1、微专题微专题微专题圆的综合题微专题圆的综合题考情及趋势分析成都成都8年年高频点高频点考情及趋势分析考情及趋势分析考情分析考情分析年份年份 题号题号题型题型分值分值考查设问考查设问辅助线作法辅助线作法涉及知识点涉及知识点202317解答题解答题10(1)证线段相等；证线段相等；(2)求线段长求线段长作垂线作垂线锐角三角函数，勾股定理锐角三角函数，勾股定理20221710(1)证角相等；证角相等；(2)求线段长求线段长连接连接CD，构，构造直角三角形造直角三角形等积转化法，相似三角形等积转化法，相似三角形20212010(1)证切线；证切线；(2)求长度；求长度；(3)求长度求长度作垂线作垂线等积
2、转化法，相似三角形等积转化法，相似三角形20202010(1)证切线；证切线；(2)求半径长；求半径长；(3)探究线段数量关系探究线段数量关系连接连接OD，构，构造全等三角形造全等三角形锐角三角函数，全等三角形锐角三角函数，全等三角形微专题圆的综合题微专题圆的综合题考情分析考情分析年份年份 题号题号题型题型分值分值考查设问考查设问辅助线作法辅助线作法涉及知识点涉及知识点201920解答题解答题10(1)证弧相等；证弧相等；(2)求半径求半径长；长；(3)求线段长求线段长(1)连半径；连半径；(2)连连AC，构，构造直角三角形造直角三角形相似三角形相似三角形20182010(1)证切线；证切线；
3、(2)求线段长；求线段长；(3)求线段长求线段长(2)连连DF，构造等腰三角，构造等腰三角形；形；(3)连连EF，构造直角，构造直角三角形三角形相似三角形，锐角相似三角形，锐角三角函数三角函数20172010(1)证切线；证切线；(2)求线段比求线段比值；值；(3)求半径长求半径长连半径连半径相似三角形相似三角形20162010(1)证相似；证相似；(2)求三角函求三角函数值；数值；(3)求半径长求半径长作垂线，均为构造直角三作垂线，均为构造直角三角形角形相似三角形，锐角相似三角形，锐角三角函数三角函数微专题圆的综合题微专题圆的综合题【考情总结】【考情总结】1.题位特点：圆的综合题均在题位特点
4、：圆的综合题均在A卷解答题中考查，以卷解答题中考查，以3问为主；近问为主；近2年连续在年连续在A卷解答题倒数第二个题卷解答题倒数第二个题位考查圆的综合题，设置均是两问；位考查圆的综合题，设置均是两问；2.常考设问及特点：近常考设问及特点：近2年设问均为年设问均为2问，且均不涉及切线的证明；每年必考求线段长或求圆的半径；问，且均不涉及切线的证明；每年必考求线段长或求圆的半径；3.常结合知识点：以锐角三角函数，相似三角形为主常结合知识点：以锐角三角函数，相似三角形为主.微专题圆的综合题微专题圆的综合题一阶一阶 设问突破设问突破突破设问一切线的判定突破设问一切线的判定(8年年4考：考：2021.20
5、，2020.20，2018.20，2017.20)满 分 技 法满 分 技 法证明切线的方法：证明切线的方法：1.当切点确定时，常用的方法有：当切点确定时，常用的方法有：(1)当需要证明的切线有一条垂线时，可证明过切点的半径与这条垂线平行；当需要证明的切线有一条垂线时，可证明过切点的半径与这条垂线平行；微专题圆的综合题微专题圆的综合题(2)利用等角转化证明过切点的半径与需要证明的切线的夹角为利用等角转化证明过切点的半径与需要证明的切线的夹角为90；(3)常在常在“共点双切线模型共点双切线模型”中利用全等三角形证明半径与需要证明的切线中利用全等三角形证明半径与需要证明的切线的夹角为的夹角为90；
6、2.当切点不确定时，常用的方法有：当切点不确定时，常用的方法有：(1)当有角平分线时，利用角平分线的性质证明所作垂线段等于半径；当有角平分线时，利用角平分线的性质证明所作垂线段等于半径；(2)当存在线段相等，角度相等等条件时，利用全等三角形的性质证明所当存在线段相等，角度相等等条件时，利用全等三角形的性质证明所作的垂线段等于半径作的垂线段等于半径微专题圆的综合题微专题圆的综合题1.如图，如图，ABC为等腰三角形，为等腰三角形，ABBC，以，以AB为直径的为直径的O交交AC于点于点D，过点，过点D作作BC的垂线，交的垂线，交BC于点于点E，交，交BA的延长线于点的延长线于点F.求证：求证：EF是
