1、高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 1 - 2019-2020 学年北京市朝阳区高一第二学期期末数学试卷学年北京市朝阳区高一第二学期期末数学试卷 一一 选择题（共选择题（共 10 小题）小题）. 1. 2 cos 3 （ ） A. 1 2 B. 1 2 C. 3 2 D. 3 2 【答案】A 【解析】 【分析】 由诱导公式可得 2 cos 3 的值. 详解】解： 21 coscoscos 3332 . 故选：A. 【点睛】本题主要考查诱导公式及特殊角的三角函数值，考查基本的概念与知识，属于基础 题. 2. 已知复数2zi，则z的共轭复数z等于（ ） A. 0 B. 2i
2、C. 2i D. 4- 【答案】C 【解析】 【分析】 由共轭复数的概念可得答案. 【详解】解：由复数2zi，则z的共轭复数 2zi ； 故选：C. 【点睛】本题主要考查共轭复数的概念，属于基础题型. 3. 在ABC中，2AB ，3BC ，10AC ，则cosB（ ） A. 10 8 B. 1 4 C. 10 4 D. 1 2 【答案】B 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 2 - 【解析】 【分析】 由余弦定理得推论可得cosB的值. 【详解】在ABC中，由题意知：3,10,2abc 222 94 101 cos 22 3 24 acb B ac ， 故选：B 【点睛】
3、本题考查了余弦定理得推理，属于基础题. 4. 下列正确的命题的序号是（ ） 平行于同一条直线的两条直线平行； 平行于同一条直线的两个平面平行； 垂直于同一个平面的两条直线平行； 垂直于同一个平面的两个平面垂直. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由公理 4 即可判断，平行于同一条直线的两个平面平行或相交即可判断，由线面垂直的 性质定理即可判断，垂直于同一个平面的两个平面可能相交或平行即可判断 【详解】对于：由公理 4 可得平行于同一条直线的两条直线平行，故正确； 对于：平行于同一条直线的两个平面平行或相交，故错误； 对于：由线面垂直的性质定理可得，垂直于同一个平面的两条直
4、线平行，故正确； 对于：垂直于同一个平面的两个平面可能相交或平行，比如正方体的相对的两个底面就与 侧面垂直，但它们平行，故错误. 故选：D 【点睛】本题主要考查了线面、线线的位置关系，属于基础题. 5. 如图，在正方形ABCD中，E是AB边的中点，设AD a ，AB b ，则DE uuu r （ ） 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 3 - A. 1 2 ab B. 1 2 ab C. 1 2 ab D. 1 2 ab 【答案】A 【解析】 【分析】 利用平面向量的加法法则可得出DE关于a、b的表达式. 【详解】因为在正方形ABCD中，E是AB的中点， 设AD a ，A
5、B b ，则 11 22 DEDAAEADABab . 故选：A. 【点睛】本题考查平面向量的基底表示，考查了平面向量加法法则的应用，考查计算能力， 属于基础题. 6. 如图记录了某校高一年级 6 月第一周星期一至星期五参加乒乓球训练的学生人数.通过图中 的数据计算这五天参加乒乓球训练的学生的平均数和中位数后，教练发现图中星期五的数据 有误， 实际有 21 人参加训练.则实际的平均数和中位数与由图中数据星期得到的平均数和中位 数相比，下列描述正确的是（ ） A. 平均数增加 1，中位数没有变化 B. 平均数增加 1，中位数有变化 C. 平均数增加 5，中位数没有变化 高考资源网（） 您身边的高
