1、 考点精讲考点精讲1 重难点分层练重难点分层练2 内蒙古中考真题及拓展内蒙古中考真题及拓展3等腰三角形的性质与判定性质判定面积公式等边三角形的性质与判定性质判定面积公式性质判定面积公式直角三角形的性质与判定等腰直角三角形的性质与判定性质判定面积公式等腰三角形与直角三角形考点精讲考点精讲 【对接教材】【对接教材】北师：八上第一章北师：八上第一章P1P19，八下第一章八下第一章P2P21；人教：八上第十三章人教：八上第十三章P75P84，八下第十七章八下第十七章P21P39.1考点考点等腰三角形的性质与判定等腰三角形的性质与判定性质性质1.两腰两腰_；2.两个底角两个底角_(简写成简写成“等边对等
2、角等边对等角”)；3.等腰三角形的等腰三角形的_、_、_相相互重合互重合(简称简称“三线合一三线合一”)；4.是轴对称图形，有是轴对称图形，有_条对称轴，其对称轴为底边上的高条对称轴，其对称轴为底边上的高(底边上的中底边上的中线或顶角的平分线线或顶角的平分线)所在的直线所在的直线 判定判定1.有两边相等的三角形是等腰三角形有两边相等的三角形是等腰三角形(定义定义)；2.有两个角相等的三角形是等腰三角形有两个角相等的三角形是等腰三角形(简写成简写成“等角对等边等角对等边”)相等相等相等相等顶角的平分线顶角的平分线底边上的中线底边上的中线底边上的高线底边上的高线1面积公式面积公式S ah，其中，其
3、中a是底边长，是底边长，h是底边上的高是底边上的高【满分技法】涉及等腰三角形的边、角问题不明确时，常常分情况进行讨论，看某【满分技法】涉及等腰三角形的边、角问题不明确时，常常分情况进行讨论，看某条边是底边还是腰，看角是底角还是顶角条边是底边还是腰，看角是底角还是顶角122考点考点等边三角形的性质与判定等边三角形的性质与判定性质性质1.具有等腰三角形的所有性质；具有等腰三角形的所有性质；2.三边三边_；3.三个内角都相等，且每个角都等于三个内角都相等，且每个角都等于_；4.是轴对称图形，有是轴对称图形，有_条对称轴，其对称轴为每一条边上的高条对称轴，其对称轴为每一条边上的高(或每一条边或每一条边
4、上中线或顶角的平分线上中线或顶角的平分线)所在的直线所在的直线判定判定1.三边都相等的三角形是等边三角形三边都相等的三角形是等边三角形(定义定义)；2.三个角都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；3.有一个角是有一个角是_的等腰三角形是等边三角形的等腰三角形是等边三角形面积面积公式公式S ah a2，其中，其中a是等边三角形的边长，是等边三角形的边长，h是任意边上的高，是任意边上的高，h a123432相等相等603603考点考点直角三角形的性质与判定直角三角形的性质与判定性质性质1.两锐角之和等于两锐角之和等于_；2.斜边上的中线等于斜边上的中线等于_；3.在直角三角
5、形中，如果一个锐角等于在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于，那么它所对的直角边等于_；4.勾股定理：若直角三角形的两直角边分别为勾股定理：若直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为，斜边为c，则有，则有_；5.在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于的锐角等于_(在解答过程中需要证明在解答过程中需要证明)90斜边的一半斜边的一半斜斜a2b230边的一半边的一半c2判定判定1.有一个角为有一个角为90的三角形是直角三角形；的三角形是直角三角形；2.有两个角互余的三角形是直角三
6、角形；有两个角互余的三角形是直角三角形；3.勾股定理逆定理：如果三角形的三边长分别为勾股定理逆定理：如果三角形的三边长分别为a，b，c，若满足，若满足_，那么这个三角形为直，那么这个三角形为直角三角形；角三角形；4.如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形为直角三如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形为直角三角形角形(解答题使用时需证明解答题使用时需证明)面积面积公式公式S ab ch(其中其中a，b为两条直角边，为两条直角边，h是斜边是斜边c上的高上的高)1212a2b2c2(答案不唯一，答案不唯一，a2c2b2或或b2c2a2)4考点考点等腰直角三角形的性质与
