1、2025高考数学一轮复习-7.5-空间直线、平面的垂直行-专项训练【A级基础巩固】1已知平面和直线l有交点，则“直线l与平面垂直”是“平面内存在两条夹角为30的直线m，n，使得ml且nl”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件2如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不垂直的是()3如图所示，已知四边形ABCD是由一个等腰直角ABC和一个有一内角为30的直角三角形ACD拼接而成，将ACD绕AC边旋转的过程中，下列结论中不可能成立的是()ACDABBBCADCBDAB DBCCD4(多选
2、)四棱台ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形，AA1平面ABCD，则下列结论正确的是()A直线AD与直线B1D1所成的角为45B直线AA1与直线CC1异面C平面ABB1A1平面ADD1A1DCA1AD5如图所示是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中，棱_所在的直线与棱AB所在的直线是异面直线且互相垂直(注：填上你认为正确的一条棱即可，不必考虑所有可能的情况)6已知ABC在平面内，A90，DA平面，则直线CA与DB的位置关系是_7如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点(1)求证：BD平面PAC；(2)若ABC60，求证：平面PAB平面PAE.
3、【B级能力提升】1(多选)如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点，则满足MNOP的是()2(多选)在三棱锥DABC中，已知ABBC2，AC2，DB4，平面BCD平面ABC，且DBAB，则()ADBACB平面DAB平面ABCC三棱锥DABC的体积为D三棱锥DABC的外接球的表面积为163如图所示，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足_时，平面MBD平面PCD(只要填写一个你认为是正确的条件即可).4已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱AA1的中点为E，AC与BD交于点O，平面过点E，且与直线OC1垂直若AB1
4、，则平面截该正方体所得截面图形的面积为_5在如图所示的五面体ABCDEF中，四边形ABCD为菱形，且DAB60，EAEDAB2EF2，EFAB，M为BC的中点(1)求证：FM平面BDE；(2)若平面ADE平面ABCD，求点F到平面BDE的距离参考答案【A级基础巩固】1解析：若直线l与平面垂直，则l垂直内的任意一条直线，若平面内存在两条夹角为30的直线m，n，则lm且ln，故充分性成立；若平面内存在两条夹角为30的直线m，n，使得ml且nl，由线面垂直的判定定理可知直线l与平面垂直，故必要性成立，所以“直线l与平面垂直”是“平面内存在两条夹角为30的直线m，n，使得ml且nl”的充要条件答案：C
5、2解析：对于A选项，如图，因为M，N，Q为所在棱的中点，故由正方体的性质易得BB1AB，CDAB，MQCD，MNBB1，所以MQAB，MNAB，且MQMNM，MQ，MN平面MNQ，故AB平面MNQ，故A选项不符合题意；对于B选项，如图，因为M，N，Q为所在棱的中点，所以MNCD，MQA1C，由正方体的性质得AB1CD，CDBB1，且AB1BB1B1，AB1，BB1平面ABB1，所以CD平面ABB1.又AB平面ABB1，故CDAB，所以MNAB，同理得MQAB.又MNMQM，MN，MQ平面MNQ，故AB平面MNQ，故B选项不符合题意；对于C选项，如图，因为M，N，Q为所在棱的中点，所以MNA1B
6、1，ACA1B1，则MNAC.在ABC中，AB与AC的夹角为，故异面直线MN与AB所成的角为，故AB平面MNQ不成立，故C选项符合题意；对于D选项，同A选项，可判断AB平面MNQ.答案：C3解析：对于A，D，当平面ADC平面ABC时，因为CDAC，平面ADC平面ABCAC，所以CD平面ABC.又AB平面ABC，BC平面ABC，所以CDAB，CDBC，故A，D可能成立；对于C，假设DCa，则AD2a，ACa，BCABa，连接BD(图略).在BCD中，由余弦定理得BDaa，则在旋转过程中，存在某一时刻满足BDa，此时BD2AB2AD2，BDAB.故C可能成立；利用排除法可知选项中不成立的结论为B项
7、答案：B4解析：对于A，如图，连接BD，则BDB1D1，则直线AD与直线BD所成的角即为直线AD与直线B1D1所成角在正方形ABCD中，ADB45，故直线AD与直线B1D1所成的角为45，故A正确；对于B，由于棱台的侧棱延长后会交于同一点，故直线AA1与直线CC1是相交直线，故B错误；对于C，由AA1平面ABCD，AB平面ABCD，所以AA1AB.又ABAD，且AA1ADA，AA1，AD平面ADD1A1，故AB平面ADD1A1，而AB平面ABB1A1，故平面ABB1A1平面ADD1A1，故C正确；对于D，如图，连接AC，由题意知ACBD.因为AA1平面ABCD，BD平面ABCD，所以BDAA1
