1、高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 1 - 数学试卷数学试卷 一、选择题一、选择题( (本大题共本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分，在每小题给出的四个选项中，只有一分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题卡上项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题卡上) ) 1.数列 n a是等差数列， 2 3a ， 5 9a ，则 6 S （ ） A. 12 B. 24 C. 36 D. 72 【答案】C 【解析】 【分析】 利用等差数列的下标性质，结合等差数列的前n项和公式进行求解即可. 【详解】
2、 1625 6 () 6() 6(39) 6 36 222 aaaa S . 故选：C 【点睛】本题考查了等差数列的下标性质，考查了等差数列的前n项和公式，考查了数学运算 能力. 2.若向量a ，b 满足 ()5a a b ，| | 2a ， 1b ，则向量 a ，b 的夹角为（ ） A. 6 B. 3 C. 2 3 D. 5 6 【答案】C 【解析】 【分析】 根据平面向量数量积的运算性质和定义，对等式 ()5a a b 进行变形，最后结合平面向量 的夹角定义和特殊角的三角函数值进行求解即可. 【详解】 22 2 ()55cos522 1 cos5a a baa baaba ba b ， 即
3、 12 cos,0, , 23 a ba ba b . 故选：C 【点睛】本题考查了求平面向量的夹角，考查了平面向量的数量积的运算性质和定义，考查 了数学运算能力. 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 2 - 3.在ABC中，2 3,2 2, 4 abB ，则A等于（ ） A. 6 B. 3 C. 6 或 5 6 D. 3 或 2 3 【答案】D 【解析】 由正弦定理得 sinsin ab AB ， 所以 2 3 sin sin3 4 sin 22 2 aB A b ， 又ab， 所以 4 A ， 所以 3 A 或 2 3 A 选 D 点睛：已知三角形的两边和一边对角解三
4、角形时，需利用正弦定理求另一边的对角，解题时 要注意讨论该角的个数，这是解题的难点，应引起注意 4.在ABC中， 1 2 BDDC，则AD=（ ） A. 13 44 ABAC+ B. 21 33 ABAC C. 12 33 ABAC D. 21 33 ABAC 【答案】B 【解析】 【分析】 根据平面向量基本定理，结合平面向量共线向量的性质和平面向量加法的几何意义进行求解 即可. 【详解】 11121 ()(). 33333 ADABBDABBCABBAACABABACABAC 故选：B 【点睛】本题考查了平面向量基本定理的应用，考查了平面向量加法的几何意义，考查了共 线向量的性质，属于基础题
5、. 5.中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难， 此日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见此日行数里，请公仔细算相还”，其意思为：“有 一个人要去 378 里外地方，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一 半，走了 6 天后到达目的地”，请问第四天走了（ ） 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 3 - A. 96 里 B. 24 里 C. 192 里 D. 48 里 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意，结合等比数列的定义、等比数列的前n项和公式、等比数列的通项公式进行求解即 可. 【详解】 由题意可知： 每天走的路程构
6、成 1 2 为公比的等比数列， 设为 (1,2,3,4,5,6 ) n an， 所以第一天走的路程为 1 a， 设6天共走的路程为 6 S， 则有 6 1 61 1 1 ( ) 2 378192 1 1 2 a Sa ， 因此第 4 天走的路程为： 3 41 11 ( )19224 28 aa. 故选：B 【点睛】本题考查了数学建模能力，考查了等比数列的前n项和公式、等比数列的通项公式， 考查了数学运算能力和数学阅读能力. 6.已知数列 n a是等比数列，数列 n b是等差数列，若 159 8a aa ， 258 3bbb， 则 46 37 sin 1 bb a a 的值是（ ） A. 1 2
