1、 椭圆及其标准方程（第椭圆及其标准方程（第 1 课时）教学设计课时）教学设计 一、教学内容解析一、教学内容解析 1地位与作用：地位与作用： 本章本章是北师大版选修 11 的第二章圆锥曲线与方程 ，是高中数学解析几何的第 二大部分。解析几何是数学中一个重要的分支，它联系了数学中的数与形、代数与几何 等最基本对象之间的联系。在北师大版必修 2 中，学生已掌握了在平面直角坐标系下研 究直线和圆的方法，本章教材进一步利用三种基本圆锥曲线深化代数与几何的关系。本 章教材内容的顺序是：椭圆抛物线双曲线曲线与方程。这样安排的用意是，先学 圆锥曲线， 再学曲线与方程， 这样的顺序更有利于学生的学习， 符合学生
2、从特殊到一般， 具体到抽象的认知规律。在圆锥曲线的学习过程中，不断的渗透曲线与方程的思想，为 学生理解并掌握“曲线与方程”这一概念奠定了基础。 本节本节是北师大版选修 11 的第二章圆锥曲线与方程第 1 节的内容，主要学习 椭圆的定义、标准方程及其简单的应用，分为两课时，本节课是第 1 课时，主要学习椭 圆的定义及其标准方程。教材以椭圆为基础和重点说明了求方程并利用方程讨论几何性 质的一般方法，然后在认知抛物线和双曲线中得到了巩固和应用，因此椭圆及其标准 方程这一节课起到了承上启下的作用。 2教材处理顺序教材处理顺序 教材在椭圆的定义这个内容的安排上是：先从直观上认识椭圆，再从画法中提炼出 椭
3、圆的几何特征，由此抽象概括出椭圆的定义，最后是椭圆定义的简单应用。这样的安 排不仅体现出课程标准中要求通过丰富的实例展开教学的理念，而且符合学生从具 体到抽象的认知规律，有利于学生对概念的学习和理解。教材在本节内容中只研究了中 心在原点，焦点在x轴上的椭圆的标准方程，让学生自己去归纳焦点在y轴上的椭圆的 标准方程。这样的处理给学生提供了一次探究和交流的机会。有利于学生对抛物线标准 方程的理解，有利于学生思维能力的提高和学习兴趣的培养。 3数学思想方法数学思想方法 本节内容蕴含了：数形结合思想、转化化归思想等。在推导椭圆标准方程过程中让 学生体会移项再平方去根号的方法。 二、教学目标二、教学目标
4、和重难点和重难点 1教学目标教学目标 （1） 知识与技能目标：理解椭圆的定义；掌握的椭圆的标准方程。 （2） 过程与方法目标：在椭圆定义的获知和归纳中，进一步渗透数形结合的数学 思想方法；通过椭圆标准方程的推导过程，巩固用坐标化的方法求动点的轨 迹方程，同时体会含有两个根式的化简思路。 （3） 情感、态度和价值观：通过椭圆定义的归纳，培养学生发现规律，认识规律 并利用规律解决实际问题的能力；通过师生、生生合作学习，增强学生团队 协作能力，增强主动与他人合作交流的意识。 2教学教学重点重点 （1） 掌握椭圆的定义与相关概念； （2） 掌握椭圆的标准方程。 3教学难点教学难点 椭圆标准方程的推导。
5、 三、学生学情分析三、学生学情分析 1学生已有的认知基础学生已有的认知基础 授课班级学生为商南县高级中学高二年级学生。 椭圆是圆锥曲线中基础且重要的一种图形，在实际生活中经常遇到。学生在高一对 解析几何有了初步的了解和认识，对于在平面直角坐标系下的点坐标及长度公式已掌 握，具有一定的空间想象能力、抽象概括能力和推理运算的技能，有较好的学习习惯和 方法。 2学生存在的难点学生存在的难点 学生在涉及到需要自己建立坐标系，再研究推导出方程仍是一个难点。且之前未接 触过一个式子中含两个根式相加的情况，故化简是个问题。 3突破策略突破策略 由教师引领学生观察所绘出的椭圆的特点， 定点位置， 从而建立合适
6、的直角坐标系。 四、教学策略分析四、教学策略分析 1内容突破策略内容突破策略 本节课新知内容分两大板块：一是总结概括出椭圆的定义；二是推导出椭圆的标准 方程。针对第一板块内容，主要采取学生先动手画椭圆，在实践的过程中发现一些固定 不变的量和量与量之间存在的关系，从而总结出椭圆的定义，并且深刻领悟定义中所说 的一些特别要求。针对第二板块内容，主要是采取教师引导，学生动手，通过一般的求 动点轨迹的方法推导出椭圆的标准方程，符合学生的认知规律。 2启迪学生思启迪学生思维维策略：策略： 在教学方法的选择上，采用教师组织引导，学生动手实践、自主探究、合作交流的 学习方式，力求体现教师的引导者、合作者的作
