1、华东师大版华东师大版八年级上册八年级上册第第14章章 勾股定理勾股定理1.直角三角形直角三角形三边的关系三边的关系新课导入新课导入 你知道你知道2002年在北京召开的国际数学家大会年在北京召开的国际数学家大会(ICM-2002)吗？在这次大会上，到处可以看到一个简洁优美、远看像旋吗？在这次大会上，到处可以看到一个简洁优美、远看像旋转的纸风车的图案，它就是大会的会标转的纸风车的图案，它就是大会的会标.会标采用了会标采用了1700多多年前中国古代数学年前中国古代数学家赵爽用来证明家赵爽用来证明勾勾股定理股定理的弦图的弦图.思考：思考：如图所示是正方形瓷砖铺成的地面，观察图中着色的如图所示是正方形瓷
2、砖铺成的地面，观察图中着色的三个正方形，三个正方形，P、Q、R的面积有什么关系？的面积有什么关系？PQRACBSP+SQ=SR直角三角形直角三角形ABC三边有什么关系？三边有什么关系？AC2+BC2=AB2等腰直角三角形等腰直角三角形ABC中，中，两直角边的两直角边的平方和等于斜边的平方平方和等于斜边的平方.那么在一般的直角三那么在一般的直角三角形中，两直角边的角形中，两直角边的平方和是否等于斜边平方和是否等于斜边的平方呢？的平方呢？试试 一一 试试 观察右图，如果每一小方格表观察右图，如果每一小方格表示示1平方厘米，那么可以得到：平方厘米，那么可以得到：PQRABC正方形正方形P的面积的面积
3、=_平方厘米；平方厘米；正方形正方形Q的面积的面积=_平方厘米；平方厘米；正方形正方形R的面积的面积=_平方厘米平方厘米.91625PQRABC 我们发现，正方形我们发现，正方形P、Q、R的的面积之间的关系是面积之间的关系是_.SP+SQ=SR 由此，我们得出由此，我们得出RtABC的三的三边长度之间存在的关系是：边长度之间存在的关系是：AC2+BC2=AB2做做 一一 做做 画出两条直角边分别为画出两条直角边分别为5cm、12cm的直角三角形，然后的直角三角形，然后用刻度尺量出斜边的长，并验证上述关系对这个直角三角形用刻度尺量出斜边的长，并验证上述关系对这个直角三角形是否成立是否成立.5cm
4、12cm13cm探究新知探究新知概括概括 由上面的探索可以发现：对于任意的直角由上面的探索可以发现：对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜，斜边为边为c，那么一定有，那么一定有a2+b2=c2，abc这种关系我们称为这种关系我们称为勾股定理勾股定理.即即 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系.读读 一一 读读 我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称
5、为弦直角边称为股，斜边称为弦.“弦图弦图”最早是由三国时期的数最早是由三国时期的数学家赵爽在为学家赵爽在为周髀算经周髀算经作注时给出的，它标志着中国古作注时给出的，它标志着中国古代的数学成就代的数学成就.勾勾股股abc股股勾勾弦弦思考：思考：怎样证明勾股定理？怎样证明勾股定理？左图是弦图的示意图，它由左图是弦图的示意图，它由4个全等的个全等的直角三角形与一个小正方形组成，恰好拼成直角三角形与一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形一个大正方形.大正方形的面积大正方形的面积=c2.四个全等的直角三角形和小正方形的面积之四个全等的直角三角形和小正方形的面积之和和=.222142abbaab即即a2+
6、b2=c2.做做 一一 做做 用四个全等的直角三角形，还可以拼成如图所示的图形用四个全等的直角三角形，还可以拼成如图所示的图形.与上面的方法类似，根据这一图形，也能证明勾股定理与上面的方法类似，根据这一图形，也能证明勾股定理.请你请你试一试，写出完整的证明过程试一试，写出完整的证明过程.证明：大正方形的面积证明：大正方形的面积=(a+b)2.四个个全等的直角三角形和小正方形的面积四个个全等的直角三角形和小正方形的面积之和之和=.221422abcabc由题可知由题可知(a+b)2=2ab+c2，化简可得化简可得a2+b2=c2.我们利用拼图的方法，将形的问题我们利用拼图的方法，将形的问题与数的
7、问题结合起来，再进行整式与数的问题结合起来，再进行整式运算，从理论上验证了勾股定理运算，从理论上验证了勾股定理.cbac2bbaaccccc2b2a2c2a2b2例例1在在RtABC中，已知中，已知B=90，AB=6，BC=8.求求AC.解：解：根据勾股定理，可得根据勾股定理，可得AB2+BC2=AC2.22226810.ACABBC所以所以应用勾股定理，由直角三角应用勾股定理，由直角三角形任意两边的长度，可以求形任意两边的长度，可以求出第三边的长度出第三边的长度.（1）在）在RtABC中，中，C=90，AC=5，BC=12，则，则AB=_；（2）在）在RtABC中，中，C=90，AB=25，
