1、考点考点1 1 指数式与对数式指数式与对数式 1.(2020课标,8,5分)设alog34=2,则4-a=( ) A. B. C. D. 1 16 1 9 1 8 1 6 答案答案 B alog34=2,a=2log43=log23,4-a=,故选B. 2 -log 3 4 2 -2log 3 2 2 1 log 9 2 1 9 2.(2020课标,10,5分)设a=log32,b=log53,c=,则( ) A.acb B.abc C.bca D.cab 2 3 答案答案 A 因为a=log32=log3log5=c,所以acb.故选A. 3 8 3 9 2 3 3 27 3 25 2 3
2、3.(2020天津,6,5分)设a=30.7,b=,c=log0.70.8,则a,b,c的大小关系为( ) A.abc B.bac C.bca D.ca0)单调递减,可知a=30.730=1,b=30.830.7=a,c= log0.70.8log0.70.7=1,即c1a0),则3361=t 1080,361lg 3=lg t+80,3610.48=lg t+80,lg t=173.28-80= 93.28,t=1093.28.故选D. M N 361 80 3 10 6.(2018课标,13,5分)已知函数f(x)=log2(x2+a).若f(3)=1,则a= . 答案答案 -7 解析解析
3、 本题主要考查函数的解析式及对数的运算. f(x)=log2(x2+a)且f(3)=1,f(3)=log2(9+a)=1, a+9=2,a=-7. 1.(2018上海,11,5分)已知常数a0,函数f(x)=的图象经过点P、Q,若2p+q=36pq,则a = . 2 2 x x ax 6 , 5 p 1 ,- 5 q 以下为教师用书专用 答案答案 6 解析解析 根据题意, f(p)+f(q)=-=1,即+=1,去分母化简得,2p+q=a2pq,又2p+q=36pq,a 2=36,a0,a=6. 6 5 1 5 2 2 p p ap 2 2 q q aq 2.(2015安徽,11,5分)lg +
4、2lg 2-= . 5 2 -1 1 2 答案答案 -1 解析解析 原式=lg+lg 4-2=lg-2=lg 10-2=-1. 5 2 5 4 2 3.(2015天津,12,5分)已知a0,b0,ab=8,则当a的值为 时,log2a log2(2b)取得最大值. 答案答案 4 解析解析 由已知条件得b=,令f(a)=log2a log2(2b),则f(a)=log2a log2=log2a(log216-log2a)=log2a(4-log2 a)=-(log2a)2+4log2a=-(log2a-2)2+4,当log2a=2,即a=4时, f(a)取得最大值. 8 a 16 a 考点考点2
5、 2 指数函数与对数函数指数函数与对数函数 1.(2020课标,12,5分)若2x-2y0 B.ln(y-x+1)0 D.ln|x-y|0 答案答案 A 因为2x-2y3-x-3-y,所以2x-3-x0,所以f(x)在R上为增函数.由2x-3-x 2y-3-y得x1,所以ln(y-x+1)0,故选A. 2.(2019课标,3,5分)已知a=log20.2,b=20.2,c=0.20.3,则( ) A.abc B.acb C.cab D.bca 答案答案 B y=log2x和y=2x是其定义域上的增函数,而y=0.2x是减函数,a=log20.220 =1,c=0.20.3(0,0.20),即c
6、(0,1).ac0且a1,b1.若logab1,则 ( ) A.(a-1)(b-1)0 C.(b-1)(b-a)0 答案答案 D 解法一:logab1=logaa,当a1时,ba1; 当0a1时,0ba1.只有D正确. 解法二:取a=2,b=3,排除A、B、C,故选D. 4.(2017北京,5,5分)已知函数f(x)=3x-,则f(x)( ) A.是偶函数,且在R上是增函数 B.是奇函数,且在R上是增函数 C.是偶函数,且在R上是减函数 D.是奇函数,且在R上是减函数 1 3 x 答案答案 B 本题考查函数的奇偶性、单调性. 易知函数f(x)的定义域为R,f(-x)=3-x-=-3x=-f(x
