1、 福建省南平市福建省南平市 20182018- -20192019 学年高二上学期期末质量检测学年高二上学期期末质量检测 数学（理）试题数学（理）试题 第第卷卷 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. . 1.抛物线的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由抛物线方程直接求解。 【详解】由抛物线得：， 所以，所以抛物线的焦点坐标是： 故选：A 【点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质，属于基础题。 2.若，则 是 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C.
2、充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 解出,由充分、必要条件概念判断即可 【详解】因为，所以, 所以且，所以 是 的充分不必要条件 故选：A 【点睛】本题主要考查了充分、必要条件的概念，属于基础题。 3. 4 张卡片上分别写有数字 1，2，3，4，从这 4 张卡片中随机抽取 2 张，则取出的 2 张卡片 上的数字之和为奇数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 : 取出的 2 张卡片上的数字之和为奇数的抽取方法是一奇一偶，C C C = 4.已知向量，且与互相垂直，则 的值是（ ） A. 1 B. C. -1 D. 【答案】B 【解析】 【
3、分析】 求出与的坐标，利用它们互相垂直列方程即可求解。 【详解】因为向量， 所以=，=， 又与互相垂直，所以， 即：，解得： 故选：B 【点睛】本题主要考查了向量垂直的坐标表示及向量的坐标运算，属于基础题。 5.一箱产品中有正品 4 件，次品 2 件，从中任取 2 件，以下事件：恰有 1 件次品和恰有 2 件次品； 至少有 1 件次品和全是次品； 至少有 1 件次品和全是正品， 其中互斥事件为 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由互斥事件的概念直接判断即可。 【详解】由互斥事件的概念可知中两个事件互斥， 对于中，至少有 1 件次品包括全是次品，所以中两个事件不互斥
4、。 对于中，至少有 1 件次品包括：一件次品一件正品，两件都是次品，所以至少有 1 件次品 和全是正品是互斥事件。 故选：D 【点睛】本题主要考查了互斥事件的概念，属于基础题。 6.如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各 5 名工人某日的产量数据（单位：件）.若这两组数 据的中位数相等，且平均值也相等，则 和 的值分别为（ ） A. 3,7 B. 5,5 C. 3,5 D. 5,7 【答案】C 【解析】 【分析】 由这两组数据的中位数相等，且平均值也相等列方程组即可求解。 【详解】因为这两组数据的中位数相等，且平均值也相等， 所以，解得： 故选：C 【点睛】本题主要考查了茎叶图及样本数据的平均数、
5、中位数定义，考查方程思想，属于基 础题。 7.执行如图所示的程序框图，若输入的的值分别为 0 和 9，则输出的 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由流程图逐步执行即可。 【详解】 ， 不满足 ， ， 不满足 ， ， 满足 输出： 故选：A 【点睛】本题主要考查了流程图知识，考查计算能力，属于基础题。 8.三棱锥中，点 在棱上，且，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 利用向量加减运算及数乘运算求解即可。 【详解】由题得： = = = 故选：D 【点睛】本题主要考查了空间向量的加减运算，数乘运算，属于基础题。 9.如图椭圆内切于矩