7、用，突出学生的主体地位。 五、教学过程五、教学过程 教学过程教学过程 设计意图设计意图 一、创设情景，导入新课一、创设情景，导入新课 1让学生观察几张典型图片和行星在太阳系中的运动轨迹，由 此看出一个共同的数学图形“椭圆” 。 2大家还能举出生活中你所遇到的椭圆吗？ 3用多媒体演示一个平面截圆锥得椭圆的例子。 1使学生对椭圆有一 个感性认识， 明白生活 实践中有许多数学问 题，数学来源于实践， 同时培养学生学会用 数学的眼光去观察周 围事物的能力。 2通过提问激发学生 课堂上的学习兴趣。 二、椭圆的定义二、椭圆的定义（分四个环节） 1画一画（画椭圆）画一画（画椭圆） 将一条绳子的两端固定在同一
8、个定点上，用笔尖勾起绳子的 中点使绳子绷紧，围绕定点旋转，笔尖形成的轨迹是什么？ （由学生动手在黑板上进行演示，提高学生的动手能力，同时 激起学生学习本节课的兴趣） 而将绳子的两端分别固定在两个定点上，笔尖勾直绳子，移 动笔尖，得到的是轨迹是什么？ （教师提问，让学生动手，拿出提前准备好的毛线，两组同学 上黑板画，其他同学同桌合作在练习本上画） 动画演示作图过程 2认一认认一认（实验总结）（实验总结） 提出问题：作图过程中，哪些量没有变？哪些量变了？ 提出问题：为什么要求作图过程中笔尖要绷紧？ 提出问题：笔尖所对应的动点 M 到定点的距离有什么长度之 间的关系？ 总结： 笔尖对应的动点 M 到
9、直线两个端点的长度之和固定不变。 3说一说（总结定义）说一说（总结定义） 提出问题：根据刚才动手实践的过程，能否总结椭圆的定义？ （同学自由发言，再由学生进一步补充完善） 我们把平面内到两个定点 1 F， 2 F的距离之和等于常数（大于 1给学生提供一个动 手、动脑的学习机会； 2学生可通过动手实 践的过程去体会 “满足 什么样的条件下的点 的集合为椭圆” ，从而 对椭圆定义中的条件 有直观深刻的认识。 3通过三个问题的设 置， 为学生从画法中发 现抛物线的几何特征 奠定基础。 4通过三个典型的问 题， 让学生更深刻地理 解椭圆的定义 21F F）的点的集合叫作椭圆。 问题问题 1：定义中的常
10、数等于 21F F，则动点的轨迹是什么？ 问题问题 2：定义中的常数小于 21F F，则动点的轨迹是什么？ 4椭圆相关概念：椭圆相关概念：两个定点 1 F， 2 F叫作椭圆的焦点 ，两个焦 点 1 F， 2 F间的距离叫作椭圆的焦距 。 5使学生经历椭圆概 念的生成和完善过程， 提高其归纳概括能力， 加深对椭圆本质的认 识， 并逐渐养成严谨的 科学作风。 三、椭圆的标准方程三、椭圆的标准方程 1求一求（推导椭圆的标准方程）求一求（推导椭圆的标准方程） 问题问题 3：回顾圆的轨迹方程是如何求的？ 建系： 设点： yxM, 列式：rOM 得：ryx 22 化简： 222 ryx 问题问题 4 4：
11、以四种建系方式，哪一种针对求椭圆的标准方程比较 好？ （补充说明：椭圆具有一定的对称美，故所求的式子最好简洁 工整） 1让学生由圆的标准 方程的推导过程， 类比 的推导椭圆的标准方 程。 2 椭圆方程不止一种， 建立的坐标系不同， 椭 圆方程的表达形式也 不同， 在高中阶段只掌 握焦点在坐标轴上的 椭圆的标准方程。 1 F 2 F x y O x y O xy O x y O O y x M 动手演算：动手演算：让学生动手，求推导焦点在x轴上的椭圆的标准方程 建系建系： 观察椭圆的几何特征， 如何建系能使方程更简洁？ （利用椭圆的对称性特征） 以直线 21F F为x轴，以线段 21F F的垂直
12、平分线为y轴，建 立平面直角坐标系 设点设点：设焦距为20c c ，则 12 ,0,0FcF c设 ,M x y为椭圆上任意一点，点M与点 12 FF、的距离之和为 222aac 列式列式：动点M满足的几何约束条件: 12 2MFMFa 坐标化为： 22 22 2xcyxcya 化简化简：化简椭圆方程是本节课的难点，突破难点的方法 是引导学生思考如何去根号 预案一：预案一：移项后两次平方法 aycxycx2 2 2 2 2 2 2 2 2 2ycxaycx 两边同时平方、整理得： 2 2 2 ycxacxa 将上式两边平方、整理得： 22222222224 22yacacxaxaxccxaa