8、AC=20，则，则BC=_；（3）在）在RtABC中，中，C=90，它的两边是，它的两边是6和和8，则它，则它的第三边长是的第三边长是_.试试 一一 试试131510或或2 7例例2 如图所示，如图所示，RtABC的斜边的斜边AC比直角边比直角边AB长长2cm，另一直角边另一直角边BC长为长为6cm.求求AC的长的长.解：解：由已知由已知AB=AC-2，BC=6cm，根据勾，根据勾股定理可得股定理可得AB2+BC2=(AC-2)2+62=AC2，ABC解得解得AC=10(cm).如图所示，为了求出位于湖两岸的点如图所示，为了求出位于湖两岸的点A、B之间的距之间的距离，一名观测者在点离，一名观测
9、者在点C设桩，使设桩，使ABC恰好为直角三角形恰好为直角三角形.通通过测量，得到过测量，得到AC的长为的长为160米，米，BC的长为的长为128米米.问从点问从点A穿穿过湖到点过湖到点B有多远？有多远？例例3解：解：如图所示，在如图所示，在RtABC中，中，AC=160米，米，BC=128米，米，根据勾股定理，可得根据勾股定理，可得 2222160128=96ABACBC米米答：从点答：从点A穿过湖到点穿过湖到点B有有96米米.随堂练习随堂练习1.在在RtABC中，中，AB=c，BC=a，AC=b，C=90.(1)已知已知a=6，c=10，求，求b；(2)已知已知a=24，c=25，求，求b.
10、解：解：(1)在在RtABC中，中，C=90，a=6，c=10，由勾股定，由勾股定理，得理，得 .22221068bca(2)在在RtABC中，中，C=90，a=24，c=25，根据勾股定理，根据勾股定理，得得 .222225247bca2.如果一个直角三角形的两条边长分别是如果一个直角三角形的两条边长分别是3厘米和厘米和4厘米，那厘米，那么这个三角形的周长是多少厘米？么这个三角形的周长是多少厘米？(精确到精确到0.1厘米厘米)解：分两种情况解：分两种情况.若这两边是直角边，则斜边长是若这两边是直角边，则斜边长是 =5，周长是，周长是3+4+5=12(厘米厘米)；若这两边中较长的边是斜；若这两
11、边中较长的边是斜边，则斜边长为边，则斜边长为4厘米，所以另一直角边的长为厘米，所以另一直角边的长为 (厘米厘米)，周长是，周长是 (厘米厘米)，所以此三角，所以此三角形的周长是形的周长是12厘米或厘米或9.6厘米厘米.2234 2243=7 347=779.63.如图，小方格都是边长为如图，小方格都是边长为1的正方形的正方形.求四边形求四边形ABCD的面的面积与周长积与周长.(精确到精确到0.1)解：解：S大正方形大正方形=55=25，四个直角三角形的面积之和四个直角三角形的面积之和=12 +24 +33 +23 =12.512121212所以所以S四边形四边形ABCD=25-12.5=12.
12、5.3.如图，小方格都是边长为如图，小方格都是边长为1的正方形的正方形.求四边形求四边形ABCD的面的面积与周长积与周长.(精确到精确到0.1)C四边形四边形ABCD=AD+DC+BC+AB22222222=12242333=520131814.6.答：四边形答：四边形ABCD的面积是的面积是12.5，周长约是，周长约是14.6.4.假期中，王强和同学到某海岛上去探宝旅游假期中，王强和同学到某海岛上去探宝旅游.按照探宝图按照探宝图(如图如图)，他们在点，他们在点A处登陆后先往东走处登陆后先往东走8千米，又往北走千米，又往北走2千千米，遇到障碍后又往西走米，遇到障碍后又往西走3千米，再折向北走到
13、千米，再折向北走到6千米处往千米处往东一拐，仅走东一拐，仅走1千米就找到了宝藏，问登陆点千米就找到了宝藏，问登陆点A到宝藏埋藏到宝藏埋藏点点B的直线距离是多少千米？的直线距离是多少千米？C解：如图所示，过点解：如图所示，过点B作作AD的垂线，垂足为的垂线，垂足为C，则则ABC为直角三角形，且为直角三角形，且AC=8-3+1=6，BC=6+2=8，所以所以AB=10(千米千米).2268 答：登陆点答：登陆点A到宝藏埋藏点到宝藏埋藏点B的直线距离的直线距离是是10千米千米.课堂小结课堂小结勾股定理勾股定理定理定理验证验证1.求边长、面积，证明线段之间的求边长、面积，证明线段之间的平方关系平方关系2.勾股定理的实际应用勾股定理的实际应用应用应用直角三角形两直角边的平方和直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方等于斜边的平方用拼图法验证勾股定理用拼图法验证勾股定理课后作业课后作业1.从课后习题中选取；从课后习题中选取；2.完成练习册本课时的习题完成练习册本课时的习题.
