1、考点考点1 复数的概念复数的概念 1.(2020课标理,2,5分)复数的虚部是( ) A.- B.- C. D. 1 1-3i 3 10 1 10 1 10 3 10 答案答案 D 利用复数除法法则得=,所以虚部为,选D. 1 1-3i 13i (1-3i)(13i) 1 3i 10 3 10 2.(2020浙江,2,4分)已知aR,若a-1+(a-2)i(i为虚数单位)是实数,则a=( ) A.1 B.-1 C.2 D.-2 答案答案 C 因为a-1+(a-2)i为实数,aR,所以a-2=0,解得a=2,故选C. 3.(2020课标文,2,5分)若z=1+2i+i3,则|z|=( ) A.0
2、 B.1 C. D.2 2 答案答案 C z=1+2i+i3=1+2i-i=1+i,|z|=|1+i|=,故选C. 22 112 4.(2020北京,2,4分)在复平面内,复数z对应的点的坐标是(1,2),则i z=( ) A.1+2i B.-2+i C.1-2i D.-2-i 答案答案 B 由复数的几何意义可知,z=1+2i,所以i z=i (1+2i)=-2+i,故选B. 5.(2019课标理,2,5分)设复数z满足|z-i|=1,z在复平面内对应的点为(x,y),则( ) A.(x+1)2+y2=1 B.(x-1)2+y2=1 C.x2+(y-1)2=1 D.x2+(y+1)2=1 答案
3、答案 C 本题主要考查复数的概念及几何意义;考查学生的运算求解能力,以及数形结合思想;考 查的核心素养是数学运算. 设复数z与i分别表示复平面内的点Z与点P,则P(0,1),且|z-i|表示复平面内点Z与点P之间的距离,所 以点Z(x,y)到点P(0,1)的距离为定值1,所以Z的轨迹是以(0,1)为圆心,1为半径的圆,故选C. 6.(2019课标理,2,5分)设z=-3+2i,则在复平面内对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 z 答案答案 C z=-3+2i,=-3-2i,在复平面内,对应的点的坐标为(-3,-2),此点在第三象限. zz 一题多解一题多解
4、 因为复数z=a+bi(b0)与其共轭复数对应的点总是关于x轴对称的,而复数z对应的点 Z(-3,2)在第二象限,故其共轭复数对应的点必在第三象限. z z 7.(2018北京,理2,文2,5分)在复平面内,复数的共轭复数对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 1 1-i 答案答案 D 本题主要考查复数的概念、运算和几何意义. =+i,其共轭复数为-i.-i在复平面内对应的点在第四象限,故 选D. 1 1-i 1i (1-i)(1i) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 11 ,- 22 8.(2017课标理,3,5分)设有下面四个命题: p1:
5、若复数z满足R,则zR; p2:若复数z满足z2R,则zR; p3:若复数z1,z2满足z1z2R,则z1=; p4:若复数zR,则R. 其中的真命题为( ) A.p1,p3 B.p1,p4 C.p2,p3 D.p2,p4 1 z 2z z 答案答案 B 本题考查复数的计算和命题真假的判断. 对于命题p1,设z=a+bi(a,bR),由=R,得b=0,则zR成立,故命题p1正确;对于命题p 2,设z=a+bi(a,bR),由z 2=(a2-b2)+2abiR,得a b=0,则a=0或b=0,复数z可能为实数或纯虚数,故命题p 2 错误;对于命题p3,设z1=a+bi(a,bR),z2=c+di
6、(c,dR),由z1 z2=(ac-bd)+(ad+bc)iR,得ad+bc=0,不一 定有z1=,故命题p3错误;对于命题p4,设z=a+bi(a,bR),则由zR,得b=0,所以=aR成立,故命题p 4正确.故选B. 1 z 1 iab 22 - ia b ab 2zz 9.(2020江苏,2,5分)已知i是虚数单位,则复数z=(1+i)(2-i)的实部是 . 答案答案 3 解析解析 z=(1+i)(2-i)=2-i+2i+1=3+i,z的实部为3. 10.(2020课标理,15,5分)设复数z1,z2满足|z1|=|z2|=2,z1+z2=+i,则|z1-z2|= . 3 答案答案 2
