1、-1- 第一讲 相似三角形的判定及有关性质 -2- 一 平行线等分线段定理 -3- 一 平行线等分线段定理 MUBIAODAOHANG 目标导航 DIANLI TOUXI 典例透析 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 ZHISHI SHULI 知识梳理 1.理解并掌握平行线等分线段定理及其推论,认识它的图形语言 及变式图形. 2.能运用平行线等分线段定理任意等分已知线段,能运用推论进 行简单的证明或计算. 3.会用三角形中位线定理解决问题. -4- 一 平行线等分线段定理 MUBIAODAOHANG 目标导航 DIANLI TOUXI 典例透析 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦
2、ZHISHI SHULI 知识梳理 1 2 3 1.平行线等分线段定理 文字 语言 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在 其他直线上截得的线段也相等 符号 语言 已知 abc,直线 m,n 分别与 a,b,c 交于点 A,B,C 和点 A,B,C,且 AB=BC,则 AB=BC 图形 语言 -5- 一 平行线等分线段定理 MUBIAODAOHANG 目标导航 DIANLI TOUXI 典例透析 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 ZHISHI SHULI 知识梳理 1 2 3 变式 图形 作用 证明线段相等 -6- 一 平行线等分线段定理 MUBIAODAOHANG 目标导航
3、 DIANLI TOUXI 典例透析 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 ZHISHI SHULI 知识梳理 1 2 3 名师点拨名师点拨1.平行线等分线段定理的条件是a,b,c互相平行,构成一 组平行线,m与n可以平行,也可以相交,但它们必须与已知的平行线 a,b,c相交,即被平行线a,b,c所截. 2.平行线的条数可以多于3条,该定理还可以推广. -7- 一 平行线等分线段定理 MUBIAODAOHANG 目标导航 DIANLI TOUXI 典例透析 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 ZHISHI SHULI 知识梳理 1 2 3 【做一做1】 如图,l1l2l3,直线a分别
4、与l1,l2,l3相交于点A,B,C, 且AB=BC,直线b分别与l1,l2,l3相交于点A1,B1,C1,则有( ) A.A1B1=B1C1 B.A1B1B1C1 C.A1B1GF B.AG=GF C.AGAC)的边AB上取一点D,在边 AC上取一点E,使AD=AE,直线DE和BC的延长线交于点P. 求证:BPCP=BDCE. 证明:如图,过点 C 作 CFBA 交 DP 于点 F. CFBD, = . 又CFBA, = . 又 AD=AE,CE=CF. = ,即BPCP=BDCE. -36- 一 平行线等分线段定理 MUBIAODAOHANG 目标导航 DIANLI TOUXI 典例透析
5、ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 ZHISHI SHULI 知识梳理 题型一 题型二 题型三 题型四 题型二 证明线段相等 【例 2】 如图,在ABC 中,E 为中线 AD 上的一点, = 1 2 , 连接并延长,交于点. 求证:AF=CF. 分析:关键是条件 = 1 2 的应用,通过作平行线,证明 = , 其中x 是某条线段. -37- 一 平行线等分线段定理 MUBIAODAOHANG 目标导航 DIANLI TOUXI 典例透析 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 ZHISHI SHULI 知识梳理 题型一 题型二 题型三 题型四 证明:过点 D作 DHAC,交 BF于点
6、H,如图. D 是 BC的中点, = = 1 2. = 1 2 , = . 又DHAF, = = 1 2. = , = . 反思反思在利用平行线证明或计算时,常常根据已知条件将复杂的图 形进行分解,从中找出基本图形,“借图解题”. -38- 一 平行线等分线段定理 MUBIAODAOHANG 目标导航 DIANLI TOUXI 典例透析 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 ZHISHI SHULI 知识梳理 题型一 题型二 题型三 题型四 【变式训练2】 如图,在梯形ABCD中,ADBC,F为对角线AC上 一点,FEBC交AB于点E,DF的延长线交BC于点H,DE的延长线交 CB的延长线
