1、第 1 页 共 20 页 2019-2020 学年湖北省荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟高一学年湖北省荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟高一 下学期期中联考数学试题下学期期中联考数学试题 一、单选题一、单选题 1sin25 cos35cos155 sin35（ （ ） A 1 2 B 1 2 C 3 2 D 3 2 【答案】【答案】C 【解析】【解析】根据诱导公式和两角差的正弦公式进行化简，由此求得正确选项. 【详解】 sin25 cos35cos155 sin35sin25 cos35cos25 sin35 3 sin 2535sin60 2 . 故选：C. 【点睛】 本小题主要考查三角函数诱导公
2、式，考查两角差的正弦公式，属于容易题. 2下列命题中，正确的是（下列命题中，正确的是（ ） A若若acbc，则，则ab B若若ab，cd，则，则acbd C若若0ab，则，则 22 ab D若若ab，c d，则，则acbd 【答案】【答案】C 【解析】【解析】根据不等式的基本性质，对每个选项进行逐一分析，即可容易判断和选择. 【详解】 对A：acbc，也即0c ab，当0c时，ab，故A错误； 对B：只有当0,0abcd时，才有acbd，故B错误； 对C：0ab，则 22 0ababab，故 22 ab，C正确； 对D：若0 1ab ，20cd ，故21acbd ，故D错误. 故选：C. 【点
3、睛】 本题考查不等式的基本性质，属简单题. 3设一元二次不等式设一元二次不等式 2 20axbx的解集为的解集为 | 24xx ，则，则ab的值为（的值为（ ） 第 2 页 共 20 页 A 1 4 B 1 8 C8 D 1 2 【答案】【答案】B 【解析】【解析】根据一元二次不等式的解集和一元二次方程根之间的关系，即可求出结论 【详解】 一元二次不等式 2 20axbx的解集为 | 24xx ， -2，4 是对应一元二次方程 ax2+bx+2=0的两个根且 a0， 则由根与系数之间的关系可得 242 2 2 48 b a a ， 解得 a= 1 4 ，b= 1 2 ， ab= 111 428
4、 . 故选：B 【点睛】 本题主要考查一元二次不等式的应用， 将一元二次不等式的解集转化为对应一元二次方 程根的关系是解决本题的关键. 4下列说法正确的是（下列说法正确的是（ ） A平行于同一平面的两条直线平行平行于同一平面的两条直线平行 B垂直于同一直线的两条直线垂直垂直于同一直线的两条直线垂直 C与某一平面所成角相等的两条直线平行与某一平面所成角相等的两条直线平行 D 垂直于同一条直线的两个平面平行垂直于同一条直线的两个平面平行 【答案】【答案】D 【解析】【解析】根据空间中线线，线面,面面间的位置关系即可判断各选项的真假 【详解】 对于 A ，平行于同一平面的两条直线可能平行，可能相交，
5、也可能异面，A 错误； 对于 B，垂直于同一直线的两条直线可能平行，可能相交，也可能异面，不一定垂直， B错误； 对于 C，与某一平面所成角相等的两条直线可能平行，可能相交，也可能异面，C错误； 对于 D，由面面平行的判定定理可知 D 正确 故选：D 【点睛】 本题主要考查立体几何中有关线线，线面，面面位置关系的命题的判断，熟记定义和定 理是解题的关键，属于基础题 第 3 页 共 20 页 517 世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“ “几何学里有两件宝，一个是勾几何学里有两件宝，一个是勾 股定理，另一个是黄金分割股定理，另一个是黄金分割.如果
6、把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比 作钻石矿作钻石矿.”黄金三角形有两种，黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是 最美的三角形， 它是一个顶角为最美的三角形， 它是一个顶角为 36的等腰三角形 （另一种是顶角为的等腰三角形 （另一种是顶角为 108的等腰三角的等腰三角 形）形）.例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄 金金ABC中，中， 51 2 BC AC .
