1、微专题微专题8一阶一阶 认识认识模型模型模型一直线轨迹模型一直线轨迹方 法 解 读方 法 解 读如果主动点和从动点到同一定点的距离相等，则此类问题可用全等法探如果主动点和从动点到同一定点的距离相等，则此类问题可用全等法探究从动点的轨迹及相关性质究从动点的轨迹及相关性质模型一直线轨迹模型一直线轨迹三点共线时三点共线时结论结论1：主动点与从动点的运动距离相等：主动点与从动点的运动距离相等结论结论2：主动点与从动点的运动方式相同：主动点与从动点的运动方式相同(都在一条直线上都在一条直线上)结论结论3：三点共线时，主动点所在直线与从动点所在直线平行：三点共线时，主动点所在直线与从动点所在直线平行情形一
2、：情形一：A，B，C三点共线三点共线1.如图，点如图，点A，B，C为同一直线上不重合的三点，其中点为同一直线上不重合的三点，其中点A的位置固定，的位置固定，点点B在直线在直线l上运动，且始终保持上运动，且始终保持ABAC，试探究，试探究B，C两点运动轨迹之两点运动轨迹之间的关系间的关系第第1题题图图解：解：点点B在直线在直线l上运动，上运动，如图，在直线如图，在直线l上任取一点上任取一点B(不与点不与点B重合重合)，连接，连接BA并并延长，取延长，取ACAB，连接，连接CC并双向延长，并双向延长，ABAC，BABCAC，ABAC，ABBACC(SAS)，BBCC，点点B从从B点运动到点运动到B
3、点时，点点时，点C从从C点运动到点运动到C点，点，第第1题题图图CB结论结论1：主动点：主动点(点点B)与从动点与从动点(点点C)的运动距离相等；的运动距离相等；B为直线为直线l上任意一点，上任意一点，C也为直线也为直线CC上任意一点，上任意一点，点点B在直线在直线l上运动时，点上运动时，点C也在直线也在直线CC上运动，上运动，第第1题题图图CB结论结论2：主动点：主动点(点点B)与从动点与从动点(点点C)的运动方式相同的运动方式相同(都在一条直线上都在一条直线上)；ABBACC，ABBACC，BBCC.结论结论3：三点共线时，主动点所在直线与从动点所在直线平行：三点共线时，主动点所在直线与从
4、动点所在直线平行主从联动主从联动方 法 解 读方 法 解 读如果主动点和从动点到同一定点的距离相等，则此类问题可用全等法探如果主动点和从动点到同一定点的距离相等，则此类问题可用全等法探究从动点的轨迹及相关性质究从动点的轨迹及相关性质模型一直线轨迹模型一直线轨迹三点不共线时三点不共线时结论结论1：主动点与从动点的运动距离相等：主动点与从动点的运动距离相等结论结论2：主动点与从动点的运动方式相同：主动点与从动点的运动方式相同(都在一条直线上都在一条直线上)结论结论3：主动点所在直线与从动点所在直线必有一个夹角与原线段夹角：主动点所在直线与从动点所在直线必有一个夹角与原线段夹角互补互补情形情形二：二
5、：A，B，C三点不共线三点不共线2.如图，点如图，点A为平面内一定点，点为平面内一定点，点B在直线在直线l上运动，点上运动，点C是平面内一动点是平面内一动点(不与点不与点A，B重合重合)，连接，连接AB，AC，且始终保持，且始终保持ABAC，BAC(0180)，探究点，探究点C的运动轨迹与点的运动轨迹与点B的运动轨迹之间的关系，及其的运动轨迹之间的关系，及其所构成夹角与所构成夹角与之间的关系之间的关系第第2题图题图解：解：点点B在直线上在直线上运动，运动，如图，在直线如图，在直线l上任取一点上任取一点B(不与点不与点B重合重合)，连接，连接AB，将，将AB绕点绕点A逆逆时针旋转时针旋转得到线段
6、得到线段AC，连接，连接CC并双向延长交直线并双向延长交直线l于点于点D，由旋转的性质可得由旋转的性质可得ABAC，BABBAC，CACBAC，BABCAC，在在ABB和和ACC中，中，第第2题题图图CBDABACBABCAC,ABACABBACC(SAS)，BBCC，结论结论1：主动点：主动点(点点B)与从动点与从动点(点点C)的运动距离相等；的运动距离相等；B为直线为直线l上任意一点，上任意一点，C也为直线也为直线CC上任意一点，上任意一点，点点B在直线在直线l上运动时点上运动时点C也在直线也在直线CC上运动，上运动，第第2题题图图CBD结论结论2：主动点：主动点(点点B)与从动点与从动点
