1、第 1 页 共 21 页 2019-2020 学年内蒙古赤峰市高一下学期期末联考（学年内蒙古赤峰市高一下学期期末联考（A 卷）数卷）数 学（理）试题学（理）试题 一、单选题一、单选题 1若集合若集合 lg1Ax yx， 1 ,1 2 x By yx ，则，则 R C AB（ ） A 1 0, 2 B 1 ,1 2 C0,1 D 【答案】答案】A 【解析】【解析】先利用对数函数的定义域求法和指数函数的值域的求法，化简集合 A，B，然 后利用补集和交集的运算求解. 【详解】 因为lg11Ax yxx x， 所以|1 R C Ax x， 又 11 ,10 22 x By yxyy ， 所以 1 |0
2、 2 R C ABxx， 故选：A 【点睛】 本题主要考查集合的基本运算以及对数函数的定义域的求法，指数函数的值域，还考查 了运算求解的能力，属于基础题. 2若若ab，则下列不等式成立的是（，则下列不等式成立的是（ ） ） A 11 22 ab B 33 ab Clnlnab D 11 ab 【答案】【答案】B 【解析】【解析】根据各选项中对应的基本函数 1 ( ) 2 x y 、 3 yx、 lnyx 、 1 y x 在各自定 义域上的单调性判断其正误即可 【详解】 第 2 页 共 21 页 由 1 ( ) 2 x y 在xR上单调递减，知 11 22 ab ，故 A 错误 由 3 yx在x
3、R上单调递增，知 33 ab，故 B 正确 由lnyx在0 x上单调递增，而已知ab，故lnlnab不一定成立，故 C 错误 由 1 y x 在 0 x和0 x上单调递减，而已知ab，故 11 ab 不一定成立，故 D错误 故选：B 【点睛】 本题考查了利用函数的单调性比较函数值的大小，需注意定义域的范围以及反函数在 0 x和0 x上单调递减，属于简单题 3下列函数中，既是偶函数又在下列函数中，既是偶函数又在() 0,+?上是单调递增的是（上是单调递增的是（ ） A cosyx B x ye Clnyx D 3 yx 【答案】【答案】C 【解析】【解析】结合选项和函数单调性奇偶性进行判断. 【
4、详解】 选项 D为奇函数，不合题意, D 不正确； 当0 x时， cosyx 是周期函数，不是单调函数，不合题意，A不正确； 当0 x时，= xx yee 是减函数，不合题意,B 不正确； 当0 x时，ln=lnyxx是增函数，符合题意,C 正确. 故选：C. 【点睛】 本题主要考查函数的性质，结合基本函数解析式的特征可求性质，属于基础题型. 4若等差数列若等差数列 n a的前的前n项和为项和为 n S，且满足，且满足 4 4a ， 4 10S ，则公差，则公差d （ ） A1 B1 C2 D2 【答案】【答案】A 【解析】【解析】根据题目条件得: 41+3 =4 aad， 41 4 3 4=
5、10 2 Sad ，进一步解出答案. 【详解】 4 4a ， 4 10S 41+3 =4 aad， 41 4 3 4=10 2 Sad ， 第 3 页 共 21 页 解得 1=1, 1ad . 故选：A. 【点睛】 本题考查数列的通项公式和求和公式的知识点，属于基础题型. 5函数函数 2 1 cos 1 x f xx e 图象的大致形状是（图象的大致形状是（ ） A B C D 【答案】【答案】B 【解析】【解析】利用奇偶性可排除 A、C；再由(1)f的正负可排除 D. 【详解】 21 e 1 coscos 1 e1 e x xx f xxx ， 1e cos() 1e x x fxx e1c
6、os e1 x x x ( )f x ，故 ( )f x为奇函数，排除选项 A、C；又 1e (1)cos10 1e f ，排除 D，选 B. 故选：B. 【点睛】 本题考查根据解析式选择图象问题， 在做这类题时， 一般要结合函数的奇偶性、 单调性、 对称性以及特殊点函数值来判断，是一道基础题. 6已知已知 1 e， 2 e是单位向量，若是单位向量，若 12 3437ee，则，则 1 e与与 2 e的夹角为（的夹角为（ ） A30 B60 C90 D120 【答案】【答案】D 【解析】【解析】根据 12 3437ee，两边平方，结合 1 e， 2 e是单位向量，得到 12 1 cos 2 e
