1、微技能微技能角的表示角的表示一阶一阶例例 1一题多设问一题多设问 已知抛物线交已知抛物线交x轴于轴于A、B两两点点(点点A在点在点B的左侧的左侧)，与，与y轴交于点轴交于点C，连接，连接AC.微专题二次函数与角度问题微专题二次函数与角度问题例1题图【作图依据】【作图依据】_(1)点点P是抛物线上一点，在图是抛物线上一点，在图中找出点中找出点P使得使得PCA30；例1题图解：解：(1)满足条件的点满足条件的点P如解图如解图.分两种情况：分两种情况：点点P在直线在直线AC上方；上方；点点P在直线在直线AC下方；下方；全等三角形对应角相等全等三角形对应角相等例1题解图(2)点点P是抛物线上一点，在图
2、是抛物线上一点，在图中找出点中找出点P使得使得CPA60；例1题图【作图依据】【作图依据】_(2)满足条件的点满足条件的点P如解图如解图.分两种情况：分两种情况：点点P在直线在直线AC上方；上方；点点P在直线在直线AC下方；下方；例1题解图全等三角形对应角相等全等三角形对应角相等(3)点满足条件的点点满足条件的点P如解图如解图.分两种情况：分两种情况：点点P在直线在直线AB上方；上方；点点P在直线在直线AB下方下方【作图依据】【作图依据】_(3)点点D为抛物线对称轴与为抛物线对称轴与x轴的交点，点轴的交点，点P是抛物线上一点，在图是抛物线上一点，在图中中找出点找出点P使得使得PABDCO.例1
3、题图例1题解图全等三角形对应角相等全等三角形对应角相等一题多设问一题多设问二阶二阶例例 2一题多设问一题多设问 已知抛物线已知抛物线yax2bxc与与x轴交轴交于点于点A，B，与，与y轴交于点轴交于点C，其中，其中A(6，0)，B(2，0)，C(0，3)例2题图(1)如图如图，求抛物线的解析式；，求抛物线的解析式；解：解：(1)将点将点A、B、C的坐标代入抛物线解析式得，的坐标代入抛物线解析式得，解得解得 抛物线的解析式为抛物线的解析式为y x2x3；3660420,3abcabcc 141,3abc 14例2题图(2)如图如图，在抛物线上是否存在一点，在抛物线上是否存在一点P，使得，使得AB
4、为为PAC的平分线？的平分线？若存在，请直接写出点若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；的坐标；若不存在，请说明理由；例2题图【思维教练】要求以【思维教练】要求以AB为为PAC的的平分线的点平分线的点P P的坐标，根据角平分的坐标，根据角平分线的性质，作点线的性质，作点C关于关于x x轴的对称点轴的对称点C，先求出直线，先求出直线AC的解析式，再的解析式，再与抛物线解析式联立，即可得到点与抛物线解析式联立，即可得到点P的坐标的坐标【解法提示】【解法提示】点点C的坐标为的坐标为(0，3)，点点C关于关于x轴的对称点轴的对称点C的坐标为的坐标为(0，3)如解图如解图，连接，连接AC并
5、延长至与抛物线相交，交点为并延长至与抛物线相交，交点为P，设直线设直线AC的解析式为的解析式为ykxb，将将A(6，0)，C(0，3)代入，代入，得得 解得解得直线直线AC的解析式为的解析式为y x3.例2题解图60,3kbb 1,23kb 12联立联立解得解得点点P的坐标为的坐标为(4，5)2132,134yxyxx 64,(),05xxyy 舍舍去去(2)存在，点存在，点P的坐标为的坐标为(4，5)；例2题解图(3)如图如图，连接，连接AC，AC上存在一点上存在一点M，使得，使得BMC2BAC，请，请直接写出点直接写出点M的坐标；的坐标；【思维教练】要求点【思维教练】要求点M的坐标，已知的
6、坐标，已知BMC2BAC，可得，可得ABMBAC，即点，即点M在在AB的垂直平分线上，可得点的垂直平分线上，可得点M的横坐的横坐标，代入标，代入AC所在直线解析式，即可求解所在直线解析式，即可求解例2题图【解法提示】如解图【解法提示】如解图，过点，过点M作作x轴的垂线，垂足为轴的垂线，垂足为N，连接，连接AC，BM.BMC2BAC，BMCBACABM，ABMBAC，AMBM.MNAB，ANBN，点点M的横坐标为的横坐标为 2.622 例2题解图设直线设直线AC的解析式为的解析式为ykxb(k0)，将将A(6，0)，C(0，3)代入代入，直线直线AC的解析式为的解析式为y x3.将将x2代入代入
