1、第 1 页 共 18 页 2019-2020 学年山西省运城市高一下学期调研测试数学试题学年山西省运城市高一下学期调研测试数学试题 一、单选题一、单选题 1函数函数 3tan 24 x f x ，xR的最小正周期为（的最小正周期为（ ） A 2 B C2 D4 【答案】【答案】C 【解析】【解析】找出的值，代入周期公式即可求出最小正周期 【详解】 解：( )3tan() 24 x f x ， 1 2 ， 2 1 2 T ， 则函数的最小正周期为2 故选：C 【点睛】 本题考查了三角函数的周期性及其求法，熟练掌握周期公式是解本题的关键 2点点 p从（ 从（1,0）出发，沿单位圆按逆时针方向运动）
2、出发，沿单位圆按逆时针方向运动 2 3 弧长到达弧长到达Q点，则点，则Q的坐标为的坐标为 （ ） A 13 (,) 22 B 31 (,) 22 C 13 (,) 22 D 3 1 (,) 22 【答案】【答案】A 【解析】【解析】利用弧长公式出QOx角的大小，然后利用三角函数的定义求出Q点的坐标. 【详解】 点P从1,0出发，沿单位圆逆时针方向运动 2 3 弧长到达Q点， 2 3 QOx ， 2213 cos, 3322 QsinQ ，故选 A. 【点睛】 第 2 页 共 18 页 本题主要考查弧长公式的应用以及三角函数的定义， 意在考查灵活运用所学知识解决问 题的能力，属于中档题. 3设正
3、项等比数列设正项等比数列 n a的前的前n项和为项和为 n S，若，若 2 4S ， 4 20S ，则公比，则公比q （ ） A3 B3 C2 D2 【答案】【答案】D 【解析】【解析】根据题意，分析可得 3442 aaSS，又由 2 3412 ()aaqaa，变形可得 q的值，即可得答案 【详解】 解：根据题意，正项等比数列 n a中， 212 4Saa， 又由 4 20S ，则 3442 20416aaSS ， 又由 2 3412 ()aaqaa，变形可得 2 16 4 4 q ， 又由数列 n a为正项等比数列，则2q =； 故选：D 【点睛】 本题考查等比数列的前n项和公式的应用，关键
4、是掌握等比数列前n项和公式的形式， 属于基础题 4在在ABC中，中，2 AB ，3BC ，60A，则角，则角C的值为（的值为（ ） A 6 B 3 4 C 4 D 3 4 或或 4 【答案】【答案】C 【解析】【解析】由正弦定理可求出 2 sin 2 C ，结合大边对大角可求出角C的值. 【详解】 解：由正弦定理可得 sinsin ABBC CA ，即 23 sinsin60C ，解得 2 sin 2 C ， 所以 3 4 C 或 4 ，由BCAB得AC，所以 4 C =， 故选:C. 【点睛】 本题考查了正弦定理的应用，属于基础题. 第 3 页 共 18 页 5已知已知 n a是公差为是公差
5、为 2 的等差数列，的等差数列， n S为为 n a的前的前n项和若项和若 2 a， 5 a， 17 a成等比成等比 数列，则数列，则 7 S （ （ ） A 7 3 B42 C49 D7 【答案】【答案】B 【解析】【解析】由 2 a， 5 a， 17 a成等比数列，可得 2 5217 aaa，再利用等差数列的通项公式 化简可得 1 0a ，再利用等差数列前n项和公式即可得 7 S. 【详解】 因为 2 a， 5 a， 17 a成等比数列， 所以 2 5217 aaa， 又 n a是公差为 2的等差数列， 所以 2 111 (4 )()(16 )adad ad 即 2 111 (8)(2)(
6、32)aaa， 即 11 1634aa ，可得： 1 0a ， 所以 71 76 7704242 2 Sad ， 故选：B 【点睛】 本题主要考查了等比中项的性质，等差数列的通项公式和前n项和公式，属于基础题. 6如图是函数如图是函数 sin0,0, 2 f xAxA 在一个周期内的图象，则在一个周期内的图象，则 其解析式是（其解析式是（ ） A 3sin 3 f xx B 3sin 6 f xx 第 4 页 共 18 页 C 3sin 2 3 f xx D 3sin 2 3 f xx 【答案】【答案】D 【解析】【解析】根据图象得出A的值以及函数 yf x的最小正周期，利用周期公式可求出 的
