1、第 1 页 共 19 页 2019-2020 学年湖南省益阳市桃江县高一下学期期末数学试学年湖南省益阳市桃江县高一下学期期末数学试 题题 一、单选题一、单选题 1已知已知tan0且且cos0，则，则的终边在 的终边在( )( ) A第一象限第一象限 B第二象限第二象限 C第三象限第三象限 D第四象限第四象限 【答案】【答案】C 【解析】【解析】 根据三角三角函数的定义， 分别求出当tan0和cos0时所在的终边， 判断象限. 【详解】 当tan0时，在第一象限或是第三象限， 当cos0时，在第二象限，或是第三象限，或是在x轴的非正半轴， 综上可知应位于第三象限. 故选：C 【点睛】 本题考查三
2、角函数的定义，重点考查根据三角函数的正负，判断角终边所在的象限. 2 从编号为从编号为 150 的的 50 枚最新研制的某种型号的导弹中采用系统抽样的方法随机抽取枚最新研制的某种型号的导弹中采用系统抽样的方法随机抽取 5 枚来进行发射实验，则所选取枚来进行发射实验，则所选取 5 枚导弹的编号可能是（枚导弹的编号可能是（ ） A5，10，1520，25 B3，13，23，33，43 C1，2，3，4， ， 5 D2，4，6，1632 【答案】【答案】B 【解析】【解析】计算出抽样间隔，即可得出答案. 【详解】 从 50 枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取 5枚 采用系统抽样间隔应为 50 10
3、 5 只有 B项满足条件 故选：B 【点睛】 本题主要考查了系统抽样的应用，属于基础题. 3 22 sincos 1212 的值为（的值为（ ） 第 2 页 共 19 页 A 1 2 B 1 2 C 3 2 D 3 2 【答案】【答案】C 【解析】【解析】根据二倍角的余弦公式整理为特殊角的三角函数值求解. 【详解】 2222 3 sincoscossincos 1212121262 本题正确选项：C 【点睛】 本题考查二倍角余弦公式求解三角函数值，属于基础题. 4已知已知1a ， 2b，7ab，则，则a与与b的夹角为（的夹角为（ ） A30 B45 C60 D120 【答案】【答案】D 【解析
4、】【解析】先将ab rr 进行平方，可以求出a b 的值，然后利用cos , a b a b ab = 求出 夹角的余弦值，即可求出夹角. 【详解】 7ab, 2222 27ababaa bb , 1a b?- , 1 cos, 2 a b a b ab =- , a r 与b的夹角为120. 故选：D. 【点睛】 本题主要考查平面向量的数量积，正确使用数量积的定义运算，对于ab rr ，一般先平 方，进行求解. 5盒子中有标号为盒子中有标号为 1，2，3，4 的四个小球，这四个小球大小形状完全相同，首先从中的四个小球，这四个小球大小形状完全相同，首先从中 任取一个球，记下标号后放回，再任取一
5、个球，记下标号，则取到的两个标号之和大于任取一个球，记下标号后放回，再任取一个球，记下标号，则取到的两个标号之和大于 6 的概率为（的概率为（ ） 第 3 页 共 19 页 A 1 4 B 1 8 C 3 16 D 5 16 【答案】【答案】C 【解析】【解析】列举出所有的情况，根据古典概型的概率公式计算即可. 【详解】 记( , ) a b表示两次取出小球的编号，其中a为第一次的编号，b为第二次的编号 即(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,1),(2,3),(2,4)， (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4
6、)，共有 16 种 其中取到的两个标号之和大于 6 的为：(3,4),(4,3),(4,4)，共 3种 即取到的两个标号之和大于 6的概率为 3 16 P 故选：C 【点睛】 本题主要考查了古典概型概率公式的应用，属于基础题. 6从某中学甲、乙两班各随机抽取从某中学甲、乙两班各随机抽取10 名同学，测量他们的身高（单位： 名同学，测量他们的身高（单位：cm ） ，所） ，所 得数据用茎叶图表示如下，由此可估计甲、乙两班同学的身高情况，则下列结论正确的得数据用茎叶图表示如下，由此可估计甲、乙两班同学的身高情况，则下列结论正确的 是（是（ ） A甲班同学身高的方差较大甲班同学身高的方差较大 B甲班