7、根据这些信息，可得根据这些信息，可得cos324（ ） A 51 4 B 51 4 C 51 4 D 45 8 【答案】【答案】B 【解析】【解析】根据题意得到72ACB，利用三角函数的定义得到cos72，再由二倍角 公式得到cos144， 进而用诱导公式， 由cos324cos 144180cos144 求解. 【详解】 由题意可得：72ACB，且 1 51 2 cos 4 BC ACB AC ， 所以 2 51 cos1442cos 721 4 ， 所以 51 cos324cos 144180cos144 4 . 故选：B. 【点睛】 本题主要考查二倍角公式和诱导公式的应用，还考查了运算求
8、解的能力，属于中档题. 6已知圆锥的表面积为已知圆锥的表面积为3，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为（，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为（ ） ） A 3 3 B 3 3 C 3 D3 【答案】【答案】A 第 4 页 共 20 页 【解析】【解析】 设圆锥的底面半径为 r， 高为 h， 母线为 l， 根据其表面积为3， 得到 2 3rlr， 再由它的侧面展开图是一个半圆，得到rl ，联立求得半径和高，利用体积公式 求解. 【详解】 设圆锥的底面半径为 r，高为 h，母线为 l， 因为其表面积为3， 所以 2 3rlr， 即 2 3rlr， 又因为它的侧面展开图是一个半圆， 所
9、以rl ， 即2lr， 所以 22 1,2,3rlhlr ， 所以此圆锥的体积为 2 113 3 333 Vr h . 故选：A 【点睛】 本题主要考查圆锥的表面积和体积的计算以及侧面展开图问题， 还考查了运算求解的能 力，属于基础题. 7某同学为表达对某同学为表达对“新冠疫情新冠疫情”抗疫一线医护人员的感激之情，亲手为他们制作了一抗疫一线医护人员的感激之情，亲手为他们制作了一 份礼物，用正方体纸盒包装，并在正方体六个面上分别写了份礼物，用正方体纸盒包装，并在正方体六个面上分别写了“致敬最美逆行致敬最美逆行”六个字六个字. 该正方体纸盒水平放置的六个面分别用该正方体纸盒水平放置的六个面分别用“
10、前面、后面、上面、下面、左面、右面前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示表示. 如图是该正方体的展开图如图是该正方体的展开图.若图中若图中“致致”在正方体的后面，那么在正方体前面的字是在正方体的后面，那么在正方体前面的字是 （ ） A最最 B美美 C逆逆 D行行 【答案】【答案】B 【解析】【解析】利用正方体及其表面展开图的特点以及题意，把“致”放到正方体的后面，然 第 5 页 共 20 页 后把平面展开图折成正方体，看“致”的相对面 【详解】 把正方体的表面展开图再折成正方体，如图，面“致”与面“美”相对，“致”在正方 体的后面，那么在正方体前面的字是“美” 故选：B 【点睛】 本题考查了
11、正方体的表面展开图，考查学生的空间想象能力，注意正方体是空间图形， 从相对面入手、分析求解 8过过 ABC 所在平面所在平面外一点外一点 P，作，作 PO，垂足为，垂足为 O，连接 ，连接 PA，PB，PC，若，若 PA=PB=PC，则点，则点 O 是是 ABC 的（的（ ） A垂心垂心 B外心外心 C内心内心 D重心重心 【答案】【答案】B 【解析】【解析】试题分析：由题已知：PO，PA=PB=PC，可由射影定理得：OA=OB=OC. 即：点 O 是 ABC 的外心 【考点】射影定理的运用. 9在在 R上定义运算：上定义运算： ab adbc cd ，若不等式，若不等式 31 3 1 x a
12、x 对任意实数对任意实数 x恒成恒成 立，则实数立，则实数 a的取值范围是（的取值范围是（ ） A 5,) B( , 5 C 7,) D(, 7 【答案】【答案】D 【解析】【解析】 由题可知原不等式等价于 2 260 xxa-?对任意实数 x恒成立， 利用0 即可求解. 【详解】 不等式 31 3 1 x ax 对任意实数 x 恒成立， 第 6 页 共 20 页 则( )() 313xxa-+-?，即 2 260 xxa-?对任意实数 x 恒成立， ()() 2 2460a D= -?，解得7a . 故选：D. 【点睛】 本题考查一元二次不等式的恒成立问题，属于基础题. 10在在ABC中，若