7、于点G. 求证:BC=GH. 证明:FEBC, = , = . ADEFBH, = . = . = . -39- 一 平行线等分线段定理 MUBIAODAOHANG 目标导航 DIANLI TOUXI 典例透析 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 ZHISHI SHULI 知识梳理 题型一 题型二 题型三 题型四 题型三 证明线段倒数和的等式 【例 3】 如图,ABBD 于点 B,CDBD 于点 D,连接 AD,BC 交 于点 E,EFBD 于点 F.求证: 1 + 1 = 1 . 分析:转化为证明 + = 1.由于ABEFCD,因此将 与 化归为同一直线BD 上的线段比就可得证. -4
8、0- 一 平行线等分线段定理 MUBIAODAOHANG 目标导航 DIANLI TOUXI 典例透析 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 ZHISHI SHULI 知识梳理 题型一 题型二 题型三 题型四 证明:ABBD,CDBD,EFBD, ABEFCD. = , = . + = + = + = = 1. 1 + 1 = 1 . 反思反思证明有关线段倒数和的等式时,常用的方法是首先将其变形 为线段比的和为定值的形式,然后化归为同一直线上的线段比. -41- 一 平行线等分线段定理 MUBIAODAOHANG 目标导航 DIANLI TOUXI 典例透析 ZHONGNAN JVJIAO
9、 重难聚焦 ZHISHI SHULI 知识梳理 题型一 题型二 题型三 题型四 【变式训练3】 如图,在梯形ABCD中,ADBC,EF经过梯形对角 线的交点O,且EFAD. (1)求证:OE=OF; (2)求证: 1 + 1 = 1 . -42- 一 平行线等分线段定理 MUBIAODAOHANG 目标导航 DIANLI TOUXI 典例透析 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 ZHISHI SHULI 知识梳理 题型一 题型二 题型三 题型四 证明:(1)EFAD,ADBC, EFADBC. EFBC, = , = . EFADBC, = . = , = . (2)OEAD, = .
10、由(1)知 = , + = + = + = 1. 1 + 1 = 1 . -43- 一 平行线等分线段定理 MUBIAODAOHANG 目标导航 DIANLI TOUXI 典例透析 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 ZHISHI SHULI 知识梳理 题型一 题型二 题型三 题型四 题型四 计算线段长度的比值 【例4】 如图,M是ABCD的边AB的中点,直线l过点M分别交 AD,AC于点E,F,交CB的延长线于点N,若AE=2,AD=6. 求AFAC的值. 分析:ADBC,AM=MBAE=BNAFAC的值 -44- 一 平行线等分线段定理 MUBIAODAOHANG 目标导航 DIAN
11、LI TOUXI 典例透析 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 ZHISHI SHULI 知识梳理 题型一 题型二 题型三 题型四 解:ADBC, = . + = + ,即 = + . M 为 AB 的中点,ADBC, = = 1. = . = + + = 2 + . AE=2,BC=AD=6, = 2 2 2 + 6 = 1 5, 即 AFAC=15. -45- 一 平行线等分线段定理 MUBIAODAOHANG 目标导航 DIANLI TOUXI 典例透析 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 ZHISHI SHULI 知识梳理 题型一 题型二 题型三 题型四 反思反思运用平行线
12、分线段成比例定理及推论来计算比值,应分清相 关三角形中的平行线段及所截的边,并注意在求解过程中运用比例 的等比性质、合比性质等. -46- 一 平行线等分线段定理 MUBIAODAOHANG 目标导航 DIANLI TOUXI 典例透析 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 ZHISHI SHULI 知识梳理 题型一 题型二 题型三 题型四 【变式训练 4】 如图,已知ABCD,延长 AB 到 E,使 BE= 1 2 , 连接,分别交,于点,.求 的值. -47- 一 平行线等分线段定理 MUBIAODAOHANG 目标导航 DIANLI TOUXI 典例透析 ZHONGNAN JVJIA
13、O 重难聚焦 ZHISHI SHULI 知识梳理 题型一 题型二 题型三 题型四 解:四边形 ABCD是平行四边形,ADBC. 又 BE= 1 2 , = = = 1 3. 设 EF=k,则 ED=3k,FD=2k. BCAD, = = 2 3. = 2 5. FG= 4 5 , = 6 5 . EFFGGD=k 4 5 6 5 , 即 EFFGGD=546. -48- 三三 相似三角形的判定及性质相似三角形的判定及性质 -49- 1 1.相似三角形的判定 -50- 一 平行线等分线段定理 MUBIAODAOHANG 目标导航 DIANLI TOUXI 典例透析 ZHONGNAN JVJIAO