7、y x3中得中得，y2，点点M的坐标为的坐标为(2，2)160,233kbkbb 得得解解得得1212例2题解图(3)点点M的坐标为的坐标为(2，2)；(4)如图如图，在抛物线上是否存在一点，在抛物线上是否存在一点E，使得，使得EBAOCA？若存？若存在，请直接写出点在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由；的坐标；若不存在，请说明理由；例2题图【思维教练】要求点【思维教练】要求点E的坐标，已知的坐标，已知EBAOCA，过点过点E作作EHx轴于点轴于点H，则，则HBEOCA，设点设点E的坐标，代入比例关系的坐标，代入比例关系可列方程求解可列方程求解【解法提示】设点【解法提示】设点E的坐标
8、为的坐标为(t，t2t3)，如解图如解图，过点过点E作作EHx轴于点轴于点H，连接连接EB，AC，14H(t，0)EBAOCA，EHBAOC90，HBEOCA，21364,23ttBHCOEHAOt 即即例2题解图EH解得解得 t12，t214，当当t2时，时，t2t30，不符合题意，舍去，不符合题意，舍去，当当t14时，时，t2t332，E(14，32)(4)存在，点存在，点E的坐标为的坐标为(14，32)；14例2题解图EH(5)如图如图，在抛物线的对称轴上是否存在点，在抛物线的对称轴上是否存在点F，使得，使得FACFCA90？若存在，直接写出点？若存在，直接写出点F的坐标；如不存在，请说
9、明理由；的坐标；如不存在，请说明理由；例2题图【思维教练】要求点【思维教练】要求点F的坐标，已知的坐标，已知FACFCA90可得可得AFC90，则，则F在以在以AC为直径的圆为直径的圆K上，设点上，设点F的坐标，根据的坐标，根据KF AC列方程即可求解列方程即可求解12【解法提示】如解图【解法提示】如解图，A(6，0)，B(2，0)，对称轴为直线对称轴为直线x2，设点设点F的坐标为的坐标为(2，m)FACFCA90，AFC90.F在以在以AC为直径的圆上为直径的圆上A(6，0)，C(0，3)，圆心圆心K的坐标为的坐标为(3，)例2题解图例2题解图32(5)存在点存在点F的坐标为的坐标为(2，)
10、或或(2，)；4132 4132 KF AC，KF2(23)2(m )2，AC2623245，(23)2(m )2 45，解得解得m1 ，m2 ，点点F的坐标为的坐标为(2，)或或(2，)123232144132 4132 4132 4132 例2题解图例2题解图(6)如图如图，若点，若点Q在在y轴上，点轴上，点G为该抛物线的顶点，且为该抛物线的顶点，且GQA45.请直接写出点请直接写出点Q的坐标的坐标例2题图【思维教练】要求点思维教练】要求点Q的坐标，已知点的坐标，已知点Q在在y轴上，轴上，点点G为该抛物线的顶点，且为该抛物线的顶点，且GQA45，可得点可得点Q为以为以AG为弦为弦，AG所对
11、圆心角是所对圆心角是90度的圆与度的圆与y轴的轴的交点，设圆心为交点，设圆心为R，过点过点R作作x轴的垂线交轴的垂线交x轴于点轴于点M，交过点交过点G与与x轴的平行线于点轴的平行线于点N，证明证明AMRRNG(AAS)，直接写出点直接写出点R坐标，利用坐标，利用圆的性质即可求解圆的性质即可求解【解法提示】设解法提示】设GAQ的外接圆圆心为的外接圆圆心为R，如解图如解图，GQA45，ARG2GQA90，过点过点R作作x轴的垂线交轴的垂线交x轴于点轴于点M，交过点交过点G与与x轴的平行线于点轴的平行线于点N，连接连接GN，设点设点R(x，y)，G(2，4)则则AMx6，RMy，RNy4，GNx2，
12、例2题解图MRAGRN90，GRNRGN90，RGNARM，又又AMRRNG90，RARG，AMRRNG，AMRN，MRGN，64,22,0 xyyxxy 得得解解得得例2题解图点点R(2，0)，则则RA2(6)4，设点设点Q(0，m)，则则RQRA4，即即m2416，解得解得m2 ，Q的坐标为的坐标为(0，2 )或或(0，2 )333(6)Q的坐标为的坐标为(0，2 )或或(0，2 )33例2题解图综合提升综合提升三阶三阶1.如图，二次函数如图，二次函数y x2bxc的图象交的图象交x轴于轴于A(3，0)，B(4，0)两点，交两点，交y轴于点轴于点C，点，点P是抛物线上一点，连接是抛物线上一
