1、考点考点1 两直线间的位置关系两直线间的位置关系 1.(2016北京文,5,5分)圆(x+1)2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为( ) A.1 B.2 C. D.2 22 答案答案 C 由题意知圆心坐标为(-1,0),将直线y=x+3化成一般形式为x-y+3=0,故圆心到直线的距离 d=.故选C. 22 |-1-03| 1(-1) 2 易错警示易错警示 在应用点到直线的距离公式d=时,一定要将直线方程化成一般形式,正确 写出A,B,C的值,此处符号易出现错误. 00 22 |AxByC AB 2.(2016课标文,6,5分)圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0
2、的距离为1,则a=( ) A.- B.- C. D.2 4 3 3 4 3 答案答案 A 圆的方程可化为(x-1)2+(y-4)2=4,则圆心坐标为(1,4),圆心到直线ax+y-1=0的距离为 =1,解得a=-.故选A. 2 |4-1| 1 a a 4 3 思路分析思路分析 根据圆的方程求出圆心坐标,利用点到直线的距离公式求解. 3.(2018北京理,7,5分)在平面直角坐标系中,记d为点P(cos ,sin )到直线x-my-2=0的距离.当,m变 化时,d的最大值为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案答案 C 解法一:由点到直线的距离公式得d=,cos -msin =cos -
3、 sin ,令sin =,cos =, cos -msin =sin(-), d=1+, 当m=0时,dmax=3,故选C. 解法二:cos2+sin2=1,P点的轨迹是以原点为圆心的单位圆, 2 |cos - sin -2| 1 m m 2 1m 2 1 1m 2 1 m m 2 1 1m 2 1 m m 2 1m 2 2 |- 1-2| 1 m m 2 2 12 1 m m 2 2 1m 又x-my-2=0表示过点(2,0)且斜率不为0的直线, 如图,可得点(-1,0)到直线x=2的距离即为d的最大值.故选C. 名师点睛名师点睛 解法一:利用点到直线的距离公式求最值. 解法二:首先得出P点
4、的轨迹是单位圆,x-my-2=0表示过点(2,0)且斜率不为0的直线,然后利用数形 结合思想轻松得到答案. 4.(2017上海春,5,4分)若关于x、y的方程组无解,则实数a= . 24, 36 xy xay 答案答案 6 解析解析 关于x、y的方程组无解,说明两直线x+2y-4=0与3x+ay-6=0无交点. 则解得a=6. 24, 36 xy xay 1-3 20, 1 (-6)-3 (-4)0, a 1.(2016上海文,3,4分)已知平行直线l1:2x+y-1=0,l2:2x+y+1=0,则l1与l2的距离是 . 以下为教师用书专用 答案答案 2 5 5 解析解析 利用两平行线间的距离
5、公式得d=. 12 22 |-|C C AB 22 |-1-1| 21 2 5 5 名师点睛名师点睛 确定两平行线间的距离,关键是注意应用公式的条件,即x,y的系数必须相同,本题较为 容易,主要考查学生的基本运算能力. 2.(2016上海,文13,理10,4分)设a0,b0.若关于x,y的方程组无解,则a+b的取值范围是 . 1, 1 axy xby 答案答案 (2,+) 解析解析 方程组无解等价于直线ax+y=1与直线x+by=1平行,所以ab=1且ab1. 又a,b为正数,所以a+b2=2(ab1),即a+b的取值范围是(2,+). ab 名师点睛名师点睛 根据方程表示直线探讨得到方程组无
6、解的条件,进一步应用基本不等式达到解题目的. 易错点在于忽视ab.本题能较好地考查学生的逻辑思维能力、基本运算求解能力、数形结合思 想等. 3.(2017上海,12,5分)如图,用35个单位正方形拼成一个矩形,点P1、P2、P3、P4以及四个标记为 “#”的点在正方形的顶点处,设集合=P1,P2,P3,P4,点P,过P作直线lP,使得不在lP上的“#” 的点分布在lP的两侧.用D1(lP)和D2(lP)分别表示lP一侧和另一侧的“#”的点到lP的距离之和.若过P 的直线lP中有且只有一条满足D1(lP)=D2(lP),则中所有这样的P为 . 答案答案 P1、P3、P4 解析解析 建立如图所示的
