1、微专题微专题10考情及趋势分析考情分析考情分析年份年份题号题号题型题型分值分值背景背景图形变化方式图形变化方式辅助圆辅助圆最值类型最值类型 结合知识点结合知识点202315填空题填空题3等腰直角三角形等腰直角三角形线段旋转线段旋转定点定长作圆定点定长作圆 点圆最值点圆最值勾股定理勾股定理202215填空题填空题3矩形矩形(图形不固定图形不固定)折叠折叠定点定长作圆定点定长作圆/相似，勾股相似，勾股定理定理202115填空题填空题3等腰直角三角形等腰直角三角形折叠折叠定点定长作圆定点定长作圆/平行线分线平行线分线段成比例段成比例2020 22(3)解答题解答题2等腰三角形直角等腰三角形直角旋转三
2、角形旋转三角形定点定长作圆定点定长作圆 点圆最值点圆最值勾股定理勾股定理201915填空题填空题3图形不固定图形不固定折叠折叠定点定长作圆定点定长作圆/相似，勾股相似，勾股定理定理201815填空题填空题3正方形正方形折叠折叠定点定长作圆定点定长作圆/勾股定理勾股定理一阶一阶 方法训练方法训练方法一点圆最值方法一点圆最值方 法 解 读方 法 解 读已知平面内一定点已知平面内一定点D和和O，点，点E是是O上一动点，设点上一动点，设点O与点与点D之间距离之间距离为为d，O半径为半径为r.位置关系位置关系点点D在在O内内点点D在在O上上点点D在在O外外图示图示DE的最大值的最大值dr2rdr此时点此
3、时点E的位置的位置连接连接DO并延长交并延长交O于点于点EDE的最小值的最小值rd0dr此时点此时点E的位置的位置连接连接OD并延长交并延长交O于点于点E点点E与点与点D重合重合连接连接OD交交O于点于点E【应用依据】直径是圆中最长的弦【应用依据】直径是圆中最长的弦1.如图，在如图，在RtABC中，中，ABC90，点，点D是边是边BC的中点，以点的中点，以点D为为圆心，圆心，BD长为半径作长为半径作D，点，点E是是D上一点，若上一点，若AB8，BC6，则线，则线段段AE长的最小值为长的最小值为_第第1题图题图733 2.如图，如图，AB是是O的直径，点的直径，点C是是O内一点，内一点，ACBC
4、，点，点D是是O上上一点，连接一点，连接CD，若，若ACB120，ABC的面积为的面积为 ，则线段，则线段CD长长的最小值为的最小值为_，最大值为，最大值为_第第2题图题图4 32 32 2 32 方法二线圆最值方法二线圆最值已知已知O及直线及直线l，O的半径为的半径为r，点，点Q为为O上一动点，圆心上一动点，圆心O与直线与直线l之之间的距离为间的距离为d.方 法 解 读方 法 解 读位置关系位置关系直线与直线与O相离相离直线与直线与O相切相切直线与直线与O相交相交图示图示点点Q到直线到直线l距离的距离的最大值最大值dr2rdr位置关系位置关系直线与直线与O相离相离直线与直线与O相切相切直线与
5、直线与O相交相交图示图示此时点此时点Q的位置的位置过点过点O作直线作直线l的垂线，其反向延长线与的垂线，其反向延长线与O的交点，的交点，即为点即为点Q点点Q到直线到直线l距离的距离的最小值最小值dr00此时点此时点Q的位置的位置过点过点O作直线作直线l的的垂线，与垂线，与O的的交点即为点交点即为点Q直线直线l与与O的交点即为点的交点即为点Q3.如图，在等腰如图，在等腰ABC中，中，ABAC5，BC6，以点，以点A为圆心，为圆心，2为半为半径作圆，圆上动点径作圆，圆上动点P到到BC的距离的最小值为的距离的最小值为_，最大值为，最大值为_第第3题图题图264.如图，已知如图，已知AB为为O的弦，点
6、的弦，点P为为O上一点，若上一点，若APB45，AB4，则，则ABP面积的最大值为面积的最大值为_第第4题图题图44 2 方法三定点定长作圆方法三定点定长作圆 (9年年5考考)已知平面内一定点已知平面内一定点A和一动点和一动点B，若，若AB长度固定，则动点长度固定，则动点B的轨迹是以点的轨迹是以点A为圆心，为圆心，AB长为半径的圆长为半径的圆(如图如图)(依据：圆的定义，圆是平面上所有到定点的距离等于定长的点的集合依据：圆的定义，圆是平面上所有到定点的距离等于定长的点的集合)方 法 解 读方 法 解 读推广：在旋转或折叠问题中，有时会利用推广：在旋转或折叠问题中，有时会利用“定点定长作圆定点定