7、是O的切线的切线第第1题图题图ABBC，CBAC.ODOA，ODADAO，证明：证明：如图，连接如图，连接OD.ODAC，ODBC.EFBC，EFOD.OD为为O的半径，的半径，EF是是O的切线的切线类型一切点确定，连半径，证垂直类型一切点确定，连半径，证垂直 微专题圆的综合题微专题圆的综合题2.如图，如图，ABC内接于内接于O，AB是是O的直径，的直径，D是是AB上一点，上一点，CACD，CD的延长线交的延长线交O于点于点E，F为为O外一点，且外一点，且EBFBCE.求求证：证：BF是是O的切线的切线第第2题图题图证明：证明：AB为为O的直径，的直径，ACB90，BCEACE90.ACEAB
8、E，EBFBCE，EBFABE90.AB是是O的直径，的直径，BF是是O的切线的切线微专题圆的综合题微专题圆的综合题3.如图，在如图，在RtABC中，中，ABC90.以以AB为直径的为直径的O交交AC于点于点D，点点F为为BC边的中点，连接边的中点，连接AF，DF.求证：求证：DF是是O的切线的切线第第3题图题图AB为为O的直径，的直径，ADBD.AOBO，CFBF，O，F分别是分别是AB，BC的中点，的中点，OF是是ABC的中位线，的中位线，OFAC，OFBD.证明：证明：如图，连接如图，连接OD，BD，OF.微专题圆的综合题微专题圆的综合题OBOD，OF是是BD的垂直平分线，的垂直平分线，
9、DFBF.在在ODF与与OBF中，中，ODFOBF(SSS)，ODFOBF90，ODDF.OD是是O的半径，的半径，DF是是O的切线的切线,ODOBDFBFOFOF 第第3题图题图微专题圆的综合题微专题圆的综合题4.如图，如图，ABC为等腰三角形，为等腰三角形，O是底边是底边BC的中点，作的中点，作ODAB于点于点D，以以O为圆心，为圆心，OD长为半径作长为半径作O.求证：求证：AC与与O相切相切第第5题图题图ABC为等腰三角形，为等腰三角形，O是底边是底边BC的中点，的中点，AO平分平分BAC，ODAB，OEAC，ODOE.OD是是O的半径，的半径，OE是是O的半径，的半径，AC与与O相切相
10、切证明：证明：如图，连接如图，连接AO，过点，过点O作作OEAC于点于点E，E类型二切点不确定，作垂直，证半径类型二切点不确定，作垂直，证半径 微专题圆的综合题微专题圆的综合题突破设问二与线段有关的问题突破设问二与线段有关的问题(8年年8考：考：2023.17，2022.17，20162021.20)5.如图，如图，A，B，C三点在三点在O上，直径上，直径BD平分平分ABC，E是是BC上一点，上一点，DEBE，过点，过点D作作O的切线，交的切线，交BC的延长线于点的延长线于点F，若，若AD4，DE5，求，求DF的长的长第第5题图题图【思维教练思维教练】遇到角平分线，则考虑构造全等三角形，连接遇
11、到角平分线，则考虑构造全等三角形，连接CD可知可知CDAD，当图中作出辅助线后有直角三角形，利用勾，当图中作出辅助线后有直角三角形，利用勾股定理和三角形相似求长度股定理和三角形相似求长度微专题圆的综合题微专题圆的综合题第第5题图题图BD是是O的直径，的直径，BADBCD90.又又BD平分平分ABC，DCAD4.DE5，在在RtDCE中，中，CE 3，BEDE5，BCCEBE8，BD 4 .22DEDC 22DCBC 5解：解：如图，连接如图，连接DC，微专题圆的综合题微专题圆的综合题DF是是O的切线，的切线，BDFDCBDCF90，FDBFBDCDBF90，FBDC，DCFBCD，即，即 ，D