7、直角坐标系,可得各点坐标分别为P1(0,4),P2(3,2),P3(4,2),P4(6,5),A(0,3),B(1, 0),C(4,4),D(7,1). 以P1点为例,过P1点的直线l1可以表示为kx-y+4=0,若能满足用D1(lP)和D2(lP)分别表示lP一侧和另一 侧的“#”的点到lP的距离之和,则A,B点到直线的距离之和等于C,D点到直线的距离之和,A,B点和 C,D点分别在直线两侧,则可求得-4k-.故依据点到直线的距离公式可得+= +,化简可得k=-,故P1点满足题意. 当经过P2点时,同理可得,y=2,x=3均满足D1(lP)=D2(lP),故不满足题意. 当经过P3点时,同理
8、可得,有且只有一条直线y=2满足题意. 3 7 2 |-34| 1k 2 |4| 1 k k 2 |4 -44| 1 k k 2 |7 -14| 1 k k 2 3 当经过P4点时,同理可得,有且只有一条直线y=x-1满足题意. 故本题正确答案为P1、P3、P4. 4.(2018上海,12,5分)已知常数x1、x2、y1、y2满足:+=1,+=1,x1x2+y1y2=,则+ 的最大值为 . 2 1 x 2 1 y 2 2 x 2 2 y 1 2 11 |-1| 2 xy 22 |-1| 2 xy 答案答案 + 23 解析解析 作出单位圆如图所示,不妨令点A(x1,y1),B(x2,y2), c
9、osAOB=x1x2+y1y2=,AOB=. +的几何意义是A、B两点到直线x+y-1=0的距离之和,设A(cos ,sin ),Bcos ,sin, +1-cos -sin +1-cos-sin=2-cos - sin =2+sin(+)(2+)=+, 最大值为+. | OA OB OA OB 1 2 3 11 |-1| 2 xy 22 |-1| 2 xy 3 3 11 |-1| 2 xy 22 |-1| 2 xy1 2 3 3 1 2 33 22 33 - 22 1 2 6 1 2 623 23 1.(2020课标文,6,5分)已知圆x2+y2-6x=0,过点(1,2)的直线被该圆所截得的
10、弦的长度的最小值为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 考点考点2 直线与圆、圆与圆的位置关系直线与圆、圆与圆的位置关系 答案答案 B 由x2+y2-6x=0得圆心为(3,0),设此点为C,点(1,2)为A,当过点A的弦与AC垂直时,弦长最小,易知|AC|= =2,因为半径,半弦长,弦心距构成直角三角形,所以弦的长度的最小值为2 =2,故选B. 22 2(1-3)2 22 3 -(2 2) 2.(2020课标理,10,5分)若直线l与曲线y=和圆x2+y2=都相切,则l的方程为( ) A.y=2x+1 B.y=2x+ C.y=x+1 D.y=x+ x 1 5 1 2 1 2 1 2 1 2
11、 答案答案 D 由题可知直线l的斜率存在且不为0,设直线l为y=kx+m,直线l与曲线y=的切点为A(x0,y 0).由导数的几何意义可知 =k,即=,点A既在直线l上,又在曲线y=上, kx0+m=,即k+m=,化简可得m=,又直线l与圆x2+y2=相切,=,将m= 代入化简得16k4+16k2-5=0,解得k2=或k2=-(舍去).y=的图象在第一象限,k0,k=,m= ,l的方程为y=x+.故选D. x 0 1 2 x 0 x 1 2k x 00 00 , . ykxm yx 0 x 2 1 2k 1 2k 1 4k 1 5 2 | | 1 m k 5 5 1 4k 1 4 5 4 x
12、1 2 1 2 1 2 1 2 3.(2020课标理,11,5分)已知M:x2+y2-2x-2y-2=0,直线l:2x+y+2=0,P为l上的动点.过点P作M的 切线PA,PB,切点为A,B,当|PM| |AB|最小时,直线AB的方程为( ) A.2x-y-1=0 B.2x+y-1=0 C.2x-y+1=0 D.2x+y+1=0 答案 答案 D (x-1)2+(y-1)2=4,r=2,M(1,1),如图,由题可知,ABPM,|PM| |AB|=2S四边形APBM=2(SPAM+SPBM)=2(|P A|+|PB|),|PA|=|PB|, |PM| |AB|=4|PA|=4=4, 当|PM|最小
