1、 湖北省部分重点中学湖北省部分重点中学 2021 届高三上学期届高三上学期 10 月联考月联考 数学试卷 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1.全集，则图中阴影部分表示的集合是( ) A B C D 2. 从2020年起，某地考生的高考成绩由语文、数学、外语3门统一高考成绩和考生选考的 3 门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成等级性考试成绩位次由高到低分为A、 B、C、D、E，各等级人数所占比例依次为：A等级15%，B等级40%，C等级30%， D等级14%，E等级1% 现采用分层抽样的方法， 从参加
2、历史等级性考试的学生中抽取200 人作为样本，则该样本中获得A或B等级的学生人数为（ ） A55 B80 C90 D110 3已知 Ax|1x2，命题“xA，x2a0”是真命题的一个充分不必要条件是( ) Aa4 Ba4 Ca5 Da5 4在增减算法统宗中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减 一半，如此六日过其关”.则下列说法不正确的是（ ） A此人第一天走的路程比后五天走的路程多 6 里 B此人第六天只走了 5 里路 C此人第二天走的路程比全程的 1 4 还多 1.5 里 D此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的 8 倍 5. 已知定义在R上的函数 | ( )21
3、x m f x （m为实数）为偶函数，记 3 2af ， 3mbf ， 0.5 log3cf，则（ ） Aabc Bacb Ccab Dcba 6. 函数 ( )sin()(0) 4 f xAx的图象与x轴正方向交点的横坐标由小到大构成一个公 差为 3 的等差数列，要得到函数( )cosg xAx的图象，只需将 ( )f x的图象（ ） A向右平移 4 个单位 B向左平移 12 个单位 C向左平移 4 个单位 D向右平移 3 4 个单位 7现有某种细胞 1 千个，其中约有占总数一半的细胞每小时分裂一次，即由 1 个细胞分裂成 2 个细胞，按这种规律，1 小时后，细胞总数约为1 210000 1
4、 2100002 3 210000，2 小时 后，细胞总数约为1 2 3 210000 1 2 3 2100002 9 410000，问当细胞总数超过 10 10个时， 所需时间至少为( ) (参考数据：lg30.477，lg20.301) A38 小时 B39 小时 C40 小时 D41 小时 8. 若1a ，设函数 4 x f xax 的零点为 ,log4 a m g xxx 的零点为n，则 11 mn 的取值范围是( ) A 7 , 2 B 9 , 2 C4, D 1, 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求。全部选
5、对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分。 9. 如图，点 P 在正方体 1111 ABCDABC D的面对角线 1 BC上运动，则下列四个结论： A三棱锥 1 AD PC的体积不变 B 1 AP与平面 1 ACD所成的角大小不变 C. 1 DPBC D 1 DB 1P A 其中正确的结论有( ) 10.已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左右两个顶点分别是 A1， A2， 左右两个焦点分别是 F1， F2，P 是双曲线上异于 A1，A2的任意一点，给出下列命题，其中是真命题的有（ ） A 12 2PFPFa B直线 12 ,PA PA的斜率之积等于定值
6、2 2 b a C使 12 PFF为等腰三角形的点P有且仅有 4 个 D焦点到渐近线的距离等于 b 11.在ABCV中，角 , ,A B C所对的边分别为, ,a b c，已知60B ， 4b，下列判断： A若3c ，则角C有两解； B若 9 2 a ，则角C有两解； CABCV为等边三角形时周长最大. D ABCV为等边三角形时面积最小 其中判断正确的是（ ） 12. 已知函数 lnf xx， 32 ( )2e()g xxxkx kR， 若函数( )( )yf xg x有唯一零点,则以下四个命题中正确的是_ A 2 1 e e k B曲线 ( )yg x 在点(e, (e)g处的切线与直线e