7、(点点C)的运动方式相同的运动方式相同(都在一条直线上都在一条直线上)；ABBACC，ABBACC，ACCACD180，ABBACD180.四边形四边形ACDB的内角和为的内角和为360，CAB，CDB180.结论结论3：主动点：主动点(点点B)所在直线与从动点所在直线与从动点(点点C)所在直线必有一个夹角所在直线必有一个夹角CDB与原线段夹角互与原线段夹角互补补第第2题题图图CBD主从联动主从联动模型二圆轨迹模型二圆轨迹方 法 解 读方 法 解 读如果主动点和从动点到同一定点的距离相等，则此类问题可用全等法探如果主动点和从动点到同一定点的距离相等，则此类问题可用全等法探究从动点的轨迹及相关性
8、质究从动点的轨迹及相关性质模型二模型二 圆轨迹圆轨迹三点共线时三点共线时结论结论1：主动点在圆上运动时，从动点也在一个圆上运动：主动点在圆上运动时，从动点也在一个圆上运动结论结论2：主动点与从动点在一个等大的圆上运动：主动点与从动点在一个等大的圆上运动(圆心不同，半径相等圆心不同，半径相等)结论结论3：两点与各自圆心连线所在直线互相平行：两点与各自圆心连线所在直线互相平行情形一：情形一：A，B，C三点共线三点共线3.如图，点如图，点A，B，C为同一直线上不重合的三点，其中点为同一直线上不重合的三点，其中点A的位置固定，的位置固定，点点B在在O上运动，且始终保持上运动，且始终保持ABAC，试探究
9、，试探究B，C两点运动轨迹之间两点运动轨迹之间的关系的关系第第3题题图图第第3题图题图CO解：解：点点B在在O上运动，上运动，如图，连接如图，连接OA并延长，取并延长，取AOOA，连接，连接OB，OC，ABAC，BAOCAO，AOAO，BAOCAO(SAS)，OBOC，O点为定点，点为定点，OB为定长，为定长，O为定点，为定点，OC为定长，为定长，点点C在以点在以点O为圆心，为圆心，OC(或或OB)长为半长为半径的圆上运动，径的圆上运动，点点B在在O上运动时，点上运动时，点C也在也在O上运动，上运动，结论结论1：主动点：主动点(点点B)在圆上运动时，从动点在圆上运动时，从动点(点点C)也在一个
10、圆上运动；也在一个圆上运动；结论结论2：主动点：主动点(点点B)与从动点与从动点(点点C)在一个等大的圆上运动在一个等大的圆上运动(圆心不同，半圆心不同，半径相等径相等)；BAOCAO，AOBAOC，COBO.结论结论3：两点与各自圆心连线所在直线互相平行：两点与各自圆心连线所在直线互相平行第第3题图题图CO主从联动主从联动方 法 解 读方 法 解 读如果主动点和从动点到同一定点的距离相等，则此类问题可用全等法探如果主动点和从动点到同一定点的距离相等，则此类问题可用全等法探究从动点的轨迹及相关性质究从动点的轨迹及相关性质模型二模型二 圆轨迹圆轨迹三点不共线时三点不共线时结论结论1：主动点与从动
11、点的运动距离相等：主动点与从动点的运动距离相等结论结论2：主动点与从动点的运动方式相同：主动点与从动点的运动方式相同(都在圆上都在圆上)结论结论3：“主动点与圆心连线主动点与圆心连线”与与“从动点与圆心连线从动点与圆心连线”两直线夹角两直线夹角(原线段原线段夹角的对角夹角的对角)与原线段互补与原线段互补情形二：情形二：A，B，C三点不共线三点不共线4.如图，点如图，点A为平面内一定点，点为平面内一定点，点B在在O上运动，点上运动，点C是平面内一动点是平面内一动点(不与点不与点A，B重合重合)，连接，连接AB，AC，且始终保持，且始终保持BAC(0180)，ABAC，探究点，探究点C的运动轨迹与
12、点的运动轨迹与点B的运动轨迹所构成夹角与的运动轨迹所构成夹角与之间的关系之间的关系第第4题图题图解：解：点点B在在O上运动，上运动，如图，连接如图，连接OB，AO，将，将AO绕点绕点A逆时针旋转逆时针旋转得到线段得到线段AO，连接连接OC并延长交并延长交OB于点于点D，由旋转的性质可得由旋转的性质可得AOAO，BAOOAC，CAOOAC，BAOCAO，在在ABO和和ACO中，中，OD第第4题题图图CABACBAOCAO,AOAOABOACO(SAS)，OBOC，O点为定点，点为定点，OB为定长，为定长，O为定点，为定点，OC为定为定长，长，点点C在以点在以点O为圆心，为圆心，OC(或或OB)长