7、 B. 1 2 C. 3 2 D. 3 2 【答案】D 【解析】 【分析】 根据等差数列和等比数列的下标性质，结合诱导公式、特殊角的正弦值进行求解即可. 【详解】因为数列 n a是等比数列， 所以由 23 1591955555 8()8882a aaa aaaaaa ，又因为 数列 n b是等差数列， 所以由 2582855555 332333bbbbbbbbbb， 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 4 - 465 2 375 22223 sinsinsinsin()sinsin()sin. 111 433332 bbb a aa 故选：D 【点睛】本题考查了等差数列和
8、等比数列的下标性质，考查了特殊角的正弦值，考查了诱导 公式的应用，考查了数学运算能力. 7.钝角三角形ABC的面积是 3 3 2 ，2AB ，3BC ，则AC （ ） A. 7 B. 15 C. 17 D. 19 【答案】D 【解析】 【分析】 根据三角形的面积公式，结合余弦定理和已知三角形是钝角三角形进行求解即可. 【详解】因为钝角三角形ABC的面积是 3 3 2 ，所以有 133 sin3sin 222 AB BCBB， 因为(0, )B，所以 3 B 或 2 3 B . 当 3 B 时， 22 1 2cos492 2 37 2 ACABBCAB BCB ，因为 2AB ，3BC ，所以最
9、长边为BC， 于是有 222 4791 cos0 22 272 7 ABACBC A AB AC ，因此三角形ABC的最大内角A 是锐角，这与已知三角形ABC不符合，故舍去； 当 2 3 B 时， 22 1 2cos492 2 3 ()19 2 ACABBCAB BCB . 故选：D 【点睛】本题考查了三角形面积公式的应用，考查了余弦定理的应用，考查了钝角三角形的 性质，考查了数学运算能力. 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 5 - 8.已知ABC的三个内角 A、B、C 所对的边长分别为 a、b、c，若2cos a B c ，则该三角形 一定是（ ） A. 等腰三角形
10、B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角 三角形 【答案】A 【解析】 【分析】 根据余弦定理得到三边间的关系后可得三角形的形状 【详解】由2cos a B c 及余弦定理得 222222 2 2 acbacba acacc ， 整理得 22 cb， bc， ABC为等腰三角形 故选 A 【点睛】根据正弦定理、余弦定理判断三角形形状时，常用的方法有两种，一是把边化成 角后进行判断，另一种方法是把角化为边后再进行判断，解题时注意对两种方法的选择 9.如图，已知等腰ABC中，3ABAC，4BC ，点P是边BC上的动点，则 APABAC（ ） A. 为定值 10 B. 为定值 6 C. 最
11、大值为 18 D. 与P的位置有关 【答案】A 【解析】 【分析】 设(01)BPBC， 根据平面向量数量积运算性质， 结合平面向量的加法的几何意义、 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 6 - 余弦定理、平面向量的数量积的定义进行求解即可. 【详解】设(01)BPBC. 2 ()APABACABBPABACABAB ACBCABAC， 因为 22 0BCABACBAACABACACAB， 222 99 161 cos 22 3 39 ABACBC A AB AC ， 所以 2 2 33 3 cos10APABACABAB ACA . 故选：A 【点睛】本题考查了平面向量
12、数量积的运算性质，考查了平面向量数量积的定义，考查了平 面向量的加法的几何意义，考查了数学运算能力. 10.在ABC中，三边长可以组成公差为 1 的等差数列，最大角的正弦值为 3 2 ，则这个三角 形的面积为（ ） A. 15 16 B. 15 3 16 C. 15 4 D. 15 3 4 【答案】B 【解析】 【分析】 根据三角形的大边对大角的性质，结合特殊角的三角函数值、余弦定理、三角形面积公式进 行求解即可. 【详解】设ABC最小边的边长为a，由题意可知，另个二个边的边长分别为：1,2aa， 显然三边不相等，且边长为2a的边为最长边，它所对的角为最大角，设为. 因为最大角 的正弦值为 3
13、 2 ，所以 3 sin,(0, ), 2 3 或 2 3 . 当 3 时，因为最大角为 3 ，所以由三角形内角和可知，这样不构成三角形，故舍去； 当 2 3 时，由余弦定理可知： 2222 2 (2)(1)2 (1)cos230 3 aaaa aaa ，解得 3 2 a 或1a（舍去） ， 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 7 - 因此三边长分别为： 3 5 7 , 2 2 2 ，因此三角形面积为： 135315 3 222216 . 故选：B 【点睛】本题考查了三角形面积公式，考查了余弦定理的应用，考查了三角形的性质，考查 了数学运算能力. 11.如图所示，为了测量