13、时,|PM| |AB|最小,易知|PM|min=, 此时|PA|=1,ABl, 设直线AB的方程为y=-2x+b(b-2), 圆心M到直线AB的距离为d=, |AB|=,d2+=|MA|2, 即+=4,解得b=-1或b=7(舍). 综上,直线AB的方程为y=-2x-1,即2x+y+1=0,故选D. 22 | -|PMAM 2 | -4PM 5 4 1 5 |3- | 5 b 4| | PA PM 4 5 2 2 AB 2 (3- ) 5 b4 5 4.(2018课标文,8,5分)直线x+y+2=0分别与x轴,y轴交于A,B两点,点P在圆(x-2)2+y2=2上,则ABP 面积的取值范围是( )
14、 A.2,6 B.4,8 C.,3 D.2,3 2222 答案答案 A 圆心(2,0)到直线x+y+2=0的距离为=2,圆的半径为, 设点P到直线的距离为d, 则dmin=2-=,dmax=2+=3, 又易知A(-2,0),B(0,-2),|AB|=2, (SABP)min= |AB| dmin=2=2, (SABP)max= |AB| dmax=23=6. ABP面积的取值范围是2,6. 故选A. |22| 2 22 222222 2 1 2 1 2 22 1 2 1 2 22 5.(2016山东文,7,5分)已知圆M:x2+y2-2ay=0(a0)截直线x+y=0所得线段的长度是2,则圆M
15、与圆N: (x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是( ) A.内切 B.相交 C.外切 D.相离 2 答案答案 B 圆M的标准方程为x2+(y-a)2=a2(a0),则圆心为(0,a),半径R=a,则圆心到直线x+y=0的距离 d=(a0). 因为圆M截直线x+y=0所得线段的长度为2, 所以2=2=2(a0), 解得a=2,则圆心为M(0,2),半径R=2,又知圆N的圆心为N(1,1),半径r=1,所以|MN|=. 则R-r0)与圆x2+y2=1和圆(x-4)2+y2=1均相切,则k= ,b= . 答案答案 ;- 3 3 2 3 3 解析解析 解法一:由直线与圆相切的充要条件知 解法二:如
16、图所示. 由图易知,直线y=kx+b经过点(2,0),且倾斜角为30,从而k=,且0=+bb=-. 2 2 | | 1, 1 |4| 1 1 b k kb k 2 | |4|, | |1 bkb bk 3 (), 3 2 3 -. 3 k b 舍非正数 3 3 2 3 3 2 3 3 7.(2020天津,12,5分)已知直线x-y+8=0和圆x2+y2=r2(r0)相交于A,B两点.若|AB|=6,则r的值为 . 3 答案答案 5 解析解析 设圆心(0,0)到直线x-y+8=0的距离为d,则d=4, r2=+d2=32+42=25,又r0, r=5. 3 22 |8| 1(- 3) 2 | 2
17、 AB 8.(2018课标文,15,5分)直线y=x+1与圆x2+y2+2y-3=0交于A,B两点,则|AB|= . 答案答案 2 2 解析解析 将圆x2+y2+2y-3=0化为标准方程为x2+(y+1)2=4,则圆心坐标为(0,-1),半径r=2, 圆心到直线x-y+1=0的距离d=, |AB|=2=2=2. 2 2 2 22 -rd 22 2 -( 2)2 方法归纳方法归纳 求解圆的弦长的常用方法: (1)几何法:l=2(其中l为圆的弦长,r为圆的半径,d为弦心距); (2)代数法:联立直线与圆的方程,结合根与系数的关系及弦长公式|AB|=|x1-x2|= 或|AB|=|y1-y2|=(k
18、0)求解. 22 -rd 2 1k 2 1k 2 1212 () -4xxx x 2 1 1 k 2 1 1 k 2 1212 () -4yyy y 9.(2018江苏,12,5分)在平面直角坐标系xOy中,A为直线l:y=2x上在第一象限内的点,B(5,0),以AB为 直径的圆C与直线l交于另一点D.若=0,则点A的横坐标为 . ABCD 答案答案 3 解析解析 本题考查直线与圆的位置关系. 设A(a,2a),a0,则C, 圆C的方程为+(y-a)2=+a2, 由得 =(5-a,-2a)=+2a2-4a=0,a=3或a=-1, 又a0,a=3,点A的横坐标为3. 5 , 2 a a 2 5