7、),f(x)为奇函数, 又y=3x在R上为增函数,y=-在R上为增函数, f(x)=3x-在R上是增函数.故选B. - 1 3 x 1 3 x 1 3 x 1 3 x 5.(2017天津,6,5分)已知奇函数f(x)在R上是增函数.若a=-f,b=f(log24.1),c=f(20.8),则a,b,c的大 小关系为( ) A.abc B.bac C.cba D.calog24.1220.8,且y=f(x)在R上为增函数, f(log25)f(log24.1)f(20.8), 即abc,故选C. 6.(2019浙江,6,4分)在同一直角坐标系中,函数y=,y=loga(a0,且a1)的图象可能是
8、( ) 1 x a 1 2 x 答案答案 D 对于函数y=loga,当y=0时,有x+=1,得x=,即y=loga的图象恒过定点, 排除选项A、C;函数y=与y=loga在各自定义域上单调性相反,排除选项B,故选D. 1 2 x 1 2 1 2 1 2 x 1 ,0 2 1 x a 1 2 x 解题关键解题关键 掌握基本初等函数的图象和性质,利用排除法求解是解答本题的关键. 7.(2016课标,8,5分)若ab0,0c1,则( ) A.logaclogbc B.logcalogcb C.accb 答案答案 B 0cb1时,logaclogbc,A项错误; 0cb0, logcalogcb,B项
9、正确; 0cb0,acbc,C项错误; 0cb0,cacb,D项错误.故选B. 8.(2017课标,9,5分)已知函数f(x)=ln x+ln(2-x),则( ) A. f(x)在(0,2)单调递增 B. f(x)在(0,2)单调递减 C.y=f(x)的图象关于直线x=1对称 D.y=f(x)的图象关于点(1,0)对称 答案答案 C 本题考查函数的图象与性质. 函数f(x)=ln x+ln(2-x)=ln x(2-x),其中0xbc B.bac C.cba D.cab 7 2 1 3 1 4 1 3 g 1 5 以下为教师用书专用 答案答案 D 本题主要考查指数式、对数式的大小比较. b=lo
10、g33=1, c=lo=log35log3=a,cab.故选D. 1 3 1 4 0 1 4 7 2 1 3 g 1 5 7 2 方法总结方法总结 比较对数式大小的方法: 若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直接进行判断;若底数为同一字母,则需要对底数 进行分类讨论;若底数不同,真数相同,则可以先用换底公式化为同底后,再进行比较;若底数与 真数都不同,则常借助1,0等中间量进行比较. 2.(2016江苏,19,16分)已知函数f(x)=ax+bx(a0,b0,a1,b1). (1)设a=2,b=. 求方程f(x)=2的根; 若对于任意xR,不等式f(2x)mf(x)-6恒成立,求实数m的最
11、大值; (2)若0a1,函数g(x)=f(x)-2有且只有1个零点,求ab的值. 1 2 解析解析 (1)因为a=2,b=, 所以f(x)=2x+2-x. 方程f(x)=2,即2x+2-x=2,亦即(2x)2-22x+1=0, 所以(2x-1)2=0,于是2x=1,解得x=0. 由条件知f(2x)=22x+2-2x=(2x+2-x)2-2=(f(x)2-2. 因为f(2x)mf(x)-6对于xR恒成立,且f(x)0, 所以m对于xR恒成立. 而=f(x)+2=4,且=4, 所以m4,故实数m的最大值为4. (2)因为函数g(x)=f(x)-2只有1个零点,而g(0)=f(0)-2=a0+b0-
12、2=0, 所以0是函数g(x)的唯一零点. 因为g(x)=axln a+bxln b,又由0a1知ln a0,所以g(x)=0有唯一解x0=lo. 令h(x)=g(x),则h(x)=(axln a+bxln b)=ax(ln a)2+bx(ln b)2, 从而对任意xR,h(x)0,所以g(x)=h(x)是(-,+)上的单调增函数. 1 2 2 ( ( )4 ( ) f x f x 2 ( ( )4 ( ) f x f x 4 ( )f x 4 ( ) ( ) f x f x 2 ( (0)4 (0) f f gb a ln - ln a b 于是当x(-,x0)时,g(x)g(x0)=0.
