1、华东师大版华东师大版八年级上册八年级上册章末复习章末复习知识结构知识结构直角三角形直角三角形勾股定理勾股定理勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理应用应用反证法反证法思考并回答下列问题：思考并回答下列问题：问题问题1：勾股定理与逆定理的内容是什么？：勾股定理与逆定理的内容是什么？问题问题2：勾股定理与逆定理的证明方法是怎样的，它们各体现：勾股定理与逆定理的证明方法是怎样的，它们各体现什么样的数学思想？你是怎样理解的？什么样的数学思想？你是怎样理解的？问题问题3：如何判定一个三角形是直角三角形？：如何判定一个三角形是直角三角形？问题问题4：反证法的步骤是什么？：反证法的步骤是什么？要要 点点勾股定理勾
2、股定理 如果直角三角形两直角边分别为如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边，斜边为为c，那么，那么a2+b2=c2.abcAB如果如果在在RtABC中中，C=90，字母表示：字母表示：那么那么a2+b2=c2.勾股定理的证明方法：勾股定理的证明方法：我们利用拼图的方法，将形的问题与数的问题结合起来，我们利用拼图的方法，将形的问题与数的问题结合起来，再进行整式运算，从理论上验证了勾股定理再进行整式运算，从理论上验证了勾股定理.勾股定理逆定理勾股定理逆定理 如果三角形的三边长如果三角形的三边长a，b，c满足满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，那么这个三角形是直角三角形.abcABC
3、字母表示：字母表示：如果如果ABC中中，AB=c，AC=b，BC=a，且，且a2+b2=c2，那么那么ABC是直角三角形是直角三角形.勾股数勾股数 满足满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数的三个正整数，称为勾股数.反证法反证法是从反面的角度着手的间接证明方法，即：肯定条是从反面的角度着手的间接证明方法，即：肯定条件而否定结论，从而得出矛盾，使命题获得证明件而否定结论，从而得出矛盾，使命题获得证明.反证法是反证法是数学中常用的一种证明方法数学中常用的一种证明方法.当命题从正面不容易或不能得当命题从正面不容易或不能得到证明时，就可以考虑运用反证法到证明时，就可以考虑运用反证法.典例精析典例
4、精析例例1（1）下列命题中正确的是（）下列命题中正确的是（）A.1.5，2，2.5是勾股数是勾股数 B.至少有一个角大于至少有一个角大于60的反面是至多有一个角大于的反面是至多有一个角大于60 C.边长为边长为3a，4a，5a的三角形是直角三角形的三角形是直角三角形 D.直角三角形的两边是直角三角形的两边是3和和4，它的面积是，它的面积是6C（2）如图，每个小正方形的边长为）如图，每个小正方形的边长为1，点，点A、B、C是小正方是小正方形的顶点，则形的顶点，则ABC=_.（3）如图，长方形）如图，长方形ABCD中，中，AB=15cm，点，点E在在AD上，且上，且AE=9cm，连结，连结EC将长
5、方形沿将长方形沿BE翻折，点翻折，点A恰好落在恰好落在EC上的上的点点A处，则处，则AC=_cm.458例例2 如图圆柱形的玻璃杯，高为如图圆柱形的玻璃杯，高为12cm，底面周长为，底面周长为18cm，在，在杯内离杯底杯内离杯底4cm的的C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在外壁处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在外壁离杯上沿离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离是多少厘米？离是多少厘米？解：画出全半侧面的展开图，如图，则解：画出全半侧面的展开图，如图，则EF=9cm，AE=4cm，CM=4cm，取点，取点A关于直线关于直线EF的对称点的对称