7、e求解. 【详解】 第 4 页 共 21 页 12 3437ee 222 121122 34324+ 4=37eeee ee 1 e， 2 e是单位向量， 12 1 cos 2 e e 12 0,180 e e 12 120e e 故选：D 【点睛】 本题主要考查平面向量的数量积运算以及夹角的求法，还考查了运算求解的能力，属于 基础题. 7在在ABC中，中，a，b，c分别为内角分别为内角A， ，B，C所对的边，若所对的边，若3b ，60B ， 若若ABC仅有一个解，则仅有一个解，则a的取值范围是（的取值范围是（ ） A 0, 32 B 3 0, 2 C 3 0,2 2 D2 【答案】【答案】A
8、 【解析】【解析】根据3b ，60B ，由正弦定理得到 sin 2sin sin bA aA B ，然后作出函数 2sinyA的图象，将问题转化为y a 与2sinyA的图象只有一个交点求解. 【详解】 因为3b ，60B ， 由正弦定理得 sinsin ab AB ， 所以 sin 2sin sin bA aA B ， 因为0,120A，2sinyA的图象如图所示： 第 5 页 共 21 页 因为ABC仅有一个解， 所以y a 与2sinyA的图象只有一个交点， 所以03a或2a， 故选：A 【点睛】 本题主要考查正弦定理的应用以及三角函数的图象的应用， 还考查了数形结合的思想方 法，属于中
9、档题. 8已知已知 3 ,2 2 ， 4 cos 5 ，则，则 3 tan 4 （ ） A1 B 1 7 C7 D7 【答案】【答案】B 【解析】【解析】应用同角三角函数关系及两角差的正余弦公式展开目标式为 3sincos tan() 4sincos ，结合题设已知条件求得sin，即可求 3 tan() 4 的 值 【详解】 33 sin()coscos()sin 3sincos 44 tan() 33 4sincos cos()cossin()sin 44 3 ,2 2 ， 4 cos 5 3 sin 5 第 6 页 共 21 页 即 31 tan() 47 故选：B 【点睛】 本题考查了三
10、角函数，应用同角三角函数关系及两角差正余弦公式求三角函数值，首先 由同角函数关系将切化弦的形式，再由两角差正余弦公式展开，最后结合已知条件求函 数值 9设设m，n是不同的直线，是不同的直线， ，是不同的平面，有以下四个命题：是不同的平面，有以下四个命题： / / / / / / n m m n / m m 其中，真命题是（其中，真命题是（ ） A B C D 【答案】【答案】D 【解析】【解析】根据立体几何线面垂直和平行的公理和定理，逐个判定即可得解. 【详解】 对，垂直于同一个平面的两个平面位置关系可以是相交，故错， 对，平行于同一个平面的两个平面的是相互平行的，故正确， 对，若直线m在平面
11、内，则m不平行于，故错， 对，一个平面平行于另一个平面的垂线，则这两个平面垂直，故正确. 故选：D. 【点睛】 本题考查了线面平行和垂直关系，考查了线面平行和垂直关系的判定和性质，在解题过 程中注重各个判定的条件的完整性和准确性， 考查了公式定理的理解记忆以及空间想象 能力，本题属于中档题. 10设设S，A，B，C是球是球O表面上的四点，表面上的四点，SA平面 平面ABC，ABBC， 2SAAB ，2BC ，则球，则球O的表面积等于（的表面积等于（ ） A2 B4 C8 D6 【答案】【答案】C 【解析】【解析】把三棱锥补成长方体， 利用长方体的性质， 结合球的表面积公式进行求解即可. 第 7
12、 页 共 21 页 【详解】 因为S，A，B，C是球O表面上的四点， 因此可以把三棱锥SABC补成如下图所示的长方体SGFEABCD， 显然该长方体的三条棱长分别为： 22 2， ， 该长方体的对角线长为： 222 ( 2)( 2)22 2 ， 因此该长方体的外接球的半径为： 2 2 2 2 所以球O的表面积等于为： 2 4( 2)8. 故选：C 【点睛】 本题考查了多面体外接球的问题，考查了球的表面积公式，考查了数学运算能力. 11点点 ,1 6 P 是函数是函数 sin0, 2 f xxm 的图象的一个对称的图象的一个对称 中心，且点中心，且点P到该图象的对称轴的距离的最小值为到该图象的对
