1、专题突破练专题突破练 27 圆锥曲线中的定点、定值与存在性圆锥曲线中的定点、定值与存在性 问题问题 1.(2020 山东德州二模,20)已知椭圆 C: =1(ab0)与圆 x 2+y2= b 2相交于 M,N,P,Q四点,四边形 MNPQ为正方形,PF1F2的周长为 2( +1). (1)求椭圆 C 的方程; (2)设直线 l与椭圆 C相交于 A、B 两点,D(0,-1),若直线 AD与直线 BD 的斜率之积为 ,证明:直线恒过 定点. 2.(2020 河南、广东等五省联考,19)已知点 P在圆 O:x2+y2=9 上,点 P 在 x 轴上的投影为 Q,动点 M满 足 4 =3 . (1)求动
2、点 M的轨迹 E 的方程; (2)设 G(-3,0),H(3,0),过点 F(1,0)的动直线 l与曲线 E交于 A、B两点,问直线 AG与直线 BH的斜率之 比是否为定值?若为定值,求出该定值;若不为定值,试说明理由. 3.(2020 山东德州一模,20)已知抛物线 E:x2=2py(p0)的焦点为 F,圆 M 的方程为:x2+y2-py=0,若直线 x=4 与 x轴交于点 R,与抛物线交于点 Q,且|QF|= |RQ|. (1)求出抛物线 E 和圆 M的方程; (2)过焦点 F 的直线 l与抛物线 E交于 A,B 两点,与圆 M 交于 C,D两点(A,C在 y轴同侧),求 证:|AC| |
3、DB|是定值. 4. (2020河北衡水中学高三下学期十调,理 19)已知圆 C1:x2+y2=2,圆 C2:x2+y2=4,如图,C1,C2分别交 x轴 正半轴于点 E,A.射线 OD分别交 C1,C2于点 B,D,动点 P 满足直线 BP与 y轴垂直,直线 DP与 x 轴垂 直. (1)求动点 P 的轨迹 C的方程; (2)过点 E作直线 l交曲线 C于点 M,N,射线 OHl于点 H,且交曲线 C 于点 Q.问: 的值是否 是定值?如果是定值,请求出该定值;如果不是定值,请说明理由. 5.(2020 北京丰台一模,20)已知椭圆 C: =1(ab0)的离心率为 ,点 P(1,0)在椭圆
4、C上,直线 y=y0与椭圆 C交于不同的两点 A,B. (1)求椭圆 C 的方程; (2)直线 PA,PB 分别交 y 轴于 M,N 两点,问:x 轴上是否存在点 Q,使得OQN+OQM= ?若存在,求出 点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由. 6.(2020 山东烟台一模,22)已知椭圆 C: =1(ab0)过点 M(2, ),且焦距为 4. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)设 P 为直线 l:y=2 上一点,Q为椭圆 C 上一点,以 PQ 为直径的圆恒过坐标原点 O. ()求|OP|2+4|OQ|2的取值范围; ()是否存在圆心在原点的定圆恒与直线 PQ 相切?若存在,求出该定圆的方
5、程;若不存在,请说明理由. 专题突破练 27 圆锥曲线中的定点、 定值与存在性问题 1.解 (1)因为四边形 MNPQ 是正方形,由正方形与椭圆的对称性可设 M(x,x),x0,则由 2x2= b 2,即 x2= b 2,代入椭圆方程,得 =1,即 又 2a+2c=2( +1),由解得 a2=2,b2=1. 所以椭圆 C 的方程为 +y2=1. (2)当直线 l 斜率不存在时,设 l:x=m,A(m,yA),B(m,-yA),kAD kBD= - - 不满足题意. 当直线 l 斜率存在时,设 l:y=kx+n(n-1), A(x1,y1),B(x2,y2),联立 - 消去 y,整理得(1+2k
6、2)x2+4knx+2n2-2=0, x1+x2= - ,x1 x2= - 则 kAD kBD= = = = - 即 n2+3n+2=0, 又 n-1,解得 n=-2,所以直线 l 恒过定点(0,-2). 2.解 (1)设 M(x,y),P(x0,y0), 由 4 =3 ,得 又点 P(x0,y0)在圆 O:x2+y2=9 上, x2+ y 2=9, 动点 M的轨迹 E 的方程为: =1. (2)设 l:x=my+1,A(x1,y1),B(x2,y2), 联立 消去 x,得(8m2+9)y2+16my-64=0, 则 y1+y2=- ,y1y2=- , my1y2=4(y1+y2). 设直线