7、值，再将点,0 6 的坐标，代入函数 yf x的解析式，结合的取值范围可 求得的值. 【详解】 由图象可得3A，函数 yf x的最小正周期为 5 66 T ， 2 2 T ， 将点,0 6 的坐标代入函数 yf x的解析式，且函数 yf x在 6 x 附近 递增， 所以，sin20 6 ，则2 3 kkZ ，得2 3 kkZ ， 22 ，所以，当0k 时， 3 ，因此， 3sin 2 3 f xx . 故选：D. 【点睛】 本题考查利用图象求正弦型函数的解析式，考查计算能力，属于中等题. 7如图，在如图，在ABC中，中， 3 2 ACAD， 3PDBP ，若，若APABAC，则，则 的值为（的
8、值为（ ） A 8 9 B 3 4 C 11 12 D 7 9 【答案】【答案】C 【解析】【解析】根据向量的基本定理结合向量加法的三角形法则分别进行分解即可 【详解】 第 5 页 共 18 页 解：由图可得 1131 () 4444 APABBPABBDABADABABAD 31231 44346 ABACABAC， 所以 3 4 ， 1 6 ， 则 3111 4612 ， 故选：C 【点睛】 本题主要考查平面向量基本定理的应用， 根据向量的和差运算将向量进行分解是解决本 题的关键，属于中档题 8在在ABC中，中， 4 ACB ，点，点D在线段在线段BC上，上，212ABBD，10AD， 则
9、则AC （ ） A10 2 3 B 20 2 3 C16 7 3 D 8 7 3 【答案】【答案】C 【解析】【解析】在ABD中，利用余弦定理求出cosB，进而求出sinB，然后在ABC中， 利用正弦定理可求得AC的值. 【详解】 如下图所示： 在ABD中，由余弦定理可得 222 5 cos 29 ABBDAD B AB BD ， 2 2 14 sin1 cos 9 BB， 在ABC中，由正弦定理得 sinsin ABAC CB ，可得 第 6 页 共 18 页 2 14 12 sin16 7 9 sin32 2 ABB AC C . 故选：C. 【点睛】 本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角
10、形，考查计算能力，属于基础题. 9若变量若变量x，y满足约束条件满足约束条件 0 0 340 xy xy xy ，则，则32xy的最大值是（的最大值是（ ） A10 B0 C5 D6 【答案】【答案】A 【解析】【解析】 首先根据题意画出不等式组表示的可行域， 再根据z的几何意义即可得到答案. 【详解】 不等式组表示的可行域如图所示： 联立 0 340 xy xy ，解得 2 2 x y ，2, 2A. 令32zxy，得 3 22 z yx，z表示直线 3 22 z yx的y轴截距2倍. 当直线 3 22 z yx过2, 2A时，z取得最大值. max 6410z. 故选：A 第 7 页 共
11、18 页 【点睛】 本题主要考查线性规划问题，根据题意画出可行域为解题的关键，属于简单题. 10若若 sin3cosAB ab ，且，且 coscoscos 2 c aBbAC，则，则ABC是（是（ ） A等边三角形等边三角形 B等腰三角形等腰三角形 C直角或等腰三角形直角或等腰三角形 D等腰直角三角等腰直角三角 形形 【答案】【答案】A 【解析【解析】先由正弦定理及 sin3cosAB ab 得到 3 B ，再由正弦定理及 coscoscos 2 c aBbAC得到 3 C ，即可得到答案. 【详解】 若 sin3cosAB ab ，由正弦定理得 sin3cos sinsin AB AB ，
