1、微专题32随机变量及其分布考情分析离散型随机变量的分布列、均值、方差和概率的计算问题常常结合在一起进行考查，重点考查超几何分布、二项分布及正态分布，以解答题为主，中等难度考点一分布列的性质及应用典例1(1)(多选)设0pP(1)CE()随着p的增大而减小D当p时，D()答案BCD解析当p时，P(2)0，P(1)，P(1)P(2)，故A错误；0p0，P(0)P(1)，故B正确；E()p224p,0pD(Y)，则投资甲乙两种股票收益的均值相等，投资甲种股票比投资乙种股票的风险高跟踪训练1(2023桂林模拟)设0a1.若随机变量X的分布列是X0a1P则当a在(0,1)内增大时，()AE(X)不变BE
2、(X)减小CD(X)先增大后减小DD(X)先减小后增大答案D解析E(X)0a1，E(X)增大；D(X)222(a2a1)2，0a1，D(X)先减小后增大考点二超几何分布与二项分布典例2(2023泰安模拟)某公司为活跃气氛提升士气，年终以通过抓阄兑奖的方式对所有员工进行奖励规定：每位员工从一个装有4个标有面值的阄的袋中一次性随机摸出2个阄，阄上所标的面值之和为该员工获得的奖励金额(1)若袋中所装的4个阄中有1个所标的面值为800元，其余3个均为200元，求员工所获得的奖励额为1 000元的概率；员工所获得的奖励额的分布列及均值；(2)公司对奖励额的预算是人均1 000元，并规定袋中的4个阄只能由
3、标有面值200元和800元的两种阄或标有面值400元和600元的两种阄组成为了使员工得到的奖励总额尽可能符合公司的预算且每位员工所获得的奖励额相对均衡，请对袋中的4个阄的面值给出一个合适的设计，并说明理由解(1)设员工所获得的奖励额为X，P(X1 000)，所以员工所获得的奖励额为1 000元的概率为.X所有可能的取值为400,1 000，P(X400)，P(X1 000)，所以X的分布列为X4001 000P所以员工所获得的奖励额的均值E(X)4001 000700(元)(2)根据公司预算，每位员工的平均奖励额为1 000元，所以先寻找均值为1 000元的可能方案，对于面值由800元和200
4、元组成的情况，如果选择(200,200,200,800)的方案，因为1 000元是面值之和的最大值，所以均值不可能为1 000元；如果选择(800,800,800,200)的方案，因为1 000元是面值之和的最小值，所以均值不可能为1 000元；因此可能的方案是(800,800,200,200)，记为方案1.对于面值600元和400元的情况，同理排除(600,600,600,400)和(400,400,400,600)的方案，所以可能的方案是(400,400,600,600)，记为方案2.对于方案1，设员工所获得的奖励额为X1，X1可取400,1 000,1 600，P(X1400)，P(X1
5、1 000)，P(X11 600)，所以X1的均值为E(X1)4001 0001 6001 000，方差D(X1)(4001 000)2(1 0001 000)2(1 6001 000)2120 000.对于方案2，设员工所获得的奖励额为X2，X2可取800,1 000,1 200，P(X2800)，P(X21 000)，P(X21 200)，所以X2的均值为E(X2)8001 0001 2001 000，方差D(X2)(8001 000)2(1 0001 000)2(1 2001 000)2.由于两种方案的奖励额都符合预算要求，但方案2的方差比方案1小，为使每位员工所获得的奖励额均衡，应选择
6、方案2.跟踪训练2(2023广州模拟)某工厂车间有6台相同型号的机器，各台机器工作相互独立，工作时发生故障的概率都是，且一台机器的故障能由一个维修工处理已知此厂共有甲、乙、丙3名维修工，现有两种配备方案，方案一：由甲、乙、丙三人维护，每人负责2台机器；方案二：由甲、乙两人共同维护6台机器(1)对于方案一，设X为甲维护的机器同一时刻发生故障的台数，求X的分布列与均值E(X)；(2)在两种方案下，分别计算机器发生故障时不能得到及时维修的概率，并以此为依据来判断，哪种方案能使工厂的生产效率更高？解(1)由题意可知，XB，则P(X0)2，P(X1)C，P(X2)2，所以，随机变量X的分布列为X012P