7、长作圆”模型确定动点模型确定动点的运动轨迹的运动轨迹5.如图，在如图，在RtABC中，中，AB6，BAC60，将，将AC边绕点边绕点A逆时针逆时针旋转，点旋转，点C的对应点为的对应点为C，当点，当点C第一次落在线段第一次落在线段BA的延长线上时，点的延长线上时，点C运动的路径长为运动的路径长为_第第5题图题图 2方法四直角对直径方法四直角对直径如图，在如图，在ABC中，中，AB的长为定值，点的长为定值，点C为动点，为动点，C90，则点，则点C的的轨迹是以轨迹是以AB为直径的圆为直径的圆(不含不含A，B两点两点)方 法 解 读方 法 解 读注：作出辅助圆是关键，计算时结合求点圆、线圆最值等方法进
8、行相关注：作出辅助圆是关键，计算时结合求点圆、线圆最值等方法进行相关计算计算6.如图，在正方形如图，在正方形ABCD中，中，BC4，点，点E为正方形内一点，且为正方形内一点，且BEC90，连接，连接DE，则，则DE的最小值为的最小值为_第第6题图题图2 52 方法五四点共圆方法五四点共圆(1)同侧型：同侧型：AB为为ABC和和ABD的公共边，点的公共边，点C，D在在AB的同侧，的同侧，如图如图，当，当CD，此时，此时A，B，C，D四点共圆；四点共圆；如图如图，当，当CD90时，时，AB为为O的直径的直径(依据：同弦所对的圆周角相等依据：同弦所对的圆周角相等)方 法 解 读方 法 解 读图图图图
9、(2)异侧型：如图异侧型：如图，由点，由点A，B，C，D构成的四边形中，若构成的四边形中，若DB180，则，则A，B，C，D四点共圆，四点共圆，AC180.(依据：圆内接四边形对角互补依据：圆内接四边形对角互补)图图提示：可用反证法证明提示：可用反证法证明7.如图，如图，ABC是等边三角形，点是等边三角形，点D是平面内一点，连接是平面内一点，连接AD，CD，BD，且且CABCDB.求证：求证：BDADCD.第第7题题图图证明：证明：如解图，如解图，在在BD上取一点上取一点E，使，使BECD，连接，连接AE，CABCDB，A，B，C，D四点共圆，四点共圆，ACDABD.又又ACAB，CDBE，A
10、DCAEB(SAS)，第第7题解图题解图ADAE，DACEAB，DACCAEEABCAECAB60，ADE是等边三角形，是等边三角形，DEAD，BDDEBEADCD.第第7题解图题解图变式题变式题 将将CABCDB改为改为ADC120.求证：求证：BDADCD.一题多解法一题多解法证法一：证法一：如解图如解图，变式题解图变式题解图 在在BD上取一点上取一点E，使，使BECD，连接，连接AE，ABC是等边三角形，是等边三角形，ABC60，又又ADC120，ABCADC180，A，B，C，D四点共圆，四点共圆，ACDABD.第第7题题图图又又ACAB，CDBE，ADCAEB(SAS)，ADAE，D
11、ACEAB，DACCAEEABCAECAB60，ADE是等边三角形，是等边三角形，DEAD，BDDEBEADCD.变式题解图变式题解图变式题解图变式题解图证法二：证法二：如解图如解图，将，将BD绕点绕点B顺时针旋转顺时针旋转60得到线段得到线段BD，连接，连接CD，由旋转的性质可得，由旋转的性质可得，BDBD.ABDCBD60，CBDCBD60，ABDCBD.在在ABD和和CBD中，中，ABCBABDCBD,BDBDABDCBD(SAS)BADBCD，ADCD.又又BADBCD180，BCDBCD180，D，C，D三点共线，三点共线，BDD是等边三角形，是等边三角形，BDDDCDCDADCD.