13、因而函数g(x)在(-,x0)上是单调减函数,在(x0,+)上是单调增函数. 下证x0=0. 若x00,则x00,于是g-2=0,且函数g(x)在以和loga2 为端点的闭区间上的图象不间断,所以在和loga2之间存在g(x)的零点,记为x1.因为0a1,所以lo ga20. 又0,所以x10,同理可得,在和logb2之间存在g(x)的非0的零点,矛盾.因此,x0=0. 于是-=1,故ln a+ln b=0,所以ab=1. 0 2 x 0 2 x log 2 a a log 2 a b log 2 a a 0 2 x 0 2 x 0 2 x 0 2 x ln ln a b 考点考点1 1 指数
14、式与对数式指数式与对数式 A A组组 考点基础题组考点基础题组 1.(2020陕西汉中重点中学第一次联考,7)若log2x+log4y=1,则( ) A.x2y=2 B.x2y=4 C.xy2=2 D.xy2=4 答案答案 B log2x+log4y=log2x+log2y=log2x+log2=log2(x)=1,所以x=2,两边平方得x2y=4.故 选B. 1 2 1 2 y 1 2 y 1 2 y 2.(2018皖西高中教学联盟期末质量检测,4)计算log29log34+2log510+log50.25=( ) A.0 B.2 C.4 D.6 答案答案 D 由对数的运算公式和换底公式可得
15、: log29log34+2log510+log50.25=2log23+log5(1020.25)=4+2=6.故选D. 2 2 log 4 log 3 3.(2018陕西宝鸡质量检测(三),6)“酒驾猛于虎”.所以交通法规规定:驾驶员在驾驶机动车时血液 中酒精含量不得超过0.2 mg/mL.假设某人喝了少量酒,血液中酒精含量迅速上升到0.8 mg/mL,在 停止喝酒后,血液中酒精含量以每小时50%的速度减少,则他至少要经过 小时后才可以驾 驶机动车.( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案答案 B 设n个小时后才可以驾驶机动车,则0.8(1-50%)n=0.2,解得n=log0.50.
16、25=2. 即至少要经过2个小时后才可以驾驶机动车.故选B. 4.(2019安徽宣城八校联考,12)2+-log8= . 2 3 7 2 log3 1 4 1 4 答案答案 10 解析解析 原式=+=10. 2 3 3 3 2 -2log3 2 2 3 考点考点2 2 指数函数与对数函数指数函数与对数函数 1.(2020吉林三模,10)已知a=,b=lo0.2,c=ab,则a,b,c的大小关系是( ) A.abc B.cab C.acb D.bca 0.2 1 2 1 2 g 答案答案 B 依题意,函数y=与函数y=lox关于直线y=x对称,则0lo0.2,即ab. 又c=ab=0.20.2=
17、a,所以ca0且a1)在R上既是奇函数,又是减函数,则g(x)= loga(x+k)的图象是( ) 答案答案 A 本题主要考查对数函数的图象,指数函数的性质,函数的单调性和奇偶性的应用等知识, 意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 函数f(x)=(k-1)ax-a-x(a0,a1)在R上是奇函数, f(0)=0,k=2,经检验k=2满足题意,又函数为减函数, 0a-2,且g(x)单调递减,故选A. 3.(2020陕西榆林三模,6)设x1,x2,x3均为实数,且=ln x1,=ln(x2+1),=lg x3,则( ) A.x1x2x3 B.x1x3x2 C.x2x3x1 D.x2x1x3 1