13、中，若 222222 ()sin()sina bcaAb acbB（a，b，c分别是角分别是角 A， B，C的对边） ，则此三角形的形状为（的对边） ，则此三角形的形状为（ ） ） A等腰三角形等腰三角形 B直角三角形直角三角形 C等腰直角三角形等腰直角三角形 D等腰三角形或直角三角形等腰三角形或直角三角形 【答案】【答案】D 【解析】【解析】逆用余弦定理，结合正弦的倍角公式，根据角度关系即可判断三角形形状. 【详解】 因为 222222 ()sin()sina bcaAb acbB， 故可得22abcsinAcosAabcsinBcosB， 则22sin Asin B， 又,0,A B， 则
14、AB或 2 AB . 则该三角形为等腰三角形或直角三角形. 故选：D. 【点睛】 本题考查三角形形状的判断，涉及余弦定理的逆用，以及正弦的倍角公式，属综合基础 题. 11如图，在长方体如图，在长方体 1111 ABCDABCD中，中， 1 3,2,4AAABAD，点，点 M是棱是棱AD 的中点，点的中点，点 N在棱在棱 1 AA上，且满足上，且满足 1 2ANNA，P是侧面四边形是侧面四边形 11 ADD A内的一动点内的一动点 （含边界） ，若（含边界） ，若 1 /C P平面平面CMN，则线段，则线段 1 C P长度的取值范围是（长度的取值范围是（ ） 第 7 页 共 20 页 A3, 1
15、7 B2,3 C 6,2 2 D 17,5 【答案】【答案】C 【解析】【解析】首先找出过点 1 C且与平面CMN平行的平面，然后可知点P的轨迹即为该平 面与侧面四边形 11 ADD A的交线段， 进而可以利用解三角形的知识求出线段 1 C P长度的 取值范围 【详解】 如图所示：， 取 11 AD的中点G，取MD的中点E， 1 AG的中点F， 1 DD的三等分点H靠近D，并 连接起来 由题意可知 1 / /C G CM，/GHMN，所以平面 1 / /CGH平面CMN 即当点P在线段GH上时， 1 /C P平面CMN 在 1 HCG中， 22 1 222 2C G ， 22 1 222 2C
16、 H ，2 2GH ， 所以 1 HCG为等边三角形，取GH的中点O， 1 2 2sin606CO ， 故线段 1 C P长度的取值范围是 6,2 2 故选：C 【点睛】 本题主要考查线面平行，面面平行的判定定理和性质定理的应用，以及解三角形，意在 考查学生的逻辑推理能力和数学运算能力，属于中档题 第 8 页 共 20 页 12已知已知 22 sincos 33 f xxx （0）.给出下列判断：给出下列判断： 若若 1 1f x， 2 1f x，且，且 12min 2 xx ，则，则2； 若若 f x在在0,2上恰有上恰有 9 个个零点，则零点，则的取值范围为的取值范围为 53 59 , 2
17、4 24 ； 存在存在0,2，使得，使得 f x的图象向右平移的图象向右平移 6 个单位长度后得到的图象关于个单位长度后得到的图象关于 y轴对轴对 称；称； 若若 f x在在, 6 3 上单调递增，则上单调递增，则的取值范围为的取值范围为 1 0, 3 . 其中，判断正确的个数为（其中，判断正确的个数为（ ） A1 B2 C3 D4 【答案】【答案】A 【解析】【解析】依题意 2 cos 2 3 f xx ，0，对于：利用 2 2 T 计算即可 判断；对于：用整体代入法求出 2 2 3 x 的范围，再利用已知条件求出的取值范 围即可；对于：利用图像平移得到 2 cos 2 33 g xx ，利