14、 重难聚焦 ZHISHI SHULI 知识梳理 1.了解三角形相似的定义,掌握相似三角形的判定定理以及直角 三角形相似的判定方法. 2.会证明三角形相似,并能解决有关问题. -51- 一 平行线等分线段定理 MUBIAODAOHANG 目标导航 DIANLI TOUXI 典例透析 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 ZHISHI SHULI 知识梳理 1 2 3 1.相似三角形 (1)定义:对应角相等,对应边成比例的两个三角形叫做相似三角 形,相似三角形对应边的比值叫做相似比(或相似系数). (2)记法:两个三角形相似,用符号“”表示,例如ABC与ABC 相似,记作ABCABC. 归纳总
15、结归纳总结1.三角形相似与三角形全等不同,全等三角形一定相似, 但相似三角形不一定全等. 2.相似三角形定义中的“对应边成比例”是三组对应边分别成比 例. 3.相似三角形对应顶点的字母必须写在相应的位置上,这一点与 全等三角形是一致的.例如ABC和DEF相似,若点A与点E对应, 点B与点F对应,点C与点D对应,则记为ABCEFD. -52- 一 平行线等分线段定理 MUBIAODAOHANG 目标导航 DIANLI TOUXI 典例透析 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 ZHISHI SHULI 知识梳理 1 2 3 【做一做1】 已知ABCABC,下列选项中的式子,不一定 成立的是(
16、 ) A.B=B B.A=C 解析:很明显选项A,C,D均成立.因为A和C不是对应角,所以 A=C不一定成立. 答案:B C. = D. = -53- 一 平行线等分线段定理 MUBIAODAOHANG 目标导航 DIANLI TOUXI 典例透析 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 ZHISHI SHULI 知识梳理 1 2 3 2.相似三角形的判定 定理 内容 简述 作用 预备 定理 平行于三角形一边的直线和其他两边 (或两边的延长线)相交,所构成的三角形 与原三角形相似 判定 两个 三角 形相 似 判定 定理 1 对于任意两个三角形,如果一个三角形 的两个角与另一个三角形的两个角对
17、应 相等,那么这两个三角形相似 两角对 应相等, 两三角 形相似 -54- 一 平行线等分线段定理 MUBIAODAOHANG 目标导航 DIANLI TOUXI 典例透析 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 ZHISHI SHULI 知识梳理 1 2 3 续表 定理 内容 简述 作用 判定 定理 2 对于任意两个三角形,如果一个三 角形的两边和另一个三角形的两 边对应成比例,并且夹角相等,那么 这两个三角形相似 两边对应成 比例且夹角 相等,两三 角形相似 判定两个 三角形 相似 引 理 如果一条直线截三角形的两边(或 两边的延长线)所得的对应线段成 比例,那么这条直线平行于三角形 的
18、第三边 判定两条 直线平行 -55- 一 平行线等分线段定理 MUBIAODAOHANG 目标导航 DIANLI TOUXI 典例透析 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 ZHISHI SHULI 知识梳理 1 2 3 续表 定理 内容 简述 作用 判定 定理 3 对于任意两个三角形,如果一个三 角形的三条边和另一个三角形的 三条边对应成比例,那么这两个三 角形相似 三边对应成 比例,两三 角形相似 判定两个 三角形 相似 -56- 一 平行线等分线段定理 MUBIAODAOHANG 目标导航 DIANLI TOUXI 典例透析 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 ZHISHI S
19、HULI 知识梳理 1 2 3 知识拓展知识拓展判定三角形相似的三种基本图形 (1)平行线型: (2)相交线型: (3)旋转型: -57- 一 平行线等分线段定理 MUBIAODAOHANG 目标导航 DIANLI TOUXI 典例透析 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 ZHISHI SHULI 知识梳理 1 2 3 【做一做2-1】 如图,在ABC中,FDGEBC,则与AFD相似 的三角形有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解析: FDGEBC, AFDAGEABC, 故与AFD相似的三角形有2个. 答案:B -58- 一 平行线等分线段定理 MUBIAODAOHANG
20、 目标导航 DIANLI TOUXI 典例透析 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 ZHISHI SHULI 知识梳理 1 2 3 【做一做 2-2】 如图,DE 与 BC 不平行,当 = _时,ABC AED. 解析:ABC 与ADE 有一个公共角A,当夹A 的两边对应成 比例,即 = 时,这两个三角形相似. 答案: -59- 一 平行线等分线段定理 MUBIAODAOHANG 目标导航 DIANLI TOUXI 典例透析 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 ZHISHI SHULI 知识梳理 1 2 3 3.直角三角形相似的判定定理 (1)如果两个直角三角形有一个锐角对应相等,
