1、专题突破练专题突破练 13 专题三专题三 三角函数与解三角形过关三角函数与解三角形过关 检测检测 一、单项选择题 1.(2020 全国,理 7)在ABC 中,cos C= ,AC=4,BC=3,则 cos B=( ) A. B. C. D. 2.(2020 河南实验中学 4月模拟,4)在函数:y=cos |2x|;y=|cos x|;y=cos( );y=tan 2x- 中,最小正周期为 的所有函数为( ) A. B. C. D. 3.(2020 山东德州二模,5)已知 终边与单位圆的交点 P( - ),且 sin cos 0,则 - 的值等于( ) A. B. C. D.3 4.(2020
2、江西名校大联考,理 8)设 0,将函数 y=sin( )的图象向左平移 个单位长度后与函数 y=cos( )的图象重合,则 的最小值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 5.(2020 河北武邑中学三模,10)已知 x0= 是函数 f(x)=cos( - )cos +cos 3x sin 的一个极小值点,则 f(x)的一个单调递增区间是( ) A.( ) B.(- ) C.( ) D.( ) 6.(2020 天津,8)已知函数 f(x)=sin( ).给出下列结论: f(x)的最小正周期为 2; f( )是 f(x)的最大值; 把函数 y=sin x 的图象上所有点向左平移 个单位长度,可
3、得到函数 y=f(x)的图象. 其中所有正确结论的序号是( ) A. B. C. D. 二、多项选择题 7.(2020 山东菏泽一中月考,9)在ABC中,给出下列 4个命题,其中正确的命题是( ) A.若 AB,则 sin Asin B B.若 sin Asin B,则 AB,则 D.若 Acos2B 8.(2020 山东滨州二模,11)已知函数 f(x)=(asin x+cos x)cos x- 的图象的一条对称轴为 x= ,则下列结论 中正确的是( ) A.f(x)是最小正周期为 的奇函数 B.(- )是 f(x)图象的一个对称中心 C.f(x)在*- +上单调递增 D.先将函数 y=2s
4、in 2x图象上各点的纵坐标缩短为原来的 ,然后把所得函数图象再向左平移 个单 位长度,即可得到函数 f(x)的图象 三、填空题 9.(2020 江苏,8)已知 sin2( ) ,则 sin 2 的值是 . 10.(2020 安徽合肥一中模拟,16)角 A 为 的锐角三角形 ABC 内接于半径为 的圆,则 b+2c 的取值范 围为 . 11.(2020 北京海淀一模,14)在ABC中,AB=4 ,B= ,点 D 在边 BC上,ADC= ,CD=2,则ACD 的面积为 . 四、解答题 12.(2020 山东济南三模,19)已知函数 f(x)=Asin( )(A0,0)只能同时满足下列条件中的两个
5、: 函数 f(x)的最大值为 2,函数 f(x)的图象可由 y= sin( - )的图象平移得到,函数 f(x)图象的相 邻两条对称轴之间的距离为 . (1)请写出这两个条件的序号,并求出 f(x)的解析式; (2)求方程 f(x)+1=0 在区间-,上所有解的和. 13.(2020 湖南长郡中学四模,文 17)为建设美丽新农村,某村对本村布局重新进行了规划,其平面规划 图如图所示,其中平行四边形 ABCD区域为生活区,AC为横穿村庄的一条道路,ADE 区域为休闲公 园,BC=200 m,ACB=AED=60,ABC的外接圆直径为 m. (1)求道路 AC的长; (2)该村准备沿休闲公园的边界
6、修建栅栏,以防村中的家畜破坏公园中的绿化,试求栅栏总长的最大值. 14.(2020 山东青岛 5 月模拟,18)在ABC中,a,b,c分别为角 A,B,C 的对边,且满足 acos 2C=acos C-csin A. (1)求角 C; (2)若ABC为锐角三角形,c=12,求ABC 面积 S 的最大值. 专题突破练 13 专题三 三角函数 与解三角形过关检测 1.A 解析 AB2=AC2+BC2-2 AC BC cos C=16+9-24 =9,AB=3,cos B= - - 2.A 解析 y=cos |2x|=cos 2x,该函数为偶函数,周期 T= =; 将函数 y=cos x在 x轴下方
7、的图象向上翻折即可得到 y=|cos x|的图象,该函数的周 期为 2=; 函数 y=cos( )的最小正周期为 T= =; 函数 y=tan( - )的最小正周期为 T= 综上可得最小正周期为 的所有函数为.故选 A. 3.A 解析 已知 终边与单位圆的交点 P( - ),且 sin cos 0,x0,所以 的最小值为 3.故选 C. 5.A 解析 f(x)=cos( - )cos +cos 3x sin =sin(3x+). 由已知直线 x0= 是函数 f(x)=sin(3x+)过最小值点的对称轴, 结合图象可知( )是函数 f(x)的一个单调递增区间. 因为 ,所以( )是函数 f(x)
