1、1 最大角米勒问题 【问题描述】 1471 年，德国数学家米勒向诺德尔提出这样一个问题： 如图，点 A、B 直线 l 的同一侧，在直线 l 上取一点 P，使得APB 最大，求 P 点位置 P BA l 【问题铺垫】 圆外角：如图，像APB 这样顶点在圆外，两边和圆相交的角叫圆外角 C D A B O P 相关结论：圆外角等于这个角所夹两条弧的度数差（大减小）的一半 C D A B O P 如图， 2 ABCD PACBPBC = 换句话说，对同一个圆而言，圆周角圆外角 中考数学满分突破教师交流群 1070281827 中考满分突破读者学生群 897059879 中考满分突破读者教师群 8538
2、73521 更多学习资料关注公众号：有一点数学 2 【问题解决】 结论：当点 P 不与 A、B 共线时，作PAB 的外接圆，当圆与直线 l 相切时，APB 最大 l AB O P M 证明：在直线 l 上任取一点 M（不与点 P 重合） ，连接 AM、BM， AMB 即为圆 O 的圆外角， APBAMB，APB 最大 当圆与直线 l 相切时，APB 最大 特别地，若点 A、B 与 P 分别在一个角的两边，如下图，则有 2 OPOA OB= （切割线定理） AB O P 证明：POA=BOP，OPA=OBP（弦切角定理） AOPPOB， OAOP OPOB =， 2 OPOA OB= 即可通过
3、OA、OB 线段长确定 OP 长，便知 P 点位置 中考数学满分突破教师交流群 1070281827 中考满分突破读者学生群 897059879 中考满分突破读者教师群 853873521 更多学习资料关注公众号：有一点数学 3 【2019 烟台中考删减】 如图，抛物线 2 3yaxbx=+与x轴交于 A（-1，0） 、B两点，与 y 轴交于点 C，过点 C 作 CDy 轴交抛物线于另一点 D，作 DEx 轴，垂足为点 E，双曲线() 6 0yx x =经过点 D， BD （1）求抛物线的表达式； （2）动点 P 从点 O 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿 OC 方向运动，运动时间为 t
4、秒， 当 t 为何值时，BPD 的度数最大？（请直接写出结果） 备用图 y x O DC BAAB CD O x y 中考数学满分突破教师交流群 1070281827 中考满分突破读者学生群 897059879 中考满分突破读者教师群 853873521 更多学习资料关注公众号：有一点数学 4 【分析】 （1）考虑到点 D 纵坐标与点 C 相同，为 3，代入反比例解析式，可得 D 点坐标为（2，3） ， 根据 A、D 坐标可得抛物线解析式： 2 23yxx=+ （2）求 t 即求 P 点位置 思路 1：作外接圆 作过点 B、D 的圆且与 y 轴相切时，切点即为所求 P 点， 考虑到本题只要直接
5、写出结果即可，所以做法只要做对就可 由抛物线解析式可得 B 点坐标为 （3， 0） ， 结合 D （2， 3） ， 则 BD 中点 N 坐标为 5 3 , 2 2 ， 作 BD 的垂直平分线，即过 N 点作 BD 的垂线， 利用 12 1kk= ，可求得垂直平分线解析式为 12 33 yx=+， Q N P AB CD O x y 三角形 PBD 圆心记为 Q，点 Q 在 BD 垂直平分线上，设 Q 点坐标为 12 , 33 mm + ， 根据 QP=QB，可得：() 2 212 3 33 mmm =+ ， 解得： 1 256 15m =， 2 256 15m =+（舍） 故 Q 点坐标为(
6、) 256 15,92 15，P 点坐标为( ) 0,92 15 所以 t 的值为92 15 中考数学满分突破教师交流群 1070281827 中考满分突破读者学生群 897059879 中考满分突破读者教师群 853873521 更多学习资料关注公众号：有一点数学 5 思路 2：切割线定理 延长 BD 交 y 轴于 M 点，则当 2 MPMD MB=时，BPD 最大 P M C O AB D x y 考虑到 B（3，0） 、D（2，3） ，可得直线 BD 解析式：39yx= +， 故直线 BD 与 y 轴交点 M 点坐标为（0，9） ， 2 10MD =，3 10MB =， 2 60MPMD
7、 MB=， 2 15MP =， P 点坐标为( ) 0,92 15， 故 t 的值为92 15 中考数学满分突破教师交流群 1070281827 中考满分突破读者学生群 897059879 中考满分突破读者教师群 853873521 更多学习资料关注公众号：有一点数学 6 练习：如图，在平面直角坐标系中，A（1，0） 、B（5，0）直线 l 经过点 C（-1，2） ，点 P 是直线 l 上的动点，若APB 的最大值为 45，求直线 l 的解析式 l x y AB C 【分析】 考虑到直线 l 未知但APB 的最大值已知为 45，故构造圆 记ABP 外接圆圆心为 M 点，则AMB=2APB=90
8、， 故可确定 M 点位置 MC BA y x P 根据 A（1，0） 、B（5，0） ，不难求得 M 点坐标为（3，2） ， 连接 MC、MP，考虑到圆 M 与直线 CP 相切，故 MPCP，CPM 是直角三角形 MC=4，MP=MA=2 2， 2 2CP =，即CPM 是等腰直角三角形， 易求 P 点坐标为（1，4） ， 又 C 点坐标为（-1，2） ， 可求直线 l 的解析式为 y=x+3 中考数学满分突破教师交流群 1070281827 中考满分突破读者学生群 897059879 中考满分突破读者教师群 853873521 中考数学满分突破教师交流群 1070281827 中考满分突破读者学生群 897059879 中考满分突破读者教师群 853873521 中考数学满分突破教师交流群 1070281827 中考满分突破读者学生群 897059879 中考满分突破读者教师群 853873521 购买秒杀中考压轴题请联系李老师 18982286683（微信同号见二维码）购买秒杀中考压轴题请联系李老师 18982286683（微信同号见二维码） 中考数学满分突破教师交流群 1070281827 中考满分突破读者学生群 897059879 中考满分突破读者教师群 853873521