21、那么它们相似; (2)如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例,那么它们相似. (3)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的 斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似. 名师点拨名师点拨直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形分别 与原三角形相似. 在证明直角三角形相似时,要特别注意利用直角这一条件. -60- 一 平行线等分线段定理 MUBIAODAOHANG 目标导航 DIANLI TOUXI 典例透析 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 ZHISHI SHULI 知识梳理 1 2 3 【做一做 3】 在ABC 和ABC中,若A=A=90 , = , B=
22、35 ,则C= . 解析:A=A=90 , ABC 和ABC均是直角三角形. 又 = ,ABCABC. C=C.又B=35 , C=90 -B=90 -35 =55 , C=55 . 答案:55 -61- 一 平行线等分线段定理 MUBIAODAOHANG 目标导航 DIANLI TOUXI 典例透析 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 ZHISHI SHULI 知识梳理 同一法证明几何问题 剖析:当直接证明一个几何问题比较困难时,往往采用间接证明 的方法.“同一法”就是一种间接证明的方法.应用同一法证明问题时, 往往首先作出一个满足命题结论的图形,然后证明图形符合命题的 已知条件,确定
23、所作图形与题设条件所指的图形相同,从而证明命 题成立.例如,如图,已知PQ,TR为O的切线,P,R为切点,PQRT,证 明PR为O的直径. -62- 一 平行线等分线段定理 MUBIAODAOHANG 目标导航 DIANLI TOUXI 典例透析 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 ZHISHI SHULI 知识梳理 证明:如图,延长PO交RT于点R, POPQ,PRPQ. PQRT, PRRT,即ORRT. 又TR为O的切线,R为切点, ORRT, 点R与点R重合, PR为O的直径. 由上例可以看出,同一法证明几何问题的步骤如下:(1)首先作出 一个符合结论的图形,然后推证出所作的图形
24、符合已知条件;(2)根 据唯一性,证明所作出的图形与已知的图形是全等的或重合的;(3) 说明已知图形符合结论. -63- 一 平行线等分线段定理 MUBIAODAOHANG 目标导航 DIANLI TOUXI 典例透析 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 ZHISHI SHULI 知识梳理 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 判定三角形相似 【例 1】 如图,已知 = = .求证:ABDACE. 分析:由已知 = ,得 = ,则要证明ABDACE,只 需证明DAB=EAC 即可. -64- 一 平行线等分线段定理 MUBIAODAOHANG 目标导航 DIANLI TOUXI 典例透
25、析 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 ZHISHI SHULI 知识梳理 题型一 题型二 题型三 题型四 证明:因为 = = , 所以ABCADE. 所以BAC=EAD,BAC-DAC=EAD-DAC,即 DAB=EAC. 又 = ,即 = , 所以ABDACE. 反思反思1.本题中,DAB与EAC的相等关系不易直接找到,这里用 BAC=EAD,在BAC和EAD中分别减去同一个角DAC,间 接证明DAB=EAC. 2.判定两个三角形相似时,关键是分析已知哪些边对应成比例,哪 些角对应相等,根据三角形相似的判定定理,找到符合定理的条件 就能推导出结论. -65- 一 平行线等分线段定理
26、MUBIAODAOHANG 目标导航 DIANLI TOUXI 典例透析 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 ZHISHI SHULI 知识梳理 题型一 题型二 题型三 题型四 【变式训练1】 如图,1=2,3=4.求证:ABDACE. 证明:1=2, BAC=DAE. 又3=4, ABCADE. 又1=2,ABDACE. = . = . -66- 一 平行线等分线段定理 MUBIAODAOHANG 目标导航 DIANLI TOUXI 典例透析 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 ZHISHI SHULI 知识梳理 题型一 题型二 题型三 题型四 题型二 判定直角三角形相似 【例2
