1、超级名师工作室 1 初初一一数学思想和解题方法专题数学思想和解题方法专题 1 1知识要点：知识要点： 数形结合思想；分类讨论思想；转化化归思想；方程思想 2 2方法指引方法指引： （1）数形结合法： 数学家华罗庚说得好： “数形结合百般好，隔离分家万事休，几何代数统一体，永远联 系莫分离” 几何图形的形象直观，便于理解，代数方法的一般性，解题过程的机械化，可 操作性强，便于把握，因此数形结合思想是数学中重要的思想方法所谓数形结合就是根据 数学问题的题设和结论之间的内在联系， 既分析其数量关系， 又揭示其几何意义使数量关系 和几何图形巧妙地结合起来，并充分地利用这种结合，探求解决问题的思路，使问
2、题得以解 决的思考方法 每个几何图形中蕴含着一定的数量关系， 而数量关系常常又通过图形的直观 性作出反映和描述，数与形之间可以相互转化，将问题化难为易，化抽象为具体. 数形结合 的思想方法通过借数解形、以形助数，能使某些较复杂的数学问题迎刃而解 （2）分类讨论法：在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况 予以考查这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略分 类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类 的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解提高分析问题、解决问题的能力是十分 重要的正确的分类必须是周全的，既不重复、
3、也不遗漏 分类的原则： （1）分类中的每一部分是相互独立的； （2）一次分类按一个标准； （3）分 讨论应逐级进行 （3）转化化归思想：所谓化归思想就是化未知为已知、化繁为简、化难为易如将分式 方程化为整式方程，将代数问题化为几何问题，将四边形问题转化为三角形问题等实现 这种转化的方法有：待定系数法、配方法、整体代人法以及化动为静、由抽象到具体等 （4）方程与函数思想：方程与函数是研究数量关系的重要工具，在处理某些问题时，往 往根据已知与未知之间的内在联系和相等关系建立方程（或方程组）或函数关系，这种通 过方程（组）或函数来沟通已知与未知，从而使问题获得解决的思想方法称之为方程与函 数思想 二
4、、分类突破二、分类突破 （一）数形结合（一）数形结合 1最小的正整数是_最大的负整数是 _绝对值最小的数是 _ 2、大于-2.5 而不大于 4 的整数有_个，分别是_ 3、绝对值小于 3 的非负整数是_绝对值不大于 4 的整数是_ 4、设把连接起来”号用“且bbaababa,.0, 0。 点拨：借助数轴可以让此类题形象直观，简便准确 5、化简三个数a、b、c在数轴上的对应点如图1，化简 超级名师工作室 2 accabba 变式 1、化简bacbca 变式 2、化简caaccbba 点拨：从图形中获取有用信息是解决此类题的关键 6、线段 AB,延长 AB 到 C，使 BC= 1 3 AB，D 为
5、 AC 的中点，若 AB9cm，则 DC 的长 为 。 7、已知，线段 AB=6cm，在直线 AB 上截取线段 BC=4cm，若 M，N 分别是 AB，BC 中点 （1）求 M，N 两点间的距离。 （2）AB=a cm，BC=b cm，其他条件不变，此时 MN 是多少？ （3）由（1） ， （2） ，你发现什么规律？ 8、平面内，若45AOC，65BOC，则AOB 。 二、分类讨论法 1、解绝对值方程 |x+5|+2=5 2、 已知| 3,| 2,0,xyxyxy且则_. 的值，求的绝对值为互为倒数，互为相反数，且、smn b a snmabba3, 0。 超级名师工作室 3 4、已知 a 为
6、有理数且 a 错误错误!未找到引用源。未找到引用源。0，则错误错误!未找到引用源。未找到引用源。+错误错误! 未找到引用源。未找到引用源。=_ 变式、若 c c b b a a abc 32 , 0的所有可能值是_ 5、 解关于 x 的方程(2)1axb 6、如果 A、B、C 在同一条直线上，线段 AB=6 cm，BC=2 cm，则 A、C 两点间 的距离是（ ） A、8 cm B、4 cm C、8cm 或 4cm D、无法确定 变式 1：如果在同一条直线上顺次截取 A、B、C，线段 AB=6 cm，BC=2 cm，则 A、C 两点间的距离是（ ） 变式 2、线段 AB=6 cm，BC=2 c