7、判定等腰直角三角形的性质与判定性质性质1.具有直角三角形的所有性质；具有直角三角形的所有性质；2.两直角边相等，即两直角边相等，即ACBC；3.两锐角相等且都等于两锐角相等且都等于_判定判定1.顶角为顶角为_的等腰三角形是等腰直角三角形；的等腰三角形是等腰直角三角形；2.有两个角为有两个角为_的三角形是等腰直角三角形；的三角形是等腰直角三角形；3.有一个角为有一个角为45的的_三角形是等腰直角三角形；三角形是等腰直角三角形；4._相等的直角三角形是等腰直角三角形相等的直角三角形是等腰直角三角形面积面积公式公式S a2 ch c2 ah(a为直角边的长，为直角边的长，h为斜边为斜边c上的高上的高
8、)12141222459045直角直角两直角边两直角边第1题图证明：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合证明：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简称简称“三线三线合一合一”)1.已知：如图，在已知：如图，在ABC中，中，ABAC，AD是是BC边的中线边的中线求证：求证：AD平分平分BAC，ADBC.【自主作答】【自主作答】证明：证明：在在ABC中，中，ABAC，AD是是BC边的中线，边的中线，BDDC.在在ABD和和ACD中，中，回归教材回归教材 ABDACD(SSS)，BADCAD，BDACDA.BDACDA180，BDACDA90，AD平分平分B
9、AC，ADBC.,ABACBDDCADAD 第1题图证明：在直角三角形中，如果一个锐角等于证明：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的，那么它所对的直角边等于斜边的一半一半2.已知：如图，已知：如图，ABC是直角三角形，是直角三角形，C90，A30.求证：求证：BC AB.【自主作答】【自主作答】12第2题图证明：如解图，延长证明：如解图，延长BC至点至点D，使，使CDBC，连接，连接AD，D ACB90，BAC30，ACD90，B60.ACAC，ABCADC(SAS)，ABAD，ABD是等边三角形，是等边三角形，BC BD AB.1212第2题解图D例例1 如图如
10、图，已知，已知ABC，ABAC，D为为BC上一点，上一点，E为为AC上一点，连接上一点，连接AD，DE.重难点分层练重难点分层练一题多设问一题多设问例1题图一、等腰三角形的相关证明与计算一、等腰三角形的相关证明与计算回顾必备知识回顾必备知识(1)若若BAC50，BAD40，ADAE，则，则B的度数为的度数为_，EDC的度数为的度数为_；6520【解题依据】第一空用到的等腰三角形的性质为【解题依据】第一空用到的等腰三角形的性质为_等腰三角形的两底角等腰三角形的两底角相等相等例1题图(2)在在ABC中，若一边长为中，若一边长为10，一边长为，一边长为16，则，则ABC的周长为的周长为_；(3)若若
11、AB10，BC16，则，则ABC的面积为的面积为_，AB边上高为边上高为_；36或或4248485例1题图(4)如图如图，AD为为BC边上的中线，边上的中线，DEAC，BC10.若若BAD30，则，则ABC的面积为的面积为_，CDE的度数为的度数为_，CE的长为的长为_；【判定依据】此处用到的三角形判定依据为【判定依据】此处用到的三角形判定依据为_若若AB13，则点，则点D到到AB的距离为的距离为_例1题图30有一个角是有一个角是60的等腰三角的等腰三角25 352形是等边三角形形是等边三角形6013例例2 已知已知ABC为等腰三角形，为等腰三角形，ABAC，ADBC，点，点E是是AC上一点，
12、连接上一点，连接BE交交AD于点于点G.(1)如图如图，BE是是AC边上的高边上的高若若BAC40，则，则AGE的度数为的度数为_；一题多设问一题多设问图例2题图【解法提示】【解法提示】ABAC，ADBC，BAC40，CADBAD20.BE是是AC边上的高，边上的高，BEA90，AGE70；70提升关键能力提升关键能力若若AB13，BC10，则，则BE的长为的长为_；图例2题图【解法提示】由题意得，【解法提示】由题意得，ABAC13，BC10，ADBC，BDCD5，AD 12，BE是边是边AC的高，的高，SABC BCAD ACBE，BE .22ABBD 121212013BC ADAC 12
13、013为为_；(2)如图如图，若，若BE是是AC边上的中线，边上的中线，ABAC13，BC10，则，则GE的长的长例2题图【解法提示】【解法提示】在等腰在等腰ABC中，中，ABAC13，ADBC，BC10，BDCD BC5，在在RtACD中，中，AD 12.如解图如解图，过点，过点E作作EFBC，则，则EFAD，22ACCD 1222135 点点E为为AC的中点，的中点，点点F为为AD的中点，即的中点，即EF为为ACD的中位线，的中位线，FD AD6，EF CD .EFBC，125212FEGFBGD，GF FD2，在在RtGEF中，中，GE .1322EFGF 22522 41212GFEF
