1、第4讲空间向量与距离、探究性问题考情分析1.以空间几何体为载体，考查利用向量方法求空间中点到直线以及点到平面的距离，属于中等难度.2.以空间向量为工具，探究空间几何体中线、面的位置关系或空间角存在的条件，计算量较大，一般以解答题的形式考查，难度中等偏上考点一空间距离核心提炼(1)点到直线的距离直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的任一点，P为直线l外一点，设a，则点P到直线l的距离d.(2)点到平面的距离平面的法向量为n，A是平面内任一点，P为平面外一点，则点P到平面的距离为d.考向1点到直线的距离例1(1)(2023温州模拟)四面体OABC满足AOBBOCCOA90，OA1，OB2，OC3
2、，点D在棱OC上，且OC3OD，点G为ABC的重心，则点G到直线AD的距离为()A. B. C. D.答案A解析四面体OABC满足AOBBOCCOA90，即OA，OB，OC两两垂直，以O为原点，以，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，因为OA1，OB2，OC3，OC3OD，则A(1,0,0)，D(0,0,1)，B(0,2,0)，C(0,0,3)，G，于是，(1,0,1)，|，(1)1，所以点G到直线AD的距离d.(2)(2023北京模拟)如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，则线段AD1上的动点P到直线A1C1距离的最小值为()A1 B. C. D.答案D解
3、析如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A1(1,0,1)，C1(0,1,1)，设P(x，0,1x)，0x1，则(x1,0，x)，(1,1,0)，动点P到直线A1C1的距离d，当且仅当x时取等号，即线段AD1上的动点P到直线A1C1距离的最小值为.考向2点到平面的距离例2(1)(2023武汉模拟)如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截得到的，其中AB4，BC2，CC13，BE1，则点C到平面AEC1F的距离为()A. B.C. D.答案C解析以D为原点，分别以DA，DC，DF所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直
4、角坐标系，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,4,0)，C(0,4,0)，E(2,4,1)，C1(0,4,3)，(2,4,3)，(0,4,1)设n(x，y，z)为平面AEC1F的法向量，由得令z1，n.又(0,0,3)，点C到平面AEC1F的距离d.(2)已知正方形ABCD的边长为1，PD平面ABCD，且PD1，E，F分别为AB，BC的中点，则直线AC到平面PEF的距离为()A2 B. C. D.答案B解析如图所示，建立以D为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向的空间直角坐标系则P(0,0,1)，A(1,0,0)，E，F，所以，设平面PEF的法向量为n(x，y，z)，则即令x
5、2，则y2，z3，所以n.因为，所以点A到平面PEF的距离d.因为E，F分别为AB，BC的中点，所以EFAC，又EF平面PEF，AC平面PEF，所以AC平面PEF，所以AC到平面PEF的距离即为点A到平面PEF的距离.规律方法(1)求点到平面的距离有两种方法，一是利用空间向量点到平面的距离公式，二是利用等体积法(2)求直线到平面的距离的前提是直线与平面平行求直线到平面的距离可转化成直线上任一点到平面的距离跟踪演练1(2023大连模拟)如图，已知ABCDA1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱，O1为A1C1与B1D1的交点(1)若点C到平面AB1D1的距离为，求正四棱柱ABCDA1B1C1D1
