1、压轴题突破练21(2023马鞍山模拟)已知双曲线C：1(a0，b0)的焦距为2，离心率e.(1)求双曲线C的方程；(2)设P，Q为双曲线C上异于点M的两动点，记直线MP，MQ的斜率分别为k1，k2，若k1k22k1k2，求证：直线PQ过定点(1)解因为双曲线C：1(a0，b0)的焦距为2，离心率e，所以有b2c2a21，所以双曲线C的方程为y21.(2)证明由题意可知直线PQ斜率存在，设直线PQ的方程为ykxm，联立方程得(12k2)x24kmx2m220，则有设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则有x1x2，x1x2，显然M的坐标为(2,1)，所以由k1k22k1k222(kx1m1)(x
2、22)(kx2m1)(x12)2(kx1m1)(kx2m1)2kx1x2(m1)(x1x2)2k(x1x2)4(m1)2k2x1x22k(m1)(x1x2)2(m1)22k(k1)x1x2(2kmm1)(x1x2)2(m1)(m1)0，把x1x2，x1x2代入上式，得2k(k1)(2kmm1)2(m1)(m1)02k(m1)(m1)(m1)0(m1)(2km1)0m1或m12k，当m1时，直线方程为ykx1，过定点(0，1)，当m12k时，直线方程为ykx12ky1k(x2)，过定点(2,1)，不符合题意，因此直线PQ过定点(0，1)2(2023沧州模拟)已知函数f(x)ln xax1(aR)
3、(1)若函数yf(x)在区间1，)上单调递减，求实数a的取值范围；(2)若方程f(x)20有两个不相等的实根x1，x2，且x22x1，求证：x1x.(参考数据：ln 20.693，ln 31.099)(1)解函数f(x)的定义域为(0，)，由题意f(x)a.当a0时，f(x)0，函数f(x)在(0，)上单调递增，不合题意；当a0时，由f(x)0得0x，由f(x)，所以函数f(x)在上单调递增，在上单调递减又函数yf(x)在区间1，)上单调递减，所以1，即a1.因此，实数a的取值范围是1，)(2)证明由题意f(x)2ln xax10，于是且a0，令t，则由x22x1，可得t2.于是t，即ln x11.从而ln x2ln tln x11.另一方面，对x1x两端分别取自然对数，则有ln x12ln x25ln 23，于是，即证35ln 23，即5ln 2，其中t2.设g(t)，t2.则g(t)，设(t)3ln t2t1，t2.则(t)20在(2，)上恒成立，于是，函数(t)在(2，)上单调递增，从而(t)(2)3ln 2413ln 20.所以g(t)0，即函数g(t)在(2，)上单调递增，于是g(t)g(2)5ln 2.因此，x1x，即原不等式成立