19、- 2 a x 2 ( -5) 4 a 2 2 22 5( -5) -( - ), 24 2 , aa xy aa yx 1, 2, D D x y ABCD - -3 ,2- 2 a a 2-2 -15 2 aa 一题多解一题多解 由题意易得BAD=45. 设直线DB的倾斜角为, 则tan =-, tanABO=-tan(-45)=3, kAB=-tanABO=-3. AB的方程为y=-3(x-5), 由得xA=3. 1 2 -3( -5), 2 , yx yx 10.(2019浙江,12,6分)已知圆C的圆心坐标是(0,m),半径长是r.若直线2x-y+3=0与圆C相切于点A(-2,- 1
20、),则m= ,r= . 答案答案 -2; 5 解析解析 设直线2x-y+3=0为l,则ACl,又kl=2, kAC=-,解得m=-2,C(0,-2), r=|AC|=. 1 02 m 1 2 22 (02)(-21)5 一题多解一题多解 由题知点C到直线的距离为, r=|AC|=. 由直线与圆C相切得=,解得m=-2, r=. |-3| 5 m 22 2(1)m 22 2(1)m |-3| 5 m 22 2(-21)5 11.(2016课标理,16,5分)已知直线l:mx+y+3m-=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂 线与x轴交于C,D两点.若|AB|=2,则|CD|
21、= . 3 3 答案答案 4 解析解析 由题意可知直线l过定点(-3,),该定点在圆x2+y2=12上,不妨设点A(-3,),由于|AB|=2,圆 的半径r=2,所以圆心到直线AB的距离为d=3,又由点到直线的距离公式可得d= =3,解得m=-,所以直线l的斜率k=-m=,即直线l的倾斜角为30.如图,过点C作CHBD, 垂足为H,所以|CH|=|AB|=2,在RtCHD中,HCD=30,所以|CD|=4. 333 3 22 (2 3) -( 3) 2 |3 - 3| 1 m m 3 3 3 3 3 2 3 cos30? 1.(2016课标文,15,5分)设直线y=x+2a与圆C:x2+y2-
22、2ay-2=0相交于A,B两点,若|AB|=2,则圆C的 面积为 . 3 以下为教师用书专用 答案答案 4 解析解析 把圆C的方程化为x2+(y-a)2=2+a2,则圆心为(0,a),半径r=.圆心到直线x-y+2a=0的距离d =.由r2=d2+,得a2+2=+3,解得a2=2,则r2=4,所以圆的面积S=r2=4. 2 2a | | 2 a 2 | 2 AB 2 2 a 2.(2018天津理,12,5分)已知圆x2+y2-2x=0的圆心为C,直线(t为参数)与该圆相交于A,B两 点,则ABC的面积为 . 2 -1, 2 2 3- 2 xt yt 答案答案 1 2 解析解析 本题考查直线的参
23、数方程和直线与圆的位置关系. 圆C的标准方程为(x-1)2+y2=1,消去参数t得直线的普通方程为x+y-2=0.圆心C(1,0)到直线的距离d= =,|AB|=2=, 所以ABC的面积为|AB| d=. |10-2| 2 2 2 2 2 2 1 - 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 方法总结方法总结 有关直线与圆相交的计算问题,通常利用点到直线的距离和勾股定理求解. 3.(2017上海春,19,12分)某景区欲建造两条圆形观景步道M1、M2(宽度忽略不计),如图所示,已知AB AC,AB=AC=AD=60(单位:米),要求圆M1与AB、AD分别相切于点B、D,圆M2与AC、AD分别