18、用0,2 得到 2 33 的范围，即可判断选项；对于：利用整体代入法先求出 2 2 3 x 的 范围，又由已知条件得到 2 2 33 22 2 33 k k ，求出的取值范围即可. 【详解】 依题意 2 cos 2 3 f xx ，0， 对于：由题意得T, 2 1 2 T ，故错； 对于：由题意得 222 0,2 ,24 333 xx危+?， f x在0,2上恰有 9 个零点， 则 19221 5359 4, 2322424 ?，故正确； 第 9 页 共 20 页 对于：由题意得 f x的图象向右平移 6 个单位长度后得到的图象 2 cos 2 33 g xx ，又0,2， 所以 22 0 3
19、33 ，不能得出 g x关于 y轴对称，故错误； 对于： 2222 ,2 6 333333 xx ， 若 f x在, 6 3 上单调递增，则 2 2 33 22 2 33 k k ， 即 62 1 3 2 k k ，由于,0kZ， 故 1 0,0 2 k.故错误. 故选：A. 【点睛】 本题主要考查了 cosf xAx的性质以及图像变换问题，涉及到了最值，零 点，单调性，对称性.属于中档题. 二、填空题二、填空题 13ABC的内角的内角 A， B， C对边分别是对边分别是 a， b， c.若 若 6 B ， 4 C =，2b， 则， 则c_. 【答案】【答案】2 2 【解析】【解析】在ABC中
20、，利用正弦定理，即可求解边长c的值. 【详解】 在ABC中，2b ， 6 B ， 4 C =， 由正弦定理得知 sinsin cb CB ，所以 2 sin sin 4 2 2 sin sin 6 bC c B . 故答案为：2 2. 【点睛】 本题主要考查了正弦定理解三角形问题，其中熟记三角形的正弦定理、且合理运用是解 第 10 页 共 20 页 答的关键，着重考查了推理与运算能力. 14已知已知 3 2 x ，则，则 1 ( )41 46 f xx x 的最小值为的最小值为_. 【答案】【答案】7 【解析】【解析】配凑出定值，用基本不等式求得最小值 【详解】 3 2 x ，460 x， 1
21、11 ( )41(46)52 (46)57 464646 f xxxx xxx ，当且 仅当 1 46 46 x x ，即 7 4 x 时等号成立 故答案为：7 【点睛】 本题考查用基本不等式求最值，解题关键是凑配出积为定值注意条件：一正二定三相 等 15如图，四边形如图，四边形ABCD中，中，1ABADCD， ， 2BD ，BDCD.将四边形将四边形 ABCD沿对角线沿对角线BD折成四面体折成四面体ABCD ，使平面，使平面A BD平面平面BCD，则在四面体，则在四面体 ABCD 中，下列说法正确的是中，下列说法正确的是_（填写序号）（填写序号）.（1）ACAB； （； （2） CA 与与
22、平面平面A BD所成的角为所成的角为30；（；（3） 四面体） 四面体ABCD 的体积为的体积为 1 3 ；（；（4） 二面角） 二面角ACDB 的平面角的大小为的平面角的大小为 45. 【答案】【答案】 （1） （4） 【解析】【解析】根据翻折前后的数量关系和位置关系分析即可判断. 【详解】 对于（1） ，可知在四面体ABCD 中， 平面A BD平面BCD，CDBD，CD平面A BD， 第 11 页 共 20 页 CDA D， 22 2A CA DCD=+= ， 在Rt BCD中， 22 3BCBDCD ， 在 A BCV中，满足 222 A BA CBC+=，ACAB ，故（1）正确； 对
23、于（2） ，由（1）知CD平面A BD， CA D ?即为 CA 与平面A BD所成的角， 可知A CD是等腰直角三角形，45CA D ?，故（2）错误； 对于（3） ， 1111 1 1 1 3326 ABCDC A BDA BD VVSCD ，故（3）错误； 对于（4） ，可知,A DCD BDCD，A DB ?即为二面角ACDB 的平面角， 且45A DB?，故（4）正确. 故答案为： （1） （4）. 【点睛】 本题考查空间中相关数量的计算，属于基础题. 16在等腰直角三角形在等腰直角三角形ABC中，中， ,6 2 2 CCA ，D为为AB的中点，将它沿的中点，将它沿CD 翻折，使点翻