6、形，其中矩形长为 6，宽为 4，在矩形内随机地撒 300 粒黄豆，数得落在 椭圆外的黄豆数为 96 粒，以此实验数据为依据，可以估计出椭圆的面积约为（ ） A. 7.68 B. 8.68 C. 16.32 D. 17.32 【答案】C 【解析】 【分析】 由题可估计出黄豆在椭圆内的概率，由概率列方程即可估计椭圆的面积 【详解】由题可估计出黄豆在椭圆内的概率为：， 又，解得： 故选：C 【点睛】本题主要考查了概率模拟及其应用，属于基础题。 10.已知双曲线经过点，其渐近线方程为，则双曲线的标准方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由渐近线方程为可设双曲线的标准方程
7、是： 将点代入上方程即可求出 ，问题得解。 【详解】因为渐近线方程为， 所以可设双曲线的标准方程是：， 将点代入上方程得：，所以， 所以双曲线的标准方程是：. 故选：D 【点睛】本题主要考查了双曲线的简单性质及方程思想，属于基础题。 11.正方体中，与平面所成的角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 连接交于点 E，连接 AE，求角即可。 【详解】如图，连接交于点 E，连接 AE， 正方体中，证得： 平面， 所以与平面所成的角为， 设正方体的边长为 ， 在中，求得：， ,所以， 故选：A 【点睛】本题主要考查了线面角知识，关键是作出对应的一个平面角，解三角形即可，属
8、于 基础题。 12.中心在原点的椭圆与双曲线有相同的焦点，为与在第一象限的 交点，若，且，椭圆的离心率，则双曲线的离心率 的取 值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由可得:,由椭圆的离心率求得， 利用双曲线 离心率列方程得到关于 的一个函数，求该函数取值的范围即可。 【详解】依题作出图像如下： 由可得:，且 又，解得：， 所以双曲线的离心率 = 故选：B 【点睛】本题主要考查了椭圆、双曲线的简单性性质，考查了函数思想，属于基础题。 第第卷卷 二、填空题（将答案填在答题纸上）二、填空题（将答案填在答题纸上） 13.设分别是椭圆的左、右焦点， 为椭圆上一点， 是
9、的中点，则 点到椭圆左焦点的距离为_ 【答案】4 【解析】 【分析】 利用是的中位线求得,再利用椭圆定义列方程即可求解。 【详解】如图，是的中位线， 由得：， 由椭圆得：，即： 又， 解得：。 【点睛】本题主要考查了三角形中位线结论及椭圆的定义、标准方程，属于基础题。 14.若“，”是真命题，则实数 的最小值为_ 【答案】1 【解析】 【分析】 求出（）的最大值即可。 【详解】因为在单调递增， 所以， “，”可转化为， 所以 所以实数 的最小值为 1。 【点睛】本题主要考查了不等式恒成立问题，考查了转化思想及函数的单调性，属于基础题。 15.若双曲线的渐近线与圆相切， 则此双曲线的离心率为 _
10、 【答案】2 【解析】 【分析】 求出双曲线的渐近线方程：，利用渐近线与圆 相切列方程即可求解。 【详解】双曲线的渐近线方程：，即， 圆的圆心为：，半径为：， 圆心到渐近线的距离为：， 又渐近线与圆相切， 则，即：，整理得： 所以双曲线的离心率为： 【点睛】本题主要考查了直线与圆相切的几何关系及双曲线的简单性质，考查计算能力，属 于基础题。 16.在中国古代数字经典著作九章算术中称如图所示的五面体为“刍甍” （chumeng） ，若此“刍甍”的底面是矩形，“上袤”的长为 2，“下袤” 的长为 4，“广”的长为 1，“高”即“点 到底面的距离”为 1，则此“刍甍”的体 积为_ 【答案】 【解析】
11、 【分析】 把该几何体补成一个三棱柱，如图 计算出,即可求得，从而求得三棱柱的体积，又是三棱柱的 ，问题得解 【详解】把该几何体补成一个三棱柱，如图 则点 E 是 FM 的中点， 又，所以， 所以， 所以“刍甍”的体积为：. 【点睛】本题主要考查了补形法及体积计算、考查转化能力，属于基础题。 三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. .） 17.设命题 ：方程表示中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线；命题 ，.若“”为真命题，求实数 的取值范围. 【答案】 【解析】 【分析】 求出命题 成立的 的范围，再求出命题 成立 的范围，利用“
