1、第第3章章 机械系统运动微分方程的求解机械系统运动微分方程的求解 3-1机械系统运动方程求解方法机械系统运动方程求解方法-解析法解析法 3-2机械系统的运动方程求解方法机械系统的运动方程求解方法-数值法数值法 3-3机械系统的运动方程求解方法机械系统的运动方程求解方法-半解析数半解析数值法值法3-1机械系统运动方程求解方法机械系统运动方程求解方法-解析法解析法3-1-1 单自由度系统的振动单自由度系统的振动1.问题的提法问题的提法工程中大量的动力学问题都可以归结于图3-1-1 单自由度振动系统的力学模型,其动力学问题的数学模型表示为常微分方程的初值问题图3-1-1 单自由度振动系统的力学模型控
2、制方程:()mxcxkxF t满足初始条件:00(0),(0)xx xx3-1机械系统运动方程求解方法机械系统运动方程求解方法-解析法解析法3-1-1 单自由度系统的振动单自由度系统的振动2.单自由度振动系统简谐激励作单自由度振动系统简谐激励作用下的响应用下的响应图3-1-1 单自由度振动系统的力学模型运动微分方程:满足初始条件:00(0),(0)xx xx0sinmxcxkxFt根据微分方程理论,该方程解的形式为奇次通解与某个特解之和,即12()()()x tx tx t 为齐次通解,为特解.1()x t2()x t3-1机械系统运动方程求解方法机械系统运动方程求解方法-解析法解析法3-1-
3、1 单自由度系统的振动单自由度系统的振动1）齐次通解齐次通解 将奇次运动微分方程变成标准型:其中固有频率：设方程的解为特征方程：1()x t220nnxxxnkm2m CnCCC阻尼比临界阻尼2CnCmtxAe22(2)0tnnAe 2220nn 222122244(1)2nnnn 特征根：3-1机械系统运动方程求解方法机械系统运动方程求解方法-解析法解析法3-1-1 单自由度系统的振动单自由度系统的振动讨论（1）过阻尼过阻尼:根据初始条件可以得到系数A1,A2的表达式过阻尼系统的自由衰减振动过阻尼系统的自由衰减振动12211112()()nnntttx teAeA e2001220022(1
4、)21(1)21nnnnxxAxxA3-1机械系统运动方程求解方法机械系统运动方程求解方法-解析法解析法3-1-1 单自由度系统的振动单自由度系统的振动（2）欠阻尼利用欠欠阻尼系统的自由衰减振动阻尼系统的自由衰减振动121,2(1)ni 特征根：特征根：方程的通解方程的通解112()nti dti dtxeAeA e12(cossin)ntddectct 21dn令令0(0)xx0(0)xx,10cx002ndxxc，可得可得00022000(cossin)=()sin()nntndddtnddxxxexttxxext3-1机械系统运动方程求解方法机械系统运动方程求解方法-解析法解析法3-1-
5、1 单自由度系统的振动单自由度系统的振动（3）临界阻尼利用临界临界阻尼系统的自由衰减振动阻尼系统的自由衰减振动1特征方程有两个重根即方程的通解方程的通解 0(0)xx0(0)xx,，可得可得12n=112()ntxAA t e1000()ntnxxxx t e3-1机械系统运动方程求解方法机械系统运动方程求解方法-解析法解析法3-1-1 单自由度系统的振动单自由度系统的振动工程应用：固有频率固有频率a)无阻尼自由振动方程的解方程的解,，b)阻尼对振幅的影响 阻尼比越大，振幅衰减越大0220000cossin()sin()nnnnnxxxxttxt=nkm3-1机械系统运动方程求解方法机械系统运
6、动方程求解方法-解析法解析法3-1-1 单自由度系统的振动单自由度系统的振动工程应用：,，b)阻尼对振幅的影响 阻尼比越大，振幅衰减越大()1nkdn dn ktTTktkAeeAe两边取自然对数，注意到两边取自然对数，注意到2ndddTT11ln2kkAA为了提高测量精度，常取n次振幅波动后对数衰减率作为阻尼比的计算公式1ln2kk nAnA自由振动法测量单自由度振动系统的阻尼比3-1机械系统运动方程求解方法机械系统运动方程求解方法-解析法解析法3-1-1 单自由度系统的振动单自由度系统的振动工程应用：,，c）从图3-1-5可知，时系统的位移响应回到平衡状态的时间最短。因此对于指针式仪表读数