7、AG与直线 BH 的斜率分别为 k1,k2, 则 - - - - , 直线 AG与直线 BH 的斜率之比是定值 3.(1)解 设 Q(4,y0),由|QF|= |RQ|得 y0+ y0,所以 y0=2p. 将点(4,2p)代入抛物线方程得 p=2, 所以抛物线 E:x2=4y,圆 M:x2+y2-2y=0. (2)证明 抛物线 E:x2=4y 的焦点 F(0,1), 设直线 l 的方程是 y=kx+1,A(x1,y1),B(x2,y2), 由 得 x2-4kx-4=0, 则 =16(k2+1)0,且 x1+x2=4k,x1x2=-4. 由条件可知圆 x2+(y-1)2=1的圆心为 M(0,1)
8、,半径为 1,圆心就是抛物线 E的焦点, 由抛物线的定义有|AF|=y1+1,|BF|=y2+1, 则|AC|=|AF|-1=y1,|BD|=|BF|- 1=y2,|AC| |BD|=y1y2=(kx1+1)(kx2+1)=k2x1x2+k(x1+x2)+1=-4k2+4k2+1=1. 即|AC| |BD|为定值,定值为 1. 4.解 (1)当射线 OD的斜率存在时,设斜率为 k,OD方程为 y=kx, 由 得 ,同理得 ,所以 +2 =4,即 =1,当射线 OD的斜率不存在时,点 P(0, )也满足 =1,所以动点 P的轨迹 C 的方程为 =1. (2)由(1)可知 E为 C 的焦点,设直线
9、 l 的方程为 x=my+ (斜率不为 0 时)且设点 M(x1,y1),N(x2,y2),由 消去 x,整理得(m2+2)y2+2 my-2=0, 所以 - - 所以 - 又射线 OQ方程为 y=-mx,代入椭圆 C 的方程得 x2+2(mx)2=4,即 , , 所以 又当直线 l 的斜率为 0 时,也符合条件.综上, 为定值,且为 5.解 (1)由题意 解得 a2=2,b2=1. 所以椭圆 C 的方程为 +x2=1. (2)假设存在点 Q使得OQN+OQM= 设 Q(m,0), 因为OQN+OQM= , 所以OQN=OMQ.则 tan OQN=tan OMQ, 即 , 所以|OQ|2=|O
10、N|OM|. 因为直线 y=y0交椭圆 C 于 A,B两点,则 A,B 两点关于 y轴对称. 设 A(x0,y0),B(-x0,y0)(x01), 因为 P(1,0),则直线 PA 的方程为 y= - (x-1). 令 x=0,得 yM= - - 直线 PB的方程为 y= - (x-1). 令 x=0,得 yN= 因为|OQ|2=|ON|OM|,所以 m2= - 又因为点 A(x0,y0)在椭圆 C 上,所以 =2(1- ). 所以 m2= - - =2,即 m= 所以存在点 Q( ,0),使得OQN+OQM= 成立. 6.解 (1)将点 M(2, )的坐标代入椭圆 C 的方程,得 =1,又
11、a 2-b2=c2,且 2c=4, 所以由 - 解得 a2=8,b2=4,所以椭圆 C 的方程为 =1. (2)设 P(t,2 ),Q(x1,y1).因为以 PQ为直径的圆恒过点 O, 所以 =x1t+2 y1=0,即 y1=- 因为点 Q在椭圆上,所以 =1. ()将 y1=- 代入椭圆,得 , 于是|OP|2+4|OQ|2=t2+8+4( )=t2+ +24,tR. 因为 t2+ +24=t 2+4+ +202 +20=36. 当且仅当 t2+4= ,即 t=2时,取等号. 所以|OP|2+4|OQ|2的取值范围为36,+). ()存在.定圆的方程为 x2+y2=4. 假设存在满足题意的定圆,则点 O到直线 PQ的距离为定值. 因为 P(t,2 ),Q(x1,y1),所以直线 PQ方程为 (x1-t)(y-2 )-(y1-2 )(x-t)=0, 整理可得(y1-2 )x-(x1-t)y-ty1+2 x1=0, 所以 O到直线 PQ 的距离 d= - - - , 由()知,y1=- ,且 , 即 x1t+2 y1=0, 所以|-ty1+2 x1|= +2 x1 = (t 2+8)= , 又 - - - - = , 所以 d= - - - =2,因此,直线 PQ与圆 x 2+y2=4恒相切.