12、即tan3B 又0B， 3 B ， 由正弦定理及coscoscos 2 c aBbAC，得 sin sincoscoscoscos 2 C ABBAC，即 sin sin()cos 2 C ABC， 又ABC，所以sin()sinABC，即 1 cos 2 C ， 又0C， 3 C 所以ABC是等边三角形 故选：A. 【点睛】 本题主要考利用正弦定理查解三角形，根据已知把边化成角，注意角的范围. 11 设等差数列设等差数列 n a满足：满足： 1 3a ， 公差， 公差0,10d， 其前， 其前n项和为项和为 n S 若数列 若数列 1 n S 也是等差数列，则也是等差数列，则 5 1 n n
13、 S a 的最小值为（的最小值为（ ） A3 B2 C5 D6 【答案】【答案】B 【解析】【解析】由等差数列前n项和可得 2 3 22 n dd nnS ，从而得 第 8 页 共 18 页 123 3,6,39SSd Sd， 有等差中项的性质可得 213 2111SSS 进而可求出公差， 结合基本不等式 即可求出 5 1 n n S a 的最小值. 【详解】 解：由题意知， 2 1 1 3 222 n S n ndd a ndnn ，则 123 3,6,39SSd Sd， 因为1 n S 是等差数列，所以 213 2111SSS ，即 2 72310dd ，两边平方整理得144 310dd，
14、平方整理得， 2 20360dd，解得2d 或18，因为 0,10d，所以2d ， 所以 1 121 n aandn， 2 2 n Snn，所以 2 525 122 n n Snn an 2 141212 22 212121 nnn nnn ，当且仅当 12 21 n n ， 即1n 时等号成立.故 5 1 n n S a 的最小值为 2， 故选:B. 【点睛】 本题考查了等差数列前n项和公式，考查了等差中项的应用，考查了等差数列的通项公 式，考查了基本不等式.本题的关键是求出公差. 12关于函数关于函数 2sin 0,0f xx，2 8 f ，0 2 f ， 且且 f x在在0,上单调，有下
15、列命题：上单调，有下列命题： （1） yf x的图象向右平移的图象向右平移个单位后关于个单位后关于y轴对称轴对称 （2） 03f= （3） yf x的图象关于点的图象关于点 3 ,0 4 对对称称 第 9 页 共 18 页 （4） yf x在在, 2 p p 轾 -犏 犏 臌 上单调递增上单调递增 其中正确的命题有（其中正确的命题有（ ）个）个 A1 B2 C3 D4 【答案】【答案】B 【解析】【解析】先根据条件确定 f x解析式，再根据图象变换以及正弦函数性质逐一判断选 择. 【详解】 2 8 f ，0 2 f 22sin,2sin0 8822 ff 1 (),2 284 kkZk 或 1
16、1 3 2() 4 kkZ 1 (8) 33 kk 或 1 1 (8) ,( ,) 3 kk k kZ 0 3 或 2 3 2 ,2(), 3 kkZ或 4 2(), 3 kkZ 因为 f x在0,上单调，所以 2 002 2 T 因此 4 3 或 2 3 ， 4 2sin 33 f xx （验证舍去） 或 22 2sin 33 f xx yf x的图象向右平移个单位得 222 2sin()2sin 333 f xxx ， 不关于y轴对称， （1）错； 2 02sin3 3 f ， （2）对； 3232 2sin1 4343 f ， （3）错； 当, 2 x 时，2 2 0, 333 x ，
17、所以 yf x在, 2 p p 轾 -犏 犏 臌 上单调递增， （4） 对； 故选：B 【点睛】 第 10 页 共 18 页 本题考查求三角函数解析式、三角函数图象与性质， 考查综合分析求解能力， 属中档题. 二、填空题二、填空题 13已知已知2a ，3b r ，且，且 3a b ，则，则a与与b夹角为夹角为_ 【答案】【答案】 3 【解析】【解析】利用平面向量数量积的定义可求得a与b夹角的余弦值，结合夹角的取值范围 可求得结果. 【详解】 设a与b夹角为，则 31 cos 2 32 a b a b ，0Q，因此， 3 . 故答案为： 3 . 【点睛】 本题考查利用平面向量数量积的定义求向量的