24、相切 于点C、D. (1)若BAD=60,求圆M1、M2的半径(结果精确到0.1米); (2)若观景步道M1与M2的造价分别为每米0.8千元与每米0.9千元,如何设计圆M1、M2的大小,使总造 价最低?最低总造价是多少?(结果精确到0.1千元) 解析解析 (1)连接M1M2,AM1,AM2,BM1. 圆M1与AB,AD分别相切于点B,D,圆M2与AC,AD分别相切于点C,D, M1M2AD,M1AB=BAD=30,M2AD=15, M1B=ABtanM1AB=60=2034.6. tan 30=, tan 15=2-(负值舍去). 同理可得M2D=60tan 15=60(2-)16.1, 则圆
25、M1,M2的半径分别为34.6米和16.1米. (2)设BAD=2(045),由(1)可知圆M1的半径为60tan 米,圆M2的半径为60tan(45-)米. 设观景步道总造价为y千元, 1 2 3 3 3 2 2tan15? 1-tan 15? 3 3 3 3 则y=0.8260tan +0.9260tan(45-)=96tan +108. 设1+tan =x,则tan =x-1,且1x0,所以BAD为锐角. 所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径. 因此Q选在D处也不满足规划要求. 综上,P和Q均不能选在D处. (3)先讨论点P的位置. 当OBP90时,在PP1B中,PBP1B=1
26、5. 22 AEED 222 - 2 ADAB BD AD AB 7 25 3 5 由上可知,d15.再讨论点Q的位置. 由(2)知,要使得QA15,点Q只有位于点C的右侧,才能符合规划要求.当QA=15时,CQ= =3. 此时,线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径. 综上,当PBAB,点Q位于点C右侧,且CQ=3时,d最小,此时P,Q两点间的距离PQ=PD+CD+CQ= 17+3. 因此,d最小时,P,Q两点间的距离为(17+3)百米. 解法二: (1)如图,过O作OHl,垂足为H. 以O为坐标原点,直线OH为y轴,建立平面直角坐标系. 因为BD=12,AC=6,所以OH=9,直线
27、l的方程为y=9,点A,B的纵坐标分别为3,-3. 因为AB为圆O的直径,AB=10, 所以圆O的方程为x2+y2=25. 从而A(4,3),B(-4,-3),直线AB的斜率为. 因为PBAB,所以直线PB的斜率为-, 直线PB的方程为y=-x-. 22 -QA AC 22 15 -621 21 21 21 3 4 4 3 4 3 25 3 所以P(-13,9),PB=15. 因此道路PB的长为15百米. (2)若P在D处,取线段BD上一点E(-4,0),则EO=45,所以P选在D处不满足规划要求. 若Q在D处,连接AD,由(1)知D(-4,9),又A(4,3), 所以线段AD:y=-x+6(
28、-4x4). 在线段AD上取点M, 22 (-134)(93) 3 4 15 3, 4 因为OM=5, 所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径. 因此Q选在D处也不满足规划要求.综上,P和Q均不能选在D处. (3)先讨论点P的位置. 当OBP90时,在PP1B中,PBP1B=15.由上可知,d15.再讨论点Q的位置. 由(2)知,要使得QA15,点Q只有位于点C的右侧,才能符合规划要求.当QA=15时,设Q(a,9),由AQ= =15(a4),得a=4+3, 所以Q(4+3,9). 此时,线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径. 2 2 15 3 4 22 34 22 ( -4
29、)(9-3)a21 21 综上,当P(-13,9),Q(4+3,9)时,d最小,此时P,Q两点间的距离PQ=4+3-(-13)=17+3. 因此,d最小时,P,Q两点间的距离为(17+3)百米. 212121 21 考点考点1 两直线间的位置关系两直线间的位置关系 A A组组 考点基础题组考点基础题组 1.(2019广东广州调研,4)a=3是直线ax+2y+3a=0和3x+(a-1)y=a-7平行的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案答案 C 题中两直线平行的充要条件是a(a-1)-23=0且2(-a+7)-3a(a-1)0,所以a=3,