7、解析解析 设复数z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR),则a2+b2=4,c2+d2=4,又z1+z2=(a+c)+(b+d)i=+i,a+c=, b+d=1,则(a+c)2+(b+d)2=a2+c2+b2+d2+2ac+2bd=4, 8+2ac+2bd=4,即2ac+2bd=-4, |z1-z2|=2. 33 22 ( - )( - )a cb d 2222-(2 2)abcdacbd8-(-4)3 1.(2017北京,文2,理2,5分)若复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限,则实数a的取值范围是 ( ) A.(-,1) B.(-,-1) C.(1,+) D.(-
8、1,+) 以下为教师用书专用 答案答案 B 本题考查复数的概念和运算. 复数(1-i)(a+i)=a+1+(1-a)i在复平面内对应的点在第二象限,a-1.故选B. 10, 1-0, a a 2.(2017课标文,2,5分)复平面内表示复数z=i(-2+i)的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案答案 C z=i(-2+i)=-2i+i2=-2i-1=-1-2i,所以复数z在复平面内对应的点的坐标为(-1,-2),位于第三象 限.故选C. 3.(2017课标文,3,5分)下列各式的运算结果为纯虚数的是( ) A.i(1+i)2 B.i2(1-i) C.(1+
9、i)2 D.i(1+i) 答案答案 C 本题考查复数的运算和纯虚数的定义. A.i(1+i)2=i2i=-2; B.i2(1-i)=-(1-i)=-1+i; C.(1+i)2=2i; D.i(1+i)=-1+i,故选C. 4.(2016北京理,9,5分)设aR.若复数(1+i)(a+i)在复平面内对应的点位于实轴上,则a= . 答案答案 -1 解析解析 (1+i)(a+i)=(a-1)+(a+1)i,aR,该复数在复平面内对应的点位于实轴上,a+1=0,a=-1. 5.(2016江苏,2,5分)复数z=(1+2i)(3-i),其中i为虚数单位,则z的实部是 . 答案答案 5 解析解析 (1+2
10、i)(3-i)=3+5i-2i2=5+5i,所以z的实部为5. 1.(2020新高考,2,5分)(1+2i)(2+i)=( ) A.-5i B.5i C.-5 D.5 考点考点2 复数的运算复数的运算 答案答案 B (1+2i)(2+i)=2+4i+i-2=5i,故选B. 2.(2020课标理,1,5分)若z=1+i,则|z2-2z|=( ) A.0 B.1 C. D.2 2 答案答案 D z=1+i, z2-2z=(1+i)2-2(1+i)=1+2i+i2-2-2i=-2, |z2-2z|=|-2|=2.故选D. 3.(2020新高考,2,5分)=( ) A.1 B.-1 C.i D.-i
11、2-i 12i 答案答案 D =-i.故选D. 2-i 12i (2-i)(1-2i) (12i)(1-2i) -5i 5 4.(2020课标文,2,5分)(1-i)4=( ) A.-4 B.4 C.-4i D.4i 答案答案 A (1-i)4=(1-i)22=(-2i)2=4i2=-4,故选A. 5.(2020课标文,2,5分)若(1+i)=1-i,则z=( ) A.1-i B.1+i C.-i D.i z 答案答案 D (1+i)=1-i, =-i, z=i,故选D. z z 1-i 1 i 2 (1-i) (1 i)(1-i) -2i 2 6.(2019课标文,1,5分)设z=,则|z|
12、=( ) A.2 B. C. D.1 3-i 12i 32 答案答案 C 本题考查复数的四则运算;考查了运算求解能力;考查的核心素养为数学运算. z=-i, |z|=,故选C. 3-i 12i (3-i)(1-2i) (12i)(1-2i) 2 2 3-7i2i 1-(2i) 1-7i 5 1 5 7 5 22 17 - 55 2 一题多解一题多解 由复数模的性质,知|z|=. 3-i 12i |3-i| |12i| 9 1 14 10 5 2 7.(2019课标,文2,理2,5分)若z(1+i)=2i,则z=( ) A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i 答案答案 D 本题考查复
13、数的四则运算,考查学生的运算求解能力,考查的核心素养是数学运算. 由题意得z=1+i,故选D. 2i 1 i 2i(1-i) (1i)(1-i) 解题关键解题关键 正确运算(1+i)(1-i)=2,将分母实数化是求解本题的关键. 8.(2018课标,文2,理1,5分)设z=+2i,则|z|=( ) A.0 B. C.1 D. 1-i 1 i 1 2 2 答案答案 C 本题主要考查复数的相关概念及复数的四则运算. z=+2i=+2i=i,|z|=1,故选C. 2 (1-i) (1 i)(1-i) 1-2i-1 2 9.(2019北京,文2,理1,5分)已知复数z=2+i,则z=( ) A. B.
