1、专题02 倍长中线模型构造全等三角形【专题说明】倍长中线是指加倍延长中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等。常用于构造全等三角形。中线倍长法多用于构造全等三角形和证明边之间的关系（通常用“SAS”证明）（注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。【知识总结】题干中出现三角形一边的中线（与中点有关的线段），或中点，通常考虑倍长中线或类中线，构造全等三角形.把该中线延长一倍，证明三角形全等，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法.主要思路：倍长中线（线段）造全等在ABC中 AD是BC边中线延长AD到E， 使DE=AD，连接BE 作
2、CFAD于F， 作BEAD的延长线于E 连接BE延长MD到N， 使DN=MD，连接CD1、如图，已知在ABC中，D为AC中点，连接BD.若AB=10cm,BC=6cm,求中线BD的取值范围。解析：如图，延长BD至E,使BD=DE,连接CE,D为AC中点AD=DC,在ABD和CED中，BD=DE,ADB=CDEAD=CDABDCED（SAS）EC=AB=10在BCE中，CE-BCBECE+BC10-6BE10+642BD162BD82、已知，如图ABC中，AM是BC边上的中线，求证：AM12(AB+AC)解析：延长AM到D，使MD=AM,连CDAM是BC边上的中线，BM=CM又AM=DM,AMB
3、=CMDABMDCM，AB=CD在ACD中，则ADAC+CD即2AMAC+ABAM12(AB+AC)3、如图，在ABC中，AD交BC于点D，点E是BC的中点，EFAD交CA的延长线于点F，交EF于点G，若BG=CF,求证：AD为ABC的角平分线.解析：延长FE,截取EH=EG,连接CH可证得：BEGCEH（SAS）BGE=H,BG=CHCF=BG,CH=CF,F=H=FGAEFADF=CAD,BAD=FGACAD=BADAD平分BAC.4、如图，AD为ABC的中线，ADB和ADC的平分线分别交AB、AC于点E、F，求证：BE+CFEF.解析：延长ED到H,使DE=DH,连接CH,FH,AD是A
4、BC的中线，BD=DCDE、DF分别为ADB和ADC的平分线1=4=12ADB,3=5=12ADC又1=2，4=24+5=2+3=90EFDHFD（AAS）EF=FH在BDE和CDH中，BDECDH（SAS），BE=CH在CFH中，由三角形三边关系定理得：CF+CHFHCH=BE,FH=EHBE+CFEF.5、在RtABC中，A=90，点D为BC的中点，点E,F分别为AB，AC上的点，且EDFD,以线段BE,EF,FC为边能否构成一个三角形？若能，请判断三角形的形状？解析：连接AD，作BGFC,与FD延长线交于G，连接EG,BG平行FC，FCD=DBG,CFD=G来在DFC和BDG中，DFCB
5、DG(AAS)FC=BG,DG=DF,DBG=ACB又EDFD,EF=EGABC+ACB=90，ABG=ABC+DBG=ABC+ACB=90EBG为直角三角BE.EF,FC为边能构成一个三角形，且为直角三角形【基础训练】1、如图，已知在ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，延长BE交AC于F，AF=EF,求证：AC=BE.【解析】倍长AD至点M，得8字全等BMDCAD（AAS）AF=EFFAE=FEA，BE=BMAC=BM=BE2、如图所示，已知ABC中，AD平分BAC,E,F分别在BD,AD上，DE=CD,EF=AC.求证EFAB.解析：倍长FD至点M得8字全等FEDMCD（AAS
6、），所以EF=CM=ACCAD=EFD=BADEFAB3、已知ABC中，AB=AC,CF是AB边上的中线，延长AB到D,使BD=AB,求证：CD=2CE.分析：倍长CE至点M，连BM，证DCBMCB如图所示，BAC=DAE=90，M是BE的中点，AB=AC,AD=AE，求证：AMCD解析：倍长AM至点F，连BF和EF，可证ABFCAD（SAS）C+CAF=BAF+CAF=90AMCD4、如图，在正方形ABCD中，ADBC，E为AB边的中点，G，F分别为AD，BC边上的点，且AG=1，BF=2若GEEF，则GF的长为多少？解析 ：如图，延长GE交CB的延长线于点HADBCGAE=HBEE为AB边