30、故a=3是直 线ax+2y+3a=0和3x+(a-1)y=a-7平行的充要条件,故选C. 2.(多选题)(2020山东泰安一模,10)下列说法正确的是( ) A.“c=5”是“点(2,1)到直线3x+4y+c=0的距离为3”的充要条件 B.直线xsin -y+1=0的倾斜角的取值范围为 C.直线y=-2x+5与直线2x+y+1=0平行,且与圆x2+y2=5相切 D.离心率为的双曲线的渐近线方程为y=x 0, 4 3 , 4 32 答案答案 BC 本题主要考查直线倾斜角,点到直线的距离公式,直线与圆相切及双曲线的渐近线的 概念,考查逻辑推理、数学运算的数学素养. 对于选项A,当c=5时,点(2,
31、1)到直线3x+4y+5=0的距离d=3,因此充分性成立;由(2,1)到 3x+4y+c=0的距离为3可得,=3,解得c=5或-25,故必要性不成立,故A不正确; 对于选项B,直线y=xsin +1的斜率为k=sin -1,1,其倾斜角的取值范围为,故B正 确; 对于选项C,由于两直线方程分别为y=-2x+5与y=-2x-1,因此两直线平行,由于(0,0)到直线2x+y-5=0 的距离d=,故直线y=-2x+5与圆x2+y2=5相切,因此C正确; 对于选项D,离心率为的双曲线,其焦点可能在x轴上也可能在y轴上, 当焦点在y轴上时,设其方程为-=1(a0,b0),其离心率e=,又e=,=, b=
32、a,此时渐近线方程为y=x,同理可得,当焦点在x轴上时,渐近线方程为y=x,因此D不 正确,故选BC. |3 24 1 5| 5 |64| 5 c 0, 4 3 , 4 |00-5| 5 5 3 2 2 y a 2 2 x b c a 2 2 1 b a 3 2 2 1 b a 3 2 2 2 2 思路分析思路分析 根据点到直线的距离公式判断选项A错误;根据直线方程可确定直线斜率,由正弦函数 的值域确定斜率的取值范围,进而求出直线倾斜角的范围判断选项B正确;根据两直线平行的判定 及直线与圆相切的判定,可判断选项C正确;根据双曲线渐近线的斜率与离心率的关系,在明确焦点 在哪个轴的基础上,再求出渐
33、近线方程,从而判断选项D错误. 1.(2020重庆巴蜀中学月考(四),3)直线x+2y+2=0与圆x2+y2=4交于A,B两点,O为坐标原点,则AOB 的面积为( ) A. B. C. D. 2 5 5 4 5 8 5 16 5 考点考点2 直线与圆、圆与圆的位置关系直线与圆、圆与圆的位置关系 答案答案 C 圆x2+y2=4的圆心为O(0,0),半径为r=2, 圆心到直线AB的距离为d=, |AB|=2=2=, OAB的面积为|AB|d=.故选C. 22 2 12 2 5 5 22 -rd 2 2 2 5 2 - 5 8 5 5 1 2 1 2 8 5 5 2 5 5 8 5 思路分析思路分析
34、 求出圆心到直线的距离,由垂径定理求得弦长,然后可求面积. 2.(2020广东广州综合测试(一),3)若直线kx-y+1=0与圆x2+y2+2x-4y+1=0有公共点,则实数k的取值范 围是( ) A.-3,+) B.(-,-3 C.(0,+) D.(-,+) 答案答案 D 解法一:直线kx-y+1=0与圆(x+1)2+(y-2)2=4有公共点,直线与圆相切或相交,又圆心(- 1,2)到直线kx-y+1=0的距离d=,r=2, dr,即2,3k2-2k+30, 又=4-36=-320, kR,实数k的取值范围为(-,+). 解法二:将直线与圆的方程联立可得消去y得(1+k2)x2+(2-2k)
35、x-2=0, 又直线与圆有公共点,=(2-2k)2+8(1+k2)=12k2-8k+120,3k2-2k+30,此时求得kR. 解法三:由于直线kx-y+1=0恒过点P(0,1),而(0,1)与圆心(-1,2)的距离d=2=R,即点P在圆内,此时k 可以取任意实数,即kR,故选D. 2 |- -2 1| 1 k k 2 |1| 1 k k 2 |1| 1 k k 22 2 -410, -10, xyxy kx y 2 3.(2020辽宁大连第一中学月考)已知圆C:x2+y2=4,直线l:x-y+6=0,在直线l上任取一点P向圆C作切 线,切点为A,B,连接AB,则直线AB一定过定点( ) A.
