1、第1讲计数原理与概率考情分析1.主要考查两个计数原理、排列、组合的简单应用，时常与概率相结合，以选择题、填空题为主.2.二项式定理主要考查通项公式、二项式系数等知识，近几年也与函数、不等式、数列交汇考查.3.概率重点考查古典概型、条件概率、全概率公式的基本应用考点一排列与组合问题核心提炼解决排列、组合问题的一般过程：(1)认真审题，弄清楚要做什么事情；(2)要做的事情是需要分步还是分类，还是分步分类同时进行，确定分多少步及多少类；(3)确定每一步或每一类是排列(有序)问题还是组合(无序)问题，元素总数是多少及取出多少元素例1(1)(2023信阳模拟)直上九天问苍穹，天宫六人绘新篇.2023年5
2、月30日神舟十六号发射成功，神十五与神十六乘组航天员在太空会师，6名航天员分两排合影留念，若从神十五和神十六每组的3名航天员中各选1人站在前排，后排的4人要求同组的2人必须相邻，则不同的站法有()A72种 B144种C180种 D288种答案B解析因为第一排的站法有CCA18(种)，第二排的站法有AAA8(种)，所以不同的站法有188144(种)(2)(多选)(2023重庆模拟)教育部发布了中国高考报告2023，为让学生对高考有所了解，某学校拟在一周内组织数学、英语、语文、物理、化学的5位该学科的骨干教师进行“中国高考报告2023”的相应学科讲座，每天一科，连续5天则下列结论正确的是()A从5
3、位教师中选2位的不同选法共有20种B数学不排在第一天的不同排法共有96种C数学、英语、语文排在都不相邻的三天的不同排法共有12种D物理排在化学的前面(可以不相邻)的排法共有120种答案BC解析对于A选项，从5位教师中选2位的不同选法共有C10(种)，A错误；对于B选项，数学不排在第一天，则数学有4种排法，其他4门学科全排列即可，所以不同的排法共有4A96(种)，B正确；对于C选项，数学、英语、语文排在都不相邻的三天，则这三门学科分别排在第一、三、五天，所以不同的排法共有AA12(种)，C正确；对于D选项，物理排在化学的前面(可以不相邻)的排法共有60(种)，D错误规律方法排列、组合问题的求解方
4、法与技巧(1)合理分类与准确分步；(2)排列、组合混合问题要先选后排；(3)特殊元素优先安排；(4)相邻问题捆绑处理；(5)不相邻问题插空处理；(6)定序问题除法处理；(7)“小集团”排列问题先整体后局部；(8)正难则反，等价转化跟踪演练1(1)(2023新高考全国)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有_种(用数字作答)答案64解析当从8门课中选修2门时，不同的选课方案共有CC16(种)；当从8门课中选修3门时，()若体育类选修1门，则不同的选课方案共有CC24(种)；()若体育类选修2门，则不同的
5、选课方案共有CC24(种)综上所述，不同的选课方案共有16242464(种)(2)(多选)(2023白银模拟)小许购买了一套五行文昌塔摆件(如图)，准备一字排开摆放在桌面上，下列结论正确的有()A不同的摆放方法共有120种B若要求“水塔”和“土塔”不相邻，则不同的摆放方法共有36种C若要求“水塔”和“土塔”不相邻，则不同的摆放方法共有72种D若要求“水塔”和“土塔”相邻，且“水塔”不摆两端，则不同的摆放方法共有36种答案ACD解析由题可知，不同的摆放方法共有A120(种)，A正确；若要求“水塔”和“土塔”不相邻，则不同的摆放方法共有AA72(种)，C正确，B不正确；若要求“水塔”和“土塔”相邻
6、，且“水塔”不摆两端，则不同的摆放方法共有AA2A36(种)，D正确考点二二项式定理核心提炼1求二项展开式中特定项或项的系数问题的思路：(1)利用通项公式将Tk1项写出并化简(2)令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出k.(3)代回通项公式即得所求2对于两个因式的积的特定项问题，一般对某个因式用通项公式，再结合因式相乘，分类讨论求解例2(1)(2023湖北八市联考)已知二项式(2xa)n的展开式中只有第4项的二项式系数最大，且展开式中含x3项的系数为20，则实数a的值为_答案解析因为二项式的展开式中只有第4项的二项式系数最大，所以n6，二项式的通项为Tk1