14、A、B处岛屿的距离，小明在D处观测，A、B分别在D处的北偏 西15、北偏东45方向， 再往正东方向行驶10海里至C处， 观测B在C处的正北方向，A在 C处的北偏西60方向，则A、B两岛屿的距离为（ ）海里 A. 5 6 B. 10 6 C. 10 2 D. 20 2 【答案】A 【解析】 【分析】 连接AB，根据题意得出相应角的大小，分别在ADC、BCD、ABD使用正弦定理、 锐角三角函数定义、余弦定理进行求解即可. 【详解】连接AB，由题意可知： 10,105 ,45 ,90 ,30CDADCBDCBCDACD ， 所以有45 ,60DACADB . 在ADC中，由正弦定理可知：5 2 si
15、nsin ADCD AD ACDCAD . 在Rt BCD中，cos10 2 CD BDCBD BD . 在ABD中，由余弦定理可知： 22 2cos5 6ABADBDAD BDADB . 故选：A 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 8 - 【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理的应用，考查了方位角的定义，考查了数学运算能 力. 12.数列 n a的前n项和为 n S， 1 2 1 1 n n nn aan ， 2021 1001S，则 2 a的值为（ ） A. 9 B. 8 C. 1019 D. 1018 【答案】B 【解析】 【分析】 分别令1,2,3,4,2019,
16、2020n 代入等式 1 2 1 1 n n nn aan 中，得到 2020 个等式， 把 2020 个等式相加，再根据这些等式，求出 2020 S的表达式，最后结合已知 2021 1001S进行 求解即可. 【详解】因为 1 2 1 1 n n nn aan ，所以有： 12 1,(1),aa ， 23 34 45 2,(2), 3,(3), 4,(4), aa aa aa 20192020 2019,(2019)aa 20202021 2020,(2020)aa， (1)(2)(3)(4)(2019)(2020) ，得： 202020211202020211 505 42020SSaSS
17、a ， (1)(3)(2019) ，得： 2020 1010S，因此 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 9 - 120212020 20201001 101020209aSS ， 而 12 1aa ，因此 21 18aa . 故选：B 【点睛】本题考查了数列递推公式的应用，考查了数学运算能力，考查了转化与化归思想， 属于基础题. 二、 填空题二、 填空题( (本大题共本大题共 4 4 小题， 每小题小题， 每小题 5 5 分， 共分， 共 2020 分， 请将正确答案填在答题卡相应位置上分， 请将正确答案填在答题卡相应位置上 ) ) 13.已知, a b为单位向量，其夹
18、角为120，则ab_. 【答案】3 【解析】 【分析】 由公式 2 |aa 将a b 看成一个整体，即 2 |()abab 直接进行运算. 【详解】由题意得： 2 22 1 |()222 ()3 2 ababaa bb . 故答案为：3. 【点睛】 本题考查向量模的求解、 数量积的运算， 考查运算求解能力， 求解时注意夹角为120 余弦值为 1 2 ，不能符号弄错. 14.在数列 n a中， 1 3a ， 2 1 2 n nn aa ，则 n a _ 【答案】 n 45 3 【解析】 【分析】 运用累加法，结合等比数列的前n项和公式进行求解即可. 【详解】当2n时， 2(1)1 11 24 n
19、n nnn aaa ，所以有： 12 112211 1 ()()()4443 4(1 4)45 3, 1 43 nn nnnnn nn aaaaaaaa 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 10 - 当1n 时，也上适合上式，所以 n a n 45 3 . 故答案为： n 45 3 【点睛】本题考查了应用累加法求数列的通项公式，考查了等比数列的前n项和公式，考查了 数学运算能力. 15.若等比数列 * () n anN满足 13 30aa， 24 10aa，则 12 . n a aa的最大值为 _ 【答案】729 【解析】 【分析】 求出基本量 1 a，q后可得数列的通项
20、，判断1 n a 、01 n a何时成立可得n取何值时有 12 . n a aa的最大. 【详解】设公比为q，因为 13 30aa， 24 10aa，所以 24 13 1 3 aa q aa ， 所以 1 1 130 9 a ，解得 1 27a ，所以 1 4 1 273 3 n n n a ， 当14n时，1 n a ；当5n时，01 n a， 故 12 . n a aa最大值为 3 2 1 06 1231234 33729a aaa aaa ，故填729. 【点睛】正项等比数列 n a的前n项积为 n T，其公比为q（1,0qq） （1）若 1 01a，则当1q 时， n T有最小值 0