13、点，连接AC、BC.第1题图 13解：解：(1)将将A(3，0)，B(4，0)代入二次函数表达式代入二次函数表达式 y x2bxc中，中，二次函数的表达式为二次函数的表达式为y x2 x4；1319303,1164031,34bcbcbc 得得解解得得1313(1)求该二次函数的表达式求该二次函数的表达式；第1题图 (2)点点A(3，0)，C(0，4)，OA3，OC4.表达式为表达式为y x2 4；当当x0时，时，y4 C(0，4)，OC4.SAOC OAOC 346，B(4，0)，BO4，13131212(2)当点当点P在直线在直线BC下方时，连接下方时，连接OP，若，若SBOP2SAOC，
14、求点，求点P的坐标；的坐标；第1题图 P1P2mB(4，0)，BO4，设点设点P到到x轴的距离为轴的距离为h，SBOP2SAOC，4h26，解得，解得h6，点点P在直线在直线BC的下方，的下方，如解图如解图，作直线，作直线OB的平行线的平行线m，使直线使直线m到直线到直线OB的距离的距离h等于等于6，与抛物线的交点即为所求的点与抛物线的交点即为所求的点P.即即y6，则则y x2 x46，解得，解得x15，x26，点点P的坐标为的坐标为(5，6)或或(6，6)；121313第1题图 P1P2m(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得，使得AQCABC？若存？若存
15、在，求出点在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由的坐标；若不存在，请说明理由(3)存在，如解图存在，如解图，点点B(4，0)，C(0，4)，A(3，0)，ABC45，AC5，AQCABC，点点Q是是ABC的外接圆的外接圆M与抛物线对称轴的交点与抛物线对称轴的交点Q、Q，连接连接AM并延长，交并延长，交 M于点于点D，则则DABC45，第1题解图AD是是 M的直径，的直径，ACD90，AD 5 ，连接连接BM，设对称轴交，设对称轴交x轴于点轴于点E，在，在RtBME中，中，BE2ME2MB2，由由(1)得抛物线的对称轴为直线得抛物线的对称轴为直线x ，OE ，BE4 ()2ME2()2，解得，
16、解得ME (负值已舍去负值已舍去)，sin 45AC。2121212725 227212第1题解图QEMQME ，EQMQME ，点点Q的坐标为的坐标为(，)或或(，)125 212 5 212 5 212 1215 22 第1题解图2.在平面直角坐标系中，抛物线在平面直角坐标系中，抛物线y x2bxc与与x轴交于轴交于A、B两点，两点，与与y轴交于点轴交于点C，直线，直线BC的解析式为的解析式为y x2.1212第2题图(1)点点B，C在直线在直线y x2上，上，当当x0时，时，y2；当；当y0时，时，x4，点点B(4，0)，点，点C(0，2)点点B，C在抛物线在抛物线y x2bxc上，上，
17、抛物线的解析式为抛物线的解析式为 y x2 x2；1212123221344b0,2222cbcc 解解得得(1)求抛物线的解析式；求抛物线的解析式；第2题图(2)如图，点如图，点M在线段在线段BC上，设点上，设点M的横坐标为的横坐标为t，过点，过点M作作y轴的轴的平行线，过点平行线，过点C作作x轴的平行线，两条平行线相交于点轴的平行线，两条平行线相交于点N，将，将MCN沿沿MC翻折得到翻折得到MCN，当点，当点N落在线段落在线段AB上时，求此时上时，求此时t的值；的值；第2题图(2)如解图如解图，当点，当点N落在落在AB上时，设直线上时，设直线NM与与x轴交于点轴交于点Q.点点M在线段在线段
18、BC上，且点上，且点M的横坐标为的横坐标为t，OC2，点点M的纵坐标为的纵坐标为 t2，CNt.由折叠的性质得由折叠的性质得CNCNt，NMNM t2(2)t，QM2 t.ON .易证易证ONCQMN，121212122222224CNOCtt 第2题解图,CNONN MOM 245,;112222ttttt 解解得得(3)如图如图，点，点P在直线在直线BC下方的抛物线上，过点下方的抛物线上，过点P作作PQBC于点于点Q，当当CPQ中的某个角恰好为中的某个角恰好为2ABC时，请直接写出点时，请直接写出点P的横坐标的横坐标【解法提示】如解图解法提示】如解图，过点过点P作作PRy轴轴，垂足为垂足为