14、 C.3 D.5 z 35 答案答案 D 本题主要考查复数的运算,共轭复数的概念,考查学生运算求解的能力,考查的核心素养 是数学运算. z=2+i,=2-i,z=(2+i) (2-i)=4+1=5,故选D. zz 一题多解一题多解 由共轭复数的性质,知z=|z|2=22+1=5. z 10.(2018课标,文2,理2,5分)(1+i)(2-i)=( ) A.-3-i B.-3+i C.3-i D.3+i 答案答案 D 本题考查复数的运算. (1+i)(2-i)=2-i+2i-i2=3+i,故选D. 11.(2018课标理,1,5分)=( ) A.-i B.-+i C.-i D.-+i 12i
15、1-2i 4 5 3 5 4 5 3 5 3 5 4 5 3 5 4 5 答案答案 D 本题主要考查复数的四则运算. =-+i,故选D. 12i 1-2i 2 (12i) (1-2i)(12i) -34i 5 3 5 4 5 12.(2018浙江,4,4分)复数(i为虚数单位)的共轭复数是( ) A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i 2 1-i 答案答案 B 本题考查复数的有关概念和运算. =1+i, 的共轭复数为1-i. 2 1-i 2(1i) (1-i)(1i) 2 1-i 思路分析思路分析 (1)利用复数的运算法则把化为a+bi(a,bR)的形式;(2)由共轭复数的定义得出
16、结论. 2 1-i 13.(2017山东理,2,5分)已知aR,i是虚数单位.若z=a+i,z=4,则a=( ) A.1或-1 B.或- C.- D. 3z 7733 答案答案 A 本题主要考查复数的概念及运算. z=a+i(aR),=a-i,又z=4,(a+i)(a-i)=4,a2+3=4,a2=1,a=1.故选A. 3z3z33 14.(2016课标理,2,5分)设(1+i)x=1+yi,其中x,y是实数,则|x+yi|=( ) A.1 B. C. D.2 23 答案答案 B x,yR,(1+i)x=1+yi,x+xi=1+yi, |x+yi|=|1+i|=.故选B. 1, 1, x y
17、22 112 15.(2020天津,10,5分)i是虚数单位,复数= . 8-i 2i 答案答案 3-2i 解析解析 =3-2i. 8-i 2i (8-i)(2-i) (2i)(2-i) 16-10i-1 5 15-10i 5 16.(2019浙江,11,4分)复数z=(i为虚数单位),则|z|= . 1 1 i 答案答案 2 2 解析解析 本题考查复数的概念及四则运算,重点考查对概念的理解以及运算能力. z=-i, |z|=. 1 1 i 1-i (1i)(1-i) 1-i 2 1 2 1 2 22 11 - 22 2 2 一题多解一题多解 由复数模的性质,知|z|=. 1 1 i 1 |1
18、i| 22 1 11 1 2 2 2 17.(2019江苏,2,5分)已知复数(a+2i)(1+i)的实部为0,其中i为虚数单位,则实数a的值是 . 答案答案 2 解析解析 本题考查了复数的概念及运算,考查了学生的运算求解能力,考查的核心素养是数学运算. (a+2i)(1+i)=(a-2)+(a+2)i的实部为0, a-2=0,解得a=2. 解题关键解题关键 掌握复数的有关概念及代数形式的四则运算是解题的关键. 18.(2017天津,文9,理9,5分)已知aR,i为虚数单位,若为实数,则a的值为 . -i 2i a 答案答案 -2 解析解析 本题主要考查复数的概念和运算. 因为=为实数,所以-
19、=0,解得a=-2. -i 2i a ( -i)(2-i) (2i)(2-i) a 2 -1-(2)i 5 aa2 5 a 19.(2019上海春,5,4分)设i为虚数单位,3-i=6+5i,则|z|的值为 . z 答案答案 2 2 解析解析 由3-i=6+5i,得3=6+6i,即=2+2i, |z|=|=2. zzz z 22 222 1.(2017课标文,2,5分)(1+i)(2+i)=( ) A.1-i B.1+3i C.3+i D.3+3i 以下为教师用书专用 答案答案 B 本题考查复数的基本运算. (1+i)(2+i)=2+i+2i+i2=1+3i.故选B. 2.(2017课标理,1