13、22222222 caayaxca 1 22 2 2 2 ca y a x 分析 22 ca 的几何含义，令 222 bca 得到焦点在x轴上的椭圆的标准方程为01 2 2 2 2 ba b y a x 预案二：预案二： 用等差数列法： 设 ）（ ）（ tycx taycx a 22 22 2 得 4cx=4at，即 t= a cx 3进一步熟悉用坐标 法求动点轨迹方程的 方法， 掌握化简含根号 等式的方法， 提高运算 能力， 养成不怕困难的 钻研精神， 感受数学的 简洁美、对称美 4数形结合的思想的 灵活应用， 进一步深化 巩固数学思想方法 做好准备， 以备个别学 生想到此种方法 将t= a
14、 cx 代入式得 a cx aycx 22 ）（ 将式两边平方得出结论。以下同预案一 预案预案三：三：三角换元法： 设 ）（ ）（ 222 222 cos2 sina2 aycx ycx 2 得 442 cossin4c4 ax 即 22222 cossincossin4c4 ax即 a a cx a 2 sin2代入式得 a cx aycx 22 ）（ 2 22 2222 2a2 a xc cxyccxx 以下同预案一 2问一问问一问 问题问题 5 ：焦点在y轴上的椭圆的标准方程是什么？ （由学生动手列式，acyxcyx2 2 2 2 2 ，引导 学生观察焦点在x轴上与焦点在y轴上式子的差异
15、， 从而用类比 的方法得到焦点在y轴上椭圆的标准方程） 如果椭圆的焦点在y轴上， 其焦点坐标为cF, 0 1 ，cF, 0 2 ， 用同样的方法可以推出它的标准方程01 2 2 2 2 ba b x a y 问题问题 6：如何用几何图形解释 222 cab？a，b，c在椭圆中 分别表示哪些线段的长？ 四、四、课堂探究课堂探究 探究一：判断分别满足下列条件的动点探究一：判断分别满足下列条件的动点M的轨迹是否为椭圆的轨迹是否为椭圆 （1）到点 1 2,0F 和点 2 2,0F的距离之和为 6 的点的轨迹； （是） （2）到点 1 2,0F 和点 2 0,2F的距离之和为 4 的点的轨迹； （不是）
16、 （3）到点 1 2,0F 和点 2 0,2F的距离之和为 3 的点的轨迹； （不是） 探究探究二二：判定下列椭圆的标准方程在哪个轴上，并写出焦点的：判定下列椭圆的标准方程在哪个轴上，并写出焦点的 坐标坐标 （1）1 1625 22 yx ； （在x轴上，焦点为0 , 3，0 , 3） （2）1 169144 22 yx ； （在y轴上，焦点为5, 0 ，5 , 0） （3）1 1 2 2 2 2 m y m x 。 （在y轴上，焦点为1, 0 ，1 , 0） 1巩固椭圆的定义 2通过本题的练习， 使学生能加深椭圆的 焦距与标准方程之间 关系的理解， 同时会求 标准方程的基本量， 教 学时应引
17、导学生逐层 深入， 养成求椭圆标准 方程先看焦点位置的 良好习惯。 五、课堂小结五、课堂小结 问题问题：这节课你学到了什么？请谈谈你的收获. 1知识内容收获：一个定义（椭圆的定义） ；两个方程（椭圆 的两种标准方程） ；及椭圆中cba,之间的关系。 2学习过程收获：巩固了动点的轨迹方程的求法；通过推 导椭圆的标准方程的过程，学会了两个根式相加的式子的化简 方法，同时提高了自己的运算能力。 3数学思想和方法：数形结合思想；转化化归思想；分类讨论 思想。 目的： 培养学生的概括 总结能力 六、课后巩固练习六、课后巩固练习 1课后思考：当把椭圆的两个焦点合二为一了后，得到的图形 是什么？你能总结出什么样的规律？ 2书面作业： 课本 28 P练习 2: 1, 2, 3 是对本节课新知内容 及学习方法的巩固， 同 时启发学生思考， 让学 生更有兴趣继续研究 椭圆 七、板书设计七、板书设计 椭圆及其标准方程 一、画椭圆 二、定义： caaMFMF222 21 注明：若ca22 ，则点的轨迹不 存在； 若ca22 ，则轨迹为线段 21F F 三、椭圆的标准方程 焦点在x轴上时， 01 2 2 2 2 ba b y a x 焦点在y轴上时， 01 2 2 2 2 ba b x a y