7、系统，常将系统的阻尼比调整为临界阻尼，以达到稳定读数的目的13-1机械系统运动方程求解方法机械系统运动方程求解方法-解析法解析法3-1-1 单自由度系统的振动单自由度系统的振动2）特解特解 特解的求法很多，有比较系数法、旋转矢量法、拉氏变换法等，较简单快捷的方法是旋转矢量法设特解设特解：2()sin()x tXt代入方程代入方程0sinmxcxkxFt20sin()cos()sin()sinmXtcXtkXtFt作旋转矢量图作旋转矢量图222202()()tankXmXc XFc XkXmX3-1机械系统运动方程求解方法机械系统运动方程求解方法-解析法解析法3-1-1 单自由度系统的振动单自由
8、度系统的振动2）特解特解 作旋转矢量图作旋转矢量图222202()()tankXmXc XFc XkXmX002222222/()()(1)()arctanFFkXkmcmckkckm可得可得将nkm2ncm0stFXk 代入上式得代入上式得3-1机械系统运动方程求解方法机械系统运动方程求解方法-解析法解析法3-1-1 单自由度系统的振动单自由度系统的振动2）特解特解 位移动力放大系数位移动力放大系数 相位角相位角2 2211()2()stnnXX22()tan1()nn3-1机械系统运动方程求解方法机械系统运动方程求解方法-解析法解析法3-1-1 单自由度系统的振动单自由度系统的振动在初始条
9、件为 欠阻尼条件下，方程的定解 上中的第一项为单自由度系统自由振动响应，当 时，该项趋近于0。第二项为稳态解，表现为周期性运动00(0),(0)xx xx0002 22()(cossin)sin()1()2()ntdddstdnnxxx texttXtt 其工程意义在于：其工程意义在于：a)当频率比 时，振幅最大，当阻尼比 ，位移动力放大系数 ，即发生共振现象。1n 03-1机械系统运动方程求解方法机械系统运动方程求解方法-解析法解析法3-1-1 单自由度系统的振动单自由度系统的振动振动稳定性设计准则振动稳定性设计准则 所有对于降低振动的工程应用场合，应使频率比在 范围内 b)发生共振时，振幅
10、最大，且位移响应与激励力之间的相位角相差 位移动力放大系数 。共振法测量阻尼比的理论依据共振法测量阻尼比的理论依据。c)对于振动机械，应将频率比 调整到1附近工作，以利于获得较大的振动振幅。0.75 0.85n1.25n 9012stXX1122stXXnd)动载系数数 的物理意义的物理意义 AK3-1机械系统运动方程求解方法机械系统运动方程求解方法-解析法解析法3-1-1 单自由度系统的振动单自由度系统的振动3.单自由度振动任意激励力作用下的响应单自由度振动任意激励力作用下的响应 1）求解基本思路求解基本思路（叠加原理）这里 为任意函数()mxcxkxF t()f t1）t 时刻系统的响应只
11、取决于 t 时刻以前的作用力。在0,t 时间段的任意激励力 可视为一系列元冲量 组成，如图(a)所示。b)元冲量 引起的系统的动力响应为 c)根据叠加原理，t 时刻系统的动力响应 等于 t时刻以前的元冲量 引起的系统的动力响应 的和()f t()fd()fd(,)dxt()fd(,)dxt3-1机械系统运动方程求解方法机械系统运动方程求解方法-解析法解析法3-1-1 单自由度系统的振动单自由度系统的振动2)元冲量元冲量 引起的系统的动力响应引起的系统的动力响应 振动系统受元冲量振动系统受元冲量 作用的过程是一个碰撞作用的过程是一个碰撞过程，碰撞过程的研究要点是抓住碰撞前、后两个过程，碰撞过程的
12、研究要点是抓住碰撞前、后两个状态和碰撞过程即时间段状态和碰撞过程即时间段 。设碰撞前系统静止，。设碰撞前系统静止，碰撞后系统获得一定的速度后作自由振动，而碰撞碰撞后系统获得一定的速度后作自由振动，而碰撞过程中系统的运动规律可以用冲量定理描述。过程中系统的运动规律可以用冲量定理描述。d()fd3-1机械系统运动方程求解方法机械系统运动方程求解方法-解析法解析法3-1-1 单自由度系统的振动单自由度系统的振动2)元冲量元冲量 引起的系统的动力响应引起的系统的动力响应 d(0)fd首先研究作用于坐标原点的元冲量 引起的系统系统 时刻的响应的响应碰撞前：系统静止即初位移和初速度均为0碰撞后：系统的位移