21、n T 无最大值，且 00 1 1,1 nn aa ；当01q 时， n T有最大值 1 T，无最小值. （2）若 1 1a ，则当01q时， n T有最大值 0 n T 无最小值，且 00 1 1,1 nn aa ；当1q 时， n T有最小值 1 T，无最大值 16.已知, ,a b c分别为ABC的三个内角, ,A B C的对边，3c 且 (sinsin)(3)()sinCB babA ，则ABC面积的最大值为_ 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 11 - 【答案】 3 3 4 【解析】 【分析】 根据正弦定理化简等式，再根据余弦定理求出C的大小，最后根据基本不等
22、式和三角形面积 公式进行求解即可. 【详解】根据正弦定理，由 (sinsin)(3)()sin()(3)()(3)(3)() ,CB babAcb bab ab bab a 化简得： 22 9abab，而由余弦定理可知； 222 92coscababC，因此 12 cos,(0, ), 23 CCC . 22 2ababQ（当且仅当ab时，取等号） ， 923ababab. 设ABC面积为S，于是有 11233 3 sinsin 22344 SabCabab . 故答案为： 3 3 4 【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理的应用，考查了基本不等式的应用，考查了三角形 面积公式，考查了数学运算能
23、力. 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.在平面直角坐标系中，已知1, 2a r ，3,4b . （）若 3/abakb，求实数k的值； （）若atbb，求实数t的值. 【答案】 （） 1 3 ； （） 1 5 . 【解析】 【分析】 （）求出向量3a b 和a kb 的坐标，然后利用共线向量的坐标表示得出关于k的方程， 解出即可； 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 12 - （）由a tbb得出0atbb，利用向量数量积坐标运算可得
24、出关于实数t的方 程，解出即可. 【详解】 （）1, 2a r Q，3,4b ， 33 1, 23,40, 10ab， 1, 23,431,42akbkkk， 3/abakb，10 310k，解得 1 3 k ； （）1, 23,41 3 , 24atbttt ， atbb， 31 34242550atbbttt ，解得 1 5 t . 【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查利用共线向量和向量垂直求参数，考查计算能 力，属于基础题. 18.已知数列 n a是等差数列， 1= 10 a，公差0d ，且 245 ,a a a是等比数列； （）求 n a； （）求数列| n a的前n项和 n T
25、【答案】 （）212 n an； （） 2 2 11,16 1160,7 n nnn T nnn 【解析】 【分析】 （）根据等比数列的性质，结合等差数列的通项公式进行求解即可； （）根据 n a的正负性，结合等差数列的前n项和公式进行求解即可. 【详解】 （）由题意： 245 ,a a a是等比数列，所以有 2 10104103ddd 解得：2d 或 0（舍去） ， 所以212 n an； （）当16n时，0 n a ，即有 2 ( 10212) 11 2 nn nn TSnn ； 当7n时，0 n a ， 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 13 - 66 2 ( 1
26、0212)( 100) 6 21160 22 nn nn TSSSnn ， 即有 2 2 11,16 1160,7 n nnn T nnn 【点睛】本题考查了等比数列的性质，考查了求等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n 项和公式的应用，考查了数学运算能力 19.在四边形ABCD中，90ADC，45A，1AB ，3BD （）求cosADB； （）若 2DC ，求BC 【答案】 （） 34 6 ； （）3BC 【解析】 【分析】 （）利用正弦定理，结合同角的三角函数关系式进行求解即可； （）根据诱导公式，结合余弦定理进行求解即可. 【详解】 （）在ABD中，由正弦定理得 sinsin BDAB
27、 AADB 由题设知， 31 sin45sinADB ，所以 2 sin 6 ADB 由题设知，90ADB，所以 234 cos1 366 ADB （）由题设及（1）知， 2 cossin 6 BDCADB 在BCD中，由余弦定理得 222 2cosBCBDDCBD DCBDC 2 922 32 6 9 所以3BC 【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理的应用，考查了同角的三角函数关系式，考查了诱 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 14 - 导公式，考查了数学运算能力. 20.等差数列 n a的前n项和为 n S，已知 1 7a ，公差d为整数，且 4n SS； （）求数