19、R，延长延长PR交交BC的延长线于点的延长线于点G.当当QCP2ABC时时，QCP2BGP，CPRGABC，tanCPRtanABC，.CRPR12OCOB第2题解图设点设点P(x，x2 x2)，则，则PRx，CR2(x2 x2)x2 x.，解得解得x0(舍去舍去)或或x2.点点P的横坐标为的横坐标为2；3212123212321221322xxx 如解图如解图，当当CPQ2ABC时时，令令 y x2 x20，解得解得x1或或x4(舍去舍去)，3212第2题解图A(1，0)设设AB的中点为的中点为F，连接连接CF，则则AF ，OF ，FB ，tanOFC ，CF .FBFC，OFC2ABC，t
20、anCPQtanOFC .设设QP3k，CQ4k，则则CP5k.tanQGPtanOBC，GQ6k，5222OCOF 1243OCOF43325252PQGQOCOB第2题解图由勾股定理，得由勾股定理，得GP 3 k，GCGQCQ2k.在在RtGCR中中，tanCGR ，GR k，CR k，RPGPGR3 k k k，54 551222GQPQ 2 554 55511 5522 513522,11 55kxxCRPRxk 第2题解图解得解得x0(舍去舍去)或或x ，点点P的横坐标为的横坐标为 .综上所述，点综上所述，点P的横坐标为的横坐标为2或或 .291129112911第2题解图(3)点点
21、P的横坐标为的横坐标为2或或 .29113.如图，抛物线如图，抛物线yax2bx3与与x轴交于轴交于A，B两点两点(点点A在点在点B的左侧的左侧)，且对称轴与抛物线交于点且对称轴与抛物线交于点M(1，4)，与，与x轴交于点轴交于点C，直线，直线ykxd过过A、M两点两点第3题图解：解：(1)抛物线的顶点为抛物线的顶点为M(1，4)，可设抛物线的表达式为可设抛物线的表达式为ya(x1)24，当当x0时，时，y3，3a4，解得，解得a1，抛物线的表达式为抛物线的表达式为y(x1)24，即即yx22x3.令令yx22x30，解得，解得x13，x21，A(3，0)，B(1，0)，(1)求抛物线及直线求
22、抛物线及直线AM的表达式；的表达式；第3题图将将A，M两点坐标代入直线两点坐标代入直线ykxd中，中，直线直线AM的表达式为的表达式为y2x6；302,46kdkkdd 得得解解得得，第3题图(2)EFDDHA90，EDFADH，MACDEF.MC4，AC2，AM cosDEFcosMAC (2)如图如图，点，点E是是AM上方抛物线上一动点，过点上方抛物线上一动点，过点E作作EFAM于点于点F，EHx轴于点轴于点H，交，交AM于点于点D，设点，设点E的横坐标为的横坐标为m，请用含，请用含m的代数的代数式表示出式表示出EF的长度，并写出的长度，并写出m的取值范围；的取值范围；222 5,MCAC
23、 25.52 5ACAM 第3题图点点E的横坐标为的横坐标为mE(m，m22m3)，D(m，2m6)，DEm22m3(2m6)m24m3，EFDEcosDEF (m24m3)(m2)2 .点点E是是AM上方抛物线上一点，上方抛物线上一点，m的取值范围为的取值范围为3m1；555555第3题图(3)在在(2)的条件下，当的条件下，当EF取最大值时，如图取最大值时，如图，在，在y轴上取轴上取一点一点Q，连接，连接AQ，EQ，当，当AQE最大时，求点最大时，求点Q的坐标的坐标当当 P与与y轴相切时，轴相切时，AQE最大，连接最大，连接PA，PE，PQ，则，则PAPEPQ，且，且PQy轴，轴，由由(2