13、为 ，速度为 碰撞过程:(,)dxt0 x0 x 00(0)mxfd元冲量 作用后质点的速度(0)fd3-1机械系统运动方程求解方法机械系统运动方程求解方法-解析法解析法3-1-1 单自由度系统的振动单自由度系统的振动2)元冲量元冲量 引起的系统的动力响应引起的系统的动力响应 d(0)fd元冲量 作用后到 时刻的时间段 ，t ，系统作自由振动,由元冲量 作用后质点的速度(0)fd01(0)xfdm0011 1(0)022xx dfddm000(cossin)ntndddxxxextt元冲量 引起的引起的 时刻的位移响应0(0)(0,)sinsinnnttddddxfddxtetetm可得可得(
14、)fd()()(,)sin()ntddfddxtetm3-1机械系统运动方程求解方法机械系统运动方程求解方法-解析法解析法3-1-1 单自由度系统的振动单自由度系统的振动3）任意激励力任意激励力 作用下系统的响应作用下系统的响应 即即根据叠加原理，任意激励力任意激励力 作用下系统的响应作用下系统的响应等于 时刻以前的元冲量 引起的系统的动力响应应用Duhamel积分可以很方便的求出在任意激励力作用下单自由度振动系统的稳态响应该式即为Duhamel积分。一个令人满意的完美结果积分。一个令人满意的完美结果0()(,)tx tdxt(0)()n()sintddtftetdmx3-1机械系统运动方程求
15、解方法机械系统运动方程求解方法-解析法解析法例：求初始静止的单自由度系统在阶跃力 作用下系统的响应。根据Duhamel积分解：系统的运动微分方程及初始条件可写为00()00Ftf tt0000,0mxcxkxFxx()()000()sin()sin()nntttddtddfetdmFetmx td0221(cossin)1ntddnFettm若阻尼比0，则系统的响应 02()1cosnnFx ttm3-1机械系统运动方程求解方法机械系统运动方程求解方法-解析法解析法例：求初始静止的单自由度系统在阶跃力 作用下系统的响应。根据Duhamel积分解：系统的运动微分方程及初始条件可写为00()00F
16、tf tt0000,0mxcxkxFxx()()000()sin()sin()nntttddtddfetdmFetmx td0221(cossin)1ntddnFettm若阻尼比0，则系统的响应 02()1cosnnFx ttm对于激励力为比较复杂的函数，其Duhamel积分的解析表达式无法得到，但可以用数值积分的方法计算Duhamel积分的数值近似解。3-1-2多自由度系统的振动多自由度系统的振动1.多自由度无阻尼自由振动多自由度无阻尼自由振动 若采用刚度法得到的多自由度无阻尼系统自由振动的运动微分方程为设方程的解为代入3-1-18式可得0MXKX12sin()sin()nAAXtAtA3-
17、1-182()0KM A振幅方程振幅方程振幅向量 有非零解，必须频率方程，数学上称特征方程20KM3-1-2多自由度系统的振动多自由度系统的振动1.多自由度无阻尼自由振动多自由度无阻尼自由振动 关于 的 n 次多项式，有 n 个根，由小到大依次记为 称系统的固有频率可以解出 个特征向量将求得的特征根代入振幅方程称第k阶振型向量，简称第k阶振型。可见n 个自由度的振动系统，有n 个固有频率和振型向量，每个固有频率对应一个振型向量.振型向量的第一行规定为1，这样得到的振型向量称主振型向量，简称主振型。21,2,n 2()()01,2,.,kkKM Akn20KM()(1,2,.,)kAkn3-1-
18、2多自由度系统的振动多自由度系统的振动1.多自由度无阻尼自由振动多自由度无阻尼自由振动 n个自由度振动系统的自由振动响应可表达为:对于两个自由度自由振动系统，其振幅方程式中:为任意常数,由初始条件确定频率方程()1()sin()nkkkkkX tC AtkC2111112222122200AkmkAkkm 2111122212220kmkkkm3-1-2多自由度系统的振动多自由度系统的振动1.多自由度无阻尼自由振动多自由度无阻尼自由振动 展开得代入振幅方程，可得2个主振型向量有2个根2221211222111221221()()()0m mk mk mk kk k221122211122211