20、,5分)=( ) A.1+2i B.1-2i C.2+i D.2-i 3i 1 i 答案答案 D 本题主要考查复数的四则运算. =2-i.故选D. 3i 1 i (3i)(1-i) (1i)(1-i) 4-2i 2 3.(2016北京文,2,5分)复数=( ) A.i B.1+i C.-i D.1-i 12i 2-i 答案答案 A =i,故选A. 12i 2-i (12i)(2i) (2-i)(2i) 2 2 2i4i2i 4-i 5i 5 4.(2019课标文,2,5分)设z=i(2+i),则=( ) A.1+2i B.-1+2i C.1-2i D.-1-2i z 答案答案 D 本题主要考查
21、复数的有关概念及复数的运算;考查学生的运算求解能力;考查数学运算 的核心素养. z=i(2+i)=2i+i2=-1+2i,=-1-2i,故选D. z 解题关键解题关键 正确理解共轭复数的概念是求解的关键. 5.(2016四川文,1,5分)设i为虚数单位,则复数(1+i)2=( ) A.0 B.2 C.2i D.2+2i 答案答案 C (1+i)2=1+2i+i2=2i,故选C. 6.(2016课标文,2,5分)设复数z满足z+i=3-i,则=( ) A.-1+2i B.1-2i C.3+2i D.3-2i z 答案答案 C z=3-2i,所以=3+2i,故选C. z 7.(2016课标文,2,
22、5分)若z=4+3i,则=( ) A.1 B.-1 C.+i D.-i | | z z 4 5 3 5 4 5 3 5 答案答案 D 由z=4+3i得|z|=5,=4-3i,则=-i,故选D. 22 34z | | z z 4 5 3 5 8.(2016山东理,1,5分)若复数z满足2z+=3-2i,其中i为虚数单位,则z=( ) A.1+2i B.1-2i C.-1+2i D.-1-2i 答案答案 B 设z=a+bi(a,bR),则2z+=2(a+bi)+a-bi=3a+bi=3-2i,a=1,b=-2,z=1-2i,故选B. 9.(2018课标文,1,5分)i(2+3i)=( ) A.3-
23、2i B.3+2i C.-3-2i D.-3+2i 答案答案 D 本题主要考查复数的四则运算. i(2+3i)=2i-3=-3+2i,故选D. 10.(2016课标理,2,5分)若z=1+2i,则=( ) A.1 B.-1 C.i D.-i 4i -1zz 答案答案 C z=(1+2i)(1-2i)=5,=i,故选C. z 4i -1zz 4i 4 11.(2017山东文,2,5分)已知i是虚数单位,若复数z满足zi=1+i,则z2=( ) A.-2i B.2i C.-2 D.2 答案答案 A 本题考查复数的运算. 由zi=1+i得z=1-i, 所以z2=(1-i)2=-2i,故选A. 1 i
24、 i 12.(2017课标理,2,5分)设复数z满足(1+i)z=2i,则|z|=( ) A. B. C. D.2 1 2 2 2 2 答案答案 C 本题考查复数的运算及复数的模. (1+i)z=2i,z=1+i. |z|=. 2i 1 i 2i(1-i) (1i)(1-i) 2(1 i) 2 22 112 一题多解题多解 (1+i)z=2i,|1+i| |z|=|2i|,即 |z|=2,|z|=. 22 112 13.(2016课标文,2,5分)设(1+2i)(a+i)的实部与虚部相等,其中a为实数,则a=( ) A.-3 B.-2 C.2 D.3 答案答案 A (1+2i)(a+i)=(a
25、-2)+(2a+1)i, a-2=2a+1,解得a=-3,故选A. 解后反思解后反思 将复数化为x+yi(x,yR)的形式,然后建立方程是解决问题的关键. 14.(2016课标理,1,5分)已知z=(m+3)+(m-1)i在复平面内对应的点在第四象限,则实数m的取值范 围是( ) A.(-3,1) B.(-1,3) C.(1,+) D.(-,-3) 答案答案 A 由已知可得-3m1.故选A. 30, -10 m m -3, 1 m m 15.(2016四川理,2,5分)设i为虚数单位,则(x+i)6的展开式中含x4的项为( ) A.-15x4 B.15x4 C.-20ix4 D.20ix4 答