24、折，使点 A与点与点 B间的距离为间的距离为6 3，此时四面体，此时四面体ABCD的外接球的体积为的外接球的体积为_. 【答案】【答案】180 5 【解析】【解析】根据条件找到截面圆半径与外接球半径的关系，即可建立关系求解. 【详解】 翻折前，因为ABC是等腰三角形且， 2 C 所以 2 2 2 CACBCDAB， 所以 12 6 22 ADBDABCA， 翻折后，设底面三角形ABD外接圆半径为R， 由余弦定理得 222 1 cos 22 ADBDAB ADB AD BD ， 第 12 页 共 20 页 所以 2 3 sin1 cos 2 ADBADB , 由正弦定理得2 sinRADBAB，
25、解得6R ， 因为ABC是等腰三角形且D为AB的中点， 所以在四面体ABCD中，CD平面ABD， 所以 CD 所在球的截面图如图所示，O为球心， 所以外接球半径 222 0 44RRCD， 解得 0 3 5R = ， 外接球体积 3 0 4 180 5 3 VR . 故答案为：180 5. 【点睛】 本题主要考查空间几何体外接球问题，关键是建立关系找出半径. 三、解答题三、解答题 17已知函数已知函数 2 2 sincos2 3cos3f xxxx （1）求它的单调递增区间；）求它的单调递增区间； （2）若）若0, 2 x ，求此函数的值域，求此函数的值域. 【答案】【答案】 （1） 5 ,
26、1212 kk （kZ） ； （2）13,3 . 【解析】【解析】 （1）化简 ( )f x，再根据正弦函数的单调增区间代入求解即可 （2）根据（1）的结果( )2sin21 3 f xx ，再根据0, 2 x 求出2 3 x 的 范围结合sin 2 3 yx 的值域为 3 ,1 2 ，即可求出结果 【详解】 第 13 页 共 20 页 （1） 2 1 sin23 2cos1f xxx 1sin23cos212sin 2 3 xxx 由222 232 kxk ， 得 5 1212 kxk ，kZ. 故此函数的单调递增区间为 5 , 1212 kk （kZ）. （2）由0 2 x ，得 4 2
27、333 x . sin 2 3 yx 的值域为 3 ,1 2 . 12sin 2 3 f xx 的值域为13,3 ， 故此函数的值域为13,3 【点睛】 本题主要考查了三角函数的性质，常考三角函数的性质有：对称轴、单调性、最值、对 称中心属于中档题 18 （1）如图）如图 1，在直角梯形，在直角梯形ABCD中，中，/AB CD， ，BCCD，26CDAB， 45ADC ，梯形绕，梯形绕着直线着直线AB旋转一周，求所形成的封闭几何体的表面积； （旋转一周，求所形成的封闭几何体的表面积； （2）有）有 一个封闭的正三棱柱容器，高为一个封闭的正三棱柱容器，高为 12，内装水若干（如图，内装水若干（如
28、图 2，底面处于水平状态） ，将容，底面处于水平状态） ，将容 器放倒（如图器放倒（如图 3，一个侧面处于水平状态） ，这时水面与各棱交点，一个侧面处于水平状态） ，这时水面与各棱交点 F，E， 1 E， 1 F分别分别 为所在棱的中点，求图为所在棱的中点，求图 2 中水面的高度中水面的高度. 【答案】【答案】 （1）(459 2)； （2）9 【解析【解析】 （1）旋转后形成的几何体可以看作一个圆柱中挖去了一个圆锥后形成的，由圆 柱与圆锥侧面，圆柱的一个底面构成旋转体的表面，由此可得表面积； 第 14 页 共 20 页 （2）两个图形中水体积相等，一个是正三棱柱，一个直四棱柱，由柱体体积公式
29、计算 可得 【详解】 （1）依题意，旋转后形成的几何体可以看作一个圆柱中挖去了一个圆锥后形成的. 由26CDAB，45ADC可知3BC ， 3 2AD . 其表面积S 圆柱侧面积+固锥侧面积+圆柱下底面积 2 23 633 23 369 29(459 2) （2）F，E， 1 E， 1 F分别为所在棱的中点，AEFABC 113 , 244 BCFEAEF BACABC SEFS BCSS 梯形 . 所以棱柱 1111 BCFEBC FE的体积12VS 梯形BCFE 3 129 4 ABCABC SS ， 设图 2 中棱柱水面的高度为 h，则9,9 ABCABC ShSh，即水面高度为 9.