19、21122122112122()()4()2k mk mk mk mm m k kk km m(1)21211111(1)112111=AmkAk(2)22221112(2)112111=AmkAk3-1-2多自由度系统的振动多自由度系统的振动1.多自由度无阻尼自由振动多自由度无阻尼自由振动 若采用柔度法得到的多自由度无阻尼系统自由振动的运动微分方程为有n 个根，有小到大依次记为 称系统的固有频率同样地假设YMY 21()0IM A振幅方程210IM频率方程12sin()sin()nAAYtAtA1,2,n()21()01,2,.,kkIM Akn可以解出 个特征向量3-1-2多自由度系统的振
20、动多自由度系统的振动1.多自由度无阻尼自由振动多自由度无阻尼自由振动 例:求图示简支梁的固有频率和主振型。梁的抗弯刚度为EI，在三分点1和2处有相等的集中质量m解：1.建立图示系统的运动微分方程两个自由度振动系统，采用柔度法柔度矩阵中的系数可以用图乘法YMY 120000mmMmm质量矩阵柔度矩阵3111221224724348674486243lEI231112211 222 21 212 242 933 92 933 9243MldsllllllEIEIEI3-1-2多自由度系统的振动多自由度系统的振动1.多自由度无阻尼自由振动多自由度无阻尼自由振动 解：2求固有频率和主振型将固有频率代入
21、振幅方程解得：固有频率331 11221222331 12222221147124348601714486243llmmmmEIEIIMllmmmmEIEI321115486mlEI3221486mlEI，1334865.692115EIEImlml23348622.045EIEImlml，332()1()332214724348600714486243kkkkllmmEIEIAAllmmEIEI 3-1-2多自由度系统的振动多自由度系统的振动1.多自由度无阻尼自由振动多自由度无阻尼自由振动 解：2求固有频率和主振型第一主振型，1334865.692115EIEImlml23348622.04
22、5EIEImlml，3(1)13(1)22171486=141243lAEIlAmEI3(2)13(2)22271486=14-1243lAEIlAmEI第二主振型3-1-2多自由度系统的振动多自由度系统的振动2.两个自由度振动系统的谐迫振动两个自由度振动系统的谐迫振动 动力吸振器动力吸振器 图3-12所示的2个自由度系统，在质量m1 上作用简谐激励力 ，它也是动力吸振器的力学模型，为主系统，为子系统或吸振器。代入上式 其运动微分方程为0sinFFt11km22km1112210222220+sin00mxkkkxFtmxkkx令令1122sinxAxtxA11122102222220+00m
23、AkkkAFmAkkA3-1-2多自由度系统的振动多自由度系统的振动2.两个自由度振动系统的谐迫振动两个自由度振动系统的谐迫振动 动力吸振器动力吸振器 该方程一般有唯一解，其解答为：即质点m1 的振动位移振幅为0 式中：当 时22122211ssAAAA 2222222211111-1+)kkkk（）（1111km2222km01sFAk21mm 22221010A 弹簧k2 作用于质点m1 的力为 ，在任何瞬时恰好与激励力 大小相等，方向相反，使得原来的 主系统在简谐力作用下的强迫振动位移响应完全消失，达到很好的减振效果。动力吸振器的工作原理动力吸振器的工作原理20sinkxFt 0sinF
24、t11km3-1-2多自由度系统的振动多自由度系统的振动3.多自由度振动系统的强迫振动多自由度振动系统的强迫振动 振型叠加法振型叠加法 1）多自由度振动系统强迫振动数学模型）多自由度振动系统强迫振动数学模型激励荷载 式中：阻尼矩阵 刚度矩阵()MYCYKYF t质量矩阵质量矩阵12nyyYy位移列向量12000000nmmMm111212122212nnnnnnccccccCccc111212122212nnnnnnkkkkkkKkkk12()()()()nf tf tF tf t3-1-303-1-2多自由度系统的振动多自由度系统的振动3.多自由度振动系统的强迫振动多自由度振动系统的强迫振动