18、- e x 2 - e x 3 - e x 答案答案 D 画出函数y=,y=ln x,y=ln(x+1),y=lg x的图象,如图所示: 由图象可知x2x10,b0,a1,b1,又f(x)=bx, g(x)=logbx,故f(x),g(x)的单调性相同,四个选项中,单调性相同的是C选项中的图象,故选C. 1 x a 5.(2019西藏拉萨中学第二次月考,3)已知函数f(x)=ax+logax(a0且a1)在1,2上的最大值与最小 值之和为loga2+6,则a的值为( ) A. B. C.2 D.4 1 2 1 4 答案答案 C 当a1时,函数f(x)=ax+logax(a0且a1)递增,且在1
19、,2上的最大值为f(2)=a2+loga2,最小 值为f(1)=a1+loga1; 当0a0且a1)递减,且在1,2上的最大值为f(1)=a1+loga1,最小值为f(2)= a2+loga2, 故最大值和最小值的和为f(1)+f(2)=a2+loga2+a1+loga1=loga2+6,所以a2+a-6=0a=2或a=-3(舍).故选 C. 6.(2019贵州质量测评卷一,15)已知函数y=loga(x-1)+2(a0且a1)的图象恒过定点A,若点A也在函 数f(x)=3x+b的图象上,则b= . 答案答案 -7 解析解析 令x-1=1,得x=2,定点为A(2,2),将定点A的坐标代入函数f
20、(x)中,得2=32+b,解得b=-7. 一、选择题(每小题5分,共40分) B B组组 专题综合题组专题综合题组 (时间：90分钟 分值：45分) 1.(2020百校联盟4月教育教学质量监测,9)已知函数f(x)=lo(x2-ax+a)在上为减函数,则实 数a的取值范围是( ) A.(-,1 B. C. D. 1 2 g 1 , 2 1 -,1 2 1 -,1 2 1 -, 2 答案答案 B 本题考查复合函数单调性的应用,涉及复合函数单调性的判断,考查逻辑推理能力和数 学运算能力. f(x)在上为减函数,又y=lox在(0,+)上为减函数,y=x2-ax+a在上为增函数,且 y0,-,且-a
21、+a0,a1,且a-,a.故选B. 1 , 2 1 2 g 1 , 2 - 2 a1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 -,1 2 解题指导解题指导 对于logaf(x)型(a0,a1)的复合函数的单调性,有以下结论:函数logaf(x)的单调性与函 数u=f(x)(f(x)0)的单调性在a1时相同,在0a0时,函数f(x)的图象与函数 y=log2x的图象关于直线y=x对称,则g(-1)+g(-2)=( ) A.-7 B.-9 C.-11 D.-13 答案答案 C 因为当x0时,函数f(x)的图象与函数y=log2x的图象关于直线y=x对称, 所以f(x)=2x,x0.又函数g(x)=f(
22、x)+x2是奇函数,故g(-1)+g(-2)=-g(1)-g(2)=-f(1)+12+f(2)+22=-(21+1+22+ 22)=-11.故选C. 3.(2020宁夏银川一中三模,6)已知函数f(x)=,a=f(20.3),b=f(0.20.3),c=f(log0.32),则a,b,c的大小关系为 ( ) A.cba B.bac C.bca D.ca1,00.20.31,log0.32f(0.20.3)f(log0.32), 即abc.故选A. 4 -1 2 x x 4.(2020百校联考高考考前冲刺必刷卷(二),10)已知函数f(x)=mx-m(m0,且m1)的图象经过第一、 二、四象限,
23、则a=|f()|,b=|f()|,c=|f(0)|的大小关系为( ) A.cba B.cab C.abc D.ba0,且m1)的图象经过第一、二、四象限, 所以0m1, f(1)=0, 所以函数f(x)为减函数,函数|f(x)|在(-,1)上单调递减,在(1,+)上单调递增, 又因为1=2, 所以ab,又c=|f(0)|=1-m,|f(2)|=m2-m, 则|f(2)|-|f(0)|=m2-10,即|f(2)|f(0)|, 所以abc.故选C. 2 1 2 2 3 8 4 3 4 2 思路分析思路分析 根据题意,得0m1, f(1)=0,则f(x)为减函数,从而得出函数|f(x)|的单调性,可