30、【点睛】 本题考查旋转体的概念，考查圆柱圆锥的侧面积公式，柱体的体积公式，考查学生的空 间想象能力，运算求解能力，属于中档题 19在在ABC中，内角中，内角 A，B，C的对边分别是的对边分别是 a， ，b，c，且，且 sin sinsin Abc BCba . （1）求角）求角 C的大小；的大小； （2）点）点 D在在CA的延长线上，且的延长线上，且 A为为CD的中点，线段的中点，线段BD长度为长度为 2，求，求2ab的最的最 大值大值. 【答案】【答案】 （1） 3 ； （2）4. 第 15 页 共 20 页 【解析】【解析】 （1）根据正弦定理边角互化可得， abc bcba 即 222
31、abcab，由余弦 定理可得 1 cos 2 C 即可求出 3 C ； （2）在BCD中，根据余弦定理可得 2 (2 )43 2abab ，再利用基本不等式 2 2 2 2 ab ab 放缩，可得 22 3 (2 )4(2 ) 4 abab，即可求出2ab的最大值 【详解】 （1） sin sinsin Abc BCba ，由正弦定理得 abc bcba ， ()()()a babc bc，即 222 abcab 1 cos 2 C ， (0, )C， 3 C . （2）在BCD中，由余弦定理知： 222 (2 )22cos602abab ， 2 (2 )43 2abab ， 2 2 2 2
32、ab ab ， 22 3 (2 )4(2 ) 4 abab，即 2 (2 )16ab，当且仅当2ab， 即2a，1b时取等号，此时2ab的最大值为 4. 【点睛】 本题主要考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用， 以及利用基本不等式求解三角 形中和边长有关的最值问题，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题 20 如图， 在四棱锥如图， 在四棱锥PABCD中， 底面中， 底面ABCD为平行四边形， 为平行四边形，PCD为等边三角形，为等边三角形， 平面平面PAC 平面平面PCD，PACD，6CD ，8AD . （1）设）设 M，N分别为分别为PB，AC的中点，求证：的中点，求证：/M
33、N平面平面PAD； （2）求证：）求证：PAPD； （3）求直线）求直线AD与平面与平面PAC所成角的余弦值所成角的余弦值. 第 16 页 共 20 页 【答案】【答案】 （1）证明详见解析； （2）证明详见解析； （3） 37 8 . 【解析】【解析】 （1）连接BD，结合平行四边形的性质，以及三角形中位线的性质，得到 MNPDP ，利用线面平行的判定定理证得结果； （2）取棱PC的中点H，连接DH，依题意，得DHPC，结合面面垂直的性质以 及线面垂直的性质得到DHPA，利用线面垂直的判定定理证得结果； （3）利用线面角的平面角的定义得到DAH为直线AD与平面PAC所成的角，放在 直角三角形
34、中求得结果. 【详解】 （1）连接BD，易知ACBDN，BNDN，又BMPM，故/MNPD， 又因为MN 平面PAD，PD 平面PAD，所以/MN平面PAD. （2）取棱PC的中点 H，连换DH，又PCD为等边三角形，所以DHPC，又因 为平面PAC 平面PCD，平面PAC平面PCDPC，所以DH 平面PAC， 又PA平面PAC，所以DHPA，又已知PACD，DHCDD， 所以PA 平面PCD,又PD 平面PCD，所以PAPD， （3）连接AH，由（2）中DH 平面PAC， 可得DAH为直线AD与平面PAC所成的角. 因为PCD为等边三角形，6CD ，且 H为PC的中点，所以3 3DH ， 又
35、DHAH， 故在Rt AHD中，37AH ，cos AH DAH AD ， 又8AD，所以直线AD与平面PAC所成角的余弦值为 37 8 . 第 17 页 共 20 页 【点睛】 本小题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成 的角等基础知识，考查空间想象能力和推理能力. 21随着城市发展进程加快以及人口数量增加，城市道路交通拥堵问题日益突出随着城市发展进程加快以及人口数量增加，城市道路交通拥堵问题日益突出.为改 为改 善交通状况，越来越多的城市规划修建地铁善交通状况，越来越多的城市规划修建地铁.如图所示，某城市有一条从正西方如图所示，某城市有一条从正西方EO通通
36、 过市中心过市中心 O后向东北后向东北OF的公路 （的公路 （ 3 4 EOF） ， 现规划修一条地铁） ， 现规划修一条地铁 L， 在， 在OE，OF 上各设一站上各设一站 E，F，地铁在，地铁在EF部分为直线段，现要求市中心部分为直线段，现要求市中心 O与与EF的距离为的距离为15km， 设地铁在设地铁在EF部分的总长度为部分的总长度为 kmy . （1）按下列要求建立关系式：）按下列要求建立关系式： （）设）设OEF，将，将 y表示成表示成的函数；的函数； （）设）设OEa，OFb，用，用 a，b表示表示 y. （2）把）把 E，F两站分别设在公路上离中心两站分别设在公路上离中心 O多远