25、 振型叠加法振型叠加法 2）主振型的加权正交性）主振型的加权正交性求出主振型向量 ，将n个主振型向量用一个矩阵表示即称为主振型矩阵 对于多自由度系统，可以按照下式求其n个固有频率再由(1,2,.,)kkn2111121222122222120nnnnnnnkmkkkkmkKMkkkm2()11112112()2()21222222()1200()0kknkkknkknnnnknnkmkkAkkmkAKM AkkkmA ku(1)(2)(),.,nuuuu3-1-2多自由度系统的振动多自由度系统的振动3.多自由度振动系统的强迫振动多自由度振动系统的强迫振动 振型叠加法振型叠加法 主振型关于质量矩
26、阵和刚度矩阵的加权正交性即主振型关于质量矩阵和刚度矩阵的加权正交性即有特征方程有特征方程 证明：为系统的第k阶固有频率和主振型，()()0()jiuKuij()()0()jiuMuij()kku和2()()0kkKM u对于任意两个不同的主振型向量两边分别左乘 和 得()(),ijuu()2()()2()()()iiijjjKuMuaKuMub()()jTu()()iTu()()2()()()()2()()()()()()()()jTijTiiiTjiTjjuKuuMucuKuuMud3-1-2多自由度系统的振动多自由度系统的振动3.多自由度振动系统的强迫振动多自由度振动系统的强迫振动 振型叠
27、加法振型叠加法 证明：对(d)式两边转置。注意到刚度矩阵K和质量矩阵M 的对称性，有 由于(c)-(e)式得：()()2()()()()2()()()()()()()()jTijTiiiTjiTjjuKuuMucuKuuMud()()()()2()()()()()()iTjTjTijTijuKuuKuuMue22()()()()0jTiijuMu22()ijij当时因此有()()()0()()jTiuMuijf即主振型关于质量矩阵的加权正交性即主振型关于质量矩阵的加权正交性。将将(f)代入代入(c)式得式得()()()0()()jTiuKuijg即主振型关于刚度矩阵的加权正交性即主振型关于刚度
28、矩阵的加权正交性3-1-2多自由度系统的振动多自由度系统的振动3.多自由度振动系统的强迫振动多自由度振动系统的强迫振动 振型叠加法振型叠加法 由于主振型关于刚度矩阵 和质量矩阵 的加权正交性，若主振型矩阵为 主刚度矩阵主质量矩阵(1)(2)(),.,nuuuu则有则有12000000000000TnKKu KuKK12000000000000TnMMu MuMM3-1-2多自由度系统的振动多自由度系统的振动3.多自由度振动系统的强迫振动多自由度振动系统的强迫振动 振型叠加法振型叠加法 3）方程的解耦 得：考虑方程3-1-30中无阻尼时的情形，即C=0 ，有阻尼的情形，若阻尼可表示为质量矩阵和刚
29、度矩阵的线性组合即 也可采用振型叠加法求解。CMK作变量代换作变量代换YuX()MuXKuXF t两边左乘两边左乘Tu()TTTu MuXu KuXu F t根据主振型关于刚度矩阵 和质量矩阵 的加权正交性，3-1-2多自由度系统的振动多自由度系统的振动3.多自由度振动系统的强迫振动多自由度振动系统的强迫振动 振型叠加法振型叠加法 由于主质量矩阵 和主刚度矩阵 为对角矩阵，上式展开就可得12()()()().()TnF tF tF tu F tF t并令称广义载荷称广义载荷()MXKXF t()(1,2,.,)iiiiiM XK XF tin3-1-2多自由度系统的振动多自由度系统的振动3.多
30、自由度振动系统的强迫振动多自由度振动系统的强迫振动 振型叠加法振型叠加法 由式3-1-32两边同除 ，并令4）求解主坐标下的振动方程求解主坐标下的振动方程()MXKXF t 3-1-322iiiKMiM2()(1,2,.,)iiiiiF tXXinM根据根据Duhamel积分积分01()sin()(1,2,.,)tiiiiiXFtdinM将上式回代到 可得到系统的位移动力学响应。YuX3-1-2多自由度系统的振动多自由度系统的振动3.多自由度振动系统的强迫振动多自由度振动系统的强迫振动 振型叠加法振型叠加法 例：图示无阻尼二自由度系统，若 时，为单位阶跃函数，用振型叠加法求时域响应。解：1.建
