1、 绝密绝密启用前启用前 重庆市缙云教育联盟高一年级重庆市缙云教育联盟高一年级 9 月月考月月考 数学试卷 注意：本试卷包含、两卷。第卷为选择题，所有答案必须用 2B 铅笔涂在答题卡 中相应的位置。第卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试 卷上均无效，不予记分。 第 I 卷（选择题） 一、选择题 1. 已知函数，若且，则函数取得最大值时 x 的可能值为 A. B. C. D. 2. 已知函数在区间上的最小值为，则的取值范围是 A. ， B. ， C. D. 3. 直线与圆 O：相交于 M，N两点，若，P为圆 O 上任意一点，则的取值范围为 A. B. C. D. 4. 已知平
2、面向量，满足，记与夹角为，则的最小值是 A. B. C. D. 5. 已知且，若向量满足，则当向量、的夹角取最小值时， A. B. 8 C. D. 6. 已知函数，若使得在区间上为增函数的整数有且仅有一个，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 7. 平面上的两个向量和，若向量，且，则的最大值为 A. B. C. D. 8. 已知函数在定义域 R上的导函数为，若函数没有零点，且，当在上与在 R 上的单调 性相同时，则实数 k 的取值范围是 A. B. C. D. 二、不定项选择题 9. 把函数的图象沿 x轴向左平移个单位，纵坐标伸长到原来的 2 倍横坐标不变后得到 函数的图象，对于函数有以
3、下四个判断，其中正确的是 A. 该函数的解析式为 B. 该函数图象关于点对称 C. 该函数在上是增函数 D. 函数在上的最小值为，则 10. 下列说法中错误的为 A. 已知，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 B. 向量不能作为平面内所有向量的一组基底 C. 若，则在方向上的投影为 D. 非零向量和满足，则与的夹角为 11. 已知函数，下列说法正确的是 A. 是周期函数 B. 若，则 C. 在区间上是增函数 D. 函数在区间上有且仅有 1个零点 12. 在平面直角坐标系 xOy 中，使角的顶点与原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重 合已知点是角终边上一点，定义对于下列说法：其中正确的是
4、A. 函数的值域是； B. 函数的图象关于直线对称； C. 函数是周期函数，其最小正周期为； D. 函数的单调递减区间是， 第 II 卷（非选择题） 三、填空题 13. 已知，向右平移个单位后为奇函数，则_，若方程在上恰有两个不等的根，则 m的取值范围是_ 14. 在中，已知，则的面积为_ 15. 已知平面向量，满足，若平面向量且，则的最小值是_ 16. 半径为 R 的圆外接于，且，若，则面积的最大值为_ 四、解答题 17. 如图所示，海平面上有 3个岛屿 A，B，C，它们位于海平面上，已知 B在 A的正 东方向，C在 A 的北偏西的方向，C在 B 的北偏西方向上，某一天上午 8时，甲， 乙两
5、人同时从 A岛屿乘两个汽艇出发分别前往 B，C两个岛屿执行任务，他们在上 午的 10时分别同时到达 B，C 岛屿现在已知甲乙都是匀速前进的，且乙的前进 速度为 3海里小时 求 A、B 两个岛屿之间的距离； 当天下午 2 时甲从 B岛屿乘汽艇出发前往 C 岛屿执行任务，且速度为海里小时，1 个小时后乙立即从 C岛屿乘汽艇以原速度返回 A 岛屿，求乙前进多少小时后，甲 乙两个人之间的距离最近？ 注意： 18. 已知向量，且函数的两条对称轴之间的最小距离为 若方程恰好在有两个不同实根，求实数 m的取值范围及的值 设函数，且，求实数 a，b的值 19. 已知函数 求的最小正周期和单调递增区间； 将函数
6、的图象上所有点的横坐标伸长为原来的 2倍纵坐标不变， 再将得到的图象 向左平移个单位长度，得到函数的图象，若关于 x的方程在上恰有 2个根，求 a的 取值范围 20. 已知向量，且函数的两条对称轴之间的最小距离为 若方程恰好在有两个不同实根，求实数 m的取值范围 设函数，且，求实数 a的值 21. 已知向量且函数的两条对称轴之间的最小距离为 若方程恰好在有两个不同实根，求实数 m 的取值范围及的值 设函数，且，求实数 a，b的值 22. 已知向量，函数， 当时，求的值； 若的最小值为，求实数 m的值； 是否存在实数 m，使函数有四个不同的零点？若存在，求出 m 的取值范围；若不存 在，说明理由