7、C(2x)6k(a)k，令6k3，解得k3，所以展开式中含x3的项为C(2x)3(a)3160a3x3，由160a320，解得a.(2)(多选)(2023临沂模拟)已知(12x)2 023a0a1xa2x2a2 023x2 023，则下列结论中正确的是()Aa1a2a3a2 0232Ba1a2a3a4a2 022a2 023132 023Ca12a23a32 023a2 0234 046D|a1|a2|a2 023|32 023答案AB解析对于A选项，令x1，则a0a1a2a3a2 0231，又a0C1，所以a1a2a3a2 0232，故A正确；对于B选项，令x1，则a0a1a2a3a2 02
8、332 023，a1a2a3a2 02332 0231，故a1a2a3a4a2 022a2 023132 023，故B正确；对于C选项，记y(12x)2 023a0a1xa2x2a2 023x2 023，则y4 046(12x)2 022a12a2x2 023a2 023x2 022，令x1，则a12a23a32 023a2 0234 046，故C错误；对于D选项，(12x)2 023的通项公式为Tk1C(2x)k(0k2 023，kN)，当k为奇数时，系数为负数，所以|a1|a2|a2 023|a1a2a3a2 02332 0231，故D错误规律方法二项式(ab)n的通项公式Tk1Cankb
9、k(k0,1,2，n)，它表示的是二项式的展开式的第k1项，而不是第k项；其中C是二项式展开式的第k1项的二项式系数，而二项式的展开式的第k1项的系数是字母幂前的常数，要区分二项式系数与系数跟踪演练2(1)(2023龙岩质检)在(1x)3的展开式中，x的系数为()A12 B12 C6 D6答案D解析因为3Cx3Cx2Cx2C3，所以只有(1x)中的1与3中的Cx2相乘才会得到x，即Cx26x，所以x的系数为6.(2)(多选)(2023承德模拟)若(3x2)2 023a0a1xa2x2a3x3a2 023x2 023(xR)，则()Aa022 023Ba0a2a4a2 022Ca1a3a5a2
10、023D.22 0231答案BD解析对于A，当x0时，a0(2)2 02322 023，故A错误；对于B，C，当x1时，a0a1a2a3a2 02312 0231，当x1时，a0a1a2a3a2 022a2 02352 023，所以a0a2a4a2 022，a1a3a5a2 023，故B正确，C错误；对于D，当x时，2 023a0，所以(1)2 023a022 0231，故D正确考点三概率核心提炼1古典概型的概率公式P(A).2条件概率公式设A，B为两个随机事件，且P(A)0，则P(B|A).3全概率公式设A1，A2，An是一组两两互斥的事件，A1A2An，且P(Ai)0，i1,2，n，则对任
11、意的事件B，有P(B)(Ai)P(B|Ai)例3(1)(多选)(2023马鞍山模拟)已知A，B为两个随机事件，且P(A)0.4，P(B)0.6，则()AP(AB)1B若A，B为互斥事件，则P(AB)0C若P(AB)0.24，则A，B为相互独立事件D若A，B为相互独立事件，则P()P(AB)答案BCD解析若A，B为互斥事件，又P(A)P(B)1，则AB且AB，故P(AB)1，P(AB)0，故A错误，B正确；若P(AB)0.24，即P(AB)P(A)P(B)，故A，B为相互独立事件，故C正确；若A，B为相互独立事件，则，也相互独立，即P()P()P()，又P()0.6，P()0.4，而P(AB)P
12、(A)P(B)1P()1P()1P()P()P()P()P()P()，故P( )P(AB)，故D正确(2)(多选)现有来自某校高三年级的3袋专项计划审核表，第一袋有4名男生和2名女生的高校专项审核表，第二袋有5名男生和3名女生的国家专项审核表，第三袋有3名男生和2名女生的地方专项审核表现从3袋中随机选择一袋，再从中随机抽取1份审核表，设Ai“抽到第i袋”(i1,2,3)，B“随机抽取一份，抽到女生的审核表”，则()AP(A1)P(A2)P(A3)BP(B|A1)CP(A2B)DP(B)答案ACD解析选项A，易知P(A1)P(A2)P(A3)，故A正确；选项B，因为P(B|A1)，故B错误；选项