7、所以E(X)2.(2)对于方案一，“机器发生故障时不能及时维修”等价于“甲、乙、丙三人中，至少有一人负责的2台机器同时发生故障”其概率为P111P(X2)313.对于方案二，机器发生故障时不能及时维修的概率为P216C5C241，所以P210)0.5BP(X10.2)P(X9.6)P(X10.2)DP(9.4X10.2)P(9.8X10)P(X10.2)P(X9.8)，P(9.4X10.2)P(9.8X9.6)P(XP(X84)P(X2)P(X84)0.954 5(10.954 5)0.977 2597.7%.跟踪训练3(1)某校高二年级有1 000名学生，一次考试后数学成绩XN(110,10
8、2)，若P(100X110)0.35，则估计高二年级的学生数学成绩在120分以上的人数为()A130 B140 C150 D160答案C解析因为XN(110，102)且P(100X110)0.35，所以P(110X120)P(100X110)0.35，则P(X120)0.5P(110X120)0.15，所以该校高二年级的学生数学成绩在120分以上的人数约为1 0000.15150(人)(2)某批待出口的水果罐头，每罐净重X(单位：g)服从正态分布N(184,2.52)随机抽取1罐，其净重在179,186.5之间的概率约为()(注：若XN(，2)，P()0.682 7，P(2)0.954 5，P
9、(3)0.997 3)A0.818 6 B0.84C0.954 5 D0.975 5答案A解析由题意可知，184，2.5，可得1792，186.5，净重在179,186.5之间的概率为P(179X186.5)P(2X)，由正态分布的对称性可知，P(2X)P(|X|)P(2)P()0.682 7(0.954 50.682 7)0.818 6，所以净重在179,186.5之间的概率约为P(179X186.5)0.818 6.总结提升高考对此部分的考查较为稳定，以解答题为主二项分布、超几何分布和正态分布是考查热点，要掌握求随机变量的分布列、均值和方差，可用定义法直接求解如果能分析出所给的随机变量服从
10、常用的分布(两点分布、二项分布等)，则直接利用公式求解1设随机变量X，Y满足Y3X1，XB，则D(Y)等于()A4 B5 C6 D7答案A解析因为XB，则D(X)2，又Y3X1，所以D(Y)D(3X1)32D(X)324.2第19届亚运会在杭州举办，为了弘扬奥林匹克精神，某市多所中小学开展了亚运会项目科普活动为了调查学生对足球项目的了解情况，在该市中小学中随机抽取了10所学校，10所学校中了解足球项目的人数如图所示若从这10所学校中随机选取2所学校进行足球项目的科普活动，记X为被选中的学校中了解足球项目的人数在30以上的学校所数，则下列判断错误的是()AP(X2)BP(X0)CE(X)DD(X
11、)答案C解析根据题意，X的可能取值为0,1,2，其中了解足球项目的人数在30以上的学校有4所，了解足球项目的人数在30以下的学校有6所，所以P(X0)，P(X1)，P(X2).所以X的分布列为X012P所以E(X)012，D(X)222，故B，D正确，C错误；由分布列可得，P(X2)1P(X2)，故A正确3已知甲、乙两名员工分别从家中赶往工作单位的时间互不影响，经统计，甲、乙一个月内从家中到工作单位所用时间在各个时间段内的频率如表所示时间/分钟1020203030404050甲的频率0.10.40.20.3乙的频率00.30.60.1某日工作单位接到一项任务，需要甲在30分钟内到达，乙在40分
12、钟内到达，用X表示甲、乙两人在要求时间内从家中到达单位的人数，用频率估计概率，则X的均值和方差分别是()AE(X)1.5，D(X)0.36BE(X)1.4，D(X)0.36CE(X)1.5，D(X)0.34DE(X)1.4，D(X)0.34答案D解析设事件A表示甲在30分钟内到达，B表示乙在40分钟内到达，则P(A)0.5，P(B)0.9，A，B相互独立，P(X0)P()P()P()(10.5)(10.9)0.05，P(X1)P(B)P(A)P()P(B)P(A)P()(10.5)0.90.5(10.9)0.5，P(X2)P(AB)P(A)P(B)0.50.90.45，E(X)00.0510.