8、，且AA1ACA，AA1，AC平面AA1C，所以BD平面AA1C，CA1平面AA1C，故BDCA1.若CA1AD，而ADBDD，AD，BD平面ABCD，所以CA1平面ABCD，显然不成立，故AD不可能垂直于CA1，故D错误答案：AC5解析：如图，结合平面图形还原出正方体，结合正方体性质易知，棱CG，DH，EH，FG所在的直线与棱AB所在的直线是异面直线且互相垂直答案：CG，DH，EH，FG(任选一个作答)6解析：DA平面，CA平面，DACA.在ABC中，A90，ABCA，且DAABA，DA，AB平面DAB，CA平面DAB.又DB平面DAB，CADB.答案：垂直7证明：(1)因为PA平面ABCD
9、，BD平面ABCD，所以PABD.因为底面ABCD为菱形，所以BDAC.又PAACA，PA，AC平面PAC，所以BD平面PAC.(2)因为PA平面ABCD，AE平面ABCD，所以PAAE.因为底面ABCD为菱形，ABC60，且E为CD的中点，所以AECD.所以ABAE.又ABPAA，AB，PA平面PAB，所以AE平面PAB.因为AE平面PAE，所以平面PAB平面PAE.【B级能力提升】1解析：设正方体的棱长为2.对于A，如图(1)所示，连接AC，则MNAC，故POC(或其补角)为异面直线OP，MN所成的角在直角OPC中，OC，CP1，故tan POC，故MNOP不成立，故A错误；对于B，如图(
10、2)所示，取MT的中点为Q，连接PQ，OQ，则OQMN，PQMN，OQ，PQ平面OPQ，所以MN平面OPQ.又OP平面OPQ，故MNOP，故B正确；对于C，如图(3)，连接BD，则BDMN，由B的判断可得OPBD，故OPMN，故C正确；对于D，如图(4)，取AD的中点Q，AB的中点K，连接AC，PQ，OQ，PK，OK，则ACMN.因为DPPC，故PQAC，故PQMN，所以QPO(或其补角)为异面直线PO，MN所成的角因为正方体的棱长为2，故PQAC，OQ，PO，QO2PQ2OP2，故QPO不是直角，故PO，MN不垂直，故D错误答案：BC2解析：因为ABBC2，AC2，所以cos ABC，所以A
11、BC.如图，过D作DEBC于E.因为平面BCD平面ABC，平面BCD平面ABCBC，所以DE平面ABC.因为AB平面ABC，所以DEAB.假设DB，DE不重合，因为DBAB，DEDBD，DE，DB平面BCD，所以AB平面BCD.因为BC平面BCD，所以ABBC，与ABC矛盾，所以假设不成立，所以DB，DE重合，即DB平面ABC.因为AC平面ABC，所以DBAC.因为DB平面DAB，所以平面DAB平面ABC，故A，B正确；三棱锥DABC的体积为22sin 4，故C正确；如图，设ABC的外心为F，其外接圆半径为2，过F作FO平面ABC，设O为外接球的球心，则FAFB2，OAOD，所以，所以，解得O
12、F2，所以外接球的半径为OA2，所以三棱锥DABC的外接球的表面积为S4OA232，故D错误答案：ABC3解析：连接AC，BD，则ACBD.因为PA底面ABCD，BD平面ABCD，所以PABD.又PAACA，PA，AC平面PAC，所以BD平面PAC，PC平面PAC，所以BDPC.所以当DMPC(或BMPC)时，有PC平面MBD.又PC平面PCD，所以平面MBD平面PCD.答案：DMPC(或BMPC)4解析：如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱AA1的中点，AB1，则OCCCOC21，OE2OA2AE2，ECA1CA1E22，OCOE2EC，OEOC1.又BD平面ACC1A1，O
13、C1平面ACC1A1，BDOC1，且OEBDO，OC1平面BDE，且SBDEBDOE，即平面截该正方体所得截面图形的面积为.答案：5(1)证明：取BD的中点O，连接OM，OE.因为O，M分别为BD，BC的中点，所以OMCD，且OMCD.因为四边形ABCD为菱形，所以CDAB，又EFAB，所以CDEF.又ABCD2EF，所以EFCD，所以OMEF，且OMEF，所以四边形OMFE为平行四边形，所以MFOE.又OE平面BDE，MF平面BDE，所以MF平面BDE.(2)解：由(1)得FM平面BDE，所以点F到平面BDE的距离等于点M到平面BDE的距离取AD的中点H，连接EH，BH，因为EAED，四边形ABCD为菱形，且DAB60，所以EHAD，BHAD.因为平面ADE平面ABCD，平面ADE平面ABCDAD，EH平面ADE，所以EH平面ABCD.因为BH平面ABCD，所以EHBH.因为EHBH，所以BE，所以SBDE.设点F到平面BDE的距离为h，连接DM，则SBDMSBCD4.连接EM，由V三棱锥EBDMV三棱锥MBDE，得h，解得h，即点F到平面BDE的距离为
