1、微重点12圆锥曲线中二级结论的应用圆锥曲线是高中数学的重要内容之一，知识的综合性较强，因而解题时需要运用多种基础知识，采用多种数学手段，熟记各种定义、基本公式法则固然很重要，但要做到迅速、准确地解题，还要掌握一些常用结论，理解各结论之间的联系与区别，正确灵活地运用这些结论，一些复杂的问题便能迎刃而解考点一焦点弦问题核心提炼1已知F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，直线 l过左焦点F1与椭圆(焦点在 x 轴上)交于A，B两点，设 AF1F2，e为椭圆的离心率，p为椭圆的焦点到对应准线的距离，则pc.(1)椭圆焦半径公式：|AF1|，|BF1|，.(2)椭圆焦点弦弦长公式：|AB|AF1|BF1|.
2、(3)焦点三角形的面积公式：P为椭圆上异于长轴端点的一点，F1，F2为其左、右焦点且F1PF2，则b2tan .2已知F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，直线 l过左焦点F1与双曲线(焦点在 x 轴上)交于A，B两点，设 AF1F2，e为双曲线离心率，p为双曲线的焦点到对应准线的距离，则pc.图1图2(1)若直线与双曲线交于一支(如图1)，则|AF1|，|BF1|，.若直线与双曲线交于两支(如图2)，则|AF1|，|BF1|，.(2)双曲线焦点弦弦长公式：若直线与双曲线交于一支，则|AB|AF1|BF1|.若直线与双曲线交于两支，则|AB|AF1|BF1|.(3)焦点三角形的面积公式：P为双曲
3、线上异于实轴端点的一点，F1，F2为其左、右焦点且F1PF2，则.3.已知直线 l过焦点F与抛物线(焦点在 x 轴上)交于A，B两点，设 AFx，e为抛物线离心率，p为抛物线的焦点到对应准线的距离 (1)抛物线焦半径公式：|AF|，|BF|，.(2)抛物线焦点弦弦长公式：|AB|AF|BF|.4焦点弦定理已知焦点在 x轴上的椭圆或双曲线或抛物线，经过其焦点F的直线交曲线于 A，B两点，直线AB的倾斜角为，则曲线的离心率满足等式|ecos |.例1已知双曲线C的左、右焦点分别为F1(，0)，F2(，0)，过F2的直线与C的右支交于A，B两点若2，|AB|F1B|，则双曲线C的方程为_答案1解析如
4、图，令|F2B|t，则|AF2|2t，|AB|3t，|F1B|3t，又，即，又|F1B|F2B|2a，3tt2a，ta，即3b24a2，又c，a2b27，解得b24，a23，故双曲线C的方程为1.易错提醒(1)要注意公式中的含义(2)公式中的加减符号易混淆(3)直线与双曲线交于一支和两支的公式不一样跟踪演练1(2023全国甲卷)设F1，F2为椭圆C：y21的两个焦点，点P在C上，若0，则|PF1|PF2|等于()A1 B2 C4 D5答案B解析方法一因为0，所以F1PF290，从而b2tan 451|PF1|PF2|，所以|PF1|PF2|2.方法二因为0，所以F1PF290，由椭圆方程可知，
5、c2514，解得c2，所以|PF1|2|PF2|2|F1F2|24216，又|PF1|PF2|2a2，平方得|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|162|PF1|PF2|20，所以|PF1|PF2|2.考点二等角的性质核心提炼1已知椭圆1(ab0)，过长轴上任意一点 N(t,0)的弦的端点A，B与对应的点G的连线所成的角被焦点所在的直线平分，即OGAOGB(如图1)图1图2图32已知双曲线1(a0，b0)，过实轴所在直线上任意一点N(t,0)的弦的端点 A，B与对应点G的连线所成的角被焦点所在的直线平分，即NGANGB(如图2)3已知抛物线 y22px(p0)，过抛物线对称轴上任意一点N
6、(a,0)的一条弦的端点 A，B与对应点G(a,0)的连线所成角被对称轴平分，即OGAOGB(如图3)例2(2023盐城模拟)在平面直角坐标系Oxy中，抛物线C的准线为x1，对称轴为坐标轴，焦点在直线x2y10上(1)求抛物线C的方程；(2)若动直线l：xmy3与抛物线C交于A，B两点在x轴上是否存在定点P，使得对任意实数m，总有OPAOPB成立？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由解(1)因为抛物线C的准线为x1，对称轴为坐标轴，则C的对称轴为x轴，且焦点在x轴上，又焦点在直线x2y10上，则焦点坐标为(1,0)，所以C的顶点为原点，所以抛物线C的方程为y24x.(2)假设存在满
7、足条件的点P，由得y24my120，不妨设P(t,0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则16m2480，y1y24m，y1y212，由OPAOPB知直线AP与直线BP的斜率kAP，kBP满足kAPkBP0，即0，即2my1y2(3t)(y1y2)0，将代入得24m(3t)4m0对任意m成立，则t3，即存在满足条件的定点P(3,0)规律方法根据等角性质，存在某定点满足条件，快速算出此点的坐标，这给算出准确答案提供了依据跟踪演练2椭圆C：1(ab0)的离心率为，过点P(0,1)的动直线l与椭圆相交于A，B两点，当直线l平行于x轴时，直线l被椭圆C截得的线段长为2.(1)求椭圆C的方程；(2)
