1、 专题专题 07 逐个击破考向逐个击破考向-第第七七周：周：圆的综合证明与计算圆的综合证明与计算 【考向分析考向分析】 通过分析对比，可以看出： 安徽中考数学圆的主要考向分为四类： 一是圆基本计算，一是圆基本计算， 二是圆基础综合，二是圆基础综合， 三是圆综合证明与计算，三是圆综合证明与计算， 四是尺规作图四是尺规作图。 其中圆的基础计算基本上是每年必考，圆中综合证明与计算是近几年的主要热考方向，18 年新出了一个考向：尺规作图； 圆是在中考中每年必出的必考考点，难度从简单到一般，需要我们牢记圆的基本知识点，另外掌握圆 中辅助线做法等技巧是快速解决圆题型的关键。 【真题再现真题再现】 年份：年
2、份：2010 年年 考向：圆中计算问题考向：圆中计算问题 8. 如图，O 过点 B、C，圆心 O 在等腰直角 ABC 的内部，BAC90 ，OA1，BC6，则O 的半径为( ) 年份年份 圆圆 考向补充考向补充 2010 圆中计算问题 2011 圆中计算问题 2012 圆中计算问题，圆综合 2013 圆中计算问题，圆综合 2014 圆综合证明与计算 2015 圆综合证明与计算，圆计算 2016 圆中计算问题 2017 圆综合证明与计算，圆计算 2018 圆综合证明与计算，圆计算，尺规作图 2019 圆综合证明与计算，圆计算 A. 10 B. 2 3 C. 13 D. 3 2 13. 如图， A
3、BC 内接于O， AC 是O 的直径， ACB50 ， 点 D 是BAC 上一点， 则D_ 年份：年份：2011 年年 考向：圆中计算问题考向：圆中计算问题 7. 如图，O 的半径是 1，A、B、C 是圆周上的三点，BAC36 ，则劣弧BC 的长是( ) A. 5 B. 2 5 C. 3 5 D. 4 5 13. 如图，O 的两条弦 AB、CD 互相垂直，垂足为 E，且 ABCD，已知 CE1，ED3，则O 的 半径是_ 年份：年份：2012 年年 考向：圆中计算，圆综合考向：圆中计算，圆综合 9. 如图，A 点在半径为 2 的O 上，过线段 OA 上的一点 P 作直线 l，与O 过 A 点的
4、切线交于点 B， 且APB60 .设 OPx，则 PAB 的面积 y 关于 x 的函数图象大致是( ) 13. 如图，点 A、B、C、D 在O 上，O 点在D 的内部，四边形 OABC 为平行四边形，则OAD OCD_ . 年份：年份：2013 年年 考向：圆中计算，圆综合考向：圆中计算，圆综合 10. 如图，点 P 是等边三角形 ABC 外接圆O 上的点在以下判断中，不正确 的是( ) A. 当弦 PB 最长时， APC 是等腰三角形 B. 当 APC 是等腰三角形时，POAC C. 当 POAC 时，ACP30 D. 当ACP30 时， BPC 是直角三角形 年份：年份：2014 年年 考
5、向：圆综合证明与计算考向：圆综合证明与计算 19. 如图，在O 中，半径 OC 与弦 AB 垂直，垂足为 E，以 OC 为直径的圆与弦 AB 的一个交点为 F， D 是 CF 延长线与O 的交点若 OE4，OF6，求O 的半径和 CD 的长 第 19 题图 年份：年份：2015 年年 考向：圆综合证明与计算，圆计算考向：圆综合证明与计算，圆计算 12. 如图，点 A、B、C 在O 上，O 的半径为 9，AB 的长为 2，则ACB 的大小是_ 20. 在O 中，直径 AB6，BC 是弦，ABC30 ，点 P 在 BC 上，点 Q 在O 上，且 OPPQ. (1)如图，当 PQAB 时，求 PQ
6、长； (2)如图，当点 P 在 BC 上移动时，求 PQ 长的最大值 年份：年份：2016 年年 考向：圆中计算问题考向：圆中计算问题 13. 如图，已知O 的半径为 2，A 为O 外一点过点 A 作O 的一条切线 AB，切点是 B，AO 的延 长线交O 于点 C.若BAC30 ，则劣弧BC 的长为_ 年份：年份：2017 年年 考向：圆综合证明与计算，圆计算考向：圆综合证明与计算，圆计算 13如图，已知等边 ABC 的边长为 6，以 AB 为直径的O 与边 AC，BC 分别交于 D，E 两点，则劣 弧DE 的长为_ 20如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，BD，AD 不平行 于 BC，过
7、点 C 作 CEAD 交 ABC 的外接圆 O 于点 E，连接 AE. (1)求证：四边形 AECD 为平行四边形； (2)连接 CO，求证：CO 平分BCE. 年份：年份：2018 年年 圆综合证明与计算，圆计算，尺规作图圆综合证明与计算，圆计算，尺规作图 12. 如图， 菱形ABOC的边AB、 AC分别与O相切于点D， E， 若点D是AB的中点， 则DOE_ . 20. 如图，O 为锐角 ABC 的外接圆，半径为 5. (1)用尺规作图作出BAC 的平分线，并标出它与劣弧BC 的交点 E(保留作图痕迹，不写作法)； (2)若(1)中的点 E 到弦 BC 的距离为 3，求弦 CE 的长 年份