6、的高；(2)在(1)的条件下，若E是AB1的中点，求点E到直线A1C1的距离解(1)设正四棱柱的高为h，以A1为坐标原点，A1B1，A1D1，A1A所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0，h)，B1(1,0,0)，D1(0,1,0)，C(1,1，h)，则(1,0，h)，(0,1，h)，(1,1,0)设平面AB1D1的法向量为n(u，v，w)因为n，n，所以n0，n0.由得uhw，vhw，所以n(hw，hw，w)取w1，得n(h，h，1)由点C 到平面AB1D1的距离为d，解得h2.(2)由(1)可知A1(0,0,0)，C1(1,1,0)，E，(1,1,0)，
7、所以点E到直线A1C1的距离d.考点二空间中的探究性问题核心提炼与空间向量有关的探究性问题主要有两类：一类是探究线面的位置关系；另一类是探究线面角或两平面的夹角满足特定要求时的存在性问题处理原则：先建立空间直角坐标系，引入参数(有些是题中已给出)，设出关键点的坐标，然后探究这样的点是否存在，或参数是否满足要求，从而作出判断例3(2023许昌模拟)如图，四棱锥PABCD的底面ABCD为菱形，平面PAD平面ABCD，BAD60，PAPD，AB2，M为PC上一点，且3.(1)求异面直线AP与DM所成角的余弦值；(2)在棱PB上是否存在点N，使得AN平面BDM？若存在，求的值；若不存在，请说明理由解(
8、1)设O是AD的中点，连接OP，OB，由于PAPD，所以OPAD，由于平面PAD平面ABCD且交线为AD，OP平面PAD，所以OP平面ABCD，由于OB平面ABCD，所以OPOB，在菱形ABCD中，BAD60，所以ABD是等边三角形，所以OBAD，故OA，OB，OP两两垂直，以O为坐标原点，OA，OB，OP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图所示，OP2，P(0,0,2)，A(1,0,0)，B，C，D(1,0,0)，(1,0,2)，(1,0,2)，(2，2)，设异面直线AP与DM所成的角为，则cos .所以异面直线AP与DM所成角的余弦值为.(2)，设平面BDM的法向量为n(x，y
9、，z)，则令x6，则y2，z15，即n.设，则，(1,0,2).若AN平面BDM，则n6615(22)24360，解得，所以在棱PB上存在点N，使得AN平面BDM且.规律方法解决立体几何中探索性问题的基本方法(1)通常假设问题中的数学对象存在或结论成立，再在这个前提下进行推理，如果能推出与条件吻合的数据或事实，说明假设成立，并可进一步证明，否则假设不成立(2)探索线段上是否存在满足条件的点时，一定注意三点共线的条件的应用跟踪演练2(2023咸阳模拟)如图，三棱柱ABCA1B1C1的侧面BB1C1C是边长为1的正方形，平面BB1C1C平面AA1B1B，AB4，A1B1B60，G是A1B1的中点(
10、1)求证：平面GBC平面BB1C1C；(2)在线段BC上是否存在一点P，使得二面角PGB1B的平面角为30？若存在，求BP的长；若不存在，请说明理由(1)证明在GBB1中，GB1AB2，BB11，A1B1B60，则GB，则GBBBGB2，即GBBB1，又平面BB1C1C平面AA1B1B，且平面BB1C1C平面AA1B1BBB1，GB平面AA1B1B，故GB平面BB1C1C.又GB平面GBC，则平面GBC平面BB1C1C.(2)解存在由(1)知，BG，BB1，BC两两垂直，如图，以B为坐标原点，以BG，BB1，BC所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则B(0,0,0)，G，B1(
11、0,1,0)，P(0t1)，则，.设平面PGB1的法向量为n(x，y，z)，则即令z，则yt，xt，即n.又平面BB1G的一个法向量为m(0,0,1)，则|cosm，n|cos 30，解得t2，又0t1，则t.故BP.专题强化练1.已知三棱柱ABCA1B1C1，AA1平面ABC，BAC90，AA1ABAC1.(1)求异面直线AC1与A1B所成的角；(2)设M为A1B的中点，在ABC的内部或边上是否存在一点N，使得MN平面ABC1？若存在，确定点N的位置，若不存在，请说明理由解因为AA1平面ABC，所以AA1平面A1B1C1，即AA1A1B1，AA1A1C1，又BAC90，所以B1A1C190，
