形四边形DPMN是菱形；是菱形；,PEDPFMPEPFDPEMPF 第第2题图题图EF(2)如图如图，当，当BAD90时，连接时，连接CN，猜想，猜想CN与与AP之间的数量关系，之间的数量关系，并说明理由；并说明理由；第第2题图题图(2)解：解：APCN.理由如下：理由如下：四边形四边形ABCD和四边形和四边形DPMN都是菱形，都是菱形，DPMBAD90，四边形四边形ABCD和四边形和四边形DPMN都是正方形，都是正方形，ADCD，DPDN，ADCPDN90，ADPCDN，ADPCDN(SAS)，APC
7、N；【类比迁移】【类比迁移】(3)在在(2)的条件下，如图的条件下，如图，当点，当点P在在AC的延长线上时，且的延长线上时，且AB3，CP ，求，求PN的长的长2第第2题图题图(3)解：解：由由(2)知四边形知四边形ABCD和四边形和四边形DPMN是正方形，是正方形，ADCD，DPDN，ADCPDN90，DAPDCA45，ADCCDPPDNCDP，即即ADPCDN，ADPCDN(SAS)，APCN，DCNDAP45，ACNDCADCN90，NCP90，在在RtADC中，中，ADDCAB3，AC3 ，CNAPACCP3 4 ，在在RtPCN中中，PN .22223422PCCN 第第2题图题图3
8、.(2017成都成都B卷卷27题题10分分)问题背景问题背景如图如图，等腰，等腰ABC中，中，ABAC，BAC120，作，作ADBC于点于点D，则则D为为BC的中点，的中点，BAD BAC60，于是，于是 .迁移应用迁移应用(1)如图如图，ABC和和ADE都是等腰三角形，都是等腰三角形，BACDAE120，D，E，C三点在三点在同一条直线上，连接同一条直线上，连接BD.i)求证：求证：ADBAEC；12BCAB2BDAB3第第3题图题图(1)i)证明：证明：ABC与与ADE是等腰三角形，是等腰三角形，ADAE，ABAC.DAEBAC120，DAEBAEBACBAE，DABEAC，ADBAEC(
9、SAS)；第第3题图题图ii)请直接写出线段请直接写出线段AD，BD，CD之间的等量关系式；之间的等量关系式；第第3题图题图【解法提示】【解法提示】ADAE，DAE120，DE AD.DEDCEC，DCEC AD，由由i)知，知，ADBAEC，ECDB，DCDB AD，即，即CD ADBD.3333ii)解：解：CD ADBD；3拓展延伸拓展延伸(2)如图如图，在菱形，在菱形ABCD中，中，ABC120，在，在ABC内作射线内作射线BM，作点作点C关于关于BM的对称点的对称点E，连接，连接AE并延长交并延长交BM于点于点F，连接，连接CE，CF.i)证明证明CEF是等边三角形；是等边三角形；第
10、第3题图题图(2)i)证明：证明：如图，连接如图，连接BE，过点，过点B作作BGAE于点于点G.点点C，E关于关于BM对称，对称，BEBC，CFEF，34，EFBCFB，G3412在菱形在菱形ABCD中，中，ABBC，ABBCBE.BGAE，12.ABC120，GBF23 ABC60.在在RtBGF中，中，BGF90，GBF60，则则GFB30，EFC2GFB60.EFFC，CEF是等边三角形；是等边三角形；12第第3题图题图G3412ii)若若AE5，CE2，求，求BF的长的长第第3题图题图ii)解：解：AE5，CE2，EG AE ，EFCE2，GFEGEF .BGF90，GFB30，BF
11、3 .1235292cos30GF 4.在四边形在四边形ABCD中，点中，点E，F分别是边分别是边AB，AD上的点，连接上的点，连接CE，CF并并延长，分别交延长，分别交DA，BA的延长线于点的延长线于点H，G.(1)如图如图，若四边形，若四边形ABCD是菱形，是菱形，ECF BCD，求证：求证：AC2AHAG；12第第4题图题图(1)证明：证明：四边形四边形ABCD是菱形，是菱形，ACDACB BCD，ADBC，CDAB，GDCG，HBCH.ECF BCD，ACDACBECF，1212DCGACH，BCEACG，GACH，HACG，ACGAHC，AC2AHAG；ACAHAGAC第第4题图题图
12、(2)如图如图，若四边形，若四边形ABCD是正方形，是正方形，ECF45，BC4，设，设AEx，AGy，求，求y与与x的函数关系式；的函数关系式；第第4题图题图(2)解：解：如图，连接如图，连接AC.四边形四边形ABCD是正方形，是正方形，ACDACB BCD45，ADBC，CDAB，GDCG，HBCH.ECF45 BCD，ACDACBECF，1212DCGACH，BCEACG，GACH，HACG，ACGAHC，AC2AHAG.BCAB4，AC4 ，y .第第4题图题图ACAHAGAC32AH2BCAD，EAHEBC，AH ，y ；第第4题图题图AEBEAHBC4xx 4AH44xx 328x
13、x 解题关键点连接连接AC，证明，证明ACGAHC，再根据平行线性质得到再根据平行线性质得到EAHEBC，列出比例式求解，列出比例式求解(3)如图如图，若四边形，若四边形ABCD是矩形，是矩形，ABAD12，CGCH，GCH45，求，求tan AHG的值的值第第4题图题图(3)解：解：如图，取如图，取BC中点中点M，过点，过点M作作MNBG，交，交AD于点于点P，交，交CG于点于点N，连接，连接CP.MNBG，M是是BC中点，中点，BC2CM，CG2CN，BG2MN.12CMCBCNCGMNBGMNPCGCH，CGCH2CN.CDBA，MNBG，CDMNBG，1DPPA.ABAD12，设设ABaCD，则，则AD2aBC，CMaDP，且，且BCAD，MCMBDPPA第第4题图题图MNP四边形四边形CDPM是平行四边形，且是平行四边形，且CDDPa，D90，四边形四边形CDPM是正方形，是正方形，CP a.四边形四边形CDPM是正方形，且是正方形，且GCH45，由由(2)可可得得CPNHPC，2，PH2CP2 a，PN CP a，MNa a，AHPHPA2 aa，BG2MN2a a，2PHCPCHNCCPNP222122222第第4题图题图MNPAGBGABa a，tan AHG .2AGAH22 2aaaa 53 27 第第4题图题图MNP