8、：年份：2019 年年 考向：圆综合证明与计算，圆计算考向：圆综合证明与计算，圆计算 13. 如图，ABC 内接于O，CAB30O，CBA45O，CDAB 于点 D，若O 的半径为 2，则 CD 的长 为 . 19.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.如图 1，明朝科学家徐光启在农政全书中用图画描绘了筒 车的工作原理.如图 2，筒车盛水桶的运行轨迹是以轴心 O 为圆心的圆.已知圆心在水面上方，且圆被水面截 得的弦 AB 长为 6 米，OAB=41.3，若点 C 为运行轨道的最高点（C，O 的连线垂直于 AB） ，求点 C 到弦 AB 所在直线的距离. （参考数据：sin41.30.66，co
9、s41.30.75，tan41.30.88） 【技巧总结技巧总结】 1、圆中常见辅助线做法圆中常见辅助线做法 遇垂径定理，连接圆心到弦的端点，构造直角三角形 遇过直径端点的弦，连接直径和弦的另一个端点，构造直角三角形 遇切线，连接圆心到切点，构造直角 2、圆中常见结论和模型、圆中常见结论和模型 圆中遇弧中点时，可得结论： 角平分线、角相等（等弧所对圆周角相等） 垂径定理 圆中几何模型： 在题目条件中同时存在角平分线（弧中点） 、平行线、等腰三角形（一般为圆半径和圆心构成的）其中两个 条件时，第三个必然可证 3、圆证明题剥离法的运用、圆证明题剥离法的运用:在利用圆的性质标注所有数据和条件后，将圆
10、去除，看剩余几何图形，可将题目 简单化 【典型例题典型例题】 【例 1】 （2019邗江区校级一模）如图，O 的直径 BA 的延长线与弦 DC 的延长线交于点 E，且 CEOB， 已知DOB72 ，则E 等于（ ） A36 B30 C18 D24 【例 2】 （2019白银）如图，在 ABC 中，ABAC，BAC120 ，点 D 在 BC 边上，D 经过点 A 和点 B 且与 BC 边相交于点 E （1）求证：AC 是D 的切线； （2）若 CE2，求D 的半径 【对应练习对应练习】 1.（2019陕西模拟）如图，在 ABC 中，ACB90 ，A40 ，以 C 为圆心，CB 为半径的 圆交 A
11、B 于点 D，连接 CD，则ACD（ ） A10 B15 C20 D25 2. （2019渝中区校级三模） 如图， O 的半径 OD弦 AB 于点 C， 连结 AO 并延长交O 于点 E， 连结 EB 若 AB4，CD1，则 EB 的长为（ ） A3 B4 C5 D2.5 3.（2019庐阳区二模）如图，AC 是O 的直径，弦 BDAC 于点 E，连接 BC 过点 O 作 OFBC 于点 F， 若 BD12cm，AE4cm，则 OF 的长度是（ ） A B C D3cm 4.（2019相城区校级二模）如图，AB 是半圆的直径，O 为圆心，C 是半圆上的点，D 是上的 点若BOC50 ，则D 的
12、度数（ ） A105 B115 C125 D85 5.（2019碑林区校级一模）如图，AD 是半圆的直径，点 C 是弧 BD 的中点，ADC55 ，则 BAD 等于（ ） A50 B55 C65 D70 6.（2019太原二模）如图，AB 是O 的直径，点 C 在O 上，CD 平分ACB 交O 于点 D， 若ABC30 ，则CAD 的度数为（ ） Al00 B105 C110 D120 7.（2019澄海区一模）如图，四边形 ABCD 内接于O，它的一个外角EBC55 ，分别连接 AC、BD， 若 ACAD，则DBC 的度数为（ ） A50 B60 C65 D70 8.（2019嘉祥县三模）如
13、图，四边形 ABCD 内接于O，F 是上一点，且，连接 CF 并延长交 AD 的延长线于点 E，连接 AC，若ABC105 ，BAC25 ，则E 的度数为（ ） A45 B50 C55 D60 9.（2018南岗区一模）如图，四边形 ABCD 是O 的内接四边形，若O 的半径为 4，且B2D，连接 AC，则线段 AC 的长为（ ） A4 B4 C6 D8 10.（2018 秋丹江口市期末）在我国古代数学著作九章算术中记载了这样一个问题：“今有圆 材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代语言表述为：如图，AB 为O 的直径，弦 CDAB 于点 E，AE1 寸，CD
14、10 寸，求直径 AB 的长请你解答这个问题 11.（2018周村区二模）在 Rt ABC 中，ACB90 ，AC8，BC6，点 D 是以点 A 为圆心 4 为半径的 圆上一点，连接 BD，点 M 为 BD 中点，线段 CM 长度的最大值为 12.（2019凉山州）如图，点 D 是以 AB 为直径的O 上一点，过点 B 作O 的切线，交 AD 的延长线于点 C，E 是 BC 的中点，连接 DE 并延长与 AB 的延长线交于点 F （1）求证：DF 是O 的切线； （2）若 OBBF，EF4，求 AD 的长 13.（2019临沂）如图，AB 是O 的直径，C 是O 上一点，过点 O 作 ODAB，交 BC 的延长线于 D，交 AC 于点 E，F 是 DE 的中点，连接 CF （1）求证：CF 是O 的切线 （2）若A22.5 ，求证：ACDC 14.（2019朝阳）如图，四边形 ABCD 为菱形，以 AD 为直径作O 交 AB 于点 F，连接 DB 交O 于点 H， E 是 BC 上的一点，且 BEBF，连接 DE （1）求证：DE 是O 的切线 （2）若 BF2，DH，求O 的半径