13、C，因为P(B|A2)，所以P(A2B)P(B|A2)P(A2)，故C正确；选项D，因为P(B|A1)，P(B|A2)，P(B|A3)，所以P(B)P(B|A1)P(A1)P(B|A2)P(A2)P(B|A3)P(A3)，故D正确规律方法求概率的方法与技巧(1)古典概型用古典概型概率公式求解(2)条件概率用条件概率公式及全概率公式求解(3)根据事件间关系，利用概率的加法、乘法公式及对应事件的概率公式求解跟踪演练3(1)(2023青岛模拟)将四位数2 023的各个数字打乱顺序重新排列，则所组成的不同四位数(含原来的四位数)中两个2不相邻的概率为()A. B. C. D.答案A解析将2 023各个
14、数字打乱顺序重新排列所组成的不同四位数(含原来的四位数)的样本点有2 203,2 230,3 220,3 022,2 023,2 320,2 032,2 302,3 202，共9个，所组成的不同四位数(含原来的四位数)中两个2不相邻的样本点有2 023,2 320,2 032,2 302,3 202，共5个，所以所组成的不同四位数(含原来的四位数)中两个2不相邻的概率为.(2)(多选)(2023娄底模拟)甲袋中装有4个白球，2个红球和2个黑球，乙袋中装有3个白球，3个红球和2个黑球先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，再从乙袋中随机取出一球用A1，A2，A3分别表示甲袋取出的球是白球、红球和黑球，用
15、B表示乙袋取出的球是白球，则()AA1，A2，A3两两互斥BP(B|A2)CA3与B是相互独立事件DP(B)答案AB解析对于A，由题意可知A1，A2，A3不可能同时发生，所以A1，A2，A3两两互斥，所以A正确；对于B，由题意可得P(A2)，P(A2B)，所以P，所以B正确；对于C，D，因为P(A3)，P(A3B)，P(B)P(A1B)P(A2B)P(A3B)，所以P(A3B)P(A3)P(B)，所以A3与B不是相互独立事件，所以C，D错误专题强化练一、单项选择题1(2023汕头模拟)电脑调色板有红、绿、蓝三种基本颜色，每种颜色的色号均为0255.在电脑上绘画可以分别从三种颜色的色号中各选一个
16、配成一种颜色，那么在电脑上可配成的颜色种数为()A2563 B27 C2553 D6答案A解析分三步取色，第一步、第二步、第三步都有256种取法，根据分步乘法计数原理得，共可配成2562562562563(种)颜色2.8的展开式的第3项的系数是()A112 B112C28 D28答案A解析8的通项公式Tk1C18kkC(2)kkC(2)k，令k2，则T3T21C(2)2x14.可得第3项的系数是112.3(2023全国乙卷)甲、乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有()A30种 B60种C120种 D240种答案C解析首先确定相同的读物，共有C种
17、情况，然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出2种进行排列，共有A种，根据分步乘法计数原理可得，共有CA120(种)选法4(2023信阳模拟)2023年5月28日国产大飞机C919由上海飞抵北京，这标志着C919商飞成功，开创了中国商业航空的新纪元某媒体甲、乙等四名记者去上海虹桥机场、北京首都机场和中国商飞总部进行现场报道，若每个地方至少有一名记者，每个记者只去一个地方，则甲、乙同去上海虹桥机场的概率为()A. B. C. D.答案A解析根据题意可知，有两人去了同一个机场，另外两个人各自去了一个机场，故总共的排法有CCA种，故甲、乙同去上海虹桥机场的概率P.5(2023合肥模拟
18、)某市教育局为了给高考生减压，将师范大学6名心理学教授全部分配到市属四所重点高中进行心理辅导，若A高中恰好需要1名心理学教授，B，C，D三所高中各至少需要1名心理学教授，则不同的分配方案有()A150种 B540种 C900种 D1 440种答案C解析先从6名教授中任选1名教授到A高中，有C6(种)不同的方法，再将其余5名教授分配到B，C，D三所高中，可分两类：B，C，D三所高中有一所高中分1名教授，另外两所高中各分2名教授，有A90(种)不同的方法；B，C，D三所高中有一所高中分3名教授，另外两所高中各分1名教授，有A60(种)不同的方法，不同的分配方案共有6(9060)900(种)6(20