26、案答案 A T3=x4i2=-15x4,故选A. 2 6 C 易错警示易错警示 易误认为i2=1而致错. 16.(2018天津理,9,文,9,5分)i是虚数单位,复数= . 67i 12i 答案答案 4-i 解析解析 本题主要考查复数的四则运算. =4-i. 67i 12i (67i)(1-2i) (12i)(1-2i) 20-5i 5 17.(2016上海理,2,4分)设z=,其中i为虚数单位,则Imz(Imz表示复数z的虚部)= . 32i i 答案答案 -3 解析解析 z=2-3i, Imz=-3. 32i i 18.(2017上海春,3,4分)若复数z满足2-1=3+6i(i是虚数单位
27、),则z= . z 答案答案 2-3i 解析解析 2-1=3+6i,=2+3i,z=2-3i. zz 1 36i 2 19.(2018上海,5,4分)已知复数z满足(1+i)z=1-7i(i是虚数单位),则|z|= . 答案答案 5 解析解析 解法一:|z|=5. 解法二:z=-3-4i,|z|=5. |1-7i| |1i| 149 2 25 1-7i 1 i 20.(2017上海,5,4分)已知复数z满足z+=0,则|z|= . 3 z 答案答案 3 解析解析 z2=-3z=i|z|=. 33 21.(2017江苏,2,5分)已知复数z=(1+i)(1+2i),其中i是虚数单位,则z的模是
28、. 答案答案 10 解析解析 本题考查复数的运算. z=(1+i)(1+2i)=1+2i+i+2i2=3i-1, |z|=. 22 3(-1)10 22.(2016天津文,9,5分)i是虚数单位,复数z满足(1+i)z=2,则z的实部为 . 答案答案 1 解析解析 z=1-i,z的实部为1. 2 1 i 一题多解一题多解 设z=x+yi,x,yR, i z=1+2i,i(x+yi)=1+2i,即-y+xi=1+2i, x=2,y=-1,复数z的实部为2. 23.(2018江苏,2,5分)若复数z满足i z=1+2i,其中i是虚数单位,则z的实部为 . 答案答案 2 解析解析 本题考查复数的概念
29、、复数的运算. i z=1+2i, z=2-i. 复数z的实部为2. 12i i (12i)(-i) i(-i) 24.(2017浙江,12,6分)已知a,bR,(a+bi)2=3+4i(i是虚数单位),则a2+b2= ,ab= . 答案答案 5;2 解析解析 本题考查复数的四则运算,复数相等的充要条件,复数模的运算,解二元二次方程组,考查运 算求解能力. 解法一:(a+bi)2=a2-b2+2abi,a,bR, a2+b2=2a2-3=5,ab=2. 解法二:(a+bi)2=a2-b2+2abi,a,bR, 2ab=4,即ab=2, 又|(a+bi)2|=|3+4i|=5,a2+b2=5.
30、22 -3, 24 a b ab 2 2 4 -3, 2 a a ab 2 4, 2. a ab 25.(2016天津理,9,5分)已知a,bR,i是虚数单位.若(1+i)(1-bi)=a,则的值为 . a b 答案答案 2 解析解析 由(1+i)(1-bi)=a得1+b+(1-b)i=a,则 解得所以=2. 1, 1-0, ba b 2, 1, a b a b 考点考点1 复数的概念复数的概念 A A组组 考点基础题组考点基础题组 1.(2020河北衡水中学第九次调研,2)复数z=的虚部为( ) A. B.i C.- D.-i i 5i 5 26 5 26 5 26 5 26 答案答案 A
31、本题考查复数的概念及除法运算,考查了数学运算的核心素养. z=+i,所以z=的虚部为. i(5-i) 26 1 26 5 26 i 5i 5 26 解后反思解后反思 复数的除法运算,首先是分子与分母同乘分母的共轭复数,将分母实数化,同时本题的 一个易错点是复数的虚部是一个实数,此题易错选B项. 2.(2018湖南株洲二模,2)设i为虚数单位,1-i=,则实数a=( ) A.2 B.1 C.0 D.-1 2i 1 i a 答案答案 C 1-i=,=+i, 解得a=0.故选C. 2i 1 i a 2i 1 i a (2i)(1-i) (1i)(1-i) a 2 2 a-2 2 a 2 1, 2 -
32、2 -1, 2 a a 3.(2019广东广州二模,3)设i为虚数单位,则复数z=的共轭复数=( ) A.-i B.+i C.-i D.-+i 2-i i(1i) z 3 2 1 2 3 2 1 2 3 2 1 2 3 2 1 2 答案答案 D z=-i,=-+i,故选D. 2-i i(1i) 2-i -1 i (2-i)(-1-i) (-1i)(-1-i) 3 2 1 2 z 3 2 1 2 4.(2020辽宁大连一中模拟,2)已知i为虚数单位,且复数z满足z(1+2i)=1+i3,则关于复数z的四个命题: 复数z的虚部为-i; |z|=; 复数z对应的点在第三象限; z2, 由|z-z1|