8、在y轴上是否存在异于点P的定点Q，使得直线l变化时，总有PQAPQB？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由解(1)e，e2，a22c2b2c2，b2c2，a22b2，椭圆方程化为1，由题意知，椭圆过点，1，解得b24，a28，椭圆C的方程为1.(2)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为ykx1，由得(2k21)x24kx60，16k224(2k21)0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，假设存在定点Q(0，t)(t1)符合题意，PQAPQB，kQAkQB，kQAkQB2k(1t)0，上式对任意实数k恒等于零，4t0，即t4，Q(0,4)，当直线l的斜率不存在时，A，B(不妨设点A
9、在x轴上方)两点分别为椭圆的上下顶点(0,2)，(0，2)，显然此时PQAPQB，综上，存在定点Q(0,4)满足题意考点三切线、切点弦方程核心提炼1已知点P(x0，y0)为椭圆(或双曲线)上任一点，则过点P与圆锥曲线相切的切线方程为椭圆中1，双曲线中1.2若点P(x0，y0)是椭圆(或双曲线)外一点，过点P(x0，y0)作椭圆(或双曲线)的两条切线，切点分别为A，B，则切点弦AB的直线方程是椭圆中1，双曲线中1.例3过点Q(1，1)作已知直线l：yx1的平行线，交双曲线y21于点M，N.(1)证明：Q是线段MN的中点；(2)分别过点M，N作双曲线的切线l1，l2，证明：三条直线l，l1，l2相
10、交于同一点；(3)设P为直线l上一动点，过P作双曲线的切线PA，PB，切点分别为A，B，证明：点Q在直线AB上证明(1)直线MN的方程为y(x3)代入双曲线方程y21，得3x26x250.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1，x2是方程的两根，故x1x22.于是，y1y2(x1x26)2.故Q(1，1)是线段MN的中点(2)双曲线y21过点M，N的切线方程分别为l1：xy1y1，l2：xy2y1.两式相加并将x1x22，y1y22代入得yx1.这说明，直线l1，l2的交点在直线l：yx1上，即三条直线l，l1，l2相交于同一点(3)设P(x0，y0)，A(x3，y3)，B(x4，y4)
11、，则PA，PB的方程分别为xy3y1和xy4y1.因为点P在两条直线上，所以x0y3y01，x0y4y01.这表明，点A，B都在直线xy0y1上，即直线AB的方程为xy0y1.又y01，代入整理得(xy)(y1)0，显然，无论x0取什么值(即无论P为直线l上哪一点)，点Q(1，1)都在直线AB上规律方法运用联想，由过已知圆上和圆外的点的切线方程联想到过圆锥曲线上和圆锥曲线外的切线方程，触类旁通，实现知识的内迁，使知识更趋于系统化，取得事半功倍的效果跟踪演练3(2023锦州模拟)已知椭圆E：1(ab0)经过点，且离心率为.F为椭圆E的左焦点，点P为直线l：x3上的一点，过点P作椭圆E的两条切线，
12、切点分别为A，B，连接AB，AF，BF.(1)求证：直线AB过定点M，并求出定点M的坐标；(2)记AFM，BFM的面积分别为S1和S2，当|S1S2|取最大值时，求直线AB的方程(1)证明如图，由题意可得b，又因为a2b2c2，所以a26，b22，椭圆E的方程为1.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(3，y0)，过点P且切点在A处的椭圆E的切线方程为1，同理，过点P且切点在B处的椭圆E的切线方程为1.因为点P在直线PA，PB上，所以所以直线AB的方程为1，则直线AB过定点M(2,0)(2)解设直线AB的方程为xty2，联立方程得(t23)y24ty20，故y1y2，y1y2，|S1S2|
13、2|y1|y2|2|y1y2|，当且仅当|t|，即t时取等号，此时直线AB的方程为xy2.专题强化练1(2023眉山模拟)已知椭圆C：1的两焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一点，且F1PF2，则PF1F2的面积等于()A6 B2 C4 D6答案B解析设F1PF2，根据焦点三角形面积公式可知，b2tan6tan2.2已知抛物线C的顶点在坐标原点，准线方程为x1，过其焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，若直线l的斜率为1，则弦AB的长为()A4 B6 C7 D8答案D解析设直线l的倾斜角为，则|AB|，ktan 1，sin ，|AB|8.3(2023齐齐哈尔模拟)已知椭圆C：1(ab0)的左、
14、右焦点分别为F1，F2.若椭圆C上存在一点M，使得|F1F2|是|MF1|与|MF2|的等比中项，则椭圆C的离心率的取值范围是()A. B.C. D.答案A解析设椭圆C上存在一点M(m，n)，由椭圆的第二定义，可得|MF1|aem，|MF2|aem，由|F1F2|是|MF1|与|MF2|的等比中项，可得|F1F2|2|MF1|MF2|，即4c2(aem)(aem)，即e2m2a24c2，因为0m2a2，所以0e2m2a2e2,0a24c2a2e2，解得e2，所以椭圆C的离心率的取值范围为.4已知直线l：ykx与椭圆E：1(ab0)交于A，B两点，M是椭圆上异于A，B的一点若椭圆E的离心率的取值
