1、 数学，自然科学的根本，人类智慧的结晶！ 戴氏鲁航宇老师答疑热线：18792485472 第 1 页 共 8 页 二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳 1、一元二次方程0 2 cbxax 根的分布情况 设方程 2 00axbxca 的不等两根为 12 ,x x且 12 xx，相应的二次函数为 2 0f xaxbxc ， 方程的根即为二次函数图象与x轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件） 表一： （两根与 0 的大小比较即根的正负情况） 分 布 情 况 两个负根即两根都小于 0 12 0,0 xx 两个正根即两根都
2、大于 0 12 0,0 xx 一正根一负根即一个根小于 0，一个大于 0 12 0 xx 大 致 图 象 （ 0a ） 得 出 的 结 论 0 0 2 00 b a f 0 0 2 00 b a f 00 f 大 致 图 象 （ 0a ） 得 出 的 结 论 0 0 2 00 b a f 0 0 2 00 b a f 00 f 综 合 结 论 （ 不 讨 论 a ） 0 0 2 00 b a a f 0 0 2 00 b a a f 00 fa 数学，自然科学的根本，人类智慧的结晶！ 戴氏鲁航宇老师答疑热线：18792485472 第 2 页 共 8 页 表二： （两根与k的大小比较） 分 布
3、 情 况 两根都小于k即 kxkx 21 , 两根都大于k即 kxkx 21 , 一个根小于k，一个大于k即 21 xkx 大 致 图 象 （ 0a ） 得 出 的 结 论 0 2 0 b k a f k 0 2 0 b k a f k 0kf 大 致 图 象 （ 0a ） 得 出 的 结 论 0 2 0 b k a f k 0 2 0 b k a f k 0kf 综 合 结 论 （ 不 讨 论 a ） 0 2 0 b k a a f k 0 2 0 b k a a f k 0kfa k k k 数学，自然科学的根本，人类智慧的结晶！ 戴氏鲁航宇老师答疑热线：18792485472 第 3 页
4、 共 8 页 表三： （根在区间上的分布） 分 布 情 况 两根都在nm,内 两根有且仅有一根在nm,内 （图象有两种情况，只画了一种） 一根在nm,内， 另一根在qp, 内，qpnm 大 致 图 象 （ 0a ） 得 出 的 结 论 0 0 0 2 f m f n b mn a 0nfmf 0 0 0 0 f m f n fp f q 或 0 0 f m f n fp f q 大 致 图 象 （ 0a ） 得 出 的 结 论 0 0 0 2 f m f n b mn a 0nfmf 0 0 0 0 f m f n fp f q 或 0 0 f m f n fp f q 综 合 结 论 （ 不
5、 讨 论 a ） 0nfmf 0 0 qfpf nfmf 根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间nm,外，即在区间两侧 12 ,xm xn， （图形分别如下） 需满足的条件是 数学，自然科学的根本，人类智慧的结晶！ 戴氏鲁航宇老师答疑热线：18792485472 第 4 页 共 8 页 （1）0a时， 0 0 f m f n ； （2）0a时， 0 0 f m f n 对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明： （1）两根有且仅有一根在nm,内有以下特殊情况： 1 若 0f m 或 0f n ， 则此时 0f mf n 不成立， 但对于这种情况是知道了方程有一根为m或n， 可以求出另外一根
6、， 然后可以根据另一根在区间nm,内， 从而可以求出参数的值。 如方程 2 220mxmx 在区间1,3上有一根，因为 10f，所以 2 2212mxmxxmx，另一根为 2 m ，由 2 13 m 得 2 2 3 m即为所求； 2 方程有且只有一根，且这个根在区间nm,内，即0 ，此时由0 可以求出参数的值，然后再将参数 的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。如方程 2 4260 xmxm有且一根在区间3, 0内，求m的取值范围。分析：由 300ff即 141530mm得出 15 3 14 m ；由0 即 2 164 260mm得出1m或 3 2 m
7、 ，当 1m时，根23,0 x ，即1m满足题意；当 3 2 m 时，根33,0 x ，故 3 2 m 不满足题意； 综上分析，得出 15 3 14 m 或1m 根的分布练习题根的分布练习题 例 1、已知二次方程 2 21210mxmxm有一正根和一负根，求实数m的取值范围。 解：由 2100mf 即 2110mm，从而得 1 1 2 m即为所求的范围。 例 2、已知方程 2 210 xmxm有两个不等正实根，求实数m的取值范围。 数学，自然科学的根本，人类智慧的结晶！ 戴氏鲁航宇老师答疑热线：18792485472 第 5 页 共 8 页 解：由 0 1 0 2 2 00 m f 2 180