12、即A1B1A1C1，所以AA1，A1B1，A1C1两两垂直，如图，以A1为原点，以A1B1为x轴，A1C1为y轴，A1A为z轴建立空间直角坐标系，因为AA1ABAC1，所以A1(0,0,0)，B1(1,0,0)，C1(0,1,0)，A(0,0,1)，B(1,0,1)，C(0,1,1)，(1)(0,1，1)，(1,0,1)，|cos，|，所以异面直线AC1与A1B所成的角为60.(2)存在假设在平面ABC的边上或内部存在一点N(x，y，1)，因为M为A1B的中点，(1,0,1)，所以M，所以，又(0,1，1)，(1,1，1)，则所以N，且，所以N是BC的中点故存在点N，N为BC的中点，满足条件2
13、.(2023湖北省襄阳市第四中学模拟)已知斜三棱柱ABCA1B1C1的各棱长都为4，A1AB60，点A1在下底面ABC上的投影为AB的中点O.(1)在棱BB1(含端点)上是否存在一点D使A1DAC1？若存在，求出BD的长；若不存在，请说明理由；(2)求点A1到平面BCC1B1的距离解(1)存在点A1在下底面ABC上的投影为AB的中点O，故A1O平面ABC，连接OC，由题意知ABC为正三角形，故OCAB，以O为坐标原点，OA，OC，OA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2,0,0)，A1，C，B(2,0,0)，B1，C1，设，可得D，假设在棱BB1(含端点)上存
14、在一点D使A1DAC1，则，420，解得，则BDBB1.(2)由(1)知，设平面BCC1B1的法向量为n(x，y，z)，则令x，则z1，y1，则n，又，则点A1到平面BCC1B1的距离d，即点A1到平面BCC1B1的距离为.3.(2023齐齐哈尔模拟)如图，在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，ABAD，ABDC，DCADPD1，AB2，E为线段PA上一点，点F在边AB上，且CFBD.(1)若E为PA的中点，求四面体BCEP的体积；(2)在线段PA上是否存在点E，使得EF与平面PFC所成角的余弦值是？若存在，求出AE的长；若不存在，请说明理由解(1)由题意可得DA，DC，DP两两垂直，以D为
15、原点，DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，A(1,0,0)，B(1,2,0)，C(0,1,0)，P(0,0,1)，E，(1，1,0)，(0，1,1)，.设平面PBC的法向量为m(x，y，z)，则不妨令y1，则x1，z1，则m(1,1,1)设点E到平面PBC的距离为d，则d，又BCPC，PB，PBC的面积为.四面体BCEP的体积为.(2)存在设点F的坐标为，.CFBD，即0，则112(t1)0，解得t，F，.设，0,1，.设平面PFC的法向量为n(a，b，c)，即不妨令a1，则b2，c2，则n(1,2,2)，n1，|cos，n|，EF与平面PFC所成角的余弦值
16、是，正弦值为.，整理得202810，解得或(舍去)存在满足条件的点E，且AE.4(2023广州模拟)如图，C是以AB为直径的圆O上异于A，B的点，平面PAC平面ABC，PAPCAC2，BC4，E，F分别是PC，PB的中点，记平面AEF与平面ABC的交线为直线l.(1)证明：l平面PAC；(2)直线l上是否存在点Q，使直线PQ分别与平面AEF、直线EF所成的角互余？若存在，求出AQ的值；若不存在，请说明理由(1)证明E，F分别是PC，PB的中点，BCEF，又EF平面AEF，BC平面EFA，BC平面AEF，又BC平面ABC，平面AEF平面ABCl，BCl，又AB是圆O的直径，C在圆上即BCAC，平面PAC平面ABCAC，平面PAC平面ABC，BC平面PAC，即l平面PAC.(2)解以C为坐标原点，CA为x轴，CB为y轴，过C垂直于平面ABC的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，A(2,0,0)，B(0,4,0)，P(1,0，)，E，F，(0,2,0)，设Q(2，y，0)，平面AEF的法向量为m(x，y，z)，则令x1，则z，得m(1,0，)，且(1，y，)，|cos，|，|cos，m|，依题意，得|cos，|cos，m|，即y1.直线l上存在点Q，使直线PQ分别与平面AEF、直线EF所成的角互余，此时AQ1.