7、 答案和解析答案和解析 1.【答案】B 【解析】解：由可知函数的对称轴为，所以由题意可得，解得， 又因为，所以，即，可得， 所以可得， 所以， 所以取到最大值时，则，即， 当 k取适当的整数时，只有适合， 故选：B 由可知函数的对称轴为，进而求出的取值集合，再由，可得的取值集合，代入函数中可 得，进而求出函数取到最大值时 x的集合，k 取适当的整数可得 x的取值选项 本题考查函数的对称性及函数的最值的求法，属于中档题 2.【答案】D 【解析】解：当时，要使函数在区间上的最小值为，则，即，则可得； 当，则，则可得， 故选：D 分的正负讨论，要使函数在区间上的最小值为可知，或，分别求出的范围即可
8、本题考查求由三角函数的单调性求最值的应用，属于中档题 3.【答案】A 【解析】解：取 MN 的中点 A，连接 OA、OP，则， ，点 O到直线 MN的距离， 在中， ， ， 当，同向时，取得最小值，为； 当，反向时，取得最大值，为 的取值范围为 故选：A 取 MN 的中点 A，连接 OA、OP，由点到直线的距离公式可得，于是推出，而， 故，其中，从而得解 本题考查平面向量在几何中的应用，除了平面向量的线性运算和数量积运算外，还用到 了点到直线的距离公式、二倍角公式等，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中 档题 4.【答案】D 【解析】解：设，则 又 则 ，则， 当时，有最大值为， 有最小值
9、为， 又， 的最小值是 故选：D 设，则，用数量积表示与的夹角的余弦值，转化为二次函数求最值 本题考查平面向量的数量积运算，训练了利用二次函数求最值，考查计算能力，是中档 题 5.【答案】C 【解析】解：如图， 设， 由，得 C 在以 A 为圆心，以 2为半径的圆上， 由图可知，当 OC 与圆 A相切时，向量、的夹角取最小值， ，可得，则向量、的夹角取最小值为，且 故选：C 由题意画出图形，求得向量、的夹角的最小值，并求得当向量、的夹角取最小值时的， 代入向量数量积公式求解 本题考查平面向量的数量积运算，考查数形结合的解题思想方法，是中档题 6.【答案】D 【解析】解：函数， 使得在区间上为增
10、函数， 可得：，可得， 当时，满足整数至少有 1，2，舍去； 当时，由，时， 由时，要使整数有且仅有一个，需，解得 实数的取值范围是 故选：D 由已知可求，可得，分类讨论，可得当时，由，时，由时，要使整数有且仅有 一个，需，即可解得实数的取值范围 本题主要考查利用的图象特征，单调性的应用，是中档题 7.【答案】B 【解析】 【分析】 本题主要考查平面向量的数量积及模长公式，考查与圆有关的最值问题，属于较难题 由题意得出，画出图形，取 AB的中点 D，求出，说明 C 在以 D 为圆心的圆上，利用求 O点到圆上点的最大值的方法即可求出 【解答】 解：， ， ， ， 取 AB的中点 D，且， 如图所
11、示： 则， ， ， ， ， 在以 D为圆心，为半径的圆上， 的最大值为 故选 B 8.【答案】A 【解析】 【分析】 本题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调性，正弦函数的性质，辅助角公 式，考查计算能力，属于较难题 由题意可知：为 R 上的单调函数，则为定值，由指数函数的性质可知为 R 上的增函数 则在单调递增，求导，则恒成立，则，根据函数的正弦函数的性质即可求得 k 的取值范 围 【解答】 解：若方程无解， 则 或恒成立，所以为 R 上的单调函数， ，都有， 则为定值， 设，则，易知为 R 上的增函数， ， ， 又与的单调性相同， 在 R 上单调递增，则当，恒成立， 当时， ， ，
12、 此时， 故选 A 9.【答案】BD 【解析】 【分析】 本题主要考查的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题 利用的图象变换规律，求得的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，的得出结论 【解答】 解：把函数的图象沿着 x轴向左平移个单位，可得的图象； 再把纵坐标伸长到原来的 2 倍横坐标不变后得到函数的图象， 对于函数，故选项 A不正确； 由于当时，故该函数图象关于点对称，故 B正确； 在上，故该函数在上不是增函数，故 C错误； 在上，故当时，该函数在上取得最小值为，故 D正确 故选 BD 10.【答案】ACD 【解析】 【分析】 本题考查平面向量基本定理及向量的数量积，向量的夹角等知