12、”为真命题列不等式组即 可得解。 【详解】若 为真命题，则 得： 若 为真命题：则： 得： 所以由：，得：， 所以实数 的范围为. 【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程形式及一元二次不等式恒成立问题，考查复合命 题的真假判断，属于基础题。 18.某校两个班级 100 名学生在一次考试中的成绩 （满分 100 分） 的频率分布直方图如图所示， 其中成绩分组区如下表： 组号 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 分组 （1）求频率表分布直方图中 的值； （2）根据频率表分布直方图，估计这 100 名学生这次考试成绩的平均分； （3）现用分层抽样的方法从第三、四、五组中随机抽取 6 名学生，将该
13、样本看成一个总体， 从中随机抽取 2 名，求其中恰有 1 人的分数不低于 90 分的概率. 【答案】(1) a=0.005;(2) 74.5;(3)见解析. 【解析】 试题分析： （）根据所以概率的和为 1，即所求矩形的面积和为 1，建立等式关系，可求出 所求； （）均值为各组组中值与该组频率之积的和； （）先分别求出 3，4，5 组的人数，再利用古典概型知识求解 试题解析： 解： （）由题意得 10a+0.0110+0.0210+0.0310+0.03510=1，所以 a=0.005 （）由直方图分数在50，60的频率为 0.05，60，70的频率为 0.35，70，80的频率为 0.30，
14、 80，90的频率为 0.20，90，100的频率为 0.10，所以这 100 名学生期中考试数学成绩的 平均分的估计值为：550.05+650.35+750.30+850.20+950.10=74.5 （）由直方图，得： 第 3 组人数为 0.3100=30， 第 4 组人数为 0.2100=20 人， 第 5 组人数为 0.1100=10 人 所以利用分层抽样在 60 名学生中抽取 6 名学生， 每组分别为： 第 3 组：人， 第 4 组：人， 第 5 组：=1 人 所以第 3、4、5 组分别抽取 3 人、2 人、1 人 设第 3 组的 3 位同学为 A1，A2，A3，第 4 组的 2 位
15、同学为 B1，B2，第 5 组的 1 位同学为 C1， 则从六位同学中抽两位同学有 15 种可能如下： （A1，A2） ， （A1，A3） ， （A1，A3） ， （A2，A3） ， （A1，B1） ， （ （A1，B2） ， （A2，B1） ， （A2，B2） ， （A3，B1） ， （A3，B2） ， （A1，C1） ， （A2，C1） ， （A3，C1） ， （B1，C1） ， （B2，C1） ， 其中恰有 1 人的分数不低于 9（0 分）的情形有： （A1，C1） ， （A2，C1） ， （A3，C1） ， （B1，C1） ， （B2，C1） ，共 5 种所以其中第 4 组的 2 位同
16、学至少有一位同学入选的概率为. 考点：频率分布直方；平均数的求法；古典概率 19.已知过抛物线的焦点， 斜率为的直线交抛物线于， 两点，且. （1）求该抛物线的方程； （2） 为坐标原点， 为抛物线上一点，若，求 的值. 【答案】 （1）y 28x.（2）0，或 2. 【解析】 试题分析：第一问求抛物线的焦点弦长问题可直接利用焦半径公式，先写出直线的方程，再 与抛物线的方程联立方程组，设而不求，利用根与系数关系得出，然后利用焦半径公式 得出焦点弦长公式，求出弦长，第二问根据联立方程组解出的 A、B 两点坐标， 和向量的坐标关系表示出点 C 的坐标，由于点 C 在抛物线上满足抛物线方程，求出参数