13、称轴的距离的最小值为 4 ，则（，则（ ） A f x的最小正周期是的最小正周期是2 Bm的值为的值为 2 C f x的初相为的初相为 6 D f x在在 5 ,0 12 上单调递增上单调递增 【答案】【答案】D 【解析】【解析】根据,1 6 P 是函数 sin0, 2 f xxm 的图象的一 个对称中心,得到1m， , 6 kkZ，然后再由点P到该图象的对称轴 第 8 页 共 21 页 的距离的最小值为 4 ，得到2，进而得到函数解析式，然后再逐项判断. 【详解】 因为,1 6 P 是函数 sin0, 2 f xxm 的图象的一个对称中 心, 所以1m， , 6 kkZ， 又因为点P到该图象
14、的对称轴的距离的最小值为 4 ， 所以 1 2 444 ， 所以2， 所以, 3 kkZ ， 又因为 2 ， 所以 3 ， sin 21 3 f xx ， 故 ABC错误， 又 5 ,0 12 x ，2, 32 3 x，所以 f x在 5 ,0 12 上单调递增，故 D 正 确， 故选：D 【点睛】 本题主要考查由三角函数的图象和性质，还考查数形结合的思想和运算求解的能力，属 于中档题. 12已知已知0 x， 0y 满足满足 22 280 x yxyyx，则，则2yx的最小值为（的最小值为（ ） A2 2 B4 C3 2 D2 【答案】【答案】C 【解析】【解析】由题意可得 18 2yx xy
15、 ，结合目标式即可构造出 第 9 页 共 21 页 2 18 (2 )(2 )()yxyx xy ，进而利用基本不等式求2yx的最小值 【详解】 由 22 280 x yxyyx知：(2)8xyxyyx，而0 x，0y 18 2yx xy ，则 2 181616 (2 )(2 )()1021018 yxyx yxyx xyxyxy 23 2yx 故选：C 【点睛】 本题考查了利用基本不等式求最值，由已知方程得到目标式的等价形式，应用等价代换 构造出基本不等式的形式求最值 二、填空题二、填空题 13若函数若函数 lg ,0 2 ,0 x x x f x x ，则，则 1 1000 ff _. 【
16、答案】【答案】 1 8 ； 【解析】【解析】根据分段函数 lg ,0 2 ,0 x x x f x x ，先求 1 1000 f，再求 1 1000 ff即 可. 【详解】 因为函数 lg ,0 2 ,0 x x x f x x ， 所以 11 lg3 10001000 f, 所以 3 11 32 10008 fff, 故答案为： 1 8 【点睛】 本题主要考查分段函数求函数值以及对数与指数运算，属于基础题. 第 10 页 共 21 页 14中国古代数学名著算法统宗中有如下问题：中国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“三百七十八里关，初行健步不为 三百七十八里关，初行健步不为 难，次日脚痛减一
17、半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思为：其意思为： 有一个人走有一个人走 378 里路， 第一天健步行走， 从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，里路， 第一天健步行走， 从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半， 走了走了 6 天后到达目的地，请问第天后到达目的地，请问第 5 天走了天走了_里路里路. 【答案】【答案】12 【解析】【解析】根据题意得到每天走的路程构成以 1 2 为公比的等比数列，然后利用 1 6 6 1 1 2 378 1 1 2 a S 求得首项，再利用通项公式求解. 【详解】