13、识，对知识广度及准确度 要求比较高，属于较难的题 由向量的数量积、 向量的投影、 基本定理与向量的夹角等基本知识， 逐个判断即可求解 【解答】 解：对于与的夹角为锐角， ， 且时与的夹角为， 所以且，故 A 错误； 对于 B向量，即共线，故不能作为平面内所有向量的一组基底，B正确； 对于若，则在方向上的正射影的数量为，故 C错误； 对于因为，两边平方得， ， 则， ， 故， 而向量的夹角范围为， 得与的夹角为，故 D 项错误 故错误的选项为 ACD 故选 ACD 11.【答案】AB 【解析】 【分析】 本题考查正弦、余弦函数的图象与性质，二倍角公式，属于较难题， 先对函数化为分段函数，利用三角
14、函数的图象和性质，逐一分析每一个选项即可 【解答】 解：函数化为分段函数 对于 A，是周期为的函数，故 A 正确； 对于 B，因为，可得， 则有， 此时可得， 可得，故 B正确； 对于 C，故 C错误； 对于 D，可知，故 D 错误 故选 AB 12.【答案】ABC 【解析】 【分析】 本题主要考查新定义，任意角的三角函数的定义，函数的周期性、单调性的定义，函数 的图象的对称性，属于中档题 由题意可得，再利用函数的周期性、单调性的定义，函数的图象的对称性得出结论 【解析】 解：由已知点是角终边上一点， 定义，当时，函数取最大值为； 当时，取最小值为， 可得的值域是，故 A正确 由于点关于直线即
15、的对称点为，故， 故函数的图象关于直线对称，故 B 正确 由于角和角的终边相同，故函数是周期函数，其最小正周期为，故 C 正确 在区间上，x不断增大，同时 y值不断减小，r 始终不变，故不断增大，故是增函数， 故函数在区间，上不是减函数，故 D不对， 故选 ABC 13.【答案】 【解析】解：，其中， 则其向右平移后， 因为此时函数为奇函数，故， 则或，即或， 因为，故只能， 即此时有， 所以； 方程在上恰有两个不等的根 等价于函数与在图象有 2个不同的交点， 作出函数的图象如下： 由图可得 根据平移后函数为奇函数，结合得范围可得，； 方程有不等两根等价于函数与图象有 2个交点，数形结合即可
16、本题考查三角函数相关性质，考查方程根与图象交点个数之间的转化，涉及数形结合思 想，属于中档题 14.【答案】 【解析】解：， ， 作，则，则，即， 设，则， 在中，由余弦定理得：， 即，整理解得：， ， 在中，由余弦定理得 则， 则的面积， 故答案为： 作，则，设，则，在中，由余弦定理列出关于 x的方程，求出方程的解得到 x 的值，确 定出 CD与 BD的长，在三角形 BCD中，利用余弦定理即可求出 cosB 的值，然后求出 sinB，利用三角形的面积公式进行求解即可 本题主要考查解三角形的应用，根据条件作出辅助线，利用余弦定理以及三角形的面积 公式是解决本题的关键综合性较强，有一定的难度 1
17、5.【答案】 【解析】解：，即， 不妨令，由于，所以， 如图所示，分别以和为横、纵轴建立平面直角坐标系，则， ， ，且 x， 点 S的轨迹是以 4 为焦距的双曲线的右支 ， 如图，设的夹角为，则， ， 即，的夹角为， ， ， 当且仅当即时，取得等号 故答案为： 由，可知，于是可分别以和为横、纵轴建立平面直角坐标系，此外，不妨设，则， 于是有，而，且 x，所以点 S的轨迹是以 4 为焦距的双曲线的右支再设的夹角为， 可推知，的夹角为，将其代入，可得，最后结合双曲线的定义、平面向量的减法运算、 勾股定理和均值不等式等可求得的最小值 本题主要考查的是平面向量的运算，实际需要将其转化为双曲线，利用双曲
18、线的性质来 解题，其中还用到了三角函数和均值不等式的知识，综合性很强，考查学生转化与化归 的能力、逻辑推理能力和运算能力，属于难题 16.【答案】 【解析】 【分析】 本题考查了两角和与差的三角函数公式，二倍角公式及应用，正弦定理，余弦定理，三 角形面积公式，函数的图象与性质，属于中档题 利用正弦定理将已知条件转化为边之间的关系，然后用余弦定理求得利用三角形面 积公式，结合两角差的正弦函数公式和二倍角公式得，再利用辅助角公式得，最后利用 函数的值域计算得结论 【解答】 解：因为 所以由正弦定理得：， 即， 所以由余弦定理可得：， 又， 故 由正弦定理得：， 所以 ， 所以当时，S最大， 若，则