19、23全国甲卷)某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪，70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为()A0.8 B0.6 C0.5 D0.4答案A解析方法一如图，左圆表示爱好滑冰的学生所占比例，右圆表示爱好滑雪的学生所占比例，A表示爱好滑冰且不爱好滑雪的学生所占比例，B表示既爱好滑冰又爱好滑雪的学生所占比例，C表示爱好滑雪且不爱好滑冰的学生所占比例，则0.60.5B0.7，所以B0.4，C0.50.40.1.所以若该学生爱好滑雪，则他也爱好滑冰的概率为0.8.方法二令事件A，B分别表示该学生爱好滑冰、该学生爱好
20、滑雪，则P(A)0.6，P(B)0.5，P(AB)P(A)P(B)0.70.4，所以P(A|B)0.8.7若5的展开式中常数项是10，则m等于()A2 B1 C1 D2答案D解析5x55，5的展开式的通项公式为Tk1Cx5kkC(1)kx52k，令52k1，解得k3，则x5的展开式的常数项为C10；令52k1，解得k2，则5的展开式的常数项为mC10m，因为5的展开式中常数项是10，所以10m1010，解得m2.8流行性感冒，简称流感，是由流感病毒引起的一种急性呼吸道疾病已知A，B，C三个地区分别有2%,6.5%,8.5%的人患了流感，且这三个地区的人口数之比是479，现从这三个地区中任意选取
21、1人，若选取的这人患了流感，则这人来自B地区的概率是()A0.65 B0.45 C0.35 D0.2答案C解析记事件M表示“这人患了流感”，事件N1，N2，N3分别表示“这人来自A，B，C地区”，由题意可知P(N1)0.2，P(N2)0.35，P(N3)0.45，P(M|N1)0.02，P(M|N2)0.065，P(M|N3)0.085，则P(M)P(N1)P(M|N1)P(N2)P(M|N2)P(N3)P(M|N3)0.065，故这人来自B地区的概率P(N2|M)0.35.二、多项选择题9(2023南京模拟)在6的展开式中()A常数项为160B含x2项的系数为60C第4项的二项式系数为15D
22、所有项的系数和为1答案BD解析6展开式的通项为Tk1Cx6kkC(2)kx62k.对选项A，取k3得到常数项为C(2)3160，错误；对选项B，取k2得到含x2项的系数为C(2)260，正确；对选项C，取k3得到第4项的二项式系数为C20，错误；对选项D，取x1得到所有项的系数和为61，正确10某电影院的一个播放厅的座位如图所示(标黑表示该座位的票已被购买)，甲、乙两人打算购买两张该播放厅的票，且甲、乙不坐前两排，则()A若甲、乙左右相邻，则购票的情况共有54种B若甲、乙不在同一列，则购票的情况共有1 154种C若甲、乙前后相邻，则购票的情况共有21种D若甲、乙分坐于银幕中心线的两侧，且不坐同
23、一排，则购票的情况共有508种答案ABD解析若甲、乙左右相邻，可选择三至七排，(104364)A54，所以一共有54种购票情况，故A正确；甲、乙在同一列的情况共有AAAAAAAA106(种)，则甲、乙不在同一列的情况有A1061 154(种)，所以一共有1 154种购票情况，故B正确；若甲、乙前后相邻，先选座位，有244124421(种)，再考虑甲乙顺序，有A2(种)，所以一共有42种购票情况，故C错误；银幕中心线左侧有18个座位，右侧有18个座位，甲、乙分坐于两侧，有A1818648(种)情况甲、乙分坐于两侧且坐同一排(按每一排考虑)，有A(5633324433)140(种)情况，所以甲、乙
24、分坐于两侧，且不坐同一排的购票情况共有648140508(种)，故D正确11(2023葫芦岛模拟)一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，则下列说法正确的是()A从中任取3球，恰有2个白球的概率是B从中有放回地取球六次，每次任取1球，设取到红球次数为X，则E(X)2C现从中不放回地取球两次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为D从中有放回地取球三次，每次任取1球，则至少有一次取到白球的概率为答案AD解析对于A，从中任取3球，恰有2个白球的概率是，故A正确；对于B，易知X服从二项分布，即XB，所以E(X)64，故B错误；对于C，第一次取到红球后，第二次取球时，袋子中还有3