33、-|z-z2|=2,可得Z的轨迹是以点Z1,Z2为焦点,实半轴长a=1,半焦距c=的双曲线的一支,由于该 双曲线的中心是坐标原点,实半轴长a=1,故该双曲线这一支上的一点到坐标原点的最小距离为1, 即|z|min=1.故选A. 22 (1)( -1)ab 22 ( -1)(1)ab 1 2 22 ab2|ab 2 2 命题说明命题说明 选择复数的模构建问题,考查答题者对复数概念的理解.两个模的差是常数,可以构建 代数方程,也可以构建几何曲线,不同的选择后续难度有一定的差别,但均在可接受范围内.试题难 度略高于高考的要求. 思路分析思路分析 思路一:设复数z=a+bi(a,bR),代入|z-z1
34、|-|z-z2|=2,可得关于a,b的一个等式,化简后分析 其与|z|=的联系,再利用基本不等式,即可求得最小值. 思路二:复数z在复平面内对应的点Z的轨迹是以Z1,Z2为焦点,实轴长为2的双曲线的一支,而|z|的几 何意义是该双曲线这一支上的点到坐标原点的距离,利用双曲线的性质可得其最小值. 22 ab 2.(2020 5 3原创题)设复数z1,z2分别对应复平面上的点A,B,且AOB=60,若|z1-z2|=1,则|z1|的最大值 为 . 答案答案 2 3 3 解析解析 解法一:依题意,不妨设复数z1=a,z2=b(1+i)(a,b为正实数), 代入|z1-z2|=1,并化简得4b2-2a
35、b+a2-1=0, 关于b的方程显然有实根, =(-2a)2-44(a2-1)0, 解得a2,即|a|,故|z1|max=. 解法二:AOB=60,且|AB|=|z1-z2|=1,即点O对定长的线段AB张一定角60,可知点O在以AB为弦的 圆M的优弧上,如图所示. 显然线段AO长度(即|z1|)的最大值为圆M的直径. 3 4 3 2 3 3 2 3 3 由平面几何知识,易知该圆直径为2R=,所以|z1|max=. 1 3 2 2 3 3 2 3 3 命题说明命题说明 选择复数的模作为问题的载体,增加一个复平面上的夹角,有意扰乱答题者的思维方 向.考查答题者对复数模的概念及其几何意义的理解.本题
36、的解题思路很开阔,可以从多个角度转 化,这也从侧面考查了答题者思维的灵活性和方向性. 3.(2020 5 3原创题)在复数列an中,已知a1=-i,an=+i(n2,nN*),则= . 2 -1n a 132 019 242 020 aaa aaa 答案答案 -+ 1 2 i 2 解析解析 因为a1=-i,所以 a2=+i=(-i)2+i=i-1; a3=(i-1)2+i=-i; a4=(-i)2+i=i-1; a5=(i-1)2+i=-i; a2 019=-i; a2 020=i-1. 则=-+. 2 1 a 132 019 242 020 aaa aaa -1 010i 1 010(i-1
37、) -i i-1 1 2 i 2 解题关键解题关键 复数是高中数学中涉及面广、知识跨度比较大的内容之一,是研究图形变换和轨迹的 有力工具,应用十分广泛.所以除掌握好复数有关概念、四则运算外,还要熟练地掌握复数解题的 常用技巧.解决本题的关键在于学生要在复数运算的基础上归纳计算方法,找出规律,提高运算能 力、归纳概括能力,避免大量重复计算. 4.(2020 5 3原创题)在数学中,记表达式ad-bc是由所确定的二阶行列式的展开式.若在复数域 内,z1=1+i,z2=,z3=,则当=-i时,z4的虚部为 . ab cd 2i 1-i 2z 12 34 zz zz 1 2 答案答案 -2 解析解析 根据题意有=z1z4-z2z3, 因为z3=,z2=, 所以z2z3=z2=, 因此有(1+i)z4-=-i, 即(1+i)z4=3-i, 整理得z4=1-2i. 所以z4的虚部是-2. 12 34 zz zz 2z 2i 1-i 2z 5 2 5 2 1 2 3-i 1 i (3-i)(1-i) 2 命题说明命题说明 利用题意转化为熟悉的复数运算,最终解出答案答案.要求学生具有较好的思维转化能力与 运算能力.将实数的运算通性、通法扩充到复数,是对数学知识的一种创新,有利于培养学生的学 习兴趣和创新精神.