31、立系统运动方程0,1,121321tmmkkk1210,221(0)0,(0)(0)0,()(),()0 xxxv xF tU tF t(0)()u t122111223222000()kkkmxxkkkmxxu t3-1-2多自由度系统的振动多自由度系统的振动3.多自由度振动系统的强迫振动多自由度振动系统的强迫振动 振型叠加法振型叠加法 解：1.建立系统运动方程建立系统运动方程122111223222000()kkkmxxkkkmxxu t代入数据1122102100112()xxxxu t2.求系统的特征值和特征向量求系统的特征值和特征向量22121222232kkmkBKMkkkm3-1
32、-2多自由度系统的振动多自由度系统的振动3.多自由度振动系统的强迫振动多自由度振动系统的强迫振动 振型叠加法振型叠加法 特征方程：代入数据2.求系统的特征值和特征向量求系统的特征值和特征向量22121222232kkmkBKMkkkm222112B01202112222203122解得固有频率：3,121分别代入B中任一列的振型矩阵得：111 1u11111 12u3-1-2多自由度系统的振动多自由度系统的振动3.多自由度振动系统的强迫振动多自由度振动系统的强迫振动 振型叠加法振型叠加法 4.求相应于主坐标的激励 由3.求相应主坐标的初始条件5.求主系数及主坐标响应1XuYYu X112201
33、002(0)(0)1101(0)(0)1 102(0)1111(0)1 1022yxyxvyvvy 1122()110()()()11()()()TF tu tF tuF tu tu tF t1110112011011 102Tu MuM3-1-2多自由度系统的振动多自由度系统的振动3.多自由度振动系统的强迫振动多自由度振动系统的强迫振动 振型叠加法振型叠加法 两个激励产生的响应为于是解耦后方程：6.求原系统的广义坐标响应：1121116011121 102Tu KuK112226()22()yyu tyyu t 0111110222221sin1cos21sin1cos2vyttkvyttk
34、01021sin31cos 362 31sin1cos2 12vyttvytt1111222212111 1xyxyyuxyxyy32cos213cos61sin3sin31231cos213cos61sin3sin3120201ttttvxttttvx3-1-3 连续系统连续系统1.波动方程的解答波动方程的解答 对于园轴的自由扭转振动式中对于园轴的自由扭转和杆件的轴向运动，作为连续系统，其运动微分方程代入方程3-1-34：22222ttctx 3-1-342*=pGIGcJ可以用分离变量法求解可以用分离变量法求解设方程的解的形式：设方程的解的形式：(,)()()tx tx q t22222(
35、)()()()d q tdxxcq tdtdx2222221()()=-()()nd q tcdxq tdtxdx即即3-1-3 连续系统连续系统1.波动方程的解答波动方程的解答 其解为从而有式中A,B,C,D为待定系数，由边界条件和初始条件决定。可见，为振动系统的固有频率 ，为振动系统的振型函数,其中系数C，D一般可由边界条件确定。最后方程的通解为：222222()()0()()0nd q tq tdtdxaxdx 式中222=nac ()sincos()sincosnnq tAtBtxCaxDax(,)(sincos)(sincos)tnnx tCaxDaxAtBtn()sincosxCa
36、xDax3-1-3 连续系统连续系统例：图3-15为一端固定的园轴，使其作扭转自由振动，求其固有频率、振型函数和响应。解：该问题的边界条件为 (0,)0tt代入通解(0,)(sin 0cos 0)(sincos)=0tnntCaDaAtBt得：得：=0D方程的解可写成方程的解可写成(,)sin(sincos)tnnx tCax AtBt求导得：求导得：(,)sin(cossin)tnnnnx tCax AtBt3-1-3 连续系统连续系统园轴的自由端无外力偶作用 对应的振型函数为对应的振型函数为可见，对于连续系统，有无穷多个固有频率，对应的有无穷多个振型函数。(,)0ttpx LdT L tG