14、GDBD GE的长为的长为412例2题图F(3)如图如图，BE是是ABC的平分线的平分线若若BAC36，写出图中所有的等腰三角形，并说明理由；，写出图中所有的等腰三角形，并说明理由；例2题图ABC，ABE，CBE，理由如下：，理由如下：由题意可知由题意可知ABC是等腰三角形，是等腰三角形，BAC36，ABCACB72.BE是是ABC的平分线，的平分线，ABEEBC36，BAEABE，即，即ABE是等腰三角形是等腰三角形在在BCE中，中，BEC180ACBEBC72，BCEBEC，即，即BCE是等腰三角形；是等腰三角形；当当AB13，BC10，求，求AG的长的长如解图，过点如解图，过点G作作GH
15、AB交交AB于点于点H，H等腰等腰ABC中，中，ABAC13，ADBC，BC10，BDCD BC5，在在RtABD中，中，AD 12，SABD 51230.SABDSABGSDBG，30 13HG 5DG.122222135ABBD 121212例2题图BE是是ABC的平分线，的平分线，HGDG，30 13DG 5DG，解得解得DG ，AGADDG12 ；1212103103263H例2题图(4)如图如图，若，若BAC60，AB6，CE2AE，求，求SABE和和DG的长的长(4)如解图，过点如解图，过点E作作EFAB于点于点F，作，作EHBC交交AB于点于点H，交，交AD于于点点M，FHMCE
16、2AE，ACAB6，AE2.EFAB，BAC60，EFAEsin60 ，AFAEcos601，SABE ABEF 6 3 ，3123312例2题图由题意知，由题意知，ABC为等边三角形，为等边三角形，AE2，CE4，BDCD3，AD ，EHBC，AHEABC，AM ，MD ，EM 1.EMBD，EMGBDG，.MGDG ，MG ，DG .322ABBD 3 313AMAEADAC 2 322AEAM 13MGEMDGBD 2 3323 32FHM例2题图二、直角三角形的相关证明与计算二、直角三角形的相关证明与计算例例3 ABC为直角三角形，为直角三角形，ACB90，点，点D为为AB上的一点，连
17、接上的一点，连接CD.(1)若若A40，则，则B_；一题多设问一题多设问例3题图50回顾必备知识回顾必备知识(2)如图如图，当点，当点D为为AB的中点，的中点，B30时时若若AB10，则，则CD_，AC_；【解题依据】第一空用到的直角三角形的性质为【解题依据】第一空用到的直角三角形的性质为_；第二空用到的直角三角形的性质为；第二空用到的直角三角形的性质为_.若若ACD的面积为的面积为9 ，则，则AC_，BCD的周长为的周长为_；355直角三角形斜边上的中直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半线等于斜边的一半在直角三角形在直角三角形中，中，30角所对的直角边等于斜边的一半角所对的直角边等于斜边的一
18、半6126 3 例3题图(3)如图如图，当，当CDAB时，时，若若AC3，AB5，则，则CD_，SABC_；若若AC2 ，AB4 ，则，则ACD_；若若B45，AC2，则，则BD _；(4)若若BCAB8，AC4，则，则BC的长为的长为_3312563023例3题图例例4 在在ABC中，中，ACB90，点，点D是是BC上一点，点上一点，点E是是AB上一点上一点(1)如图如图，若，若B30，ADC45，DEAB于点于点E，AB4，则，则DE的长为的长为_；一题多设问一题多设问例4题图(2)如图如图，若，若AD平分平分CAB，DEAD交交AB于点于点E，M为为AE的中点，的中点，BD2，CD1，则
19、，则ME的长为的长为_；31 2 33提升关键能力提升关键能力(3)如图如图，若点，若点D是是BC的中点，的中点，AC6，BC8，点，点E是边是边AB上的动点，上的动点，要使要使BED为直角三角形，则为直角三角形，则BE的长为的长为_；(4)如图如图，B45，AC4，DB1，点，点E为为AB上一动点，则上一动点，则CEDE的最小值为的最小值为_图图例4题图5或或16517等腰三角形的相关计算等腰三角形的相关计算(包头包头5考，呼和浩特考，呼和浩特4考，赤峰考，赤峰2考考)内蒙古中考真题及拓展内蒙古中考真题及拓展1命题点命题点1.(2022包头、巴彦淖尔包头、巴彦淖尔10题题3分分)已知等腰三角