18、由题意得，每天走的路程构成以 1 a 为首项，以 1 2 为公比的等比数列， 所以 1 6 6 1 1 2 378 1 1 2 a S ， 解得 1 192a ， 所以 514 1 12 2 aa， 故答案为：12 【点睛】 本题主要考查等比数列的定义，通项公式和前 n项和公式，还考查了分析抽象运算求解 的能力，属于基础题. 15设经过设经过AOB的重心的重心G的直线与的直线与OA，OB分别交于 分别交于P，Q两点两点.若若OP mOA ， OQnOB，m，n R，则，则3mn的最小值的最小值_. 【答案】【答案】 42 3 3 ； 【解析】【解析】应用向量减法在几何中的应用有PG OGOP
19、，PQOQOP，结合三 点共线知PQPG，即可得 11 3 mn ，结合基本不等式求3mn的最小值即可 【详解】 第 11 页 共 21 页 设OA a ，OB b ，又G为AOB的重心 在AOB中， 211 ()() 323 OGOAOBab OP mOA ，OQnOB，有OP ma ，OQnb 11 () 33 PGOGOPm ab，PQOQOPnbma 又 P，Q，G三点共线，知存在实数，使得PQPG 1 3 1 3 mm n ，可得 11 3 mn ，m，n R 111131342 3 3(3)()(4)(42) 3333 nmnm mnmn mnmnmn ，当 且仅当 3mn nm
20、时等号成立 故答案为： 42 3 3 【点睛】 本题考查了向量线性运算及共线定理的应用，利用基本不等式求最值；首先根据向量减 法的三角形法则将相关线段以向量的形式表示它们之间的关系， 再由三点共线定理得到 方程组并得到相关参数的数量关系，最后结合基本不等式求最值 16如图，正三棱柱如图，正三棱柱 111 ABCABC，的各棱长都等于，的各棱长都等于 2，D在在 1 AC上， 上，E，F分别为分别为 11 AC， 1 BB的中点，的中点， 1 FDAC，有下述结论，有下述结论 ED 平面平面ACB； 二面角二面角FDEA的大小为的大小为90； 第 12 页 共 21 页 1 4 3 3 FDEC
21、 V 异面直线异面直线FE与与AB所成的角为所成的角为 6 其中正确结论的序号是其中正确结论的序号是_.（写出所有你认为正确（写出所有你认为正确的结论的序号）的结论的序号） 【答案】【答案】 【解析】【解析】连接AF、 1 FC可证D是 1 AC的中点，可证 1 /DE AA 即可证明ED 平面 ACB，可判断正确；连接 1 B E，可证 1 B E 平面 11 ACC A，由于 1 /FD B E，可得 FD 平面 11 ACC A，即可得平面FDE 平面ADE，二面角为90，可判断正确； 利用 11 1 3 F DECDEC VSFD 即可判断是否正确；连接BD，则/BD EF，求出ABD
22、 即可 【详解】 对于连接AF、 1 FC，则 1 5AFFC，即 1 AFC是等腰三角形， 因为 1 FDAC，所以D是 1 AC的中点，又因为E是 11 AC的中点，所以 1 /DE AA， 因为 1 AA 平面ACB，所以ED 平面ACB，故正确； 对于， 连接 1 B E， 则 1 B E 平面 11 ACC A， 由于 1 /FD B E， 可得FD 平面 11 ACC A， 即可得平面FDE 平面ADE，二面角FDEA的大小为90故正确 对于 11 1113 1 13 3326 F DECDEC VSFD ，故不正确 对于：连接BD，因为 1 /B E AB，所以 ABD即为异面直
23、线FE与AB所成的角， 在ABD中，2AB ，2BD ， 2AD 所以 22 2223 cos 2 2 24 ABD ，所以 6 ABD ，故不正确 第 13 页 共 21 页 故答案为： 【点睛】 本题只要考查了线面垂直的判断、二面角平面角的大小、三棱锥体积的计算、异面直线 所成的角，属于中档题. 三、解答题三、解答题 17 用用“五点法五点法”画函数画函数 cos10, 2 f xAx 在某一周期内的图在某一周期内的图 象时，列表并填入了部分数据，如下表：象时，列表并填入了部分数据，如下表： x 0 2 3 2 2 x 12 3 f x 4 1 2 4 （1）请将上表数据补充完整，并直接写
