1、专题1 将军饮马模型与最值问题【模型导入】什么是将军饮马？ “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀古从军行里的一句诗。而由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。【模型描述】如图，将军在图中点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？【模型抽象】如图，在直线上找一点P使得PA+PB最小？ 这个问题的难点在于PA+PB是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段【模型解析】作点A关于直线的对称点A，连接PA，则PA=P
2、A，所以PA+PB=PA+PB当A、P、B三点共线的时候，PA+PB=AB，此时为最小值（两点之间线段最短）【模型展示】【模型】一、两定一动之点点在OA、OB上分别取点M、N，使得PMN周长最小此处M、N均为折点，分别作点P关于OA（折点M所在直线）、OB（折点N所在直线）的对称点，化折线段PM+MN+NP为PM+MN+NP，当P、M、N、P共线时，PMN周长最小【例题】如图，点P是AOB内任意一点，AOB=30，OP=8，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，则PMN周长的最小值为_ 【分析】PMN周长即PM+PN+MN的最小值，此处M、N均为折点，分别作点P关于OB、OA对称点P、P
3、，化PM+PN+MN为PN+MN+PM【解析】当P、N、M、P共线时，得PMN周长的最小值，即线段PP长，连接OP、OP，可得OPP为等边三角形，所以PP=OP=OP=8【模型】二、两定两动之点点在OA、OB上分别取点M、N使得四边形PMNQ的周长最小。考虑PQ是条定线段，故只需考虑PM+MN+NQ最小值即可，类似，分别作点P、Q关于OA、OB对称，化折线段PM+MN+NQ为PM+MN+NQ，当P、M、N、Q共线时，四边形PMNQ的周长最小。【模型】三、一定两动之点线在OA、OB上分别取M、N使得PM+MN最小。此处M点为折点，作点P关于OA对称的点P，将折线段PM+MN转化为PM+MN，即过
4、点P作OB垂线分别交OA、OB于点M、N，得PM+MN最小值（点到直线的连线中，垂线段最短）题型一 将军饮马中两定一动模型与最值问题【专题说明】这类问题的解法主要是通过轴对称，将动点所在直线同侧的两定点中的一个映射到直线的另一侧，转化为两点之间线段最短问题。1、如图，在中，是的两条中线，是上一个动点，则下列线段的长度等于最小值的是（ ）ABCD【解析】在中，AD是的中线，可得点B和点D关于直线AD对称，连结CE，交AD于点P，此时最小，为EC的长，故选B.2、如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE2，AB8，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值_ 【解析】如图：连接DE交AC于点P，
5、此时PDPB，PB+PEPD+PEDE为其最小值，四边形ABCD为正方形，且BE2，AB8， DAB90，ADAB8，AEAB-BE6， 在RtADE中，根据勾股定理，得DE 10PB+PE的最小值为103、如图，在平面直角坐标系中，矩形的边交轴于点，轴，反比例函数的图象经过点，点的坐标为，（1）求反比例函数的解析式；（2）点为轴上一动点，当的值最小时，求出点的坐标 【解析】（1）是矩形，又轴， ，即把点 代入的得， 反比例函数的解析式为：（2）过点作垂足为，则点关于轴的对称点，直线与轴的交点就是所求点，此时最小，设直线AB1的关系式为，将 ,，代入得， 解得：，直线的关系式为，当时，点4、如
6、图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（1，0）B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；（2）请在y轴上找一点M，使BDM的周长最小，求出点M的坐标；（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由【解析】（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x3），即y=ax22ax3a，2a=2，解得a=1，抛物线解析式为y=x2+2x+3；当x=0时，y=x2+2x+3=3，则C（0，3），设直线AC的解析式为y=px+
7、q，把A（1，0），C（0，3）代入得，解得，直线AC的解析式为y=3x+3；（2）y=x2+2x+3=（x1）2+4，顶点D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B，连接DB交y轴于M，如图1，则B（3，0），MB=MB，MB+MD=MB+MD=DB，此时MB+MD的值最小，而BD的值不变，此时BDM的周长最小，易得直线DB的解析式为y=x+3，当x=0时，y=x+3=3，点M的坐标为（0，3）；（3）存在过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，直线AC的解析式为y=3x+3，直线PC的解析式可设为y=x+b，把C（0，3）代入得b=3，直线PC的解析式为y=x+3，解方程组，解得