6、考专家 版权所有高考资源网 - 4 - D. 平均数增加 5，中位数有变化 【答案】B 【解析】 【分析】 先求出平均数应增加1，再求出中位数有变化，即得解. 【详解】实际星期五的数据为 21 人， 比原来星期五的数据多了21 165人， 平均数应增加 5 1 5 . 原来从星期一至星期五的数据分别为 20，26，16，22，16.按从小到大的顺序排列后，原来的 中位数是 20， 实际从星期一至星期五的数据分别为 20，26，16，22，21.按从小到大的顺序排列后，实际的 中位数是 21. 所以中位数有变化. 故选：B. 【点睛】本题主要考查平均数和中位数的计算，意在考查学生对这些知识的理解
7、掌握水平. 7. 如图，在边长为 1 的菱形ABCD中，60DAB，则-BA BC （ ） A. 3 2 B. 1 2 C. 1 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】 求出 2 3BABC，即得解. 【详解】根据题意1BABC，,120BA BC ， 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 5 - 2 221 21 12 1 13 2 BABCBABCBA BC ， 3BABC. 故选：D. 【点睛】本题主要考查平面向量的模和数量积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握 水平. 8. 如图，在四棱锥P ABCD中，PA 底面ABCD，底面ABCD是边长为 1 的正方形，
8、 1PA ，则侧面PCD与底面ABCD所成的二面角的大小是（ ） A. 30 B. 45 C. 60 D. 90 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意可推出CDAD，CDPD，可知PDA为侧面PCD与底面ABCD所成的二面 角的平面角，由1PAAD可得答案. 【详解】解：PA 底面ABCD，CD 平面ABCD，CDPA， 又底面ABCD是正方形，CDAD， 而PAADA，CD平面PAD，得CDPD， 可知PDA为侧面PCD与底面ABCD所成的二面角的平面角. 在Rt PADV中，由1PAAD，可得45PDA. 即侧面PAD与底面ABCD所成的二面角的大小是45. 故选：B. 【点睛】本题主要
9、考查二面角的概念与求法，考查学生的直观想象能力与论证推理的能力， 求出PDA为侧面PCD与底面ABCD所成的二面角的平面角是解题的关键，属于基础题. 9. 已知平面向量a，b满足2a ， 1b ，则“a b与2ab互相垂直”是“ab”的（ ） 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 6 - A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】 由ab与 2ab 互相垂直可得 20abab，进而得 2a b ，即可判断. 【详解】ab与 2ab 互相垂直， 20abab， 22 20aba b ， 2a
10、b ， 故“a b与2ab互相垂直”是“ab ”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 【点睛】本题考查充分条件和必要条件的判断，涉及到向量垂直的转化，属于基础题. 10. 连接空间几何体上的某两点的直线，如果把该几何体绕此直线旋转角0360， 使该几何体与自身重合，那么称这条直线为该几何体的旋转轴.如图，八面体的每一个面都是 正三角形，并且 4 个顶点A，B，C，D在同一平面内.则这个八面体的旋转轴共有（ ） A. 7 条 B. 9 条 C. 13 条 D. 14 条 【答案】C 【解析】 【分析】 根据该几何体的结构特征和对称性即可求出旋转轴的条数. 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所
11、有高考资源网 - 7 - 【详解】由对称性结合题意可知， 过EFACBD的直线为旋转轴，此时旋转角最小为90； 过正方形ABCD，AECF，BEDF对边中点的直线为旋转轴，共 6 条，此时旋转角最小 为180； 过八面体相对面中心的连线为旋转轴，共 4 条，此时旋转角最小为120. 综上，这个八面体的旋转轴共有 13 条. 故选：C. 【点睛】本题考查几何体结构特征，属于基础题. 二二 填空题（共填空题（共 6 小题）小题）. 11. 复数1zii所对应的点在第_象限. 【答案】二 【解析】 【分析】 先求出复数z，即可判断对应点所象限. 【详解】11ziii ， 复数1zii所对应的点的坐标