37、处，才能使多远处，才能使EF最短？并求出最短距最短？并求出最短距 离离. 【答案】【答案】 （1） （） 30 ,0, 4 2sin 21 4 y ； （） 2 30 ab y ； （2） 15 42 2OEOF ，最短距为30( 21)km. 【解析】【解析】 （1） （）过 O作OHEF于 H，分别利用正切定义可得 15tan 4 FH ， 15cos sin EH ，即可整理得 30 ,0, 4 2sin 21 4 y . 第 18 页 共 20 页 （）直接利用等面积法可得 2 30 ab y . （2）利用三角函数性质可得：当 8 时， min |30( 21)EF ，即可求得 15
38、 42 2OEOF ，问题得解. 【详解】 （1） （）过 O作OHEF于 H， 依题意得， 3 4 EOF， 2 EOH 3 424 FOH ，且0 4 . tan 15 EH EOH，即 15sin 15cos2 15tan sin cos 2 EHEOH ， tantan 415 FH FOH ，即15tan 4 FH ， cos 1515tan sin4 EFEHFH 2 cossincos15 15 sincossinsincossin 3030 sin2cos21 2sin 21 4 ； 所以 30 ,0, 4 2sin 21 4 y . （）由等面积法得 113 15sin 22
39、4 EFab 即 2 3015 2 abab EFy . （2）方法一： （选择（1） （）的函数） 第 19 页 共 20 页 当 8 时， min |30( 21)EF， 此时 15 sin 8 OEOF ，而 2 2 cos12sin 482 . 所以 15 42 2OEOF ，此时EF最短，且最短距为30( 21)km. 方法二： （选择（1） （）中的关系式） 因为 3 tan 4 EOF ， 所以得 22222 3 2cos2(22) 4 EFababababab . 由（1） （）所得关系式 2 30 ab EF ，即 30 2 abEF. 所以 2 30( 21)EFEF， 即
40、30 ( 2 1 )EF （当且仅当 15 42 2ab 时取 等号） ， 所以当 15 42 2OEOF 时，EF最短，最短距离为30( 21)km. 【点睛】 本题主要考查了三角函数的性质及三角恒等变形，还考查了函数思想及转化能力、计算 能力，属于中档题. 22 （1）小张要做一个体积为）小张要做一个体积为 96 立方分米，高为立方分米，高为 6分米的长方体有盖纸盒，问纸盒的 分米的长方体有盖纸盒，问纸盒的 底面长和宽各为多少分米时，做纸盒用纸最少？此时用纸最少为多少平方分米？底面长和宽各为多少分米时，做纸盒用纸最少？此时用纸最少为多少平方分米？ （2）“劳动最光荣劳动最光荣”.为丰富小李
41、的课余生活，体验劳动带来的快乐，小李家开辟了一为丰富小李的课余生活，体验劳动带来的快乐，小李家开辟了一 块一面靠墙的菜地，种植有机蔬菜块一面靠墙的菜地，种植有机蔬菜.现准备用一段长为现准备用一段长为 20 米的篱笆围成一个一边靠墙的米的篱笆围成一个一边靠墙的 矩形菜园矩形菜园.已知墙长已知墙长 12 米，则矩形的长和宽米，则矩形的长和宽各为多少米时，所围成的菜园面积最大，此各为多少米时，所围成的菜园面积最大，此 时菜园最大面积为多少平方米？时菜园最大面积为多少平方米？ 【答案】【答案】 （1）纸盒长与宽均为 4 分米时，用纸最少为 128 平方分米； （2）围成的矩形长 为 10 米，宽为 5
42、米时菜园最大面积为 50 平方米. 【解析】【解析】 （1）设纸盒底面的长与宽分别为 a分米、b分米，由体积公式得出, a b的关系 式，然后求出长方体的表面积，利用基本不等式求得最小值 （2） 设矩形宽为 x， 面积为 S， 注意篱笆只要提供矩形的三边， 因此面积 (202 )Sxx ， 由基本不等式可得最大值 【详解】 第 20 页 共 20 页 （1）设纸盒底面的长与宽分别为 a分米、b分米，纸盒体积为 96立方分米，高为 6分 米，所以16ab，用纸面积21212 (0,0)Sabab ab 3212()3224abab. 当且仅当“4ab”，即纸盒长与宽均为 4 分米时，用纸最少，最少为 128平方分米. （2）设矩形宽为 x，面积为 S，依题意得： (202 )Sxx ， 由 0 020212 x x 得410 x. 2 10 (202 )2 (10)250 2 xx Sxxxx ，当且仅当“10 xx”，即 宽5x ，此时长为 10. 所围成的矩形长为 10米，宽为 5 米时菜园面积最大，最大面积为 50平方米. 【点睛】 本题考查基本不等式的应用，解题关键是引入参数列出参数满足的关系，用参数表示出 对应的量如面积，体积等，再用基本不等式求得最值，解题时注意参数的取值范围