25、个红球和2个白球，再次取到红球的概率为，故C错误；对于D，有放回地取球，每次取到白球的概率为，没有取到白球的概率为，所以取球3次没有取到白球的概率为3，所以至少有一次取到白球的概率为1，故D正确12(2023莆田模拟)甲、乙两个罐子均装有2个红球，1个白球和1个黑球，除颜色外，各个球完全相同先从甲罐中随机取出2个球放入乙罐中，再从乙罐中随机取出1个球，记事件Ai(i0,1,2)表示从甲罐中取出的2个球中含有i个红球，B表示从乙罐中取出的球是红球，则()AA0，A1，A2两两互斥BP(B|A2)CP(B)DB与A1不相互独立答案AC解析A0表示从甲罐中取出的2个球，没有红球，A1表示从甲罐中取出
26、的2个球，有1个红球，A2表示从甲罐中取出的2个球，有2个红球，在一次试验中，这三个事件，任两个事件不能同时发生，所以两两互斥，故A正确；P(B|A2)，故B错误；P(B)P(B|A0)P(A0)P(B|A1)P(A1)P(B|A2)P(A2)，故C正确；P(A1)，P(B)，P(A1B)，则P(A1B)P(A1)P(B)，所以B与A1相互独立，故D错误三、填空题13(2023天津)在6的展开式中，x2项的系数为_答案60解析展开式的通项公式Tk1C(2x3)6kk(1)k26kCx184k，令184k2，可得k4，则x2项的系数为(1)4264C41560.14北京日坛公园的西门位于东西中轴
27、线上，公园内部的主要路径及主要景点如图所示某活动小组计划从“烈士墓”出发，经“东西中轴线及其以北”的主要路径前往“祭日拜台”进行实践活动，活动结束后经“东西中轴线及其以南”的主要路径由南门离开已知小组成员的行动路线中没有重复的主要路径则该小组在前往“祭日拜台”的途中最多可以路过_个主要景点；该小组全程共有_条行动路线可供选择答案535解析该小组在前往“祭日拜台”的途中最多可以路过主要景点依次有：北天门，祭器库，神库神厨，悬铃木，西天门，共5个；各路口与景点标记如图所示，该小组全程行动路线可分三类：第一类：由A经H到“祭日拜台”再到南门，路线分两步，第一步先由A到H的路线有：AFGH，AFGDE
28、H，ABDGH，ABDEH，第二步活动结束后从“祭日拜台”到南门路线有：IMO，IMKLNO，IMNLKO，JLKO，JLNO，共有4520(种)第二类：由A经I到“祭日拜台”再到南门，路线分两步，第一步先由A到I的路线有：AFI，ABDGFI，ABDEHGFI，第二步活动结束后从“祭日拜台”到南门路线有：JLKO，JLNO，共有326(种)第三类：由A经J到“祭日拜台”再到南门，路线分两步，第一步先由A到J的路线有：ABCJ，AFGDBCJ，AFGHEDBCJ，第二步活动结束后从“祭日拜台”到南门路线有：IMO，IMKLNO，IMNLKO，共有339(种)因此，共有206935(种)15小李
29、的手机购物平台经常出现她喜欢的商品，这是电商平台利用大数据推送的结果假设电商平台第一次给小李推送某商品时，她购买此商品的概率为；从第二次推送起，若前一次不购买此商品，则此次购买的概率为；若前一次购买了此商品，则此次仍购买的概率为，那么电商平台在第二次推送时小李不购买此商品的概率为_答案解析设事件A表示电商平台第一次给小李推送某商品，她购买了此商品，则事件表示电商平台第一次给小李推送某商品，她未购买此商品，事件B表示电商平台第二次给小李推送某商品，她购买了此商品，则事件表示电商平台第二次给小李推送某商品，她未购买此商品，由P(A)可知P()1P(A)，由P(B|)可知P(|)1P(B|)，由P(
30、B|A)可知P(|A)1P(B|A)，电商平台在第二次推送时小李不购买此商品的概率P()P(A)P(|A)P()P(|).16(2023温州模拟)若数列a1，a2，a3，a4满足a1a4a2a3，则称此数列为“准等差数列”现从1,2，9,10这10个数中随机选取4个不同的数，则这4个数经过适当的排列后可以构成“准等差数列”的概率是_答案解析和为5有2种组合，和为6有2种组合，和为7有3种组合，和为8有3种组合，和为9有4种组合，和为10有4种组合，和为11有5种组合，和为12有4种组合，和为13有4种组合，和为14有3种组合，和为15有3种组合，和为16有2种组合，和为17有2种组合，所以P.