15、范围是，则直线MA，MB斜率之积的取值范围是()A. B.C. D.答案D解析由椭圆中的结论，可得kMAkMB，由椭圆的离心率的取值范围是，即e2，所以，即kMAkMB0，所以F1AF2为锐角，则不存在点A，使得F1AF2，故C错误；对于D，当且仅当，即|AF1|AF2|时，等号成立，故D正确6(多选)(2023武汉模拟)已知抛物线：x22py(p0)，过其准线上的点T(t，1)作该抛物线的两条切线，切点分别为A，B，下列说法正确的是()Ap4B当t1时，TATBC当t1时，直线AB的斜率为2D直线AB过定点(0,1)答案BD解析因为T(t，1)为准线上的点，所以1，解得p2，故A错误；根据抛
16、物线方程得到y，则y，设切点坐标分别为A，B，则，整理得x2x140，同理得x2x240，所以x1，x2为方程x22x40的解，x1x24，所以kTAkTB1，则TATB，故B正确；由B选项得x1x22，所以kAB，故C错误；由B选项得x2tx140，又x4y1，联立得2y1tx120，同理得2y2tx220，所以直线AB的方程为2ytx20，恒过点(0,1)，故D正确7已知椭圆E：1的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1，F2分别作斜率为k1，k2的直线l1，l2，分别交椭圆E于A，B和C，D四点，且|AB|CD|6，则k1k2_.答案解析方法一设l1，l2的倾斜角分别为，则ktan21，即
17、cos2，同理cos2.|AB|，同理|CD|，由|AB|CD|6可得kk，所以k1k2.方法二设直线AB的方程为yk1(x2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立得(12k)x28kx8k80，(8k)24(12k)(8k8)32(k1)0，则x1x2，x1x2，|AB|x1x2|，同理可得|CD|，由|AB|CD|6，化简得kk，则k1k2.8已知双曲线E：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与E交于A，B两点(B在x轴的上方)，且满足.若直线的倾斜角为120，则双曲线的离心率为_答案解析方法一设|AF1|k，|BF1|7k，根据双曲线定义|AF2|k2a，|B
18、F2|7k2a，在AF1F2中，由余弦定理可得(k2a)2(2c)2k222ckcos 60，在BF1F2中，由余弦定理可得(7k2a)2(7k)2(2c)222c7kcos 120，由可得3a2c，则e.方法二由焦点弦定理可知，焦点在x轴上的椭圆或双曲线或抛物线，经过其焦点F的直线交曲线于A，B两点，直线AB的倾斜角为，则曲线的离心率满足等式|ecos |，代入120，可得离心率e.9(2023温州模拟)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，短轴长为2，F为右焦点(1)求椭圆C的方程；(2)在x轴上是否存在一点M，使得过F的任意一条直线l与椭圆的两个交点A，B，恒有OMAOMB，若存在求出M的
19、坐标，若不存在，说明理由解(1)依题意，b1，而离心率e，即e2，解得a22，所以椭圆C的方程为y21.(2)由(1)知，F(1,0)，假定存在点M(t,0)满足条件，当直线与x轴不重合时，设l的方程为xmy1，由消去x并整理得(m22)y22my10，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有y1y2，y1y2，因为OMAOMB，则直线MA，MB的斜率互为相反数，于是得0，整理得y1(my21t)y2(my11t)0，即2my1y2(1t)(y1y2)0，则有2m(1t)0，即(2t)0，而m为任意实数，则t2，当直线l与x轴重合时，点A，B为椭圆长轴的两个端点，点M(2,0)也满足OMAO
20、MB，综上，存在点M满足条件，点M的坐标为(2,0)10已知椭圆C：1(ab0)，椭圆C上的点与其右焦点F的最短距离为1，离心率为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若点P为直线x2上任一点，过P作椭圆的两条切线PA，PB，切点为A，B，求证：ABPF.(1)解设P(x，y)为椭圆C上的点，F(c,0)为椭圆C的右焦点，因为y2b2x2，所以|PF|，又axa，所以当且仅当xa时，|PF|minac1，因为e，所以a，c1，因为c2a2b2，所以b1，故椭圆C的标准方程为y21.(2)证明由(1)知F(1,0)，设P(2，m)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以kPFm，由题知，以A为切点的椭圆切线方程为y1y1，以B为切点的椭圆切线方程为y2y1，又点P在直线PA，PB上，所以x1my11，x2my21，所以直线AB的方程为xmy1，当m0时，直线AB的斜率不存在，直线PF的斜率为0，所以ABPF，当m0时，kAB，所以kABkPFm1，所以ABPF，综上可得，ABPF.