27、】 如图,已知在正方形ABCD中,P是BC上的点,且 BP=3PC,Q是CD的中点. 求证:ADQQCP. 分析:由于这两个三角形都是直角三角形,且已知条件是线段间 的关系,故考虑证明对应边成比例,即只需证明 = 即可. -67- 一 平行线等分线段定理 MUBIAODAOHANG 目标导航 DIANLI TOUXI 典例透析 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 ZHISHI SHULI 知识梳理 题型一 题型二 题型三 题型四 反思反思直角三角形相似的判定方法很多,既可根据一般三角形相似 的判定方法判定,又有其特有的判定方法.在求证、识别的过程中, 可由已知条件结合图形特征确定合适的方
28、法. 证明:在正方形 ABCD 中, Q 是 CD 的中点, = 2. = 3, = 4. 又 BC=2DQ, = 2. 在ADQ 和QCP 中, = = 2,C=D=90 , ADQQCP. -68- 一 平行线等分线段定理 MUBIAODAOHANG 目标导航 DIANLI TOUXI 典例透析 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 ZHISHI SHULI 知识梳理 题型一 题型二 题型三 题型四 【变式训练 2】 如图,ACB=ADC=90 ,AC= 6, = 2. 当的长为多少时,这两个直角三角形相似? -69- 一 平行线等分线段定理 MUBIAODAOHANG 目标导航 DI
29、ANLI TOUXI 典例透析 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 ZHISHI SHULI 知识梳理 题型一 题型二 题型三 题型四 解:在 RtACD 中,AC= 6, = 2, CD= 2-2= 6-22= 2. 要使这两个直角三角形相似,有两种情况: 当 RtABCRtACD 时,有 = ,故AB= 2 = 6 2 = 3. 当 RtACBRtCDA 时,有 = ,故AB= 2 = 6 2 = 3 2. 综上,当 AB 的长为 3或 3 2时,这两个直角三角形相似. -70- 一 平行线等分线段定理 MUBIAODAOHANG 目标导航 DIANLI TOUXI 典例透析 ZHO
30、NGNAN JVJIAO 重难聚焦 ZHISHI SHULI 知识梳理 题型一 题型二 题型三 题型四 题型三 证明线段成比例 【例 3】 如图,在ABC 中,ABC=2C,BD 平分ABC. 求证: = . 分析:所要证明的等式中的四条线段AB,AC,CD,BC分别在ABC 和BCD中,但这两个三角形不相似,由题意可得BD=CD,这样 AB,AC,BD,BC分别在ABC和ABD中,只需证明这两个三角形相 似即可. -71- 一 平行线等分线段定理 MUBIAODAOHANG 目标导航 DIANLI TOUXI 典例透析 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 ZHISHI SHULI 知识
31、梳理 题型一 题型二 题型三 题型四 证明: BD 平分ABC, DBC=DBA= 1 2ABC. 又ABC=2C, DBA=DBC=C, BD=CD. 在ABD 和ACB 中, A=A,DBA=C, ABDACB, = , = . -72- 一 平行线等分线段定理 MUBIAODAOHANG 目标导航 DIANLI TOUXI 典例透析 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 ZHISHI SHULI 知识梳理 题型一 题型二 题型三 题型四 反思反思证明线段成比例,常先把等式中的四条线段分别看成两个三 角形的两条边,再证明这两个三角形相似即可,若这四条线段不能 分别看成两个三角形的两边,
32、则利用相等线段进行转化,如本题中 把CD转化为BD. -73- 一 平行线等分线段定理 MUBIAODAOHANG 目标导航 DIANLI TOUXI 典例透析 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 ZHISHI SHULI 知识梳理 题型一 题型二 题型三 题型四 【变式训练3】 如图,在ABC中,BAC=90,ADBC于D,E是 AC的中点,连接ED,并延长与AB的延长线交于点F.求 证:ABAC=DFAF. 证明:BAC=90,ADBC, C=BAD,RtADBRtCAB, ABAC=BDAD. 又E是AC的中点, AE=DE=EC,C=CDE. BAD=CDE=BDF. 又F=F,