18、夹角，考查计算能力，属于基础题. 14已知已知 1 1a ，且，且 1 21 nn aan ，则，则 60 a_ 【答案】【答案】58 【解析】【解析】由递推公式可得 n a中偶数项组成等差数列，结合等差数列的通项公式可求 出 2 22, k akkN ，进而可求出 60 a. 【详解】 由题意知，当2n时， 21 21121 nn aann ， 所以 2 2 nn aa ，则 n a中偶数项组成等差数列，由 21 210aa 得， 2 02122, k akkkN，当30k 时， 60 58a. 故答案为:58. 【点睛】 本题考查了由递推公式求数列中的项，考查了等差数列的通项公式，属于基础
19、题. 15对任意的对任意的 0, 2 ，不等式，不等式 22 14 21 sincos x 恒成立，则实数恒成立，则实数x的取值范的取值范 围是围是_ 【答案】【答案】,5 第 11 页 共 18 页 【解析】【解析】首先利用基本不等式求出 22 14 sincos 的最小值为9，再根据题意得到 21 9x ，解不等式即可得到答案。 【详解】 因为0, 2 ， 所以 22 2222 1414 sincos sincossincos 22 22 4sincos 552 49 cossin ， 当且仅当 22 22 4sincos cossin ，即 2 tan 2 时，取等号。 又因为 22 1
20、4 21 sincos x 恒成立， 所以21 9x ，即5x。 故答案为：,5 【点睛】 本题主要考查基本不等式求最值，同时考查不等式恒成立问题，属于中档题。 16已知已知ABC的重心为的重心为G，内角，内角A、B、C的对边分别是 的对边分别是a，b，c，且满足：，且满足： 3 sinsinsin0 3 A GAB GBC GC，则，则A _ 【答案】【答案】 6 【解析】【解析】首先根据正弦定理角化边公式得到 3 0 3 a GAb GBc GC ，又根据 ABC的重心为G得到 33 0 33 acGAbcGB ，从而得到 3 3 ac， 3 3 bc，再利用余弦定理即可得到答案. 【详解
21、】 因为 3 sinsinsin0 3 A GAB GBC GC， 根据正弦定理得： 3 0 3 a GAb GBc GC ， 第 12 页 共 18 页 因为ABC的重心为G，所以GA GB GC ， 所以 3 0 3 a GAb GBc GAGB ， 33 0 33 acGAbcGB ， 所以 3 0 3 ac， 3 0 3 bc，即 3 3 ac， 3 3 bc . 所以 222 222 2 11 3 33 cos 223 2 3 ccc bca A bc c . 又因为0A，所以 6 A . 故答案为： 6 【点睛】 本题主要考查正弦定理的角化边公式和余弦定理解三角形，同时考查了向量的
22、线性运 算，属于中档题. 三、解答题三、解答题 17已知函数已知函数 2 294f xxx （1）求不等式）求不等式 0f x 的解集；的解集； （2）当）当0,x时，求函数时，求函数 4f x y x 的最大值，以及的最大值，以及y取得最大值时取得最大值时x的值的值 【答案】【答案】 （1） 1 4 2 xx ； （2）2x时，y取得最大值为 1 【解析】【解析】 （1）结合二次方程与二次不等式的关系及二次不等式的求法即可求解， （2）化简 ( )48 29 f x yx xx ，然后结合基本不等式即可求解 【详解】 （1）由题意得 2 2940 xx， 因为方程 2 2940 xx有两个不
23、等实根 1 1 2 x ， 2 4x ， 又二次函数 2 ( )294f xxx的图象开口向下， 所以不等式( )0f x 的解集为 1 |4 2 xx 第 13 页 共 18 页 （2） ( )48 29 f x yx xx ， (0,)x， 88 22 28xx xx ， 8 (2)9891yx x ， 当且仅当 8 2x x ，即2x时取等号 综上，2x时，函数 ( )4f x y x 的最大值为 1 【点睛】 本题主要考查了一元二次不等式的求解及利用基本不等式求解最值，属于基础试题 18已知已知1,cosax， 1 ,sin 3 bx ，0,x . （1）若）若 /a b rr ，求，