37、Idxcos(sincos)0tnnx LdCaL AtBtdxcos0aL 2ja L（2j-1)固有频率固有频率*1,2,.)2pnjGIjLJ（2j-1)（(21)()sin2jjxCxL（j=1,2,.)3-1-3 连续系统连续系统若初始条件为 由由方程的解答由由0(,0),(,0)0ttLL(,0)0tL得0A 0(21)(,)sincos2tnjx tCxtL0(,0)tL得得00(21)sin2CjLL0(21)sin2(,)cos(21)sin2tnjxLx ttjLL3-1-3 连续系统连续系统2.梁的横向自由振动梁的横向自由振动 用分离变量法求解。令整理：梁的横向自由振动运
38、动微分方程为：代入方程3-1-36得：4224221=yyEIcxctm其中 3-1-36(,)()()y x tx q t42422()1()q(t)=()dxd q txdxcdt242242()1()=(=)()q(t)ncdxd q txdxdt3-1-3 连续系统连续系统2.梁的横向自由振动梁的横向自由振动 令由由上上式的第式的第1式式222444()+()=0()-()=0nd q tq tdtdxxdx 2242=nnmcEI()sincosnnq tAtBt()=stxe代入上式的第2式得44=0s1 24=ssi，3，的通解：()x1234()=i xi xxxxAeA eA
39、 eA e3-1-3 连续系统连续系统 运动微分方程的通解运动微分方程的通解为待定系数，可由边界条件和初始条件确定。例：图示简支梁作自由振动，求固有频率和振型函数1234()=sincosscxCxCxCh xCh x因因cossin,csi xxex ix eh x i h x1234(,)=(sincossc)(sincos)nny x tCxCxCh xCh xAtBt1234,C C C CA B3-1-3 连续系统连续系统 解：该问题的边界条件可写成将 的表达式 代入 得 22022(0)=0()(0)0()=0()()0 xx LdxMEIdxLdxM LEIdx()x242412
40、34123400sincossc0sincossc0CCCCCLCLCh LCh LCLCLCh LCh L3-1-3 连续系统连续系统 即又因为 2413=00sin0s0CCCLCh Ls0h L故只能有30C 若 ，对应的解答为零解，无工程意义。10C 只能有sin0L频率方程(1,2,.)jjjL各阶固有频率：224(1,2,.)njEIjjmL振型函数为：振型函数为：1()sin(1,2,.)jjxCxjL3-1-3 连续系统连续系统 前3阶振型函数图形见图3-16(b)。与多自由度振动系统类似，连续系统的振型函数也具有正交性。3-1-4 非线性系统非线性系统 与线性系统不同，非线性
41、系统叠加原理不能成立，一般很难得到精确解，用解析法也只能得到问题的近似解，目前还缺乏一种适用面广泛的通用方法。这就导致求解非线性振动问题的方法很多，但每一种方法都有其适用性和局限性，这里介绍2种求解非线性振动问题的常见方法，摄动法和平均法。1.摄动法摄动法改写Duffing方程：200()()(),()(0)(0)0u tu tp u t u tuau式中 为小参数，故摄动法又叫小参数法。3-1-4 非线性系统非线性系统 摄动法的基本思想：认为方程的解 依赖于小参数，从而形如 将其展开：认为 是计入非线性后对派生解 的一种修正),(tu2012(,)()()()u tutu tut12(),(
42、),.u t u t)(0tu代入方程代入方程并进行比较222200120012222200010 1202(.)()().)()()().uuuuuuu tu tuuuuuu220120122000101(,)(,)(,)(,)(,)op u up uuuuuuppp u uu u uu u uuu 3-1-4 非线性系统非线性系统 初值问题成为：根据 的任意性，式中 同次幂系数必然自行相等，从而有：22220001012022000101201202012()()().(,)(,)(,)(0)(0)(0).(0)(0)(0).0ouuuuuuppp u uu u uu u uuuuuuau