7、10 xy 平行 C函数 2 ( )2eyg xx在0,e上的最大值为 2 2e1 D函数 2 ( )e e x yg xx在 0,1上单调递增。 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13. 4 2xyxy的展开式中 32 x y的系数为_ 14.函数 2 ln 1 x f xa x 为奇函数，则实数 _a 15.ABC中，角, ,A B C所对的边分别为, ,a b c，若函数 3222 1 3 f xxbxacac x1有 极值点，则角B的范围是_ 16. 黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家波恩哈德 黎曼发现提出，在高等数学 中有着广泛的应用，其定义为：
8、 1 ,( , 0,0,10,1 qq xp q pppR x x 当都是正整数是既约真分数) 当或上的无理数 ，若函数 f x是定义在R上 的奇函数，且对任意x都有 20fxf x，当0,1x时， f xR x，则 108 lg 35 ff _. 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. 已知函数( )logkf xx（k 为常数，0k 且1k ） （1）在下列条件中选择一个，使数列 n a是等比数列，说明理由； 数列 n f a是首项为 2，公比为 2 的等比数列； 数列 n f a是首项为 4，公差为 2 的等差数列； 数列 n f a是
9、首项为 2，公差为 2 的等差数列的前 n 项和构成的数列 （2）在（1）的条件下，当 2k 时，设 1 2 2 41 n nn a b n ，求数列 n b的前 n 项和 n T. 18. 已知函数 ( )cos()(0,0,0) 2 f xAxA的图象过点（0， 1 2 ） ，最小正周 期为 2 3 ，且最小值为1. （1）求函数 ( )f x的解析式. （2）若 ( )f x在区间 , 6 m上的取值范围是 3 1, 2 ，求 m 的取值范围. 19. 如图，在三棱锥VABC中，平面VAC 平面ABC，ABC和VAC均是等腰直角三 角形，ABBC，2ACCV，M，N分别为VA，VB的中点
10、. （）求证：ABVC； （）求直线VB与平面CMN所成角的正弦值. 20. 在平面直角坐标系中，椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)过点 5 2 ， 3 2 ，离心率为2 5 5 . (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)过点 K(2,0)作与 x 轴不重合的直线与椭圆 C 交于 A，B 两点，过 A，B 点作直线 l：xa 2 c 的垂线， 其中 c 为椭圆 C 的半焦距，垂足分别为 A1，B1，试问直线 AB1与 A1B 的交点是否为定点，若是， 求出定点的坐标；若不是，请说明理由 21. 某中学数学竞赛培训共开设有初等代数、初等几何、初等数论和微积分初步共四门课程， 要求初等
11、代数、初等几何都要合格，且初等数论和微积分初步至少有一门合格，才能取得参 加数学竞赛复赛的资格，现有甲、乙、丙三位同学报名参加数学竞赛培训，每一位同学对这 四门课程考试是否合格相互独立，其合格的概率均相同， （见下表） ，且每一门课程是否合格 相互独立， 课 程 初等代数 初等几何 初等数论 微积分初步 合格的概率 3 4 2 3 2 3 1 2 （1）求甲同学取得参加数学竞赛复赛的资格的概率； （2）记表示三位同学中取得参加数学竞赛复赛的资格的人数，求的分布列（只需列式无 需计算）及期望E 22. 已知函数 2 x xaxa f x e ，其中aR. （1）当0a时，求曲线 yf x在点 1
12、,1f的切线方程； （2）求证：若 f x有极值，则极大值必大于 0. 答案 选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A D C B A B C D ABD BD BC AB 填空题： 13. 14 14. 1 15. (, ) 3 16. 1 5 解答题 17. （10 分） 【解析】 （1）不能使 n a成等比数列.可以： 由题意4(1) 222 n f ann ， 1 分 即log22 kn an，得 22n n ak ，且 4 1 0ak， 2(1) 2 2 1 22 n n n n ak k ak . 3 分 常数0k 且1k ， 2 k为非零常数
13、， 数列 n a是以 4 k为首项， 2 k为公比的等比数列 4 分 （2）由（1）知 2n2 n ka ，所以当 2k 时， 1 2n n a . 5 分 因为 1 2 2 41 n nn a b n ， 所以 2 1 41 n b n ，所以 1111 (21)(21)2 2121 n b nnnn ， 7 分 12 111111 .1. 23352121 nn Tbbb nn 11 1 22121 n nn . 10 分 18. （12 分） 【解析】 （1）由函数的最小值为1，可得 A=1， 2 分 因为最小正周期为 2 3 ，所以=3. 4 分 可得( )cos(3)f xx， 又因