6、点A，则，则AE=4cm，连，连结结AC交交EF于于P，则，则PA+PC最短，作最短，作GCEN于于G，在，在RtAGC中，中，AP+PC=15(cm).22912 例例3 在在RtABC中，已知两直角边中，已知两直角边a与与b的和为的和为pcm，斜边长为，斜边长为qcm，求这个三角形的面积，求这个三角形的面积.解：解：a+b=p，c=q，a2+2ab+b2=(a+b)2=p2，a2+b2=q2(勾股定理勾股定理).2ab=p2-q2，(cm2).2211=24RtABCSabpq 例例4 如图所示，有一个正方形水池，每边长如图所示，有一个正方形水池，每边长4米，池中央长了米，池中央长了一棵芦
7、苇，露出水面一棵芦苇，露出水面1米，把芦苇的顶端引到岸边，芦苇顶和米，把芦苇的顶端引到岸边，芦苇顶和岸边水面刚好相齐，你能算出水池的深度吗？岸边水面刚好相齐，你能算出水池的深度吗？解：设水池深为解：设水池深为x米，米，BC=x米，米，AC=(x+1)米，因为米，因为池边长为池边长为4米，所以米，所以BA=2米，在米，在RtABC中，根据中，根据勾股定理得勾股定理得x2+22=(x+1)2，解得，解得x=1.5.例例5 如图所示，如图所示，ABC中，中，AB=26，BC=20，BC边上的中线边上的中线AD=24，求，求AC.解：解：AD是边是边BC上的中线，且上的中线，且BC=20，BD=DC=
8、BC=10.AD2+BD2=576+100=676=262=AB2，AD2+BD2=AB2，ADB=90，即，即ADBC.(勾股逆定理勾股逆定理)在在RtADC中，中，AC=122222241026.ADDC 例例6 已知，如图，在四边形已知，如图，在四边形ABCD中，中，ABC=90，CDAD于点于点D，且，且CD2+AD2=2AB2.(1)求证求证AB=BC；(2)当当BEAD于点于点E时，试证明：时，试证明：BE=AE+CD.(1)证明：由条件证明：由条件CD2+AD2=2AB2，并结合图，并结合图形，有形，有CD2+AD2=AC2，又，又AC2=AB2+BC2(连结连结AC)，从而，从
9、而2AB2=AB2+BC2，有，有BC=AB；(2)证明：过证明：过C作作CFBE于于F，由，由AB=BC，ABE=BCF，AEB=CFB，知，知ABE BCF，有，有BF=AE，且，且CD=FE，BE=BF+EF=AE+CD.F复习题复习题1.求下列各图形着色部分的面积：求下列各图形着色部分的面积：(1)着色部分是正方形；着色部分是正方形；(2)着色部分是长方形；着色部分是长方形；A组组12cm13cm15cm8cm3cmS=132-122=25(cm2).222=3 158=3 17=51 cm.S (3)着色部分是半圆着色部分是半圆.6cm10cm 22221106=8 cm.22S 2
10、.如图，以如图，以RtABC的三边为斜边分别向外作三个等腰直角的三边为斜边分别向外作三个等腰直角三角形，试探索这三个等腰直角三角形的面积之间的关系三角形，试探索这三个等腰直角三角形的面积之间的关系.解：以解：以a、b为斜边的两个等腰直角三为斜边的两个等腰直角三角形的面积等于以角形的面积等于以c为斜边的等腰直角为斜边的等腰直角三角形的面积三角形的面积3.试判断由下列三边围成的三角形是否是直角三角形：试判断由下列三边围成的三角形是否是直角三角形：(1)三边长分别为三边长分别为m2+n2、mn、m2-n2(mn0)；(2)三边长之比为三边长之比为1 1 .2不是不是是是4.一架一架2.5米长的梯子靠
11、在一座建筑物上，梯子的底部离建筑米长的梯子靠在一座建筑物上，梯子的底部离建筑物物0.7米，如果梯子的顶部滑下米，如果梯子的顶部滑下0.4米，梯子的底部向外滑出多米，梯子的底部向外滑出多远？远？解：设下滑之前，梯子顶部到地面的距离为解：设下滑之前，梯子顶部到地面的距离为 221=2.50.7=2.4.h 米米下滑下滑0.4米之后，梯子顶部到地面的距离米之后，梯子顶部到地面的距离h2=2.4-0.4=2(米米)，梯子底部离建筑物的距离梯子底部离建筑物的距离 222.521.5x 米米，梯子底部向外滑出梯子底部向外滑出1.5-0.7=0.8(米米).所以梯子底部向外滑出所以梯子底部向外滑出0.8米米
