1、2025高考数学一轮复习-4.7.2-解三角形的综合问题-专项训练【B级能力提升】1.如图,在四边形ABCD中,BDAD,sin(3-A) cos(6+A)=14.(1)求A;(2)若AB=3,AD=3,CD=1,C=2CBD,求四边形ABCD的面积.2.在ABC中,内角A,B,C对应的边分别为a,b,c,已知a2=3(b+c).(1)若A=3,求ABC周长的最大值;(2)若b=3,证明:A=2B.3.ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知2(c-acos B)=3b.(1)求角A;(2)若a=2,求ABC面积的最大值.4.记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b2
2、=ac,点D在边AC上,BDsinABC=asin C.(1)证明:BD=b;(2)若AD=2DC,求cosABC.5.记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知ABC面积为3,D为BC的中点,且AD=1.(1)若ADC=3,求tan B;(2)若b2+c2=8,求b,c.【C级应用创新练】6.在AB=25,ADB=135,BAD=C这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,使得问题成立,并求BD的长和ABC的面积.如图,在ABC中,D为BC边上一点,ADAC,AD=1,sinBAC=255,求BD的长和ABC的面积.参考答案【B级能力提升】1.解:(1)因为(3-A)+(6+A)=
3、2,所以sin(3-A)=cos(6+A),所以sin(3-A)cos(6+A)=14可化为sin2(3-A)=14,由二倍角公式可得cos(23-2A)=12.因为BDAD,所以A(0,2),所以(23-2A)(-3,23),所以23-2A=3,解得A=6.(2)在ABD中,AB=3,AD=3,A=6,由余弦定理得BD2=AB2+AD2-2ABADcos A,即BD2=3+9-23332=3,所以BD=3.在BCD中,由正弦定理得sinCsinCBD=BDCD=3,所以sin C=3sinCBD.又因为C=2CBD,所以sin 2CBD=3 sinCBD,即cosCBD=32.又因为CBD(
4、0,),所以CBD=6,从而C=2CBD=3,所以BDC=2,因此四边形ABCD的面积S=12ABADsin A+12BDCD=123312+1231=534.2.(1)解:因为A=3,且a2=3(b+c),由余弦定理可知,a2=3(b+c)=b2+c2-bc,所以(b+c)2-3(b+c)=3bc34(b+c)2,当且仅当b=c时,等号成立,所以b+c12,所以a=3(b+c)6,即ABC周长的最大值为12+6=18.(2)证明:因为a2=3(b+c),且b=3,所以a2=b2+bc,由余弦定理可知,b2+bc=b2+c2-2bccos A,所以b=c-2bcos A,由正弦定理可知,sin
5、 B=sin C-2sin Bcos A,因为A+B+C=,所以sin C=sin(A+B)=sin Acos B+sin Bcos A,所以sin B=sin Acos B-sin Bcos A=sin(A-B),又因为A,B(0,),B+A-B=A,所以B=A-B,即A=2B.3.解:(1)由2(c-acos B)=3b及正弦定理,得2(sin C-sin Acos B)=3sin B,所以2sin(A+B)-2sin Acos B=3sin B,即2cos Asin B=3sin B,因为sin B0,所以cos A=32,又0A,所以A=6.(2)法一因为a=2,所以由正弦定理,得b=
6、4sin B,c=4sin C,所以SABC=12bcsin A=14bc=4sin Bsin C,因为C=-(A+B)=56-B,所以sin C=sin(56-B).所以SABC=4sin Bsin(56-B)=4sin B(12cos B+32sin B)=2sin Bcos B+23sin2B=sin 2B-3cos 2B+3=2sin(2B-3)+3.因为0B56,所以-32B-343,所以-32sin(2B-3)1,所以00,所以BD=b.(2)解:如图所示,过点D作DEBC交AB于点E,因为AD=2DC,所以AEEB=ADDC=2,DEBC=23,所以BE=c3,DE=23a.在B
7、DE中,cosBED=BE2+DE2-BD22BEDE=c29+4a29-b22c32a3=c2+4a2-9b24ac=c2+4a2-9ac4ac,在ABC中,cosABC=AB2+BC2-AC22ABBC=c2+a2-b22ac=c2+a2-ac2ac.因为BED=-ABC,所以cosBED=-cosABC,所以c2+4a2-9ac4ac=-c2+a2-ac2ac,化简得3c2+6a2-11ac=0,方程两边同时除以a2,得3(ca)2-11(ca)+6=0,解得ca=23或ca=3.当ca=23,即c=23a时,cosABC=c2+a2-ac2ac=49a2+a2-23a243a2=712
8、;当ca=3,即c=3a时,cosABC=c2+a2-ac2ac=9a2+a2-3a26a2=761(舍去).综上,cosABC=712.5.解:(1)在ABC中,因为D为BC的中点,ADC=3,AD=1,则SADC=12ADDCsinADC=12112a32=38a=12SABC=32,解得a=4,在ABD中,ADB=23,由余弦定理得c2=BD2+AD2-2BDADcosADB,即c2=4+1-221(-12)=7,解得c=7,则cos B=7+4-1272=5714,sin B=1-cos2B=1-(5714) 2=2114,所以tan B=sinBcosB=35.(2)在ABD与ACD
9、中,由余弦定理得c2=14a2+1-212a1cos(-ADC),b2=14a2+1-212a1cosADC,两式相加整理得12a2+2=b2+c2,而b2+c2=8,则a=23,又SADC=1231sinADC=32,解得 sinADC=1,而0ADC,于是ADC=2,所以b=c=AD2+CD2=2.【C级应用创新练】6.解:选条件,sin BAC=sin (90+BAD)=cos BAD=255,所以sinBAD=1-(255) 2=55.在ABD中,由余弦定理,得BD=20+1-2251255=13.在ABD中,由正弦定理,得ABsinADB=BDsinBAD,即25sinADB=135
10、5,所以sinADB=21313.所以sinADC=21313,cosADC=31313,所以tanADC=23,所以AC=23.所以ABC的面积为122523255=43.选条件,sinBAC=sin(90+BAD)=cosBAD=255,所以sinBAD=1-(255) 2=55,所以sin B=sin(BAD+135)=55(-22)+25522=1010.在ABD中,由正弦定理,得ABsin135=ADsinB=BDsinBAD,得AB=5,BD=2.因为ADB=135,所以ADC=45,所以AC=1,所以ABC的面积为1251255=1.选条件,sinBAC=sin(90+BAD)=cosBAD=255,所以sinBAD=1-(255) 2=55.因为BAD=C,所以sin C=55,在RtACD中,可得cosADC=55,所以cosADB=-55,sinADB=255.所以sin B=sin(BAD+ADB)=55(-55)+255255=35.在ABD中,由正弦定理,得ABsinADB=ADsinB=BDsinBAD,得AB=253,BD=53.因为sin C=55,所以cos C=255,所以tan C=12,所以AC=2.所以ABC的面积为122532255=43.