12、F2 .第第5题图题图DCDFBCBD 484 5DF 5微专题圆的综合题微专题圆的综合题6.如图，如图，AB是是O的直径，弦的直径，弦CDAB，垂足为，垂足为E，弦，弦BF交交CD于点于点G，点点P在在CD的延长线上，且的延长线上，且PF与与O相切若相切若OB10，BF16，BE8，求求PF的长的长第第6题图题图【思维教练思维教练】圆中有直径，连接圆中有直径，连接AF构造构造90的圆周角，利用的圆周角，利用BEGBFA，再根据角与角之间的关系，推出，再根据角与角之间的关系，推出PFGOFA，即可求出线段的长，即可求出线段的长微专题圆的综合题微专题圆的综合题第第6题图题图OB10，AB20.A
13、B为为O的直径，的直径，AFB90.又又GEB90，GBEABF，BEGBFA，BGEA.BF16，BE8，BGBEBABF 解：解：如图，连接如图，连接AF，OF，微专题圆的综合题微专题圆的综合题 ，BG10，FGBFBG6，GE 6，在在RtABF中，中，AB20，BF16，AF 12.PF与与O相切，相切，OFP90.AFOOFBOFBGFP90，第第6题图题图82016BG 22BGBE 22ABBF 微专题圆的综合题微专题圆的综合题AFOGFP.又又PGFBGE，AAFOPFGPGF，PFGOFA，即，即 ，PF5.第第6题图题图PFFGOFFA 61012PF 微专题圆的综合题微专
14、题圆的综合题7.如图，如图，AB为为O的弦，过点的弦，过点O作作OA的垂线，交的垂线，交O于点于点C，交，交AB于点于点D，交过点，交过点B的切线于点的切线于点E.求证：求证：EBED.第第7题图题图【思维教练思维教练】圆中有切线，连接圆中有切线，连接OB，构造，构造90的角，再根据的角，再根据OACE，得到得到AOD90，倒角得到三角形两个底角相等，即，倒角得到三角形两个底角相等，即可证明三角形的两腰相等可证明三角形的两腰相等BE是是O的切线，切点为的切线，切点为B，OBBE，即即DBEOBD90.证明：证明：如图，连接如图，连接OB.微专题圆的综合题微专题圆的综合题OACE，AOD90，O
15、ADODA90.OAOB，OBDOAD.DBEODA，又又ADOBDE，BDEDBE，EBED.第第7题图题图微专题圆的综合题微专题圆的综合题8.如图，已知四边形如图，已知四边形ABCD内接于内接于O，弦，弦DEAB，垂足为，垂足为F，ADC90.求证：求证：DEBC.第第8题图题图【思维教练思维教练】根据圆内接四边形对角互补，得到根据圆内接四边形对角互补，得到B90，再根据，再根据DEAB得到得到AFD90，由同位角相等可推出两直线平行，由同位角相等可推出两直线平行证明：证明：四边形四边形ABCD内接于内接于O，BADC180.ADC90，B90.微专题圆的综合题微专题圆的综合题DEAB，A
16、FD90，AFDB，DEBC.第第8题图题图微专题圆的综合题微专题圆的综合题证明：证明：OBOD，ABCODB.ABAC，ABCACB，ODBACB，ODAC.DE是是O的切线，的切线，DEOD，DEAC.9.如图，在如图，在ABC中，中，ABAC，以，以AB为直径的为直径的O交交BC于点于点D，连接，连接OD，过点，过点D作作O的切线的切线DE，交，交AC于点于点E.求证：求证：DEAC.第第9题图题图【思维教练思维教练】由于由于DEOD，要证，要证DEAC，只需推出，只需推出ODAC.微专题圆的综合题微专题圆的综合题10.(2023杭州改编杭州改编)如图，在如图，在O中，直径中，直径AB垂
17、直弦垂直弦CD于点于点E，连接，连接AC，AD，BC，作，作CFAD于点于点F，交线段，交线段OB于点于点G(不与点不与点O，B重合重合)，连接，连接OF.求证：求证：BC2BGBO.第第10题图题图【思维教练思维教练】要证明要证明BC2BGBO，可利用三角形相似求证，即证明，可利用三角形相似求证，即证明ACBCEB，得到，得到BC2BEAB，再根据圆周角定，再根据圆周角定理和垂径定理可证理和垂径定理可证OB AB，BG2BE，等量代换即，等量代换即可求证可求证12微专题圆的综合题微专题圆的综合题证明：证明：直径直径AB垂直弦垂直弦CD，AED90，DAED90.CFAD，FCDD90，DAE