7、同学身高的平均值较大甲班同学身高的平均值较大 C甲班同学身高的中位数较大甲班同学身高的中位数较大 D甲班同学身高在甲班同学身高在175cm 以上的人数以上的人数 较多较多 【答案】【答案】A 【解析】【解析】分析：结合茎叶图逐一考查所给的选项即可求得最终结果. 详解：逐一考查所给的选项： 观察茎叶图可知甲班同学数据波动大，则甲班同学身高的方差较大，A 选项正确； 甲班同学身高的平均值为： 181 182 170 172 178 163 165 166 157 158 169.2 10 ， 乙班同学身高的平均值为： 第 4 页 共 19 页 182 171 172 176 178 179 162
8、 164 167 159 171 10 ， 则乙班同学身高的平均值大，B 选项错误； 甲班同学身高的中位数为： 166 170 168 2 ， 乙班同学身高的中位数为： 171 172 171.5 2 ， 则乙班同学身高的中位数大，C选项错误； 甲班同学身高在175cm 以上的人数为 3 人， 乙班同学身高在175cm 以上的人数为 4 人， 则乙班同学身高在175cm 以上的人数多，D选项错误； 本题选择 A选项. 点睛：茎叶图的绘制和阅读需注意：(1)“叶”的位置只有一个数字，而“茎”的位置的数字 位数一般不需要统一；(2)重复出现的数据要重复记录，不能遗漏，特别是“叶”的位置的 数据 7
9、函数函数 cos 2 6 f xx 的单调递增区间为（的单调递增区间为（ ） A 7 , 1212 kkkZ B 7 2,2 66 kkkZ C 5 , 1212 kkkZ D 5 2,2 66 kkkZ 【答案】【答案】A 【解析】【解析】根据余弦函数的单调性进行求解即可 【详解】 解：由2 22 6 kxk 剟，kZ，得 7 1212 kx k 剟，kZ， 即函数的单调递增区间为 7 , 1212 kkkZ ， 故选：A 【点睛】 本题主要考查三角函数单调性的求解，结合余弦函数的单调性是解决本题的关键属于 基础题 8在在OMN中，中，1OM ，3ON ，2MN ，在，在OMN内任取一点，该
10、点到点内任取一点，该点到点 M的距离大于的距离大于 1 的概率为（的概率为（ ） 第 5 页 共 19 页 A 3 9 B 3 1 9 C 3 18 D 3 1 18 【答案】【答案】B 【解析】【解析】在OMN内任取一点，该点到点M的距离大于 1的区域是OMN中去掉扇 形MOC的剩余部分，由几何概型能求出该点到点M的距离大于 1 的概率 【详解】 解：以M为原点，以 1 为半径作圆，交MN于点C， 在OMN中，1OM ， 3ON ，2MN ， MONO，60OMC， 2 1 1 66 OMC S 扇形 ， 13 13 22 MON S 在OMN内任取一点， 该点到点M的距离大于 1的区域是O
11、MN中去掉扇形MOC的剩余部分， 由几何概型得该点到点M的距离大于 1 的概率为： 3 3 26 1 93 2 MONOMC MON SS P S 扇形 故选：B 【点睛】 本题考查概率的求法，考查几何概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 9已知已知 , 2 2 ， 1 cos 63 ，则，则sin（ ） A1 2 6 6 B 2 23 6 C 2 61 6 D 2 61 6 【答案】【答案】D 【解析】【解析】 结合同角三角函数基本关系计算sin 6 的值， 再利用两角差的正弦公式进 行求解即可. 【详解】 第 6 页 共 19 页 由, 2 2 可得 2 , 633 ， 又 11 c
12、oscos 6323 ，所以 2 , 633 所以 2 12 2 sin1 633 ， sinsinsincoscossin 666666 2 23112 61 32326 . 故选:D 【点睛】 本题主要考查两角和与差的正余弦公式与同角三角函数基本关系， 解题的关键是熟练运 用公式. 10已知向量已知向量 2 2cos, 3mx，1, sin2nx，设函数，设函数 f xm n，下列关于，下列关于 函数函数 f x的描述正确的是（的描述正确的是（ ） A关于直线关于直线 12 x 对称对称 B关于点关于点,0 3 对称对称 C相邻两条对称轴之间的距离为相邻两条对称轴之间的距离为 2 D在在,