8、或，则此时P点坐标为（，）；过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P，直线PC的解析式可设为y=x+b，把A（1，0）代入得+b=0，解得b=，直线PC的解析式为y=x，解方程组，解得或，则此时P点坐标为（，）.综上所述，符合条件的点P的坐标为（，）或（，）.5、如图1（注：与图2完全相同），在直角坐标系中，抛物线经过点三点,（1）求抛物线的解析式和对称轴；（2）是抛物线对称轴上的一点，求满足的值为最小的点坐标（请在图1中探索）；（3）在第四象限的抛物线上是否存在点，使四边形是以为对角线且面积为的平行四边形？若存在，请求出点坐标，若不存在请说明理由.（请在图2中探索）【解析】根据点,的坐标设二次函
9、数表达式为：，抛物线经过点，则，解得：，抛物线的表达式为： ，函数的对称轴为：；连接交对称轴于点，此时的值为最小，设BC的解析式为：，将点的坐标代入一次函数表达式：得：解得：直线的表达式为：，当时，故点； 存在，理由：四边形是以为对角线且面积为的平行四边形，则 ，点在第四象限，则，将该坐标代入二次函数表达式得：，或故点的坐标为或题型二 将军饮马中一定两动模型与最值问题【专题说明】一定两动型可转化为两点之间线段最短和点到直线的垂线段最短问题，进而求最值。关键是作定点（或动点）关于动折点所在直线的对称点，通过等量代换转化问题。【模型展示】【模型】三、一定两动之点线在OA、OB上分别取M、N使得PM
10、+MN最小。此处M点为折点，作点P关于OA对称的点P，将折线段PM+MN转化为PM+MN，即过点P作OB垂线分别交OA、OB于点M、N，得PM+MN最小值（点到直线的连线中，垂线段最短）【例题】1、如图，在边长为的菱形中，将沿射线的方向平移得到，分别连接，则的最小值为_. 【解析】如图，过C点作BD的平行线，以为对称轴作B点的对称点，连接交直线于点根据平移和对称可知，当三点共线时取最小值，即，又，根据勾股定理得，故答案为2、点P是定点，在OA、OB上分别取M、N，使得PM+MN最小。【解析】作点P关于OA对称的点P，将折线段PM+MN转化为PM+MN，即过点P作OB垂线分别交OA、OB于点M、
11、N，得PM+MN最小值（垂线段最短）3、点P是定点，在OA、OB上分别取点M、N，使得PMN周长最小【解析】分别作点P关于OA（折点M所在直线）、OB（折点N所在直线）的对称点，化折线段PM+MN+NP为PM+MN+NP，当P、M、N、P共线时，PMN周长最小3、如图，抛物线y=ax25ax+c与坐标轴分别交于点A，C，E三点，其中A（3，0），C（0，4），点B在x轴上，AC=BC，过点B作BDx轴交抛物线于点D，点M，N分别是线段CO，BC上的动点，且CM=BN，连接MN，AM，AN（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；（2）当CMN是直角三角形时，求点M的坐标；（3）试求出AM+AN的最小
12、值 【解析】（1）把A（3，0），C（0，4）代入y=ax25ax+c得，解得，抛物线解析式为y=x2+x+4；又AC=BC，COAB，OB=OA=3，B（3，0），BDx轴交抛物线于点D，D点的横坐标为3，当x=3时，y=9+3+4=5，D点坐标为（3，5）；（2）在RtOBC中，BC=5，设M（0，m），则BN=4m，CN=5（4m）=m+1，MCN=OCB，当时，CMNCOB，则CMN=COB=90，即，解得m=，此时M点坐标为（0，）；当时，CMNCBO，则CNM=COB=90，即，解得m=，此时M点坐标为（0，）；综上所述，M点的坐标为（0，）或（0，）；（3）连接DN，AD，如图，
13、AC=BC，COAB，OC平分ACB，ACO=BCO，BDOC，BCO=DBC，DB=BC=AC=5，CM=BN，ACMDBN，AM=DN，AM+AN=DN+AN，而DN+ANAD（当且仅当点A、N、D共线时取等号），DN+AN的最小值=，4、如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，连接DF，过点E作EHDF，垂足为H，EH的延长线交DC于点G（1）猜想DG与CF的数量关系，并证明你的结论；（2）过点H作MNCD，分别交AD，BC于点M，N，若正方形ABCD的边长为10，点P是MN上一点，求PDC周长的最小值【解析】（1）结论：CF=2DG理由：四边形ABCD是正方形，AD