20、形的三边长分别为已知等腰三角形的三边长分别为a、b、4.且且a、b是关于是关于x的一元二次方程的一元二次方程x212xm20的两根，则的两根，则m的值是的值是()A.34 B.30C.30或或34 D.30或或36A拓 展 训 练拓 展 训 练2.(2023陕西陕西)如图，如图，AB、BC、CD、DE是四根长度均为是四根长度均为5 cm的火柴棒，的火柴棒，点点A、C、E共线若共线若AC6 cm，CDBC，则线段，则线段CE的长度为的长度为()A.6 cm B.7 cm C.6 cm D.8 cm第2题图2D3.(2023绍兴绍兴)如图，在如图，在ABC中，中，ABAC，B70，以点，以点C为圆
21、心，为圆心，CA长为半径作弧，交直线长为半径作弧，交直线BC于点于点P，连接，连接AP，则，则BAP的度数是的度数是_.第3题图15或或754.(2023江西江西)如图，在如图，在ABC中，中，A40，ABC80，BE平分平分ABC交交AC于点于点E，EDAB于点于点D，求证：，求证：ADBD.第4题图证明：证明：BE平分平分ABC，ABC80，EBA ABC 8040.又又A40，EBAA，BEAE，AEB为等腰三角形为等腰三角形又又EDAB，ADBD.1212直角三角形的相关证明与计算直角三角形的相关证明与计算(包头包头6考，呼和浩特考，呼和浩特6考，考，赤峰赤峰2考考)2命题点命题点第5
22、题图5.(2022包头包头8题题3分分)如图，在如图，在RtABC中，中，ACB90,D是是AB的中点，的中点，BECD，交，交CD的延长线于点的延长线于点E.若若AC2，BC2 ，则，则BE的长为的长为()A.B.C.D.22 636232A6.(2022包头包头20题题3分分)如图，在如图，在RtABC中，中，ABC90，BC3，D为斜边为斜边AC的中点，连接的中点，连接BD，F是是BC边上的动点边上的动点(不与点不与点B，C重合重合)，过，过点点B作作BEBD交交DF延长线于点延长线于点E，连接，连接CE.下列结论：下列结论：若若BFCF，则，则CE2AD2DE2；若若BDEBAC，AB
23、4，则，则CE ；ABD和和CBE一定相似；一定相似；若若A30，BCE90，则，则DE .其中正确的是其中正确的是_(填写所有正确结论的序号填写所有正确结论的序号)第6题图158217.(2022呼和浩特呼和浩特18题题6分分)如图，在如图，在ABC中，内角中，内角A、B、C所对边分所对边分别为别为a、b、c.(1)若若a6，b8，c12，请直接写出，请直接写出A与与B的和与的和与C的大小关系；的大小关系；第7题图(1)解：解：CAB；(2)求证：求证：ABC的内角和等于的内角和等于180；第7题图(2)证明：如解图所示，过点证明：如解图所示，过点B作作DEAC，DE则则AABD，CCBE.
24、ABDABCCBE180，AABCC180，即即ABC的内角和等于的内角和等于180；(3)若若 ，求证：，求证：ABC是直角三角形是直角三角形1()2abcaabcc 第7题图(3)证明：原式可变形为证明：原式可变形为 ，(ac)2b22ac，a22acc2b22ac，a2c2b2，ABC是直角三角形是直角三角形2aacbacbc 拓 展 训 练拓 展 训 练8.(2023雅安雅安)如图，在如图，在RtABC中，中，ABC90，BF是是AC边上的中边上的中线，线，DE是是ABC的中位线，若的中位线，若DE6，则，则BF的长为的长为()A.6 B.4 C.3 D.5第8题图A9.(2023苏州
25、苏州)如图，在如图，在RtABC中，中，C90，AFEF，若，若CFE72，则，则B_.第9题图5410.(2023随州随州)如图，在如图，在RtABC中，中，ACB90，O为为AB的中点，的中点，OD平分平分AOC交交AC于点于点G，ODOA，BD分别与分别与AC，OC交于点交于点E，F，连接连接AD，CD，则，则 的值为的值为_；若；若CECF，则，则 的值为的值为_.OGBCCFOF第10题图12211.(2023福建福建)如图，在如图，在RtABC中，中，ACB90.线段线段EF是由线段是由线段AB平移得到的，点平移得到的，点F在边在边BC上，上，EFD是以是以EF为斜边的等腰直角三角
26、形，为斜边的等腰直角三角形，且点且点D恰好在恰好在AC的延长线上的延长线上(1)求证：求证：ADEDFC；第11题图证明：证明：(1)在等腰在等腰RtEDF中，中，EDF90，ADEADF90.ACB90，DFCADFACB90，ADEDFC；(2)求证：求证：CDBF.第11题图(2)如解图，连接如解图，连接AE，由平移的性质得由平移的性质得ABEF，ABEF，四边形四边形AEFB是平行四边形，是平行四边形，BFAE，EADACB90.DCF180ACB90，EADDCF.EDF是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，DEDF.由由(1)得得ADEDFC，AEDCDF，AECD，CDBF.第11题图