7、m，则 A、C 两点间的距离是（ ） A、8 cm B、4 cm C、8cm 或 4cm D、无法确定 7、已知 A、B、C 三点共线，线段 AB=60，M 为其中点，线段 BC=28，N 为其中点，求 MN 的长。(2)如果设 AB=a，BC=b，表示出 MN 的长。 （三）整体代入法 1、() 1998 1 . 3 1 2 1 )( 1999 1 . 2 1 1 () 1998 1 . 2 1 1)( 1999 1 . 3 1 2 1 变式 1、已知代数式 x2y 的值是 3，则代数式 2x4y1 的值是 （ ） 变式 2、 当代数式 2 35xx的值为 7 时，代数式 2 392xx的值
8、是_ 变式 3、已知, 5, 2 22 xyyxyx则 22 2yxyx的值为（ ） 变式 4、 已知代数式 yx yx 的值是 3，代数式 )( 3 )(2 yx yx yx yx 的值为（ ）. 变式 5、 当2x时，6 35 axaxax的值为 9， 那么当2x时， 多项式的值为 （ ） 变式 6、已知代数式yx 9的值是 3，代数式yx333的值为（ ）. 超级名师工作室 4 变式 7、 , 3, 2abba则)223()4()232(abababbaabba（ ） 思考：已知：, 1, 2 1 cbba 求 232 )()()(cabcab的值. 2、 【例 6】如图：C是线段AB上
9、的一点，点D是线段AC的中点，点E是线段CB的中点。 、如果ABa，ADb，求 EB 、如果DEc,求 AB 5、如图,已知90AOB,30BOC,OM平分AOC,ON平分BOC。 （1）求MON的度数； （2）若（1）中AOB,其他条件不变,求MON的度数； （3）若（2）中BOC，其他条件不变,求MON的度数； （4）从前 3 问中可以看出什么规律. 四、化归思想 所谓化归思想就是化未知为已知、化繁为简、化难为易如将分式方程化为整式方程， 将代数问题化为几何问题，将四边形问题转化为三角形问题等实现这种转化的方法有：待 定系数法、配方法、整体代人法以及化动为静、由抽象到具体等 1、 2005
10、2004 ) 13 5 () 5 13 ( 2、 20001999 )2()2( 点拨：根据乘方的意义转化为乘法解决 A B C O M N 超级名师工作室 5 3、) 1 999 1 )(1 1000 1 )(1 1001 1 ().1 2001 1 () 1 2002 1 () 1 2003 1 ( 点拨：由于负因数的个数无法确定，所以转化为等差数列的项数问题解决 变式： （9-10） （10-11）（101-102） （102-103） 4、 11+12-13-14+15+16-17-18+99+100； 变式、 1995-1992+1989-1986+1983-+15-12+9-6+3
11、 5、下图中共有 条线段， 个三角形。 点拨： 一条直线上的线段条数可以有序思考后转化为等差数列的求和。 数三角形和角可以转 化为数线段问题。生活中很多问题也可以用此法解决。 变式、一条汽车线路上共 有 7 个站，用于这条线路上的车票最多_种。 时钟在 12 点、1 点、1 点半、1 点 20 分、1 点 57 分时，时针和分针的夹角分别 是 、 、 、 、 。 点拨：钟表夹角问题可以转化为追及问题解决点拨：钟表夹角问题可以转化为追及问题解决 6、先阅读下面的材料，然后解答问题： 在一条直线上有依次排列的 n（n1）台机床在工作，我们要设置零件供应站 P，使这 n 台 机床到供应站 P 的距离
12、总和最小，要解决这个问题，先退到比较简单的情形： 如图，如果直线上有 2 台机床时，很明显设在 A1和 A2之间的任何地方都行，因为甲 和乙走的距离之和等于 A1到 A2的距离. 如图，如果直线上有 3 台机床时，不难判断，供应站设在中间一台机床 A2处最合适， 因为如果 P 放在 A2处，甲乙和丙所走的距离之和恰好为 A1到 A3的距离，而如果把 P 放到别 B C D E F G A 超级名师工作室 6 处，例如 D 处，那么甲和丙所走的距离之和仍是 A1到 A3的距离，可是乙还得走从 A2到 D 的 这一段，在是多出来的，一次 P 放在 A2处是最佳选择. 不难知道，如果直线上有 4 台