36、 B.(1,2) C.(-2,3) D. 2 2 -, 3 3 4 4 -, 3 3 答案答案 A 如图所示:设点P(x0,y0),则x0-y0+6=0. 以CP为直径的圆的方程为x(x-x0)+y(y-y0)=0,又圆C:x2+y2=4,作差可得直线AB的方程为xx0+yy0=4,将y 0=x0+6,代入可得(x+y)x0+6y-4=0,满足 故直线AB过定点. 0, 6 -40 xy y 2 -, 3 2 , 3 x y 2 2 -, 3 3 思路分析思路分析 设点P(x0,y0),根据圆系知识可求出直线AB的方程,再根据点P(x0,y0)在直线l上,可得x0,y0 的关系,代入直线AB的
37、方程,消去y0,即可求出定点. 4.(2020山东东营一中月考,7)瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心 位于同一直线上.这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作ABC, ABC中,AB=AC=4,点B(-1,3),点C(4,-2),且其“欧拉线”与圆(x-3)2+y2=r2相切,则该圆的直径为( ) A.1 B. C.2 D.2 22 答案答案 D 本题考查了直线方程,三角形的“欧拉线”的定义,以及直线和圆相切的条件,考查数学 运算的核心素养. 因为在ABC中,AB=AC=4,所以BC边上的高线、垂直平分线和中线合一,则ABC的“欧拉线” 为边B
38、C的垂直平分线,因为点B(-1,3),点C(4,-2),所以BC的中点为,因为直线BC的斜率为 =-1,所以BC的垂直平分线的斜率为1,所以BC的垂直平分线方程为y-=x-,即x-y-1=0,因为“欧拉 线”与圆(x-3)2+y2=r2相切,所以可得圆心(3,0)到“欧拉线”的距离d=r,所以该圆的直径 为2,故选D. 3 1 , 2 2 32 -1-4 1 2 3 2 |3-0-1| 2 2 2 思路分析思路分析 由等腰三角形的性质可得BC边上的高线,垂直平分线和中线合一,ABC的“欧拉 线”为边BC的垂直平分线,运用中点坐标公式和两直线垂直的关系,求得BC边的垂直平分线的方 程,再由直线和
39、圆相切的条件,可求得r,从而得出直径. 5.(2019河北冀州中学第五次模拟,14)过原点O作圆x2+y2-6x-8y+20=0的两条切线,设切点分别 为P,Q,则线段PQ的长为 . 答案答案 4 解析解析 将圆的方程化为(x-3)2+(y-4)2=5,则圆心为(3,4),半径长为,由题意可设切线方程为y=kx,则 圆心(3,4)到直线y=kx的距离等于半径长,即=,解得k=或k=.则切线方程为y=x或y =x,由得即一个切点坐标为(4,2).由得即 另一个切点坐标为,|PQ|=4.即线段PQ的长为4. 5 5 2 |3 -4| 1 k k 5 1 2 11 2 1 2 11 2 22 1 ,
40、 2 -6 -8200 yx xyxy 4, 2, x y 22 11 , 2 -6 -8200 yx xyxy 4 , 5 22 , 5 x y 4 22 , 55 22 422 4-2- 55 1.(2020广东、福建联考,7)圆C:x2+y2-2x-4y+3=0截直线l:ax+y-1-a=0所得的弦长的最小值为 ( ) A.1 B.2 C. D. 23 B B组组 专题综合题组专题综合题组 (时间:40分钟 分值:70分) 一、单项选择题(每小题5分,共35分) 答案答案 B 直线l:ax+y-1-a=0可化为l:a(x-1)+(y-1)=0,故直线l恒过点P(1,1), 圆C:x2+y
41、2-2x-4y+3=0的圆心为C(1,2),半径为,当直线l垂直于直线PC时,直线l被圆C截得的弦长 最短,此时弦长为2=2. 2 2-1 2.(2020山东烟台一模,7)设P为直线3x-4y+4=0上的动点,PA,PB为圆C:(x-2)2+y2=1的两条切线,A,B为 切点,则四边形APBC面积的最小值为( ) A. B.2 C. D.2 3355 答案答案 A 如图所示.圆C:(x-2)2+y2=1的圆心为C(2,0),半径为1,PA=PB,则S四边形APBC=2 PB CB,又因 为PCB为直角三角形,PB=,因此S四边形APBC=,使四边形APBC的面积最 小,则PC最小,当CP垂直于