13、为半径的圆上运动，长为半径的圆上运动，点点B在在O上运动时，点上运动时，点C也在也在O上运动，上运动，OD第第4题题图图C结论结论1：主动点：主动点(点点B)在圆上运动时，从动点在圆上运动时，从动点(点点C)也在一个圆上运动；也在一个圆上运动；结论结论2：主动点：主动点(点点B)与从动点与从动点(点点C)在一个等大的圆上运动在一个等大的圆上运动(圆心不同，半圆心不同，半径相等径相等)；ABOACO，ABOACO，ACOACD180，ABOACD180，四边形四边形ACDB的内角和为的内角和为360，CAB，CDB180.OD第第4题题图图C结论结论3：“主动点主动点(点点B)与圆心连线与圆心连
14、线”与与“从动点从动点(点点C)与圆心连线与圆心连线”两直两直线夹角线夹角ODB(原线段夹角的对角原线段夹角的对角)与原线段夹角互补与原线段夹角互补OD第第4题题图图C主从联动主从联动拓展研究：拓展研究：以上情况，若以上情况，若ABAC，点，点C的轨迹有什么不一样？怎么证明，的轨迹有什么不一样？怎么证明，请尝试一下请尝试一下对于模型一：主动点对于模型一：主动点(点点B)与从动点与从动点(点点C)的运动距离不同；的运动距离不同；对于模型二：主动点对于模型二：主动点(点点B)与从动点与从动点(点点C)的运动距离不同；主动点的运动距离不同；主动点(点点B)的运动半径与从动点的运动半径与从动点(点点C
15、)的运动半径不同的运动半径不同二阶二阶 模型应用模型应用1.如图，在矩形如图，在矩形ABCD中，中，E为为AB上一点，且上一点，且AE1，F为为AD边上的一个边上的一个动点，连接动点，连接EF，若以，若以EF为边向右侧作等腰直角为边向右侧作等腰直角EFG，EFEG，试猜，试猜想点想点G的运动轨迹，并说明理由的运动轨迹，并说明理由第第1题题图图解：解：点点G在平行于在平行于AB且在且在AB上方到上方到AB距离为距离为1的射线上运动，理由如下：的射线上运动，理由如下：如解图，如解图，过点过点G作作GHAB于点于点H，过点，过点G作作MNAB.四边形四边形ABCD是矩形，是矩形，GHEAGEF90，
16、GEHEGH90，GEHFEA90，EGHFEA，NHMGHEAEGHFEA，GEEF在在GEH和和EFA中，中，GEHEFA(AAS)，GHAE1，点点G在平行于在平行于AB且在且在AB上方到上方到AB距离距离为为1的射线的射线MN上运动上运动第第1题图题图NHM解题关键点过点过点G作作GHAB于点于点H，证得，证得GEHEFA.2.已知在等腰已知在等腰RtABC中，中，BAC90，ABAC，D是是BC边上一点边上一点(1)如图如图，点，点P是是AD的中点，画出当点的中点，画出当点D从点从点B运动到点运动到点C时，点时，点P的运动的运动轨迹轨迹；第第2题图题图解：解：(1)如图，如图，点点P
17、的运动轨迹为线段的运动轨迹为线段QR；QR(2)如图如图，以，以AD为边向右作等腰为边向右作等腰RtADE，其中，其中DAE90，ADAE，请画出当点，请画出当点D从点从点B运动到点运动到点C时，点时，点E的运动轨迹；的运动轨迹；第第2题图题图(2)如图，如图，虚线虚线MN即为点即为点D从点从点B运动到点运动到点C时，点时，点E的运动轨迹；的运动轨迹；(M)N解题关键点主动点主动点D与从动点与从动点E都在直线上运动，且点都在直线上运动，且点D所在所在直线与点直线与点E所在直线有一个夹角与所在直线有一个夹角与DAE互补；互补；(3)如图如图，在，在(2)的条件下，若的条件下，若AB6，点，点F为
18、为AB的中点，连接的中点，连接EF，求，求EF的最小值的最小值第第2题图题图(3)如解图，如解图，连接连接CE并延长，交并延长，交BA的延长线于点的延长线于点N，BAC90，DAE90，BADCAE，在在ABD和和ACE中，中，第第2题解图题解图ABDACE(SAS)，ACEB45，BCE90，点点E在在BC的垂线的垂线MN上运动，上运动，当当FEMN时，时，EF取取得最小值，此时得最小值，此时EFBC，设设EF交交AC于点于点G，ABACBADCAE,ADAE第第2题解图题解图F是是AB的中点，的中点，G是是AC的中点的中点AB6，BC ，CG3，FG ，EG ，EFFGEG ，EF的最小值为的最小值为 .6 23 222CG3 223 23 229 229 22第第2题解图题解图解题关键点在在(2)的结论下，根据垂线段最短求解的结论下，根据垂线段最短求解