24、求 sincos cossin xx xx 的值；的值； （2）若）若ab，求，求cossinxx的值的值 【答案】【答案】 （1）2； （2） 15 3 【解析】【解析】 （1）由 /a b rr 可求得 1 tan 3 x ，再利用弦化切思想可求得 sincos cossin xx xx 的值； （2）由ab可得出 1 sincos 3 xx ，由0,x可得出cossin0 xx，利用同 角三角函数的平方关系求出 2 cossinxx的值，进而可求得cossinxx的值 【详解】 （1）1,cosax， 1 ,sin 3 bx ，且 /ab， 1 sincos 3 xx， 1 tan 3
25、x， 因此， sincostan1 2 cossin1tan xxx xxx ； （2）ab， 1 sincos0 3 xx， 1 sin cos 3 xx ， 0,x，则sin0 x，cos0 x，所以，cossin0 xx， 25 cossin1 2sin cos 3 xxxx ，因此， 15 cossin 3 xx . 【点睛】 本题考查正、余弦齐次式的计算，同时也考查了同角三角函数平方关系以及平面向量共 线的坐标表示以及向量垂直的坐标表示的应用，考查计算能力，属于基础题. 第 14 页 共 18 页 19已知等比数列已知等比数列 n a的各项均为正数，且的各项均为正数，且 13 161
26、aa， 2 154 16a aa （）求数列）求数列 n a的通项公式；的通项公式； （）设）设 2 log nn ba，求数列，求数列 1 1 nn b b 的前的前n项和项和 n T 【答案】【答案】 （1） 21 1 2 n n a ； （2） 21 n n T n 【解析】【解析】（） 设数列 n a的公比为(0)q q ， 由 2 1 54 16a aa求解q， 代入 13 161aa 求得首项，则数列 n a的通项公式可求； （）把数列 n a的通项公式代入 2 log nn ba，再由裂项相消法求数列 1 1 nn b b 的前n 项和 n T 【详解】 （）设数列 n a的公比
27、为(0)q q ， 由 2 154 16a aa，得 22 34 16aa， 2 1 16 q ，解得 1 (0) 4 qq 又 2 1311 16161aaaaq， 1 1 2 a 则 11 1 21 111 ( ) 242 nn n n aa q ； （） 22 21 1 loglog(21) 2 nn n ban 1 11111 () (21)(21)2 2121 nn b bnnnn 1 22 31 111 n nn T bbb bb b 11111111 (1)(1) 2335212122121 n nnnn 【点睛】 本题考查等比数列通项公式的求法，训练了裂项相消法求数列的前n项和
28、，是中档题 20在数列在数列 n a中中 1 1a ，且，且 1 1 1 22 n n n a anN （1）求证：数列）求证：数列2 n n a 为等差数列；为等差数列； （2）求数列）求数列 n a的前的前n项和项和 n S 第 15 页 共 18 页 【答案】【答案】 （1）证明见解析； （2） 3 3 2 n n n S 【解析】【解析】 （1）本题首先可根据题意得出 1 1 221 nn nn aa ，然后根据等差数列的定义 即可证得数列2 n n a为等差数列； （2）本题首先可根据（1）得出 1 1 2 n n an ，然后写出 n S以及 1 2 n S，最后根据 错位相减法以
29、及等比数列前n项和公式即可得出结果. 【详解】 （1）因为 1 1 221 nn nn aa ，所以 1 1 221 nn nn aa ， 因为 1 1a ，所以数列2n n a是以 2为首项、1为公差的等差数列. （2）因为数列2 n n a是以 2为首项、1 为公差的等差数列， 所以2211 n n ann ， 1 1 2 n n an ， 23 1111 2341 2222 n n Sn ， 2341 11111 2341 22222 n n Sn ， 则 231 111111 11 222222 nn nnn SSSn ， 1 1 1 11 1 13342 11 1 222 1 2 n