13、0 3 上上是增函数是增函数 【答案】【答案】C 【解析】【解析】利用平面向量的数量积的运算和三角恒等变换化简函数 f(x)的解析式，结合三 角函数的图象与性质，逐项判定求解. 【详解】 因为向量 2 2cos, 3mx，1, sin2nx， 所以 2 2cos3sin2f xm nxx， cos23sin212cos 21 3 xxx ， 2cos11 6312 f ，故 A错误； 第 7 页 共 19 页 2 2cos11 333 f ，故 B错误； 因为T，所以 22 T ，故 C 正确； ,0 3 x ，, 3 3 2 +,0 3 x ，故 D 错误； 故选：C 【点睛】 本题主要考查
14、了平面向量数量积的运算，三角函数的图象与性质的应用，还考查了推理 与运算能力，属于中档题. 11函数函数cos2cos 2yxxxR的值域为（的值域为（ ） A 49 , 16 B 25 , 8 C 49 , 2 16 D 25 ,0 8 【答案】【答案】D 【解析】【解析】利用余弦的倍角公式， 将函数转化， 利用二次函数的图象和性质即可得到结论. 【详解】 2 cos2cos22coscos3yxxxx， 令costx，则1,1t ， 函数转化为 2 2 125 232 48 yttt 骣 琪=-=- 琪 桫 ， 1 4 t 时， min 25 8 y=-，1t 时， max 0y， 函数的
15、值域为 25 ,0 8 . 故选：D. 【点睛】 本题主要考查函数的值域的计算，利用二次函数的图象和性质是解决本题的关键，需要 用换元法进行转化. 12如图是由等边如图是由等边AIE和等边和等边KGC构成的六角星，图中构成的六角星，图中B， ，D，F，H，J， L均为三等分点，两个等边三角形的中心均为均为三等分点，两个等边三角形的中心均为O，若，若OAOLOC，则，则 的的 值为（值为（ ） 第 8 页 共 19 页 A 2 3 B 3 3 C 2 3 3 D1 【答案】【答案】D 【解析】【解析】以O为坐标原点，建立直角坐标系，设等边三角形的边长为2 3，得出点 , ,A L C的坐标，由向
16、量的运算可求得, 的值. 【详解】 如图，以O为坐标原点，建立直角坐标系，设等边三角形的边长为2 3， () () 3 0,2 ,1 ,3,1 3 ALC 骣 琪 - 琪 桫 ， () () 3 0,2 ,1 ,3,1 3 OAOLOC 骣 琪 = -= 琪 桫 ， OAOLOC, 第 9 页 共 19 页 () () 33 0,2,13,13 , 33 lmlm lm 骣骣 琪琪 =-+= -+ 琪琪 桫桫 ， 3 30 3 2 lm lm - += += ， 解得 31 , 22 lm=， 1lm-=. 故选：D. 【点睛】 本题考查向量的线性运算，建立直角坐标系是解决本题的关键，也是解决
17、向量问题的常 用方法，属于中档题. 二、填空题二、填空题 13已知向量已知向量3, 1a ， ,2bax，且，且a b ，则，则x_ 【答案】【答案】 8 3 【解析】【解析】先计算出b，再由 0a b 得出x的值. 【详解】 ( ,2)(3, 1)(3,1)bbaaxx 3(3) 1 ( 1)0a bx ，解得 8 3 x 故答案为： 8 3 【点睛】 本题主要考查了由向量垂直的坐标表示计算参数的值，属于基础题. 14若若 10 cos 410 ，则，则sin2_ 【答案】【答案】 4 5 【解析】【解析】由题意利用诱导公式、二倍角的余弦公式，求得结果 【详解】 解：若 10 cos() 4
18、10 ， 第 10 页 共 19 页 则 2 14 sin2cos(2 )2cos ()121 24105 ， 故答案为： 4 5 【点睛】 本题主要考查诱导公式、二倍角的余弦公式的应用，属于基础题 15在在ABC中，中， 2 2AB ，26AC ，G为为ABC的重心，则的重心，则 AG BC_ 【答案】【答案】6 【解析】【解析】根据三角形重心的性质转化为 1 3 AGABAC，以及BC ACAB ， 再求数量积. 【详解】 如图，点D是BC的中点， G为ABC的重心， 2211 3323 AGADABACABAC， BCACAB ， 所以 2211 33 AG BCABACACABACAB