13、520.451.4，D(X)(01.4)20.05(11.4)20.5(21.4)20.450.34.4随机变量X的分布列如表所示X123Pa2ba则D(bX)的最大值为()A. B. C. D.答案D解析由题可知2a2b1，即ab，E(X)a4b3a4(ab)2，D(X)(12)2a(32)2a2a，则D(bX)b2D(X)2ab22b3b2，令f(b)2b3b2，则f(b)6b22b2b(3b1)，则f(b)在上单调递增，在上单调递减，所以f(b)maxf，则D(bX)的最大值为.5(多选)(2023湛江模拟)廉江红橙是广东省廉江市特产、中国国家地理标志产品设廉江地区某种植园成熟的红橙单果
14、质量M(单位：g)服从正态分布N(165，2)，且P(M162)0.15，P(165M167)0.3.则下列说法正确的是()A若从种植园成熟的红橙中随机选取1个，则这个红橙的质量小于167 g的概率为0.7B若从种植园成熟的红橙中随机选取1个，则这个红橙的质量在167 g168 g的概率为0.05C若从种植园成熟的红橙中随机选取600个，则质量大于163 g的个数的均值为480D若从种植园成熟的红橙中随机选取600个，则质量在163 g168 g的个数的方差为136.5答案BCD解析因为MN(165，2)，所以P(M167)0.50.30.8，所以A错误；因为P(165M168)P(162M1
15、65)0.50.150.35，所以P(167M163)P(M167)0.8，若从种植园成熟的红橙中随机选取600个，则质量大于163 g的个数XB(600,0.8)，所以E(X)6000.8480，所以C正确；因为P(165M167)0.3，所以P(163M165)0.3，所以P(163M168) P(163M165)P(165M168)0.30.350.65，若从种植园成熟的红橙中随机选取600个，则质量在163 g168 g的个数YB(600,0.65)，所以D(Y)6000.65(10.65)136.5，所以D正确6(多选)(2023黄石模拟)乒乓球，被称为中国的“国球”某次比赛采用五局
16、三胜制，当参赛者甲、乙两位中有一位赢得三局比赛时，就由该选手晋级而比赛结束每局比赛皆须分出胜负，且每局比赛的胜负不受之前比赛结果影响假设甲在任一局胜出的概率为p(0p1)，实际比赛局数的均值记为f(p)，则下列说法正确的是()A三局就结束比赛的概率为p3(1p)3Bf(p)的常数项为3C函数f(p)在上单调递减Df答案ABD解析设实际比赛局数为X，则X的可能取值为3,4,5，所以P(X3)p3(1p)3，P(X4)Cp3(1p)Cp(1p)3，P(X5)Cp2(1p)2，因此三局就结束比赛的概率为p3(1p)3，故A正确；故f(p)3p3(1p)34Cp3(1p)Cp(1p)35Cp2(1p)26p412p33p23p3，由f(0)3知常数项为3，故B正确；由f61233，故D正确；由f(p)24p336p26p33(2p1)(4p24p1)，因为0p1，所以4p24p1(2p1)220，则0p；令f(p)0，则，第(1)问中中奖的概率比第(2)问大，即，回答一：若商场老板希望中两次奖的顾客多，产生宣传效应，则选择按第(2)问方式进行抽奖回答二：若商场老板希望中奖的顾客多，则选择按第(1)问方式进行抽奖