12、.5.在如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三在如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大正方形的边长为角形都是直角三角形，其中最大正方形的边长为7cm.求正方求正方形形A、B、C、D的面积和的面积和.ABEFCDG解：解：SA+SB+SC+SD =SE+SF =SG=72=49(cm2).6.在在ABC中，中，AB=AC=10，BD是是AC边上的高，边上的高，DC=2.求求BD的长的长.B组组解：因为解：因为AD=AC-CD=10-2=8，所以，所以BD=6.22ABAD 7.有一块四边形地有一块四边形地ABCD(如图如图)，B=90.AB=4
13、m，BC=3m，CD=12m，DA=13m.求该四边形地的面积求该四边形地的面积.解：连接解：连接AC，由勾股定理得，由勾股定理得AC=5(m)，2234 AC2+CD2=52+122=132=AD2，由勾股定理的逆定理得由勾股定理的逆定理得ACD=90，所以所以S四边形四边形ABCD=SACD+SABC 211=5 123 4=36 m.22 8.我们已经知道，我们已经知道，3、4、5，6、8、10 等都是一些勾股数等都是一些勾股数.请你请你再写出其他再写出其他5组勾股数组勾股数.解：解：5，12，13；7，24，25；8，15，17；9，12，15；12，16，20(答案不唯一答案不唯一)
14、.9.试证明一个五边形不可能有试证明一个五边形不可能有4个内角为锐角个内角为锐角.证明：假设五边形有四个内角是锐角，那么与它们相邻的四证明：假设五边形有四个内角是锐角，那么与它们相邻的四个外角均为钝角，其和大于个外角均为钝角，其和大于360，与多边形外角和为，与多边形外角和为360矛盾，所以假设不成立，故五边形不可能有矛盾，所以假设不成立，故五边形不可能有4个内角为锐角个内角为锐角.C组组10.已知已知ABC的三边长的三边长a、b、c满足条件：满足条件：a4-b4+b2c2-a2c2=0.试判断试判断ABC的形状的形状.解：因为解：因为a4-b4+b2c2-a2c2=0，(a2+b2)(a2-
15、b2)+c2(b2-a2)=0，(a2-b2)(a2+b2-c2)=0，a2-b2=0或或a2+b2-c2=0，a+b=0(舍舍)或或a=b或或a2+b2=c2，ABC为等腰三角形或直角三角形为等腰三角形或直角三角形.11.如图，在四边形如图，在四边形ABCD中，中，AB=BC=2，CD=3，DA=1，且，且B=90.求求DAB的大小的大小.解：连接解：连接AC，AB=BC=2，B=90，BAC=BCA=45，AC=228.ABBC 在在ACD中，中，AD2+AC2=9=CD2，ACD中是直角三角形，中是直角三角形，DAC=90，DAB=DAC+BAC=135.12.如图，在五边形如图，在五边
16、形ABCDE中，中，B=E=90，AB=5cm，ABC的面积是的面积是30cm2，ACD与与AED关于关于AD所在的直线所在的直线成轴对称成轴对称.求求AE的长的长.解：由题可知解：由题可知SABC=AB=5cm，SABC=30cm2.1.2BC AB =30cm2，BC=12cm.152BC 在在ABC中，中，AC=2222512ABBC =13(cm).又又ACD与与AED关于关于AD所在的直线成轴对称，所在的直线成轴对称，AE=AC=13cm.13.折竹抵地（源自折竹抵地（源自九章算术九章算术）：）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺.问折者高几何？意即：一根竹子，原高问折者高几何？意即：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子处其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子处3尺尺远远.问原处还有多高的竹子？问原处还有多高的竹子？解：设原处还有解：设原处还有x尺高的竹子，由勾股定理得尺高的竹子，由勾股定理得x2+32=(10-x)2，解得解得914.55.20 x 答：原处还有答：原处还有4.55尺高的竹子尺高的竹子.课后作业课后作业1.从课后习题中选取；从课后习题中选取；2.完成练习册本课时的习题完成练习册本课时的习题.