19、面积的最大值为 故答案为 17.【答案】解：由题意知，海里， 中，由正弦定理得， 所以， 所以 A、B两个岛屿之间的距离为海里； 由正弦定理得， 所以； 设乙从 C 岛峪乘汽艇以原速度返回 A岛屿运行 t小时到达 P 处， 则甲从 B 岛屿乘汽艇出发前往 C岛屿执行任务运行小时到达 Q处， ，其中， 当且仅当时，取得最小值； 又，所以； 所以乙前进小时后，甲乙两个人之间的距离最近 【解析】中由正弦定理求得 AB的值即可； 由正弦定理求出 BC，再利用余弦定理求，计算取最小值时对应的时间即可 本题考查了解三角形的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题 18.【答案】解： 因为函数的两条对称轴之
20、间的最小距离为，所以，解得， 当时，由正弦型函数的图象性质知，在上递增，在上递减，在上递增， 所以， 且， 所以，或 因为，所以，所以， 即 当时，在上递增，满足，解得，； 当时，在上递减，满足，解得， 综上所述：或 【解析】先根据二倍角公式和辅助角公式将函数化简为，再由函数的周期性可求得，从 而可得 根据正弦型函数的图象性质，判断函数在上的单调性，再求出最大值、最小值和端点 处的函数值，从而得解； 易知，再分两类：和，并结合一次函数的单调性，列出关于 a和 b的方程组，解之即 可 本题考查了平面向量数量积的运算、三角函数与三角恒等变换的综合应用，熟练掌握正 弦函数的图象与性质是解题的关键，考
21、查学生的数形结合思想、逻辑推理能力和运算能 力，属于中档题 19.【答案】解： ， 所以，的最小正周期为 令，得 所以的单调递增区间为 由知， 将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的 2倍纵坐标不变， 得到的图象； 再将得到的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象， 所以 由，得，或 当时， 当且仅当，即时， 由题意，仅有一个根，因为， 所以，a的取值范围是 【解析】由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性、单 调性，得出结论 由题意利用函数的图象变换规律，求得的解析式，再结合三角函数的图象与性质，求 得 a的范围 本题考查三角恒等变换、正弦函数的周期性和单调性，定义域
22、和值域，函数的图象变换 规律，三角函数的图象与性质，属于中档题 20.【答案】解：依题 又因为两条对称轴之间的最小距离为，所以由得：， ； 当时， 由正弦函数的图像和性质易知： 在上递增，在上递减，在上递增， 当时，取得最大值，当时，取得最小值， 且，所以； 当时，所以， 所以， 当时：在上递增， 满足：，此时无解， 当时：在上递减， 满足：，解得：， 综上所述， 【解析】本题考查三角函数的图像和性质，考查平面向量的数量积、三角函数的恒等变 形，属于中档题 首先根据数量积的坐标运算以及三角函数的恒等变形公式得到依题 ，由两条对称轴之间的最小距离为，求出 w得到函数解析式，利用正弦型函数的性质得
23、 到的单调性即可求出 m 的取值范围； 首先根据三角函数的图象和性质求出，利用一次函数的性质讨论的单调性得到关于 a 的方程即可求解 21.【答案】解：依题 又因为两条对称轴之间的最小距离为， 所以由得：， ； 当时，由图像性质知： 在上递增，在上递减，在上递增， 当，取得最大值，当时，取得最小值， 且， 所以，或； 易知， 当时：在上递增，满足： 解得：， 当时：在上递减，满足： 解得： 综上所述：或 【解析】本题主要考查两个向量的数量积的定义，三角函数的恒等变换及化简求值，的 图象和性质，正弦函数的定义域和值域、单调性，属于中档题 首项利用两个向量的数量积的定义、三角函数的恒等变换，化简函
24、数的解析式为 ，由周期求出，从而确定函数的解析式 根据函数的图像性质可知当时最大值和最小值，以及，可求出 m的取值范围，再根据对 称性可得的值 根据已知条件可求得的值域，即为值域，分当时和当时，结合的定义域，根据一次函数 增减性列出方程组，分别求出 a、b 22.【答案】解： ， 当时， ； 因为所以， 所以 ， 所以 ， 令，则，对称轴， 当 当时，函数取得最小值，即； 当 当时，函数取得最小值，即； 当 当时，函数取得最小值，即，舍 综上，若的最小值为，则实数； 令， 解得， 因为函数有四个不同的零点， 所以方程或在上共有四个不同的实根， 所以，得 解得， 故 m 的取值范围 【解析】本题主要考查三角函数的图像和性质，两角和与差的三角函数公式，平面向量 的坐标运算，向量的模，二次函数性质的运用，不等式求解等知识的综合运用，考查 了分析和运算能力，属于较难题 当时，代入求解即可； 由已知得，令，则，分类讨论即可解得 实数 m的值； 令，解得，因为 函数有四个不同的零点，所以方程或在上共有四个不同的实根，由此列不 等式求解即可