33、FDBFAD. BDAD=DFAF, 即ABAC=DFAF. -74- 一 平行线等分线段定理 MUBIAODAOHANG 目标导航 DIANLI TOUXI 典例透析 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 ZHISHI SHULI 知识梳理 题型一 题型二 题型三 题型四 题型四 证明两直线平行 【例4】 如图,在ABC中,D是BC的中点,M是AD上一点,BM,CM 的延长线分别交AC,AB于F,E两点.求证:EFBC. 分析:要证明EFBC,想通过角之间的关系达到目的显然是不可 能的,而要利用成比例线段判定两条直线平行的判定定理,图中又 没有平行条件,因此要设法作出平行线,以便利用判定
34、定理.在作平 行线时,要充分考虑到中点D的应用. -75- 一 平行线等分线段定理 MUBIAODAOHANG 目标导航 DIANLI TOUXI 典例透析 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 ZHISHI SHULI 知识梳理 题型一 题型二 题型三 题型四 证明:(方法一)延长AD至点G,使DG=MD,连接BG,CG,如图. BD=DC,MD=DG, 四边形BGCM为平行四边形. ECBG,FBCG. EFBC. = , = , = . -76- 一 平行线等分线段定理 MUBIAODAOHANG 目标导航 DIANLI TOUXI 典例透析 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦
35、 ZHISHI SHULI 知识梳理 题型一 题型二 题型三 题型四 (方法二)过点A作BC的平行线,与BF,CE的延长线分别交于G,H两 点,如图. AHDC,AGBD, = , = , = . BD=DC,AH=AG. HGBC, = , = . AH=AG, = . EFBC. -77- 一 平行线等分线段定理 MUBIAODAOHANG 目标导航 DIANLI TOUXI 典例透析 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 ZHISHI SHULI 知识梳理 题型一 题型二 题型三 题型四 (方法三)过点M作BC的平行线,分别与AB,AC交于G,H两点,如图. 则 = , = , =
36、. BD=DC,GM=MH. GHBC, = , = . GM=MH, = . BC. -78- 一 平行线等分线段定理 MUBIAODAOHANG 目标导航 DIANLI TOUXI 典例透析 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 ZHISHI SHULI 知识梳理 题型一 题型二 题型三 题型四 反思反思利用引理来证明两条直线平行的关键是证明其对应线段成 比例,这样即可转化为证明线段成比例,其证明方法有:利用中间量, 如本题证法一;转化为线段成比例,如本题证法二;既用中间量,又转 化为线段成比例,如本题证法三. -79- 一 平行线等分线段定理 MUBIAODAOHANG 目标导航 D
37、IANLI TOUXI 典例透析 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 ZHISHI SHULI 知识梳理 题型一 题型二 题型三 题型四 【变式训练4】 如图,已知点A,B,C在O的一边l上,点A,B,C在 另一边l上,并且直线ABBA,BCCB. 求证:ACCA. -80- 一 平行线等分线段定理 MUBIAODAOHANG 目标导航 DIANLI TOUXI 典例透析 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 ZHISHI SHULI 知识梳理 题型一 题型二 题型三 题型四 证明:ABBA, OABOBA. = = 1(设比值为k1). 又BCCB,OBCOCB. = = 2(设比
38、值为k2). OA=k1OB=(k1k2)OC,OC=k2OB=(k1k2)OA. = = 12. 又O 为公共角,OACOCA. OAC=OCA.ACCA. -81- 2 2.相似三角形的性质 -82- 一 平行线等分线段定理 MUBIAODAOHANG 目标导航 DIANLI TOUXI 典例透析 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 ZHISHI SHULI 知识梳理 1.掌握相似三角形的性质. 2.能利用相似三角形的性质解决有关问题. -83- 一 平行线等分线段定理 MUBIAODAOHANG 目标导航 DIANLI TOUXI 典例透析 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦
39、 ZHISHI SHULI 知识梳理 相似三角形的性质定理 (1)相似三角形对应角相等,对应边成比例; (2)相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比 都等于相似比; (3)相似三角形周长的比等于相似比; (4)相似三角形面积的比等于相似比的平方; (5)相似三角形外接(内切)圆的直径比、周长比等于相似比,外接 (内切)圆的面积比等于相似比的平方. -84- 一 平行线等分线段定理 MUBIAODAOHANG 目标导航 DIANLI TOUXI 典例透析 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 ZHISHI SHULI 知识梳理 【做一做1】 已知ABCABC,AB=4,AB=3