43、uu 20000000(0)(0)0uuau：2110 10011(,):(0)0(0)0uup u uuu2202001001222(,)(,):(0)0(0)0ppuuu u uu u uuuuu 得到一组可依次求解的序列线性常微分方程的初值问题，求解这个序列问题从而得到问题的解答。3-1-4 非线性系统非线性系统 例：用摄动法求解Duffing方程的一次近似解 解：根据摄动法223000(0)(0)0uuuuau其解答为20000000:(0)(0)0uuau000cosuat利用三角公式43coscos3cos3xxx代入零次近似：23223300110 10000011cos(3co
44、scos3):4(0)0(0)0auuatttuu3-1-4 非线性系统非线性系统 解得：Duffing方程的一次近似解为：存在永久项3300010003()(coscos3)sin328aau ttttt23223300110 10000011cos(3coscos3):4(0)0(0)0auuatttuu3300 0000003()cos(coscos3)sin328aau tattttttt0sint该近似解只有 内有效10,t3-1-4 非线性系统非线性系统 2.平均法平均法可以认为，平均法的求解思想受到常数变易法的启示。对于一个弱非线性系统，先略去非线性项的影响求解线性问题求解，再考
45、虑非线性项的影响。将忽略非线性影响的线性问题的解的振幅和相位看作时间的慢变参数，并在一个周期内取平均值，进而求出方程的解。设其解答为：对（a）式求导得：0),()0(0)0(20 xxxxxfxx 方程)()(cos)(sin00ctbaxaaxcos)(sin0aax3-1-4 非线性系统非线性系统 2.平均法平均法设其解答为：对（a）式求导得：)()(cos)(sin00ctbaxaaxcos)(sin0aax与（）式比较有与（）式比较有)(0cossindaa由（）式由（）式求一阶导数求一阶导数：sin)(cos000 aax代入方程),(sinsinsincos20020020 xxf
46、aaaaxx 即即)(),(sincos00exxfaa3-1-4 非线性系统非线性系统 2.平均法平均法联立(d)(e)得由于振幅 和相位 是关于位移响应 的慢变参数，在一个运动周期 范围内平均化得平均法的计算公式)(sin),(1cos),(100fxxfaxxfa20002000sin)cos,sin(21cos)cos,sin(21daafadaafa0,2 a3-1-4 非线性系统非线性系统 例：用平均法求解Duffing方程设方程的解：20002000sin)cos,sin(21cos)cos,sin(21daafadaafa0)0()0(61),(032020 xaxxxxfxx
47、 taxax00cossin平均法的计算公式为：平均法的计算公式为：3-1-4 非线性系统非线性系统 例：用平均法求解Duffing方程设方程的解：20002000sin)cos,sin(21cos)cos,sin(21daafadaafa0)0()0(61),(032020 xaxxxxfxx taxax00cossin平均法的计算公式为：平均法的计算公式为：3-1-4 非线性系统非线性系统 代入Duffing方程：即微分方程组解得：20430332000024sin12cossin6121adaa 20202020332004834cos812cos218312sinsin6121adadaa483020aa220116ctaca由初始条件：0)0(0)0(00 xtaxt3-1-4 非线性系统非线性系统 Duffing方程的解201102221010102sin()16(1)cos()1616cxcttcccxcttc0122acc2000()sin1162ax tat