12、为1,1，在第二象限. 故答案为：二. 【点睛】本题考查复数的乘法运算，考查复数对应点的象限，属于基础题. 12. 如图，设O是边长为 1 的正六边形ABCDER的中心，写出图中与向量AB相等的向量 _.（写出两个即可） 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 8 - 【答案】OC，FO，ED 【解析】 【分析】 由题意与相等向量的定义可得答案. 【详解】解：由题可得：与AB相等的向量是：OC，FO，ED； 故答案为： OC，FO，ED. 【点睛】本题主要考查相等向量的定义，属于基础题. 13. 已知在平面直角坐标系中，A，B，C三点的坐标分别为0,0，1,0，2,1，若 B
13、CAD ，则点D的坐标为_. 【答案】1,1 【解析】 【分析】 设,D x y，求出,BC AD，即可根据向量相等求出点D的坐标. 【详解】设,D x y， 则,ADx y，1,1BC ； 因为BC AD ，故 1 1 x y ；即1,1D. 故答案为：1,1. 【点睛】本题考查向量的坐标表示，属于基础题. 14. 某班数学兴趣小组组织了线上“统计”全章知识的学习心得交流： 甲同学说：“在频率分布直方图中，各小长方形的面积的总和小于 1”； 乙同学说：“简单随机抽样因为抽样的随机性，可能会岀现比较极端的样本，相对而言，分层 随机抽样的样本平均数波动幅度更均匀”； 丙同学说：“扇形图主要用于直
14、观描述各类数据占总数的比例”； 丁同学说：“标准差越大，数据的离散程度越小”. 以上四人中，观点正确的同学是_. 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 9 - 【答案】乙丙 【解析】 【分析】 利用统计的相关知识可逐个判断各同学观点的正误. 【详解】在频率分布直方图中，各小长方形的面积的总和等于 1，故甲的观点错误； “简单随机抽样因为抽样的随机性，可能会岀现比较极端的样本，相对而言，分层随机抽样的 样本平均数波动幅度更均匀”，故乙的观点正确， “扇形图主要用于直观描述各类数据占总数的比例”，故丙的观点正确； “标准差越大，数据的离散程度越大”，故丁的观点错误. 故答案为：
15、乙丙. 【点睛】本题考查统计的相关知识，属于基础题. 15. 如图，在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，终边分别是射线OA和射 线OB，且射线OA和射线OB关于x轴对称，射线OA与单位圆的交点为 3 4 , 5 5 A ，则 sin_，cos的值是_. 【答案】 (1). 4 5 (2). 7 25 【解析】 【分析】 利用三角函数的定义以及对称性可得出、的余弦值和正弦值，再利用两角差的余弦公式 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 10 - 可求得cos的值. 【详解】 由题意， 射线OA与单位圆的交点为 3 4 , 5 5 A ， 射线OA和射线OB关于x轴
16、对称， 射线OB与单位圆的交点为 34 , 55 B ， 由三角函数的定义可知， 3 cos 5 ， 4 sin 5 =， 4 sin 5 ， 3 cos 5 ， 可得： 33447 coscoscossinsin 555525 . 故答案为： 4 5 ， 7 25 . 【点睛】本题考查利用两角差的余弦公式求值，同时也考查了三角函数定义的应用，考查计 算能力，属于基础题. 16. 某广场设置了一些石凳供大家休息， 这些石凳是由正方体截去八个一样大的四面体得到的 （如图）.则该几何体共有_面；如果被截正方体的棱长是50cm，那么石凳的表面积是 _ 2 cm. 【答案】 (1). 14 (2).