24、出函数）请将上表数据补充完整，并直接写出函数 f x的解析式为的解析式为_； （2）若将函数）若将函数 f x的图象上所有点的横坐标变为原来的的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函倍，纵坐标不变，得到函 数数 g x的图象，求当的图象，求当0,2x时，函数时，函数 g x的单调递增区间；的单调递增区间； （3） 若将函数） 若将函数 f x图象上的所有点向右平移图象上的所有点向右平移0 个单位长度， 得到个单位长度， 得到 yk x的的 图象，若图象，若 yk x图象的一个对称中心为图象的一个对称中心为,1 3 ，求，求的最小值的最小值. 【答案】【答案】 （1） 填表见解析
25、， 3cos 21 3 f xx ； （2） 单调递增区间为 25 , 33 ； （3） min 4 . 【解析】【解析】 （1）由已知条件可求得参数A、的值，可得出函数 yf x的解析式， 由此可完善表格； （2） 利用三角函数的图象变换可求得函数 yg x的解析式， 求得函数 yg x在R 上的单调递增区间，与区间0,2取交集可得结果； （3）求得函数 yk x的解析式，根据该函数图象的一个对称中心坐标可得出关于 第 14 页 共 21 页 的表达式，由此可求得的最小值. 【详解】 （1）由表格中的数据可得 122 3 cos12 3 fA ，解得 3 2 3 A ， 3cos 21 3
26、f xx ，用数据补全如下表： x 0 2 3 2 2 x 6 12 3 7 12 5 6 f x 4 1 2 1 4 （2）将函数 3cos 21 3 f xx 的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵 坐标不变，可得到函数 3cos1 3 g xx 的图象， 由22 3 kxkkZ ，得 4 22 33 kZkxk ， 所以，函数 yg x在R上的单调递增区间为 4 2,2 33 DkkkZ ， 25 0,2, 33 D ，所以，当0,2x时，函数 yg x的单调递增区间 为 25 , 33 ； （3）由已知，得 3cos 213cos 221 33 k xf xxx ， 因为函数 yk
27、x图象的一个对称中心为,1 3 ， 第 15 页 共 21 页 则 2 3cos213cos211 333 k ，可得cos20， 2 2 kkZ ，即 24 k kZ ， 0，当0k 时，取最小值 4 . 【点睛】 本题考查利用五点法求函数解析式，同时也考查了利用三角函数图象变换求函数解析 式、余弦型函数单调区间的求解以及利用余弦型函数的对称中心求参数的最值，考查计 算能力，属于中等题. 18在在ABC中，内角中，内角A、B、C所对的边分别是所对的边分别是a、 、b、c，且，且 6 sinsinsin 6 ACB，sin6sinBC . （1）求）求cosA的值；的值； （2）求）求cos
28、2 6 A 的值的值. 【答案】【答案】 （1） 6 4 ； （2） 153 8 . 【解析】【解析】 （1）.由 6 sinsinsin 6 ACB，sin6sinBC利用正弦定理得到 6 6 acb，6bc，则2ac，6bc，然后由余弦定理得求解. （2）由 6 cos 4 A ，得 10 sin 4 A，再利用倍角公式得到cos2 ,sin2 AA，然后利 用两角差的余弦公式求解. 【详解】 （1）因为 6 sinsinsin 6 ACB， 所以 6 6 acb， 又sin6sinBC， 第 16 页 共 21 页 所以6bc， 故2ac，6bc 由余弦定理得 222 646 cos 4
29、2 6 ccc A c c ， （2）.由 6 cos 4 A 得 10 sin 4 A， 所以 1 cos2 4 A ， 15 sin2 4 A 所以cos 2cos2 cossin2 sin 666 AAA ， 1315 1153 42428 【点睛】 本题主要考查正弦定理，余弦定理和两角和与差的三角函数即倍角公式的应用，还考查 了运算求解的能力，属于中档题. 19已知数列已知数列 n a的前的前n项和为项和为 n S，且满足，且满足 1 2a ， 2 1 22 n nn Sa ，n N . （1）求数列）求数列 n a的通项公式；的通项公式； （2）设）设 2n n n b a ，记数列