19、 1 2686 3 故答案为：6 【点睛】 本题考查向量数量积，重心，重点考查转化与化归思想，计算能力，属于基础题型. 16已知函数已知函数 sincosf xxax的图像关于直线的图像关于直线 1 6 x 对称，当对称，当 3 0, 2 x 时，时， 关于关于x的方程的方程 0f xm恰有两个不同的实数解，则实数恰有两个不同的实数解，则实数m的取值范围为的取值范围为 _ 【答案】【答案】2, 13,2 【解析】【解析】由已知函数的对称性可求a，然后结合函数的图象把方程的解转化为函数图象 第 11 页 共 19 页 的交点，从而可求 【详解】 解： ( )sincosf xxax 的图象关于直
20、线 1 6 x 对称， 2 13 1 22 aa，解可得3a ，( )2sin() 3 f xx ， 当 3 0, 2 x时，关于x的方程( )0f xm恰有两个不同的实数解， 即y m 与( )yf x在 3 0, 2 x时有 2个交点， 结合函数的图象可知，21m 或32m 故答案为：2, 13,2 【点睛】 本题主要考查了正弦函数的性质的综合应用，属于中档题 三、解答题三、解答题 17已知角已知角的终边过点的终边过点 1,Am，且，且 5 sin0 5 m m （1）求非零实数）求非零实数m的值；的值； （2）当）当0m时，求时，求 sin 2cos 3 coscos 2 的值的值 【答
21、案】【答案】 （1）2m； （2） 1 3 【解析】【解析】 （1）由已知利用三角函数的定义即可求解 （2）由题可知m的值为 2，为第二象限角，利用三角函数的定义，诱导公式，同角 第 12 页 共 19 页 三角函数基本关系式即可计算求解 【详解】 解： （1）点A到原点的距离 2 1rm ， 2 5 sin 5 1 ym m r m ，( 0)m 解得2m （2）由题可知，m取 2，tan2= - sin 2cossincossincos 3cossincossin coscos 2 tan11 1tan3 【点睛】 本题考查任意角的三角函数的定义，考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三
22、角 函数化简求值中的应用，属于基本题 18假设关于某设备的使用年限假设关于某设备的使用年限x（年）和所支出的维修费用（年）和所支出的维修费用 y（万元） ，有如下的统 （万元） ，有如下的统 计资料：计资料： x（年） （年） 1 2 3 4 5 y（万元） （万元） 5 6 7 8 10 由资料可知由资料可知y对对x呈线性相关关系呈线性相关关系 （1）求）求y关于关于x的线性回归方程；的线性回归方程； （2）请估）请估计该设备使用年限为计该设备使用年限为 15 年时的维修费用年时的维修费用. 参考公式：线性回归方程参考公式：线性回归方程y bxa 的最小二乘法计算公式：的最小二乘法计算公式：
23、 1 2 2 1 n ii i n i i x ynxy b xnx ，a ybx ，参考数据：，参考数据： 5 1 1 5263 74 85 10120 ii i x y 【答案】【答案】 （1）1.23.6yx； （2）21.6万元 第 13 页 共 19 页 【解析】【解析】 （1）先求出年限 x 和维修费用 y 的平均值，即得到样本中心点，利用最小二乘 法得到线性回归方程的系数，根据样本中心点在线性回归直线上，得到 a值，即得线性 回归方程； （2）将15x 代入回归直线方程即可求得结果. 【详解】 （1） 12345 3 5 x ， 5678 10 7.2 5 y 5 1 120 i
24、i i x y ， 5 222222 1 1234555 i i x 2 5 945nx ，5 3 7.2108nxy 120108 1.2 5545 b ，7.2 1.2 33.6a y关于x的线性回归方程为1.23.6yx （2）在上述回归方程中，当15x 时得21.6y 该设备使用年限为 15 年时的维修费用大约为 21.6万元 【点睛】 本题考查回归直线方程的求解及其应用，其中认真审题，准确合理的运算是解决此类问 题的关键，考查运算能力，属于基础题. 19已知函数已知函数 sin0,0, 2 f xAxA 的部分图象如图所示的部分图象如图所示 （1）求函数）求函数 f x的解析式；的解