40、,则BC和BC上 对应中线的比等于( ) 答案:A A. 4 3 B. 3 4 C. 16 9 D.无法确定 解析:相似比为 = 4 3 ,则BC 和 BC上对应中线的比等于相似 比 4 3. -85- 一 平行线等分线段定理 MUBIAODAOHANG 目标导航 DIANLI TOUXI 典例透析 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 ZHISHI SHULI 知识梳理 【做一做 2】 已知ABCABC,且 = 1 4 , = 2, 则等于( ) A.2 B.4 C.8 D.16 解析: = 2 = 1 4, = 1 2. 又BC=2,BC=2BC=4. 答案:B -86- 一 平行线等
41、分线段定理 MUBIAODAOHANG 目标导航 DIANLI TOUXI 典例透析 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 ZHISHI SHULI 知识梳理 【做一做 3】 已知ABCABC, = 2 3,ABC 外接圆的直 径为 4,则ABC外接圆的直径等于( ) A.2 B.3 C.6 D.9 解析:设ABC和ABC 外接圆的直径分别是 d,d,则 = , 4 = 3 2 , = 6. 答案:C -87- 一 平行线等分线段定理 MUBIAODAOHANG 目标导航 DIANLI TOUXI 典例透析 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 ZHISHI SHULI 知识梳理 相似
42、三角形性质和全等三角形性质的比较 剖析:如下表所示. 全等三角形 相似三角形 对应边相等 对应边成比例 对应角相等 对应角相等 对应中线相等 对应中线的比等于相似比 对应角平分线相等 对应角平分线的比等于相似比 对应高相等 对应高的比等于相似比 周长相等 周长的比等于相似比 面积相等 面积的比等于相似比的平方 -88- 一 平行线等分线段定理 MUBIAODAOHANG 目标导航 DIANLI TOUXI 典例透析 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 ZHISHI SHULI 知识梳理 全等三角形 相似三角形 外接(内切)圆 的直径相等 外接(内切)圆的 直径比等于相似比 外接(内切)圆
43、 的周长相等 外接(内切)圆的 周长比等于相似比 外接(内切)圆 的面积相等 外接(内切)圆的面积 比等于相似比的平方 -89- 一 平行线等分线段定理 MUBIAODAOHANG 目标导航 DIANLI TOUXI 典例透析 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 ZHISHI SHULI 知识梳理 题型一 题型二 题型三 题型一 等相似比问题 【例1】 已知ABCABC,ABC的周长为60 cm,ABC 的周长为72 cm,AB=15 cm,BC=24 cm,求: (1)BC,AB; (2)AC,AC. 分析:先由相似三角形周长的比得到相似比,再利用相似比求解. -90- 一 平行线等分
44、线段定理 MUBIAODAOHANG 目标导航 DIANLI TOUXI 典例透析 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 ZHISHI SHULI 知识梳理 题型一 题型二 题型三 解:ABCABC, = = = 60 72 = 5 6. (1)AB=15 cm, 15 = 5 6 , = 18 cm. BC=24 cm, 24 = 5 6, BC=20 cm. (2)AB+BC+AC=60 cm, AC=60-AB-BC=60-15-20=25(cm). = 5 6, 25 = 5 6 ,解得AC=30 cm. -91- 一 平行线等分线段定理 MUBIAODAOHANG 目标导航 DI
45、ANLI TOUXI 典例透析 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 ZHISHI SHULI 知识梳理 题型一 题型二 题型三 反思反思利用相似三角形的性质进行有关的计算,往往与相似三角形 对应边的比及对应角相等有关.解决此类问题,要善于联想,变换比 例式,从而达到求解的目的. -92- 一 平行线等分线段定理 MUBIAODAOHANG 目标导航 DIANLI TOUXI 典例透析 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 ZHISHI SHULI 知识梳理 题型一 题型二 题型三 【变式训练1】 如果两个相似三角形对应边上的中线之比为 34,周长之和是35,那么这两个三角形的周长分别是 ( ) A.13和22 B.14和21 C.15和20 D.16和19 解析:由相似三角形的周长之比、对应中线之比均等于相似比, 可得两个相似三角形的周长之比 又C1+C2=35, C1=15,C2=20,即两个三角