8、 1 0 mm m m 32 232 2 0 mm m 或 03 2 2m 或32 2m 即为所求的范围。 例 3、已知二次函数 2 22433ymxmxm与x轴有两个交点，一个大于 1，一个小于 1，求实 数m的取值范围。 解：由 210mf 即 2210mm 1 2 2 m 即为所求的范围。 例 4、已知二次方程 2 2340mxmx只有一个正根且这个根小于 1，求实数m的取值范围。 解：由题意有方程在区间0,1上只有一个正根，则 010ff 4 310m 1 3 m 即为所 求范围。 （注： 本题对于可能出现的特殊情况方程有且只有一根且这个根在0,1内， 由0 计算检验， 均不复合题意，
9、 计算量稍大） 数学，自然科学的根本，人类智慧的结晶！ 戴氏鲁航宇老师答疑热线：18792485472 第 6 页 共 8 页 2、二次函数在闭区间nm,上的最大、最小值问题探讨 设 00 2 acbxaxxf，则二次函数在闭区间nm,上的最大、最小值有如下的分布情况： a b nm 2 n a b m 2 即nm a b , 2 nm a b 2 图 象 最 大 、 最 小 值 nfxf mfxf min max a b fxf mfnfxf 2 ,max min max mfxf nfxf min max 对于开口向下的情况，讨论类似。其实无论开口向上还是向下，都只有以下两种结论： （1）
10、若nm a b , 2 ，则 nf a b fmfxf, 2 ,max max ， nf a b fmfxf, 2 ,min min ； （2）若nm a b , 2 ，则 nfmfxf,max max ， nfmfxf,min min 另外，当二次函数开口向上时，自变量的取值离开x轴越远，则对应的函数值越大；反过来，当二次函数开 口向下时，自变量的取值离开x轴越远，则对应的函数值越小。 二次函数在闭区间上的最值练习二次函数在闭区间上的最值练习 二次函数在闭区间上求最值，讨论的情况无非就是从三个方面入手：开口方向、对称轴以及闭区间，以下三 个例题各代表一种情况。 例 1、函数 2 220f x
11、axaxb a 在2,3上有最大值 5 和最小值 2，求, a b的值。 解：对称轴 0 12,3x ，故函数 f x在区间2,3上单调。 （1）当0a时，函数 f x在区间2,3上是增函数，故 max min 3 2 f xf f xf 325 22 ab b 1 0 a b ； （2）当0a时，函数 f x在区间2,3上是减函数，故 max min 2 3 fxf fxf 25 322 b ab 1 3 a b 数学，自然科学的根本，人类智慧的结晶！ 戴氏鲁航宇老师答疑热线：18792485472 第 7 页 共 8 页 例 2、求函数 2 21,1,3f xxaxx的最小值。 解：对称轴
12、 0 xa （1）当1a 时， min 122yfa； （2）当13a时， 2 min 1yf aa ； （3）当3a 时， min 3106yfa 改：1本题若修改为求函数的最大值，过程又如何？ 解： （1）当2a时， max 3106f xfa； （2）当2a时， max 122f xfa。 2本题若修改为求函数的最值，讨论又该怎样进行？ 解： （1）当1a 时， max 3106f xfa， min 122f xfa； （2）当12a时， max 3106f xfa， 2 min 1f xf aa ； （3）当23a时， max 122f xfa， 2 min 1f xf aa ； （4
13、）当3a时， max 122f xfa， min 310 6f xfa。 例 3、求函数 2 43yxx在区间,1t t 上的最小值。 解：对称轴 0 2x （1）当2t即2t 时， 2 min 43yf ttt； （2）当21tt 即12t 时， min 21yf； （3）当21t 即1t 时， 2 min 12yf ttt 例 4、讨论函数 2 1f xxxa的最小值。 解： 2 2 2 1, 1 1, xaxxa f xxxa xaxxa ，这个函数是一个分段函数，由于上下两段上的对称轴分别为 直线 1 2 x ， 1 2 x ，当 1 2 a ， 11 22 a， 1 2 a 时原函数的图象分别如下（1） ， （2） ， （3） 数学，自然科学的根本，人类智慧的结晶！ 戴氏鲁航宇老师答疑热线：18792485472 第 8 页 共 8 页 因此， （1）当 1 2 a 时， min 13 24 f xfa ； （2）当 11 22 a时， 2 min 1f xf aa； （3）当 1 2 a 时， min 13 24 f xfa 以上内容是自己研究整理，有什么错误的地方，欢迎各位指正，不胜感激！