18、FCD，由圆周角定理得由圆周角定理得DAEBCD，BCDFCD，在在BCE和和GCE中，中，第第10题图题图微专题圆的综合题微专题圆的综合题BCEGCE(ASA)，BEGE.ACBCEB90，ABCCBE，ACBCEB，BC2BABE.AB2BO，BE BG，BC2BABE2BO BGBGBO.第第10题图题图,BCEGCECECEBECGEC BCBABEBC 1212微专题圆的综合题微专题圆的综合题突破设问三与角度有关的问题突破设问三与角度有关的问题(2022.17)11.如图，如图，A，B，C是是O上任意三点，上任意三点，ABBC，过点，过点A作作ADBC交过交过点点C的的O的切线于点的
19、切线于点D，连接，连接OB，OC，若，若ABC46，求，求ADC的的度数度数第第11题图题图【思维教练思维教练】要求要求ADC的度数，根据两直线平行，同旁内角互补，的度数，根据两直线平行，同旁内角互补，只需要求出只需要求出BCD，再根据切线与半径，再根据切线与半径OC的夹角为的夹角为直角和半径相等，连接直角和半径相等，连接OA，可知，可知OCBOBCOABOBA，即可求解，即可求解微专题圆的综合题微专题圆的综合题第第11题图题图ABBC，BOCAOB.OBOCOA，BCOOBCOABOBA.ABC46，OCBOBC ABC23.CD是是O的切线，的切线，OCCD，12解：解：如图，连接如图，连
20、接OA，微专题圆的综合题微专题圆的综合题OCD90，BCDBCOOCD113.BCAD，ADC180BCD18011367.第第11题图题图微专题圆的综合题微专题圆的综合题12.如图，线段如图，线段AB为为O的直径，点的直径，点C为为O上一点，连接上一点，连接BC，取，取的中点的中点D，连接，连接AD，CD.求证：求证：ABC2OAD.ABC第第12题图题图【思维教练】【思维教练】由由D是是 的中点，连接的中点，连接DO并延长交并延长交O于于G，推出，推出ADGCDG，再根据半径相等，得到再根据半径相等，得到OADGDA，进而得到，进而得到OAD ADC，再根据同弧所对的圆周角相等得到再根据同
21、弧所对的圆周角相等得到ADCABC，倒角得到两倍的角度关系倒角得到两倍的角度关系ABC12微专题圆的综合题微专题圆的综合题点点D是是 的中点，的中点，AGDCGD.又又DG是是O的直径，的直径，DCGDAG90，ADG180DAGAGD，CDG180DCGCGD，ADGCDG.又又OAOD，第第12题图题图ABCADCD G证明：证明：如图，连接如图，连接DO并延长交并延长交O于于G，连接，连接AG，CG.微专题圆的综合题微专题圆的综合题OADADG，OAD ADC.ADCABC，OAD ABC，即即ABC2OAD.第第12题图题图G1212微专题圆的综合题微专题圆的综合题突破设问四与三角函数
22、有关的问题突破设问四与三角函数有关的问题(8年年5考：考：2023.17，2022.17，2020.20，2018.20，2016.20)13.如图，在菱形如图，在菱形ABCD中，对角线中，对角线AC，BD相交于点相交于点E，O经过经过A，D两点，交对角线两点，交对角线AC于点于点F，连接，连接OF交交AD于点于点G，且，且AGGD.已知已知O的的半径与菱形的边长之比为半径与菱形的边长之比为58，求，求tan ADB的值的值第第13题图题图【思维教练思维教练】由菱形的性质和垂径定理可将求由菱形的性质和垂径定理可将求ADB转化为求转化为求AFG，结合题中的比例关系，表示出，结合题中的比例关系，表