30、，记数列 1n n b b 前前n项和为项和为 n T，证明：，证明： 1 1 2 n T . 【答案】【答案】 （1）2n n an，n N； （2）证明见解析. 【解析】【解析】(1)由已知 n a与 n S的递推关系，利用 1 1 ,2 ,1 nn n SSn a S n 即可求 n a的通 项公式；(2)由题设可得 1 1 1 nn b b n n ，则可利用裂项求和的方式求 1n n b b 前n项 和为 n T，进而可证结论 【详解】 （1）由已知得，当2n时， 1 11 2n nnnnn aSSaa 1 1 22n nn aa ，两边同除 1 2n得 1 1 12 22 nn n
31、n aa n 第 17 页 共 21 页 令 2 n n n a c ，则 1 12 nn ccn ，又 3 112 22aSa 1 1c ， 2 8a ，即 2 2c 21 1cc也满足 1 12 nn ccn 故 n c是首项为 1，公差为 1的等差数列，即11 1 n cnn 2n n an，n N （2）由 1 知， 21 n n n b an ，则 1 111 11 n n b b n nnn 1 22 31 111111 11 22311 nnn Tbbb bb b nnn ， n N 11 0 12n ，即 1 1 2 n T得证 【点睛】 本题考查了数列，应用 n a与 n S
32、的递推关系求数列通项公式，并根据数列通项 1 1n n 的形式，利用裂项法求数列前 n 项和并证明不等式成立 202020 年某开发区一家汽车生产企业计划引进一批新能源汽车制造设备，通过市场年某开发区一家汽车生产企业计划引进一批新能源汽车制造设备，通过市场 分析，全年需投入固定成本分析，全年需投入固定成本 5000 万元，生产万元，生产x（百辆） ，需另投入成本（百辆） ，需另投入成本 C x万元，且万元，且 2 10200 ,050 10000 8019000,50 xxx C x xx x ，由市场调研知，每辆车售价，由市场调研知，每辆车售价 8 万元，且全年万元，且全年 内生产的车辆当年
33、能全部销售完内生产的车辆当年能全部销售完. （1）求出）求出 2020 年的利润年的利润 L x（万元）关于年产量（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式；（百辆）的函数关系式； （2）2020 年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润. 【答案】【答案】 （1） 2 106005000,050 10000 4000,50 xxx L x xx x ； （2）生产 30 百辆时，该企 业获得利润最大为 4000 万元. 【解析】【解析】 （1）直接由题意写出 2020 年的利润 L（x） （万元）关于年产量 x（百辆）的函 数关系
34、式； 第 18 页 共 21 页 （2）分段利用配方法及基本不等式求最值，取两段函数最大值的最大者得结论 【详解】 （1）由题意得， 2 106005000,050 10000 4000,50 xxx L x xx x （2）当050 x时， 2 10304000L xx ， max 304000L xL； 当50 x时， 10000 4000L xx x ， 10000 200 x x ，当且仅当100 x 时，等号成立， max 1003800L xL 2020 年生产 30百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为 4000万元. 【点睛】 本题考查函数模型的选择及应用，训练了利用配方法求
35、最值及利用基本不等式求最值， 属于中档题 21 已知四棱锥已知四棱锥PABCD， 底面， 底面ABCD是是60A ， 边长为， 边长为2a的菱形， 又的菱形， 又PD 底底 面面ABCD，且，且PDCD，M，N分别为棱分别为棱AD，PC的中点的中点. （1）求证：）求证：/DN平面平面PMB； （2）求点）求点N到平面到平面PMB的距离的距离. 【答案】【答案】 （1）证明见解析； （2） 2 5 5 a. 【解析】【解析】 （1）取PB中点为Q，分别连接NQ，MQ，构造平行四边形DNQM，从而 证明/DN MQ，最后可得出/DN平面PMB； （2）点N到平面PMB的距离等于点D到平面PMB的