14、为函数的图象过点（0， 1 2 ） ，所以 1 cos 2 ，而0 2 ，所以 3 ， 故( )cos(3) 3 f xx . 6 分 （2）由, 6 xm ，可知 5 33 633 xm ， 因为 53 ()cos 662 f ，且 cos=1， 73 cos 62 ， 由余弦曲线的性质的， 7 3 36 m ，得 25 918 m ， 即 25 , 918 m . 12 分 19. （12 分） 【解析】 （）在等腰直角三角形VAC中，ACCV，所以VCAC. 2 分 因为平面VAC 平面ABC，平面VAC平面ABCAC， VC 平面VAC， 所以VC 平面ABC. 4 分 又因为AB平面
15、ABC，所以ABVC； 5 分 （）在平面ABC内过点C作CH垂直于AC， 由（）知，VC 平面ABC， 因为CH 平面ABC，所以VCCH. 6 分 如图，以C为原点建立空间直角坐标系Cxyz. 则0,0,0C，0,0,2V，1,1,0B，1,0,1M， 1 1 ,1 2 2 N . 1,1, 2VB ，1,0,1CM ， 1 1 ,1 2 2 CN . 7 分 设平面CMN的法向量为, ,nx y z， 则 0 0 n CM n CN ，即 0 11 0 22 xz xyz . 令1x 则1y ，1z ，所以()1,1,1n=-. 10 分 直线VB与平面CMN所成角大小为， 2 2 si
16、ncos, 3 n VB n VB n VB . 所以直线VB与平面CMN所成角的正弦值为 2 2 3 . 12 分 20. （12 分） 【解析】 (1)由题意得 a2b2c2， 5 4a2 3 4b21， c a 2 5 5 a 5， b1， c2， 所以椭圆 C 的标准方程为x 2 5y 21. 4 分 (2)当直线 AB 的斜率不存在时，直线 l：x5 2， AB1与 A1B 的交点是 9 4，0 . 5 分 当直线 AB 的斜率存在时，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 直线 AB 为 yk(x2)， 由 yk（x2）， x25y25 (15k2)x220k2x20k250，
17、所以 x1x2 20k2 15k2，x1x2 20k25 15k2 ， 6 分 A1 5 2，y1 ，B1 5 2，y2 ， 所以 lAB1：yy2y1 5 2x1 x5 2 y2， lA1B：yy2y1 x25 2 x5 2 y1， 7 分 联立解得 x x1x225 4 x1x25 20k25 15k2 25 4 20k2 15k25 45（1k 2） 20（1k2 )9 4， 9 分 代入上式可得 yk（x2x1） 104x1 y29k（x1x2）4kx1x220k 4x110 9k20k 2 15k24k 20k25 15k2 20k 4x110 0. 11 分 综上，直线 AB1与
18、A1B 过定点 9 4，0 . 12 分 21. （12 分） 【解析】 （1） 分别记甲对这四门课程考试合格为事件, ,A B C D,则“甲能修得该课程学分”的 概率为()()()P ABCDP ABCDP ABCD,事件, ,A B C D相互独立， 2 分 3 2 2 13 2 2 13 2 1 15 ()()() 4 3 3 24 3 3 24 3 3 212 P ABCDP ABCDP ABCD. 5 分 (2) 03 3 7 (0)() 12 PC， 12 3 57 (1)()() 12 12 PC， 22 3 57 (2)() () 1212 PC, 33 3 5 (3)()
19、12 PC 因此，的分布列如下： 0 1 2 3 P 03 3 7 () 12 C 12 3 57 ()() 12 12 C 22 3 57 () () 1212 C 33 3 5 () 12 C 9 分 因为 5 3, 12 B 10 分 所以 55 3. 124 E 12 分 22. （12 分） 【解析】 （1） 2 222 xx xaxaxax fx ee ， 2 分 当0a时， 1 1f e ， 1 1f e ， 3 分 则 f x在 1,1f的切线方程为 1 yx e ； 4 分 （2）证明：令 0fx ，解得2x或x a ， 5 分 当2a 时， 0fx 恒成立，此时函数 f x在R上单调递减， 函数 f x无极值； 6 分 当2a 时，令 0fx ，解得2ax ，令 0fx ，解得xa或2x ， 函数 f x在,2a上单调递增，在, a ，2,上单调递减， 2 4 20 a f xf e 极大值 ； 9 分 当2a时，令 0fx ，解得2xa，令 0fx ，解得2x或xa， 函数 f x在2, a上单调递增，在,2， , a上单调递减， 0 a a f xfa e 极大值 ， 综上，函数 f x的极大值恒大于 0. 12 分