23、示出AG，FG的长度，解三角形即可的长度，解三角形即可微专题圆的综合题微专题圆的综合题第第13题图题图AGGD，AGDG4x.OF是是O的半径，的半径，OFAD.在在RtAOG中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得OG3x，则，则FGOFOG2x，tan AFG 2.四边形四边形ABCD是菱形，是菱形，ACBD，42AGxFGx 解：解：如图，连接如图，连接OA，设，设OAOF5x，则，则AD8x.微专题圆的综合题微专题圆的综合题AGFAED90，FAGDAE，ADEAFG，tan ADBtan AFG2.第第13题图题图微专题圆的综合题微专题圆的综合题二阶二阶 综合综合训练训练1.(2023成
24、都成都17题题10分分)如图，以如图，以ABC的边的边AC为直径作为直径作O，交，交BC边于边于点点D，过点，过点C作作CEAB交交O于点于点E，连接，连接AD，DE，BADE.(1)求证：求证：ACBC；第第1题图题图(1)证明：证明：CEAB，BACACE.，ACEADE，BACADE.又又BADE，BBAC，ACBC；AEAE 微专题圆的综合题微专题圆的综合题(2)解：解：设设BDx，AC是是O的直径，的直径，ADCADB90.tan B2,2，即，即AD2x.根据根据(1)中的结论，可得中的结论，可得ACBCBDDCx3，根据勾股定理，得根据勾股定理，得AD2DC2AC2，即，即(2x
25、)232(x3)2，解得解得x12，x20(舍去舍去)，ADBD(2)若若tan B2，CD3，求，求AB和和DE的长的长第第1题图题图微专题圆的综合题微专题圆的综合题BD2，AD4，AB .如图，过点如图，过点E作作DC的垂线，交的垂线，交DC的延长线于点的延长线于点F，第第1题图题图EFCF222 5ADBD FBCAC，ACB1802B.又又CEAB，ECFB.EFCF，tan ECFtan B2，即，即 2.BBAD90，ADEEDF90，BADE，BADEDF，微专题圆的综合题微专题圆的综合题DEF90EDF90BADB，2.设设CFa，则，则DFDCCF3a，EF2a，可得方程可得
26、方程 2，解得，解得a1，经检验，经检验，a1是分式方程的解，是分式方程的解，EF2，DF4，DE .第第1题图题图DFEF222 5DFEF 32aa F解题关键点由由AC是直径，得是直径，得ADC90，则利用勾股定理求得，则利用勾股定理求得AB长；过点长；过点E作作DC的垂线，交的垂线，交DC的延长线于点的延长线于点F，结合已知条件得，结合已知条件得tan BtanDEF，求得求得CF的长的长微专题圆的综合题微专题圆的综合题2.(2022成都成都17题题10分分)如图，在如图，在RtABC中，中，ACB90，以，以BC为直为直径作径作O，交，交AB边于点边于点D，在，在 上取一点上取一点E
27、，使，使 ，连接，连接DE，作射线作射线CE交交AB边于点边于点F.(1)求证：求证：AACF；CDCDBE第第2题图题图(1)证明：证明：，FCBB.ACB90，ACFFCB90，AB90，AACF；BECD 微专题圆的综合题微专题圆的综合题(2)若若AC8，cos ACF ，求，求BF及及DE的长的长45第第2题图题图(2)解：解：如图，连接如图，连接CD.由由(1)知知AACF，BFCB，AFFCFB，cos Acos ACF ，.AC8，AB AC 810，AFBF5.在在RtABC中，中，BC 6.4545ACAB 545422ABAC 微专题圆的综合题微专题圆的综合题BC是是O的直径，的直径，CDB90，CDAB.SABC ACBC ABCD，CD ，BD ，DFBFBD5 .DEFDEC180，DECB180，第第2题图题图1212245222224186()55BCCD 18575微专题圆的综合题微专题圆的综合题DEFBFCB，DECB，DEFBCF，DE .第第2题图题图DEDFBCBF 7565DE 4225微专题圆的综合题微专题圆的综合题请完成精练本习题请完成精练本习题