42、直线3x-4y+4=0时,CP取最小值,即点C到直线3x-4y+4=0的距离,|PC|min= =2,故四边形APBC面积的最小值为=.故选A. 1 2 22 -PCCB 2-1 PC 2-1 PC |3 2-4 04| 5 2 2 -13 方法总结方法总结 本题考查点到直线的距离,利用几何意义求解四边形的最小面积,点P在直线上,求出圆 心到直线的距离,由于四边形是由两个全等的直角三角形构成的,其中一直角边长是半径1,另一直 角边长可用1与PC表示出来,这可由勾股定理直接得出.把求最小面积转化为求圆心到直线距离, 这充分体现了数形结合的优点. 3.(2020湖北鄂州月考,10)已知直线l1:m
43、x-y-3m+1=0与直线l2:x+my-3m-1=0相交于点P,线段AB是圆C: (x+1)2+(y+1)2=4的一条动弦,且|AB|=2,则|+|的最大值为( ) A.3 B.8 C.5 D.8+2 3PAPB 2222 答案答案 D 本题考查了直线的方程、圆的方程、直线与圆的位置关系以及向量的线性运算,考查 了转化与化归思想和数形结合的思想. 由题意得圆C的圆心为(-1,-1),半径r=2,易知直线l1:mx-y-3m+1=0恒过点(3,1),直线l2:x+my-3m-1=0恒 过点(1,3),且l1l2,点P的轨迹为(x-2)2+(y-2)2=2,其圆心为(2,2),半径为,取D为弦A
44、B的中点, 2 +=2.连接CD,如图.由|AB|=2易知|CD|=1,=|PC|max+|CD|=+ +1=4+1,|+|max=2=8+2. PAPBPD3 2 4-( 3) max |PD 22 33 22PAPB max |PD2 思路分析思路分析 由已知可得点P的轨迹为(x-2)2+(y-2)2=2,将|+|转化为点P到弦AB的中点D的距离 的两倍,利用图形即可得解. PAPB 4.(2019河北衡水金卷(六),5)设曲线y=在点(3,2)处的切线与直线ax+y+1=0垂直,则a=( ) A.2 B.-2 C.- D. 1 -1 x x 1 2 1 2 答案答案 B y=,y=-,曲
45、线y=在点(3,2)处的切线斜率k=-=-,又 知曲线y=在点(3,2)处的切线与直线ax+y+1=0垂直,直线ax+y+1=0的斜率k=-a=-=2,解得a= -2,故选B. 1 -1 x x 2 -1-(1) ( -1) xx x 2 2 ( -1)x 1 -1 x x 2 2 (3-1) 1 2 1 -1 x x 1 k 5.(2018广东茂名模拟,7)若圆x2+y2-4x-4y-10=0上至少有三个不同点到直线l:ax+by=0的距离为2, 则直线l的斜率的取值范围是( ) A.2-,1 B.2-,2+ C. D.0,+) 2 333 3 , 3 3 答案答案 B 圆x2+y2-4x-
46、4y-10=0可化为(x-2)2+(y-2)2=18,则圆心为(2,2),半径为3. 由圆x2+y2-4x-4y-10=0上至少有三个不同点到直线l:ax+by=0的距离为2可得,圆心到直线l:ax+by =0的距离d3-2=.即, 则a2+b2+4ab0, 若a=0,则d=2,不符合题意; 故a0,则上式可化为1+40, 由于直线l的斜率k=-, 所以上式可化为1+k2-4k0,则k2-,2+,故选B. 2 2 222 22 |22 |ab ab 2 2 b a b a a b 33 解后反思解后反思 本题考查了直线与圆上点的距离的应用,将圆x2+y2-4x-4y-10=0上至少有三个不同点到 直线l:ax+by=0的距离为2转化为圆心到直线l:ax+by=0的距离d,是解答本题的关键. 22 6.(2019湖南五市十校高三联考,6)两圆x2+y2+4x-4y=0和x2+y2+2x-8=0相交于两点M,N,则线段MN的 长为( ) A. B.4 C. D. 3 5 5 6 5 5 12 5 5 答案答案 D 两圆方程相减,得直线MN的方程为x-2y+4=0,圆x2+y2+2x-8=0的标准方程为(x+1)2+y2=9, 所以圆x2+y2+2x-8=0的圆心为(-1,0),半径为3,