7、的中点AE=BE在AGE和BHE中，AGEBHE（ASA），BH=AG，HE=GEGEEFGF=HFBF=2，AG=1GF=HF=BF+BH =BF+AG =2+1 =35、如图，在ABC中，AD平分BAC，且BD=CD，求证：AB=AC方法1：如图，延长AD到E，使DE=AD，连接BE在BDE和CDA中，BDECDA（SAS），AC=BE，E=2来AD平分BAC1=21=EAB=BEAB=AC方法2：如图，过点B作BEAC，交AD的延长线于点EBEACE=2在BDE和CDA中，BDECDA（AAS），BE=ACAD平分BAC1=21=EAB=BEAB=AC【巩固提升】1、 如图，在ABC中，
8、AD为BC边上的中线（1）按要求作图：延长AD到点E，使DE=AD；连接BE（2）求证：ACDEBD（3）求证：AB+AC 2AD（4）若AB=5，AC=3，求AD的取值范围解析：（1）如图，（2）证明：如图，AD为BC边上的中线，BD=CD在BDE和CDA中，BDECDA（SAS）（3）证明：如图，BDECDA，BE=AC，又DE=AD，AE=2 AD在ABE中，AB+BEAE，AB+AC2AD（4）在ABE中，AB-BEAEAB+BE由（3）得 AE=2AD，BE=ACAC=3，AB=5，5-3AE5+3，22AD8，1AD42、如图，在ABC中，AD平分BAC，且BD=CD求证：AB=A
9、C证明：如图，延长AD到E，使DE=AD，连接BE在ADC和EDB中，ADCEDB（SAS）AC=EB，2=EAD平分BAC1=21=EAB=BEAB=AC3、如图，CB是AEC的中线，CD是ABC的中线，且AB=AC求证：CE=2CD；CB平分DCE证明：如图，延长CD到F，使DF=CD，连接BFCF=2CDCD是ABC的中线，BD=AD在BDF和ADC中，BDFADC（SAS），BF=AC，1=FCB是AEC的中线，BE=ABAC=AB，BE=BF1=F，BFAC，1+2+5+6=180又AC=AB，1+2=5又4+5=180，4=5+6即CBE=CBF在CBE和CBF中，CBECBF（S
10、AS）CE=CF，2=3CE=2CDCB平分DCE3、 如图，在ABC中，D是BC的中点，E是AD上一点，BE=AC，BE的延长线交AC于点F，求证：AEF=EAF证明：如图，延长AD到M，使DM=AD，连接BMD是BC边的中点BD=CD在ADC和MDB中，ADCMDB（SAS）1=M，AC=MBBE=ACBE=MBM=31=33=21=2即AEF=EAF4、 如图，在ABC中，AD交BC于点D，点E是BC的中点，EFAD交CA的延长线于点F，交AB于点G，BG=CF，求证：AD为ABC的角平分线证明：如图，延长FE到M，使EM=EF，连接BM点E是BC的中点，BE=CE在CFE和BME中，C
11、FEBME（SAS），CF=BM，F=MBG=CFBG=BM1=M1=FADEF3=F，1=22=3即AD为ABC的角平分线5、 如图，在四边形ABCD中，ADBC，点E在BC上，点F是CD的中点，且AFAB，已知AD=2.7，AE=BE=5，求CE的长解析：如图，延长AF交BC的延长线于点GADBC，3=G点F是CD的中点DF=CF在ADF和GCF中，ADFGCF（AAS），AD=CGAD=2.7CG=2.7AE=BE1=BABAF1+2=90，B+G=902=GEG=AE=5CE=EG-CG=5-2.7=2.36、 如图，在正方形ABCD中，CD=BC，DCB=90，点E在CB的延长线上，过点E作EFBE，且EF=BE连接BF，FD，取FD的中点G，连接EG，CG求证：EG=CG且EGCG证明：如图，延长EG交CD的延长线于点M由题意，FEB=90，DCB=90，DCB+FEB=180EFCD，FEG=M点G为FD的中点，FG=DG在FGE和DGM中，FGEDGM（AAS），EF=MD，EG=MGFEB是等腰直角三角形EF=EB，BE=MD在正方形ABCD中，BC=CDBE+BC=MD+CD，即EC=MCECM是等腰直角三角形EG=MG，EGCG，3=4=452=3=45EG=CG