8、的一个单调递增区间.故选 A. 6.B 解析 f(x)=sin( ), f(x)最小正周期 T= =2,正确; f( )=sin( )=sin 1,不正确; y=sin x的图象f(x)=sin( )的图象,正确. 故选 B. 7.ABD 解析 若 AB,则 ab,由正弦定理得 2Rsin A2Rsin B,所以 sin Asin B,故 A正确; 同理 B正确;当 A=120,B=30时, 0,故 C 错误; 若 AB,则 sin Asin B,sin2Asin2B,即 1-cos2Acos2B,故 D正确. 故选 ABD. 8.BD 解析 函数 f(x)=(asin x+cos x)cos
9、 x- =asin xcos x+cos 2x- asin 2x+ cos 2x,因为 f(x)图象的一条对称轴为 x= ,所以 f(0)=f( ),即 a (- ),解得 a= , 所以 f(x)= sin 2x+ cos 2x=sin( ) 所以 f(x)的最小正周期为 ,但不是奇函数,故 A错误; f(- )=sin(- )=f(-)=0,所以(- )是 f(x)图象的一个对称中心,故 B正确; x *- +时,2x+ *- +,所以 f(x)在*- +上不是单调函数,故 C 错误; 将函数 y=2sin 2x图象上各点的纵坐标缩短为原来的 ,得 y=sin 2x的图象,再把所得 函数图
10、象向左平移 个单位长度,得 y=sin 2( )=sin 2x+ 的图象,即函数 f(x)的图 象,故 D正确.故选 BD. 9 解析 cos( )=1-2sin2 + =1-2 =- 又 cos( )=-sin 2,sin 2= 10.(4 ,2 解析 由正弦定理 =2R,a=2 sin =3. b+2c=2Rsin B+4Rsin C=2R(sin B+2sin C) =2R sin B+2sin( - ) =2R(2sin B+ cos B) =2 sin(B+),其中锐角 满足 tan = , . 又ABC 为锐角三角形, B ( ), B+ ( ) 由 ( ),知 + , + 在单位
11、圆中画出角 B+ 的三角函数线,由 B+ +, + 及 +和 +的范围, 得 sin( )sin(B+)1. 又 sin( )=cos = , sin(B+)1. 4 b+2c2 11.2 解析 如下图所示,因为在ABC 中,AB=4 ,B= ,点 D在边 BC 上, ADC= ,CD=2, 所以 ,解得 AD= =4 SACD= AD CD sinADC= 4 2sin =2 12.解 (1)函数 f(x)=Asin( )满足的条件为. 理由如下, 由题意可知条件互相矛盾,故为函数 f(x)=Asin( )满足的条件之一. 由可知,T=,所以 =2,故不合题意,所以函数 f(x)=Asin
12、x+ 满足的条件为 .由可知 A=2, 所以 f(x)=2sin 2x+ . (2)因为 f(x)+1=0, 所以 sin( )=- 所以 2x+ =- +2k(kZ)或 2x+ +2k(kZ), 即 x=- +k(kZ)或 x= +k(kZ).又因为 x-,所以 x的取值为- ,- , 所以方程 f(x)+1=0 在区间-,上所有解的和为 13.解 (1)设ABC 的外接圆半径为 R, 由正弦定理可知, =2R,即 AB= sin 60=100 (m), 由余弦定理知,AB2=CA2+CB2-2CA CB cosACB,则 AC2-200AC-150 000=0,解得 AC=500 m. (
13、2)由题意知,AD=BC=200 m,在AED中,设周长为 l,其外接圆半径为 R,则 =2R= ,则 ED=2RsinEAD= sinEAD,EA=2Rsin EDA= sinEDA.则 l=EA+ED+AD= (sinEAD+sinEDA)+200= sin EAD+sin(120-EAD)+200= sinEAD+ cosEAD +200=400sin( EAD+30)+200,则当EAD=60时,周长最大,为 600 m. 14.解 (1)acos 2C=acos C-csin A,由正弦定理得 sin Acos 2C=sin Acos C-sin Csin A. 因为 A(0,),s
14、in A0,cos 2C=cos2C-sin2C, 所以 cos2C-sin2C=cos C-sin C,即(cos C-sin C)(cos C+sin C-1)=0, 所以 cos C=sin C 或 cos C+sin C-1=0.若 cos C=sin C,则 C= ; 若 cos C+sin C-1=0,则 sin C+ = ,因为 C+ , 所以 C+ ,即 C= 综上,C= 或 C= (2)因为ABC 为锐角三角形,所以 C= 因为 c2=144=a2+b2-2abcos =a 2+b2- ab2ab- ab=(2- )ab, 即 ab - =72(2+ )(当且仅当 a=b时,等号成立), 所以 S= absin C= absin ab 72(2+ )=36( +1),即ABC 面积 S 的最 大值是 36( +1).