14、=BC=CD=AB，ADC=C=90，DE=AE，AD=CD=2DE，EGDF，DHG=90，CDF+DGE=90，DGE+DEG=90，CDF=DEG，DEGCDF，=，CF=2DG（2）作点C关于NM的对称点K，连接DK交MN于点P，连接PC，此时PDC的周长最短周长的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK由题意：CD=AD=10，ED=AE=5，DG=，EG=，DH=，EH=2DH=2，HM=2，DM=CN=NK=1，在RtDCK中，DK=2，PCD的周长的最小值为10+25、如图，在正方形ABCD中，AB=9，点E在CD边上，且DE=2CE，点P是对角线AC上的一个动点
15、，则PE+PD的最小值是（）ABC9D【解析】如图，连接BE，设BE与AC交于点P，四边形ABCD是正方形，点B与D关于AC对称，PD=PB，PD+PE=PB+PE=BE最小即P在AC与BE的交点上时，PD+PE最小，为BE的长度直角CBE中，BCE=90，BC=9，CE=CD=3，BE=故选A6、如图，AOB的边OB与x轴正半轴重合，点P是OA上的一动点，点N（3，0）是OB上的一定点，点M是ON的中点，AOB=30，要使PM+PN最小，则点P的坐标为_ 【解析】解：作N关于OA的对称点N，连接NM交OA于P，则此时，PM+PN最小，OA垂直平分NN，ON=ON，NON=2AON=60，NO
16、N是等边三角形，点M是ON的中点，NMON，点N（3，0），ON=3，点M是ON的中点，OM=1.5，PM=，P（，）故答案为：（，）题型三 将军饮马中两定两动模型与最值问题【专题说明】运用平移变换，把保持平移后的线段与原来线段平行且相等的特性下，把无公共端点的两线段移动到具有公共端点的新位置，从而转化为两点之间线段最短问题求解最值。【模型展示】【模型】二、两定两动之点点在OA、OB上分别取点M、N使得四边形PMNQ的周长最小。考虑PQ是条定线段，故只需考虑PM+MN+NQ最小值即可，类似，分别作点P、Q关于OA、OB对称，化折线段PM+MN+NQ为PM+MN+NQ，当P、M、N、Q共线时，四
17、边形PMNQ的周长最小。【例题】1、如图所示抛物线过点，点，且（1）求抛物线的解析式及其对称轴；（2）点在直线上的两个动点，且，点在点的上方，求四边形的周长最小值；（3）点为抛物线上一点，连接，直线把四边形的面积分为35两部分，求点的坐标.【解析】（1）OB=OC，点B（3，0），则抛物线的表达式为：y=a（x+1）（x-3）=a（x2-2x-3）=ax2-2ax-3a，故-3a=3，解得：a=-1，故抛物线的表达式为：y=-x2+2x+3；对称轴为：直线（2）ACDE的周长=AC+DE+CD+AE，其中AC=、DE=1是常数，故CD+AE最小时，周长最小，取点C关于函数对称点C（2，3），则
18、CD=CD，取点A（-1，1），则AD=AE，故：CD+AE=AD+DC，则当A、D、C三点共线时，CD+AE=AD+DC最小，周长也最小，四边形ACDE的周长的最小值=AC+DE+CD+AE=+1+AD+DC=+1+AC=+1+；（3）如图，设直线CP交x轴于点E，直线CP把四边形CBPA的面积分为3：5两部分，又SPCB：SPCA=EB（yC-yP）：AE（yC-yP）=BE：AE，则BE：AE，=3：5或5：3，则AE=或，即：点E的坐标为（，0）或（，0），将点E、C的坐标代入一次函数表达式：y=kx+3，解得：k=-6或-2，故直线CP的表达式为：y=-2x+3或y=-6x+3。联立
19、并解得：x=4或8（不合题意值已舍去），故点P的坐标为（4，-5）或（8，-45）2、如图，在矩形中， ， ，为的中点，若为边上的两个动点，且，若想使得四边形的周长最小，则的长度应为_.【解析】如图，在AD上截取线段AF=DE=2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点E为CD的中点，CE=2GH=DF=5，EH=2+4=6，H=90，BC/GH,，CQ=，BP=CB-PQ-CQ=7-2-故答案为3、已知直线l1l2，l1、l2之间的距离为8，点P到直线l1的距离为6，点Q到直线l2的距离为
20、4，PQ=，在直线l1上有一动点A，直线l2上有一动点B，满足ABl2，且PA+AB+BQ最小，此时PA+BQ=_【解析】作PEl1于E交l2于F，在PF上截取PC=8，连接QC交l2于B，作BAl1于A，此时PA+AB+BQ最短作QDPF于D在RtPQD中，D=90，PQ=，PD=18，DQ=，AB=PC=8，ABPC，四边形ABCP是平行四边形，PA=BC，CD=10，PA+BQ=CB+BQ=QC=16故答案为164、如图，在RtABC中，ACB=90，AC=6AB=12，AD平分CAB，点F是AC的中点，点E是AD上的动点，则CE+EF的最小值为 A3B4CD【分析】此处E点为折点，可作点C关于AD的对称，对称点C在AB上且在AB中点，化折线段CE+EF为CE+EF，当C、E、F共线时得最小值，CF为CB的一半，故选C 5、如图，在锐角三角形ABC中，BC=4，ABC=60， BD平分ABC，交AC于点D，M、N分别是BD，BC上的动点，则CM+MN的最小值是AB2CD4【分析】此处M点为折点，作点N关于BD的对称点，恰好在AB上，化折线CM+MN为CM+MN因为M、N皆为动点，所以过点C作AB的垂线，可得最小值，选C