30、 n n n n ， 故 3 3 2 n n n S . 【点睛】 本题考查等差数列的定义以及错位相减法求和，考查等比数列前n项和公式的应用，若 数列满足从第二项开始每一项与它前一项的差等于同一个常数，则数列是等差数列，考 查计算能力，考查转化与化归思想，是中档题. 21 在锐角三角形在锐角三角形ABC中， 角中， 角A、B、C所对的边分别为所对的边分别为a， ，b，c， 已知， 已知3abc， 2 2sin3sinsinCAB 第 16 页 共 18 页 （1）求角）求角C的大小；的大小； （2）求）求sin2sin2AB的取值范围的取值范围 【答案】【答案】 （1） 3 C ； （2） 3
31、 , 3 2 【解析】【解析】 （1）由正弦定理及 2 23cab得到 2 3 2 ab c ，再由余弦定理及 3abc 可 得到 3 C ； （2）由 4 22 3 BA 找到B A、的关系，结合 4 sin2sin2sin2sin2 3 ABAA 可得到答案. 【详解】 解： （1）由正弦定理得 2 23cab， 2 3 2 ab c ， 3abc 根据余弦定理得： 2222 221 cos 222 abccab C abab ， 又因为0C， 3 C （2）因为 3 C ， 所以 4 22 3 BA ， 4 sin2sin2sin2sin2 3 ABAA 33 sin2cos23sin
32、2 226 AAA 因为三角形ABC为锐角三角形，且 3 C ， 所以 62 A 则 5 2 666 A ， 于是： 3 3sin 23 26 A ，即sin2sin2AB的取值范围为 3 , 3 2 【点睛】 第 17 页 共 18 页 本题主要考查正弦定理、 余弦定理解三角形，求sin2sin2AB取值范围时转化成一个 角再去求. 22已知已知 2sin cos2 3coscos 44 f xxxxx （1）求函数）求函数 f x的单调递减区间；的单调递减区间； （2）若关于）若关于x的函数的函数 2 2sin2g xf xkx在区间在区间, 12 2 上有唯一零点，上有唯一零点， 求实数
33、求实数k的取值范围的取值范围 【答案】【答案】 （1） 7 , 1212 kkkZ ； （2） 31 44 kk 或 1 2 k 【解析】【解析】 （1）直接利用三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出结果 （2）利用函数的定义域求出函数的值域，进一步利用函数的零点和方程的根的关系求 出参数的取值范围 【详解】 解： （1） 2sin cos2 3coscos 44 f xxxxx sin23cos22sin 2 3 xxx 令 3 222 232 kxk 剟，kZ，解得 7 1212 kxk 剟，kZ， f x的单调递减区间 7 , 1212 kkkZ （2）由（1）知，函数 2si
34、n 2 3 f xx g x在 , 12 2 有零点等价于 2sin2f xkx在, 12 2 有唯一根， 可得2sin 2sin2 3 kxx 13 sin2cos2cos 2 226 xxx 设 cos 2 6 h xx ，, 12 2 x 第 18 页 共 18 页 则 7 2, 636 x 根据函数 h x在, 12 2 x 上的图象， 2yk与 yh x有唯一交点， 实数k应满足 31 2 22 k或21k 31 44 k或 1 2 k 故实数k的取值范围 31 | 44 kk 或 1 2 k 【点睛】 本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，函数的零点 和方程的关系，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题