12、变式题解图变式题解图二阶二阶 综合综合提升提升1.(点圆最值点在圆内点圆最值点在圆内)如图，在如图，在ABC中，中，A30，B90，BC4，点，点P为为AC上一点，且上一点，且AP AC，将，将ABC绕点绕点C顺时针旋转得顺时针旋转得到到DEC，点，点A的对应点为的对应点为D，点，点B的对应的对应点为点为E，连接，连接PD，则，则PD的最大的最大值为值为_13第第1题图题图4032.(线圆最值相交线圆最值相交)如图，直线如图，直线l与与O相交于点相交于点B，D，点，点A，C是直线是直线l两两侧的圆弧上的动点，若侧的圆弧上的动点，若O的半径为的半径为1，A30，则四边形，则四边形ABCD的面的面
13、积的最大值为积的最大值为_第第2题图题图13.(线圆最值相离线圆最值相离)如图，在如图，在RtABC中，中，C90，AC4，BC3.点点O是是AB的三等分点的三等分点(靠近点靠近点A)，半圆半圆O与与AC相切，点相切，点M，N分别是分别是BC与与半圆半圆O上的动点，则上的动点，则MN的最小值与最大值之和为的最小值与最大值之和为_第第3题图题图64.(2023菏泽菏泽)(直角对直径；点圆最值点在圆外直角对直径；点圆最值点在圆外)如图，在四边形如图，在四边形ABCD中，中，ABCBAD90，AB5，AD4，ADBC，点，点E在线段在线段BC上运动，点上运动，点F在线段在线段AE上，上，ADFBAE
14、，则线段，则线段BF的最小值为的最小值为_第第4题图题图292 5.(四点共圆四点共圆)如图，在如图，在ABC中，中，ACB90，AC4，BC3，CPBA，过点，过点C作作CP的垂线，与的垂线，与PB的延长线交于点的延长线交于点Q，则，则CQ的最的最大值为大值为_第第5题图题图1546.(直角对直径直角对直径)如图，在四边形如图，在四边形ABCD中，中，ADBC，BDDC，若，若AD2，BC4，则四边形，则四边形ABCD面积的最大值是面积的最大值是_第第6题图题图67.(定点定长作圆定点定长作圆)如图，在矩形如图，在矩形ABCD中，中，AB6，AD ，点，点E是边是边CD上一点，将上一点，将A
15、DE沿直线沿直线AE折叠得到折叠得到AFE，连接，连接BF并延长交边并延长交边CD于点于点G，则，则DG长的最大值为长的最大值为_2 5第第7题图题图2解题关键点点点F在以点在以点A为圆心，为圆心，AD长为半径的圆上运动，长为半径的圆上运动，要使要使DG长取得最大值，则长取得最大值，则AFBG.8.(点圆最值点在圆外点圆最值点在圆外)如图，在矩形如图，在矩形ABCD中，点中，点E是是AB的中点，点的中点，点F是是BC的中点，连接的中点，连接EF，点，点G是是EF的中点，连接的中点，连接DG，BE2，BFE30，若将，若将BEF绕点绕点B逆时针旋转，则在旋转的过程中，线段逆时针旋转，则在旋转的过程中，线段DG长的长的最大值为最大值为_第第8题图题图10解题关键点点点G在以点在以点B为圆心，为圆心，BG长为半径的圆上运动，长为半径的圆上运动，要使要使DG长取得最大值，则点长取得最大值，则点G为为DB延长线与圆延长线与圆的交点的交点