24、)得，得，EF (m2)2 ，0，3m1，当当m2时，时，EF取得最大值，取得最大值，此时点此时点E的坐标为的坐标为(2，3)，555555第3题图第3题解图(3)如解图，连接如解图，连接AE，作，作AEQ的外接圆的外接圆 P，设点设点P的坐标为的坐标为(x，y)，则则PA2(x3)2y2，PE2(x2)2(y3)2，PQ2x2，解得解得y92 或或y92 (不符合题意，舍去不符合题意，舍去)，点点Q的坐标为的坐标为(0，92 )22222223,3xxyxxy 151515第3题解图4.如图，在平面直角坐标系如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线中，抛物线yax2bx6交交x轴于轴于A、B两
25、点，交两点，交y轴于点轴于点C，且，且OAOC3OB，连接，连接AC，动点，动点P和动点和动点Q同时出发，点同时出发，点P从点从点C以每秒以每秒2个单位长度的速度沿个单位长度的速度沿CA运动到点运动到点A，点，点Q从点从点O出发以每秒出发以每秒1个单位长度的速度沿个单位长度的速度沿OC运动到点运动到点C，连接，连接PQ，当点当点P到达点到达点A时，点时，点Q停止运动停止运动第4题图(1)求抛物线的表达式；求抛物线的表达式；解：解：(1)抛物线抛物线yax2bx6交交y轴于点轴于点C，点点C(0，6)，OC6，OAOC3OB，OAOC6，OB2，A(6，0)，B(2，0)，第4题图抛物线的表达式
26、为抛物线的表达式为y x22x6；136660,242602abaabb 解解得得12第4题图将点将点A、B的坐标代入的坐标代入yax2bx6中得，中得，(2)求求SCPQ的最大值及此时点的最大值及此时点P的坐标；的坐标；(2)由由A(6，0)，C(0，6)得直线得直线AC的表达式为的表达式为yx6，OAOC，则，则ACO45，设点设点P的运动时间为的运动时间为t，由题意得，由题意得PC2t，CQ6t，则则|xP|PCsin45 t，则则SCPQ CQ|xP|(6t)t t23 t (t3)2 ，212229 22222212第4题图当当t3时，时，|xp|3 ，点点P在第二象限，在第二象限，
27、xp3 ，yP63 ，故故SCPQ的最大值为的最大值为 ，此时点此时点P的坐标为的坐标为(3 ，63 )；9 2222222 0，当当t3时，时，SCPQ有最大值，其最大值为有最大值，其最大值为 ，229 22第4题图(3)点点M是抛物线上一点，是否存在点是抛物线上一点，是否存在点M，使得，使得ACM15？若存在，？若存在，求出点求出点M的坐标，若不存在，请说明理由的坐标，若不存在，请说明理由(3)存在存在分两种情况讨论：分两种情况讨论：如解图如解图，当点，当点M在在AC上方时，上方时，过点过点M作作MEx轴于点轴于点E，MFy轴于点轴于点F，OCOA，ACO45，ACM15，OCM60，第4
28、题解图第4题图设点设点M(m，m22m6)(6m0)，在在RtMCF中，中，CF ，CF MF m，OFOCCF6 m，MEOEOFMFO90，四边形四边形MEOF是矩形，是矩形，MEOF，即即 m22m66 m，解得解得m10(舍去舍去)，m24 .1212tanMFMCF 2 3333333333第4题解图ME6 m ，点点M的坐标为的坐标为(-4-，)；如解图如解图，当点，当点M在在AC下方时，过点下方时，过点M作作MHx轴于点轴于点H，设，设MC与与x轴交于点轴交于点G，设点设点M(n，n22n6)(n6)，则则OHn，MH n22n6，CAO45，ACM15，AGMCGOCAOACM
29、60，在在RtCGO中，中，OC6，第4题解图332 331212164 33 164 33 OG 2 ，GHOHOGn2 ，在在RtMGH中，中，HMGHtanHGM GH，n6 n22n6，解得解得n10(舍去舍去)，n242 .GHOHOG4 ，MHGH4 .点点M的坐标为的坐标为(42 ，4 )综上所述，存在点综上所述，存在点M，使得，使得ACM15，此时点，此时点M的坐标为的坐标为 (4 ，)或或(42 ，4 )tanOCCGO 164 33 1232 333333333333第4题解图由由知知AOCAQ1B，AO2，AC ，在在RtAQ1B中，中，AQ1AOOQ1246，BQ13，由勾股定理得由勾股定理得AB 解得解得m .综上所述，若综上所述，若ABQ与与AOC相似，相似，m的值为的值为4或或 ；111,43AOACAOAQQ BAO 即即112525,23 5m 222211633 5,AQBQ 112第4题解图