28、列 n a的通项公式； （）设 1 1 n nn b a a ，求数列 n b的前n项和 n T 【答案】 （）29 n an； （） n T 7 27 n n 【解析】 【分析】 （）根据等差数列 n a的前n项 n S最值的性质，结合等差数列的通项公式进行求解即可； （）利用裂项相消法进行求解即可. 【详解】 （）由等差数列 n a的前n项 n S满足 4n SS， 1 70a ， 得 a40，a50， 于是73d0，74d0， 解得 7 4 d 7 3 ，因为公差d为整数， 因此d2 故数列an的通项公式为29 n an （2） 1111 29272 2927 n b nnnn ， 于是
29、 12nn Tbbb 1111111 275532927nn 111 27277 27 n nn n T 7 27 n n 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式的求解，考查了裂项相消法的应用，考查了数学运 算能力. 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 15 - 21.在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 222 cossinsincossinAABCB （）求角C； （）若 21c ，且ABC的面积是5 3，求ABC的周长 【答案】 （） 3 C ； （）9 21 【解析】 【分析】 （）根据同角的三角函数关系式，结合正弦定理、余弦定理进行求解即可； （）
30、根据三角形面积公式，结合完全平方和公式和（）中结论进行求解即可. 【详解】 （）由 222 cossinsincossinAABCB，得 2 1 sinsinsinAAB 22 1 sinsinCB ， 即 2 sinsinsinCAB 22 sinsinAB 由正弦定理可得 222 abcab， 由余弦定理可得 222 cos 1 22 abc C ab ， (0, ), 3 CC ； （2） 1 sin 2 ABC SabC 5 3 3 4 ab，20ab， 因为 222 cabab， 21c ，所以 22 41ab， 2 22 2414081abaabb，9ab 所以ABC的周长为9 2
31、1 【点睛】本题考查了同角的三角函数关系式的应用，考查了正弦定理、余弦定理的应用，考 查了数学运算能力. 22.设正项数列 n a的前n项和为 n S，且满足： 2 4a ， 2 1 444 nn aSn ，n N （）求数列 n a的通项公式； 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 16 - （） 若正项等比数列 n b满足 11 ba， 34 ba， 且 1nnn ca b ， 数列 n c的前n项和为 n T， 若对任意n N，均有 2 828 n Tmnn恒成立，求实数m的取值范围 【答案】 （）an2n； （） 3 32 ，+） 【解析】 【分析】 （）对递推关系
32、 2 1 444 nn aSn 再递推一步，两式相减，最后结合等差数列的定义进 行求解即可； （）根据等差数列的通项公式结合已知求出等比数列的通项公式，最后利用错位相减法、 判断数列的单调性进行求解即可. 【详解】 （）因为 2 1 444 nn aSn ，所以 2 1 4414 nn aSn （n2） ， 两式相减得：an+1 2a n 24a n+4，即an+1 2（a n+2） 2（n2） ， 又因为数列an的各项均为正数，所以an+1an+2（n2） ， 又因为a24，16a1 2+4+4，可得 a12， 所以当n1 时上式成立，即数列an是首项为 2、公差为 2 的等差数列， 所以2
33、 2(1)2 n ann ； （）由（1）可知b1a12，b3a48，所以正项等比数列 n b的公比为： 8 2 2 q ， 因此bn2n；cn 1 1 2nn 231 2 23 221 2 nn n Tnn 3412 22 23 221 2 nn n Tnn 得： 3412 82221 2 nn n Tn 23212 22 422321 2 44 211 22 nn nnn n nn 2 2n n Tn 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 17 - 2 828 n Tmnn恒成立，等价于 2 247 n nmn n 恒成立， 所以 27 2n n m 恒成立， 设kn 27 2n n ，则kn+1kn 1 25 2n n 27 2n n 1 92 2n n ， 所以当n4 时kn+1kn，当n4 时kn+1kn， 所以 123456 kkkkkk 所以当kn的最大值为k5 3 32 ，故m 3 32 ， 即实数m的取值范围是： 3 32 ，+） 【点睛】本题考查了由递推关系求等差数列的通项公式，考查了错位相减法求数列的和，考 查了数列恒成立问题，考查了数列的单调性，考查了数学运算能力. 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 18 -