25、析式； （2）将函数）将函数 f x的图象向左平移的图象向左平移 4 个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变）得到函数倍（纵坐标不变）得到函数 g x的图象，求函数的图象，求函数 g x在区间在区间0,上的值域上的值域 【答案】【答案】 （1） 2sin 2 4 f xx ； （2）1, 2 第 14 页 共 19 页 【解析】【解析】 （1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，由五点法作图求出的 值，可得函数的解析式 （2）利用三角函数平移变换可求得到函数( )g x，由已知可求范围 5 , 444 x ， 利用正弦函数
26、的性质即可求解函数( )g x在区间0， 上的值域 【详解】 解： （1）由图可知， 73 2882 T ，T，2 3 22 82 k ，2 4 kkZ 2 ， 4 2 0sin1 42 fAA ， 2A 2sin 2 4 f xx （2）易知 2sin 4 g xx 当0,x时， 5 , 444 x max2g x， min1g x g x在区间0,上的值域为1, 2 【点睛】 本题主要考查由函数 sin()yAx 的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标 求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值还考查了正弦函数的图象性质， 属于基础题 20 世界各国越来越关注环境保护问题， 某检测点连续
27、世界各国越来越关注环境保护问题， 某检测点连续 100 天监视空气质量指数 （ 天监视空气质量指数 （AQI） ，） ， 将这将这 100 天的天的 AQI数据分为五组，各组对应的区间为数据分为五组，各组对应的区间为 0,50),50,100),100,150),150,200),200,250.并绘制出如图所示的不完整的频率 并绘制出如图所示的不完整的频率 分布直方图分布直方图. 第 15 页 共 19 页 （1）请将频率分布直方图补充完整；）请将频率分布直方图补充完整； （2）已知空气质量指）已知空气质量指数数 AQI在在0,50)内的空气质量等级为优，在内的空气质量等级为优，在50,10
28、0)内的空气内的空气 质量等级为良，分别求这质量等级为良，分别求这 100 天中空气质量等级为优与空气质量等级为良的天数；天中空气质量等级为优与空气质量等级为良的天数； （3）在（）在（2）的条件下，在空气质量等级为优和良的天数中，先按分层抽样的方法已经）的条件下，在空气质量等级为优和良的天数中，先按分层抽样的方法已经 选定了选定了 6 天，然后再从这天，然后再从这 6 天中任取两天，求这两天的空气质量等级相同的概率天中任取两天，求这两天的空气质量等级相同的概率. 【答案】【答案】 （1）直方图见解析； （2）40； （3） 7 15 . 【解析】【解析】（1） 先求出AQI在0，50)内的频
29、率， 从而AQI在0，50)内的0.005 频率 组距 ， 由此能把频率分布直方图补充完整 （2）这 100天中空气质量等级为优的天数为50 0.004 10020，空气质量等级为 良的天数为50 0.008 10040， （3）选定的 6天中有 2 天空气质量等级为优，有 4天为良分别记为 1 A， 2 A和 1 B， 2 B， 3 B， 4 B，记事件“从这 6 天中任取两天，这两天的空气质量等级相同”为M，利用 列举法能坟出这两天的空气质量等级相同的概率 【详解】 解: （1） 因为 AQI 在0,50)内的频率为1 500.0040.0080.0020.0010.25 所以 AQI 在
30、0,50)内的0.005 频率 组距 故频率分布直方图补充完整如图所示. 第 16 页 共 19 页 （2）这 100天中空气质量等级为优的天数为50 0.004 10020 空气质量等级为良的天数为50 0.008 10040 （3）由（2）可知，选定的 6天中有 2 天空气质量等级为优，有 4 天为良 分别记为 12 ,AA 和 1234 ,BBBB 记事件“从这 6 天中任取两天，这两天的空气质量等级相同”为 M， 则事件 M包含的基本事件有 12121314232434 ,A AB BB BB BB BB BB B 共有 7 个基本事件 而从 6 天中任取两天包含的基本事件有 1212