13、机床，P 应设在第 2 台与第 3 台之间的任何地方；有 5 台机床，P 应设在第 3 台的位置. 问题：有 n 台机床时，P 应设置在何处？ 问题：根据问题的结论,求x1+x2+x3+x617的最小 值. 五、方程的思想 1、已知方程3)2( 1 axa a 是关于x的一元一次方程，试求字母a的值； 2、要使4x是方程0)(3(axx的解，则a ； 3、若25 x与92 x互为相反数，则x的值为 ； 4、若 252 2 n ba与 mnmb a 31 3是同类项，则 nm32 ； 5、若0) 3(1 2 ba，则关于x的方程03 abx的解是（ ） 6、1 B、1 C、 3a b D、2 7
14、、要使多项式 22 1 52310 2 xkxyyxyx中，不含xy项，则k应取（ ） A、1 B、1 C、 1 4 D、 1 4 8、已知方程1324xmx和方程1623xmx的解相同。 （1）求m的值； （2）求代数式 20062005 ) 5 7 2()2(mm的值； 8、如图，线段 AB 被点 C、D 分成了 345 三部分，且 AC 的中点 M 和 DB 的中点 N 之 间的距离是 40 cm，求 AB 的长 9、如图，AOC、BOD 都是直角，且AOB 与AOD 的度数比是 211，求AOB 和 超级名师工作室 7 BOC 的度数 10、 若一个角的余角与这个角的补角之比是 27，
15、求这个角的邻补角 六、特值法 1、已知 y= 3 1 x-1,那么 3 1 x2-2xy+3y2-2 的值是_ 点拨：当已知代数式中有两个字母时可以用特值法更简单。 2、已知10a，比较 2 2 1 , 1 a aa a 的大小（ ） 七、排除法： 1、下列说法错误的是( )。 A、不相交的两条直线叫做平行线 B、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短 C、平行于同一条直线的两条直线互相平行 D、平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 2、下列判断中，正确的是（ ） A、正整数和负整数统称为整数 B、整数和分数统称为有理数 C、正数和负数统称为有理数 D、整数、分数和零统称为
16、有理数 3、已知一个有理数的绝对值是它本身，则这个数是（ ） A、正有理数 B、正有理数和0 C、负有理数 D、0或1 4、若a为有理数，下列判断正确的是（ ） A、a是正数 B、a是负数 C、a不是正数 D、a总比a大 八、从特殊一般特殊的方法解规律题 1、 观察下列算式： 2 1=2， 22 =4， 2 3=8， 24 =16， 2 5=32， 26=64， 27 =128， 2 8=256， 则 2 31的结果的个位数应为（ ） 。 A、2 B、4 C、8 D、6 2(2009 年咸宁市年咸宁市)如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为 48，我们发现第 1 次输出 的结果为 24，第
17、2 次输出的结果为 12，第 2009 次输出的结果为_ 超级名师工作室 8 3 （ （2009 年重庆）年重庆）观察下列图形，则第n个图形中三角形的个数是（ ） A22n B44n C44n D4n 4 (2009 年抚顺市年抚顺市)观察下列图形（每幅图中最小 的三角形都是全等的） ，请写出第n个图中 最小 的三角形的个数有 个 5、 （2009 年青海）年青海）观察下面的一列单项式：x， 2 2x， 3 4x， 4 8x，根据你发现的规 律，第 7 个单项式为 ；第n个单项式为 6 （2002009 9 年广西钦州）年广西钦州）一组按一定规律排列的式子： 2 a， 5 2 a ， 8 3 a ， 11 4 a ， （a0） 则第 n 个式子是_ _（n 为正整数） 第 1 个 第 2 个 第 3 个 （第 23 题） 输入x 1 2x x+3 输出 x为偶数 x为奇数 第 1 个图 第 2 个图 第 3 个图 第 4 个图