17、值. 试题解析： (1)直线AB的方程是y2（x-2），与y 28x 联立，消去y得x 25x40， 由根与系数的关系得x1x25.由抛物线定义得|AB|x1x2p9， (2)由x 25x40，得 x11，x24，从而A(1，2)，B(4，4) 设(x3，y3)(1，2)(4，4)(41，42)， 又y8x3，即2(21) 28(41)，即(21)241， 解得0 或2. 【点睛】求弦长问题，一般采用设而不求联立方程组，借助根与系数关系，利用弦长公式去 求；但是遇到抛物线的焦点弦长问题时，可直接利用焦半径公式，使用焦点弦长公式 ，求出弦长.遇到与向量有关的问题，一般采用坐标法去解决，根据联立方
18、程 组解出的 A、B 两点坐标，和向量的坐标关系表示出点 C 的坐标，由于点 C 在抛物线上满足抛 物线方程，求出参数值. 20.某零售公司从 1 月至 6 月的销售量与利润的统计数据如下： 月份 1 2 3 4 5 6 销售量 / 万件 6 8 12 13 11 10 利润 /万 元 12 16 26 29 25 22 （1）根据 2 月至 5 月 4 个月的统计数据，求出 关于 的回归直线方程.（的结 果用分数表示） ； （2）若由回归直线方程得到的估计数据与实际数据的误差均不超过 1 万元，则认为得到的回 归直线方程是有效的.试用 1 月和 6 月的数据估计所得的回归直线方程是否有效？
19、参考公式：，. 参考数据：，. 【答案】(1) (2)见解析 【解析】 【分析】 （1）分别计算出 ， ，从而求得 ，即可求得 ，问题得解。 （2）将 的取值代入回归方程即可求得预测函数值 ，检验即可。 【详解】 （1）由已知得： 所以，所求回归直线方程为：. （2）当时，误差， 当时，误差， 因为误差均不超过 1 万元 故所得的回归直线方程是有效的. 【点睛】本题主要考查了线性回归方程及其应用，属于基础题。 21.如图，在四棱锥中，侧面是等边三角形且垂直于底面，底面是矩 形， 是的中点. （1）证明：平面； （2）点 在棱上，且直线与直线所成角的余弦值为，求二面角的余弦值. 【答案】 （1）
20、见证明； （2） 【解析】 【分析】 （1）证明 CEAD，结合 CEPD，即可证得平面。 （2）建立空间直角坐标系，分别求出各点坐标，由直线与直线所成角的余弦值为求 得点 F 的坐标，再求出平面，平面的法向量，利用法向量夹角公式得解。 【详解】（1） 平面平面， 平面平面，平面， 平面，又平面，. 侧面是等边三角形且 是的中点 又 平面 （2）如图，以 为原点，以为 轴正方向，以为 轴正方向，建立空间直角坐标系， 则， ， 点 在棱上，设， 则， 直线与直线所成角的余弦值为. 又，解得： 即 为的中点 ， 设平面的法向量为，则 令，则 设平面的法向量为，则 令，则 二面角的余弦值为. 【点睛
21、】本题主要考查了线面垂直的判断，考查转化思想，还考查了平面法向量的求法、利 用空间向量求二面角的平面角大小、利用向量求线线夹角，考查计算能力，属于基础题。 22.已知点和直线，为曲线 上一点，为点 到直线的距离且满足. （1）求曲线 的轨迹方程； （2）过点作曲线 的两条动弦，若直线斜率之积为 ，试问直线是否一 定经过一定点？若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理由. 【答案】 （1）（2）见解析 【解析】 【分析】 （1）设点为曲线 上任一点，由列方程整理即可。 （2）先判断直线斜率存在，设直线的方程为，设，联立 直线与椭圆方程，表示出，由直线斜率之积为 得到 ，化简得到，求得，问题得解。 【详解】 （1）设点为曲线 上任一点， 则依题意得：， 化简得： 曲线 的轨迹方程为：. （2）一定经过一定点. 设，当直线的斜率不存在时，设的方程为， 则：， ，不合题意. 故直线的斜率存在， 设直线的方程为，并代入椭圆方程， 整理得：， 由 得：. 设，则是方程的两根，由根与系数的关系得： ， 由 得：， 即， 整理得： 又因为，所以， 此时直线的方程为. 所以直线恒过一定点. 【点睛】本题主要考查了轨迹方程的求法，考查了两点斜率公式及韦达定理，考查计算能力 及方程思想，计算难度较大，属于中档题。