36、距离，设点D到平面PMB的 距离为h，利用等体积法可得 P MBDD PMB VV ，然后根据体积公式列式计算即可得解. 【详解】 （1）如下图，取PB中点为Q，分别连接NQ，MQ， 第 19 页 共 21 页 M为AD的中点，底面ABCD是菱形， /MD BC， 1 2 MDBC， 又N，Q分别为PC，PB中点， /MD NQ，MDNQ，四边形DNQM是平行四边形， /DN MQ，MQ平面PMB，DN 平面PMB， /DN平面PMB； （2）点N到平面PMB的距离等于点D到平面PMB的距离，设点D到平面PMB的 距离为h， 底面ABCD是菱形，M为AD的中点， BMAD，又BMPD，BM 平
37、面PAD，BMPM， P MBDD PMB VV ， 11 2 33 MBDPMB SaSh ， 即 22 1313 25 3232 aaah，解之得 2 5 5 ha. 【点睛】 本题考查线面平行的证法，考查点到平面距离的求法，考查等体积法的应用，考查空间 想象能力和计算能力，属于常考题. 22设函数设函数 f x， g x的定义域分别为的定义域分别为f D ， g D ，且，且 fg DD .若对于任意若对于任意 f xD ， 都有都有 g xf x，则称，则称 g x为为 f x在在 g D 上的一个延拓函数上的一个延拓函数.给定函数给定函数 2 24 02f xxxx （1）若）若 h
38、 x是是 f x在给定在给定2,2上的延拓函数，且上的延拓函数，且 h x为奇函数，求为奇函数，求 h x的解的解 析式；析式； （2）设）设 g x为为 h x在在( ) 0,+?上的任意一个延拓函数，且上的任意一个延拓函数，且 g x y x 是是( ) 0,+?上上 的单调函数的单调函数 第 20 页 共 21 页 判断函数判断函数 g x y x 在在0,2上的单调性，并用单调性的定义给出证明；上的单调性，并用单调性的定义给出证明； 设设0s ，0t ，证明：，证明： g stg sg t . 【答案】【答案】 （1） 2 2 24,02 00 24, 20 xxx h xx xxx
39、，； （2）函数 g x y x 在0,2上是增 函数；证明见解析；证明见解析. 【解析】【解析】 （1）由 h x为奇函数，得 00h，再利用函数是奇函数求出 h x的解析 式； （2）先判断函数的单调性，再利用函数的单调性的定义证明；由题可得 g stg s sts ， 即 sgs ts t gs ， 同理可得： t g ststg t. 将上述两个不等式相加，并除以st，即得 g stg sg t. 【详解】 （1）当0 x时，由 h x为奇函数，得 00h. 当0,2x时， 2 24h xf xxx，当2,0 x 时，0,2x ， 2 24hxxx， 2 24h xhxxx 所以 h
40、x的解析式为 2 2 24,02 00 24, 20 xxx h xx xxx ， （2）函数 g x y x 在0,2上是增函数，其证明如下： g x是 f x在( ) 0,+?上的一个延拓函数， 当0,2x时， 2 24g xf xxx 4 2 g xf x H xx xxx ，任取 12 02xx，则 1212 12 4 1H xH xxx x x ， 12 02xx 12 0 xx， 12 40 x x， 12 12 4 10 xx x x 第 21 页 共 21 页 12 H xH x，函数 g x y x 在0,2上是增函数 由知， g x y x 是在( ) 0,+?上的单调递增函数 因为0s ，0t ，所以sts ，stt ，所以 g stg s sts ， 即 s g ststg s 同理可得： t g ststg t.将上述两个不等式相加， 并除以st，即得 g stg sg t. 【点睛】 本题主要考查函数的新定义，考查函数的奇偶性的应用和解析式的求法，考查函数的单 调性的证明和应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