17、7500 2500 3 【解析】 【分析】 由题意知，截去的八个四面体是全等的正三棱锥，8 个底面三角形，再加上 6 个小正方形， 所以该几何体共有 14 个面；再根据面积公式即可求出表面积. 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 11 - 【详解】由题意知，截去的八个四面体是全等的正三棱锥，8 个底面三角形，再加上 6 个小正 方形， 所以该几何体共有 14 个面； 如果被截正方体的棱长是50cm，那么石凳的表面积是 2 1 825 225 2sin606 25 225 275002500 3cm 2 S . 故答案为：14，75002500 3. 【点睛】本题考查几何体
18、面数的辨析，考查多面体表面积的计算，属于基础题. 三三 解答题：本大题共解答题：本大题共 4 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过解答应写出文字说明，演算步骤或证明过 程程. 17. 某单位工会有 500 位会员，利用“健步行APP”开展全员参与的“健步走奖励”活动.假设通 过简单随机抽样，获得了 50 位会员 5 月 10 日的走步数据如下： （单位：万步） 1.1 1.4 1.3 1.6 0.3 1.6 0.9 1.4 1.4 0.9 1.4 1.2 1.5 1.6 0.9 1.2 1.2 0.5 0.8 1.0 1.4 0.6 1.0 1.1 0.6 0.8
19、 0.9 0.8 1.1 0.4 0.8 1.4 1.6 1.2 1.0 0.6 1.5 1.6 0.90.7 1.3 1.1 0.8 1.0 1.2 0.6 0.5 0.2 0.8 1.4 频率分布表： 分组 频数 频率 0.2,0.4 2 0.04 0.4,0.6 a 0.06 0.6,0.8 5 0.10 0.8,1.0 11 0.22 1.0,1.2 8 0.16 1.2,1.4 7 0.14 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 12 - 1.41.6, b c 合计 50 1.00 （1）写出a，b，c的值； （2）绘制频率分布直方图； 假设同一组中的每个数据可
20、用该组区间的中点值代替，试估计该单位所有会员当日步数的 平均值； （3）根据以上 50 个样本数据，估计这组数据的第 70 百分位数.你认为如果定 1.3 万步为健步 走获奖标准，一定能保证该单位至少30%的工会会员当日走步获得奖励吗?说明理由. 【答案】 （1）3a ，14b ，0.28c ； （2）答案见解析；1.088 万步； （3）能，答案 见解析. 【解析】 【分析】 （1）根据频率之和为1，由题中条件列出方程求解，即可得出0.28c ，由样本容量及对应 区间的频率，即可得出a，b； （2）由题中数据，直接完善频率分布直方图； 由每组的中间值乘以该组的频率，再求和，即可得出平均数；
21、（3）根据题中条件，可直接得出70%分位数；进而可得出1.3x万时，能满足题意. 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 13 - 【详解】 （1）因为0.04 0.06 0.10 0.22 0.16 0.141c ， 0.721c， 0.28c ， 因为样本中共 50 人， 0.28 5014b， 0.06 503a， 3a ，14b ，0.28c . （2）频率分布直方图如下图所示 设平均值为x，则有 0.04 0.3 0.06 0.5 0.10 0.7 0.22 0.9 0.16 1.1 0.14 1.3 0.28 1x 0.012 0.03 0.08 0.198 0.
22、176 0.182 0.42 1.088， 则该单位所有会员当日步数的平均值为 1.088 万步. （3）70% 5035， 70%分位数为第 35 和 36 个数的平均数， 1.41.6,共有 14 人，且 1.3 有 2 个， 第 35 和第 36 个数均为 1.3， 70%分位数为 1.3， 设x为会员步数，则1.3x万时，人数不少于30%， 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 14 - 能保证30%的工会会员获得奖励. 【点睛】本题主要考查完善频率分布表，考查画频率分布直方图，以及由频率分布直方图求 平均数，属于基础题型. 18. 在ABC中，a，b，c分别是角A
23、，B，C的对边， 3 B ，3a . （1）若 4 A ，求b； （2）若_，求c的值及ABC的面积. 请从13b ，sin2sinCA，这两个条件中任选一个，将问题（2）补充完整，并作 答.注意，只需选择其中的一种情况作答即可，如果选择两种情况作答，以第一种情况的解答 计分. 【答案】 （1） 3 6 2 ； （2）选：4,3 3 ABC cS；选：6c ； 9 3 2 ABC S . 【解析】 【分析】 （1）由正弦定理可直接得b值. （2）选：由余弦定理可求得c的值，然后利用三角形的面积公式计算可得结果. 选:sin2sinCA由正弦定理可得26ca， 然后利用三角形面积公式计算可得结果
