1、母题突破3定值问题母题(2023黄山模拟)已知椭圆E：1(ab0)过点M，点A为下顶点，且AM的斜率为.(1)求椭圆E的方程；(2)如图，过点B(0,4)作一条与y轴不重合的直线，该直线交椭圆E于C，D两点，直线AD，AC分别交x轴于H，G两点，O为坐标原点证明：|OH|OG|为定值，并求出该定值思路分析结合点的坐标和AM的斜率列方程组设直线BC的方程并与椭圆的方程联立得到x1x2，x1x2写出直线AD，AC的方程并求出H，G的横坐标化简运算|OH|OG|解(1)因为椭圆E：1(ab0)过点M，A(0，b)，且AM的斜率为，所以解得所以椭圆E的方程为y21.(2)由题意知，直线BC的斜率存在，
2、设直线BC：ykx4，设D(x1，y1)，C(x2，y2)，由得(14k2)x232kx600，(32k)24(14k2)6016(4k215)0，得|k|，则x1x2，x1x2，因为A(0，1)，所以直线AD的方程为yx1，令y0，解得x，则H，同理可得G，所以|OH|OG|为定值，所以|OH|OG|为定值，该定值为.子题1(2023六盘水模拟)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，椭圆E：x21.经过原点的直线l与椭圆E交于A，B两点，P是E上任意一点，设直线PA的斜率为k1，直线PB的斜率为k2，证明：k1k2是定值证明因为直线l过原点，设A(x0，y0)，B(x0，y0)，P(x，y)所以
3、k1，k2，所以k1k2.又因为x1，x21，所以k1k22，所以k1k2是定值子题2(2023重庆模拟)在平面直角坐标系中，双曲线E：1(x)，若直线l为双曲线E的任意一条切线，证明：点C(2,0)，D(2,0)到直线l的距离之积为定值，并求出该定值解设切点坐标为(x0，y0)，显然直线l的斜率存在，则设l：yk(xx0)y0，则故(1k2)x22k(y0kx0)x(y0kx0)220，当k1时，直线与渐近线平行，显然不可能是切线当k1时，2k(y0kx0)24(1k2)(y0kx0)220，整理得k，故y(xx0)y0，yy0xx0xyxx02，切线方程为xx0yy02，所以d1d22，故
4、定值为2.规律方法求解定值问题的两大途径(1)由特例得出一个值(此值一般就是定值)证明定值：将问题转化为证明待证式与参数(某些变量)无关(2)先将式子用动点坐标或动线中的参数表示，再利用其满足的约束条件使其绝对值相等的正负项抵消或分子、分母约分得定值1.(2023深圳模拟)已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F(2,0)(1)求抛物线C的方程；(2)抛物线C在x轴上方一点A的横坐标为2，过点A作两条倾斜角互补的直线，与抛物线C的另一个交点分别为B，C，求证：直线BC的斜率为定值(1)解抛物线C：y22px(p0)的焦点为F(2,0)，2，解得p4，故抛物线C的方程为y28x.(2)证明点A
5、的横坐标为2，即y282，解得y4，故点A的坐标为(2,4)，设B(x1，y1)，C(x2，y2)，由已知设直线AB：m(y4)x2，即xmy4m2，代入抛物线的方程得y28(my4m2)，即y28my32m160，则y148m，故y18m4，x1my14m2m(8m4)4m28m28m2，即B(8m28m2,8m4)，设直线AC：m(y4)x2，即xmy4m2，同理可得y28m4，则x2my24m2m(8m4)4m28m28m2，即C(8m28m2，8m4)，直线BC的斜率kBC1，直线BC的斜率为定值2(2023沧州模拟)已知双曲线C：1(a0，b0)经过点，右焦点为F(c,0)，且c2，
6、a2，b2成等差数列(1)求C的方程；(2)过F的直线与C的右支交于P，Q两点(P在Q的上方)，PQ的中点为M，M在直线l：x2上的射影为N，O为坐标原点，设POQ的面积为S，直线PN，QN的斜率分别为k1，k2，证明：是定值(1)解因为c2，a2，b2成等差数列，所以2a2c2b2，又c2a2b2，所以a22b2.将点的坐标代入C的方程得1，解得b23，所以a26，所以C的方程为1.(2)证明依题意可设PQ：xmy3，由得(m22)y26my30，如图，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，y1y2，则M，N，则k1k2kPNkQN，而S|OF|(y1y2)(y1y2)，所以，所以是定值专题
7、强化练1.(2023长沙模拟)已知双曲线x2y21的左、右顶点分别为A1，A2，动直线l：ykxm与圆x2y21相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(1)求k的取值范围；(2)记直线P1A1的斜率为k1，直线P2A2的斜率为k2，那么k1k2是定值吗？证明你的结论解(1)l与圆相切，1，m21k2，由得(1k2)x22mkx(m21)0，4m2k24(1k2)(m21)4(m21k2)80，又k21，1kb0)的离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，B为C的上顶点，且BF1F2的周长为22.(1)求椭圆C的方程；(2)设圆O：x2y22上任意一点P处的切
8、线l交椭圆C于点M，N.求证：为定值(1)解设椭圆C的半焦距为c，因为BF1F2的周长为22，则2a2c22，又因为椭圆C的离心率为，则，解得a，c，则b23，所以椭圆C的方程为1.(2)证明当直线l的斜率不存在时，直线l：x，与椭圆方程联立解得x22，y22，则|OM|ON|2，；当直线l的斜率存在时，如图所示，设直线l：ykxm，M(x1，y1)，N(x2，y2)，由消去y并整理得(2k21)x24mkx2m260，显然点P在椭圆C内，即直线l与C必交于两点，有x1x2，x1x2，又直线l与圆x2y22相切，即，即m22k22，得xx(x1x2)22x1x2，显然y3x，y3x，即有xyx3，xyx3，因此，所以为定值.