31、1314232434 ,A AB BB BB BB BB BB B 1121122213231424 ,A BA BA BA BA BA BA BA B 共有 15个基本事件， 从这 6天中任取两天，这两天的空气质量等级相同的概率 7 () 15 P M 【点睛】 本题考查频率分布直方图的画法、频数、概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知 识，考查运算求解能力，是基础题 21如图，四边形如图，四边形ABOC是边长为是边长为 1 的菱形，的菱形，120CAB， ，E为为OC中点中点 （1）求）求BC uuu r 和和BE； 第 17 页 共 19 页 （2）若点）若点M满足满足MEMB，问，问
32、BE BM 的值是否为定值？若是定值请求出这个值；的值是否为定值？若是定值请求出这个值； 若不是定值，说明理由若不是定值，说明理由 【答案】【答案】 （1）3BC ； 7 2 BE ； （2）是定值， 7 8 . 【解析】【解析】 （1）由 2 2 BCACAB， 2 21 2 BEBOBC ，结合数量积公式得出 BC uuu r 和BE； （2） 取BE的中点N， 连接MN， 由M E M B， 得出MNBE， 由B M B N N M ， 结合数量积公式计算BE BM ，即可得出定值. 【详解】 （1）BC ACAB 222 21 12 1 1 cos1203BCACABAB AC 3BC
33、 又 1 2 BEBOBC 2221137 2132 13 4424 BEBOBCBO BC 7 2 BE （2）取BE的中点N，连接MN MEMB，MNBE，且BM BNNM BE BMBEBNNMBE BNBE NM 2 11177 0 22248 BEBEBE 7 8 BE BM（为定值） 第 18 页 共 19 页 【点睛】 本题主要考查了利用定义计算数量积以及模长， 涉及了向量加减法的应用， 属于中档题. 22已知已知2sin 2 ,1 6 ax ， 2 11 ,sincos2 22 bxx ，函数，函数 f xa b （1）求）求 f x的最小正周期；的最小正周期； （2）求）求
34、f x在在10,10内的零点的个数；内的零点的个数； （3） 将） 将 f x的图像先向下平移的图像先向下平移 1 2 个单位， 再把横坐标变为原来的个单位， 再把横坐标变为原来的 2 倍， 纵坐标不变，倍， 纵坐标不变， 其中其中0，得到，得到 g x的图像，若的图像，若 g x在在0, 4 上恒满足上恒满足 4 g xg ，求，求所所 有可取的值有可取的值 【答案】【答案】 （1）； （2）13； （3） 8 0 3 或 * 8 8 3 kkN 【解析】【解析】 （1）利用向量的数量积以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，然后利 用周期公式求解即可 （2）令( )0f x ，求解三角函
35、数值，结合范围推出结果即可 （3）利用函数的图象变换化简函数的解析式，利用函数的最值列出不等式求解即可 【详解】 解： （1）因为2sin 2,1 6 ax ， 2 11 ,sincos2 22 bxx ，且 f xa b所 以 2 1311cos21 sin 2sincos2sin2cos2cos2 622222 x f xxxxxxx 第 19 页 共 19 页 3111 sin2cos2sin 2 22262 xxx f x的最小正周期 2 2 T . （2）令 0f x 得 1 sin 2 62 x ， 7 22 66 xk 或2 6 k 2 3 xk 或,10,10kkZ x ， 当
36、xk时，3k ，2，2，3，有 7 个值 当 2 3 xk 时，3k ，2，1，2，有 6 个值 即： f x在10,10内的零点的个数为 13 （3）依题意， sin0 6 g xx ， 4 g 是 g x在0, 4 上的最大值 当0 4 x 时， 6646 x ，下面分情况讨论： 当 462 ，即 8 0 3 时， g x在0, 4 上单调递增，符合题意 当 462 ，即 8 3 时，为了满足题意，必须保证1 4 g 20, 462 kkkZ * 8 8 3 kkN 综上：所有可取的值为 8 0 3 或 * 8 8 3 kkN 【点睛】 本题考查向量的数量积的应用，两角和与差的三角函数的应用，函数的零点以及函数的 最值的求法，考查三角函数的图象变换，属于中档题