24、. 【详解】 （1）由 3 B ，3a ， 4 A ， 由正弦定理可得 sinsin ba BA ，则 3 3 3 6 2 22 2 b . （2） 若选：由余弦定理可得 222 2cosbcaacB，即 2 1 1392 3 2 cc ， 整理可得 2 340cc-，解得4c ，-1c （舍去） ， 113 sin3 43 3 222 ABC SacB ； 选:sin2sinCA，可得2ca，3a 6c 1139 3 sin6 3 2222 ABC SacB . 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 15 - 【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理以及三角形面积公式的应用，考
25、查计算能力，属于基 础题. 19. 已知函数 2 2sin cos2cosfxxxx. （1）求 0f的值； （2）求 f x的最小正周期和单调递增区间； （3）将函数 yf x的图象向右平移 8 个单位，得到函数 yg x的图象，若函数 yg x在0,m上有且仅有两个零点，求m的取值范围. 【答案】 （1）2； （2）； 3 , 88 kk ，kZ； （3） 713 88 m . 【解析】 【分析】 （1）利用二倍角公式和辅助角公式将函数化简，即可代入0 x，求出结果； （2） 根据最小正周期的公式即可计算出周期， 令222 242 kxk 可解出单调递 增区间； （3）先求出 g x解析式
26、，则该题等价于在0,m上有且仅有两个实数，满足 2sin210 x ，结合函数图象即可求出m范围. 【详解】 （1）函数 2 2sin cos2cossin2cos212sin 21 4 f xxxxxxx ， ( )2sin 21 4 f xx ，故 02sin12 4 f （2）由函数的解析式为( )2sin 21 4 f xx 可得，它的最小正周期为 2 2 . 令222 242 kxk ，求得 3 88 kxk ， 可得它的单调递增区间为 3 , 88 kk ，kZ. 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 16 - （3）将函数 yf x的图象向右平移 8 个单位，
27、 得到函数 2sin 212sin21 44 yg xxx 的图象， 若函数 yg x在0,m上有且仅有两个零点， 则在0,m上有且仅有两个实数，满足 2sin210 x ，即 2 sin2 2 x . 0,m上，20,2xm， 713 2 44 m ，求得 713 88 m . 【点睛】本题考查三角恒等变换，考查最小正周期和单调区间的求解，考查三角函数的零点 问题，属于中档题. 20. 如图 1，设正方形ABCD边长为 1，M，N分别为AB，BC的中点，沿DM，MN， ND把图形折成一个四面体，使A，B，C三点重合于点P，如图 2. （1）求证：MN 平面PDE； （2）设F为DE的中点，在
28、图 2 中作出过点F与平面PMN平行的平面，并说明理由； （3）求点P到平面DMN的距离. 【答案】 （1）证明见解析； （2）图象见解析；理由见解析； （3） 1 3 . 【解析】 【分析】 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 17 - （1）通过证明PEMN和DEMN即可证明MN 平面PDE； （2）根据面面平行的判断定理可作出图形并证明； （3）利用等体积法可求出. 【详解】 （1）证明：如图，在正方形ABCD中，连接AC，则BDAC， M，N分别为AB，BC的中点，/MN AC， BDMN，折叠后，有PEMN，DEMN， 又PEDEE，可得MN 平面PDE； （2
29、）解：在平面DMN内，过F作/GH MN，使得GHDMG，GHDNH， F为DE的中点，G，H分别为DM，DN的中点， 取DP的中点K，连接GK，HK，可得/GK PM， 由/GH MN，GH 平面PMN，MN 平面PMN，可得/GH平面PMN， 同理可得，/GK平面PMN， 又GHHKH，GH 平面GHK，GK 平面GHK， 平面/GHK平面PMN，即平面GHK为所作平面； （3）解：由已知可得，DPPM，DPPN， 又PMPNP，DP 平面PMN，且DP等于正方形的边长为 1， 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 18 - 1 2 PMPN，PMN为等腰直角三角形， 再由已知求得 2 2 15 1 22 DMDN ， 2 2 MN ， 22 12523 22248 DMN S . 设点P到平面DMN的距离为h，由 D PMNP DMN VV ， 可得 111113 1 322238 h ，解得 1 3 h ， 即点P到平面DMN的距离为 1 3 . 【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查面面平行的判定，考查等体积法求点面距离，属于 中档题.