24、比较a和b,而 c=|f(0)|=1-m,比较|f(0)|,|f(2)|即可. 5.(2020江西省分宜中学、玉山一中等九校4月模拟,10)设a=,b=log52,c=log85,则( ) A.abc B.bca C.cba D.ca40=1, b=log52log55=1,c=log85log88=1, =3=3(log52)2, log52log5=,0(log52)2,03(log52)21,即01,log52log851,bc m),使得f(x)在m,n上的值域为m,n,那么就称y=f(x)是定义域为D的“成功函数”.若函数g (x)=loga(a2x+t)(a0且a1)是定义域为R的
25、“成功函数”,则t的取值范围是( ) A.0t B.0t C.t 1 4 1 4 1 4 1 4 答案答案 A 因为g(x)=loga(a2x+t)(a0且a1)是定义域为R的“成功函数”, 所以g(x)为增函数,且g(x)在m,n上的值域为m,n,故g(m)=m,g(n)=n, 即g(x)=x有两个不相同的实数根. loga(a2x+t)=x,即a2x-ax+t=0.令s=ax,s0, 即s2-s+t=0有两个不同的正数根,可得 解得0t.故选A. 0, 1-40. t t 1 4 方法点睛方法点睛 利用“成功函数”的定义以及对数函数的单调性可构造a2x-ax+t=0,换元后利用方程有 两个
26、正根列式求解即可. 7.(2019陕西安康中学期中,7)已知函数y=4x-3 2x+3,若其值域为1,7,则x可能的取值范围是( ) A.2,4 B.(-,0 C.(0,12,4 D.(-,01,2 答案答案 D 令t=2x,则y=t2-3t+3=+,其图象的对称轴为直线t=. 当x2,4时,t4,16,此时y7,211,不满足题意; 当x(-,0时,t(0,1,此时y1,3),不满足题意; 当x(0,12,4时,t(1,24,16,此时y7,211,不满足题意; 当x(-,01,2时,t(0,12,4,此时y1,7,满足题意.故选D. 2 3 - 2 t 3 4 3 2 3 ,1 4 8.(
27、2019河南新乡二模,9)已知函数f(x)=log3(9x+1)+mx是偶函数,则不等式f(x)+4xlog32的解集为 ( ) A.(0,+) B.(1,+) C.(-,0) D.(-,1) 答案答案 C 由f(x)=log3(9x+1)+mx是偶函数,得f(-x)=f(x),即log3(9-x+1)+m(-x)=log3(9x+1)+mx,变形可得m =-1,即f(x)=log3(9x+1)-x,设g(x)=f(x)+4x=log3(9x+1)+3x,易得g(x)在R上为增函数,且g(0)=log3(90+1)= log32,则f(x)+4xlog32g(x)g(0),则有x0,即不等式的
28、解集为(-,0).故选C. 二、填空题(每小题5分,共5分) 9.(2019四川南充适应性考试一,16)已知函数f(x)=|log3x|,实数m,n满足0mn,且f(m)=f(n),若f(x)在m2,n 上的最大值为2,则= . n m 答案答案 9 解析解析 f(x)=|log3x|,正实数m,n满足m1. f(x)在区间m2,n上的最大值为2,函数f(x)在m2,1)上是减函数,在(1,n上是增函数,-log3m2=2或 log3n=2. 由-log3m2=2得m=,则n=3,此时log3n=1,满足题意,所以=3=9.同理,由log3n=2得n=9,则m=,此 时-log3m2=4,不满
29、足题意. 综上,=9. 1 3 n m 1 3 1 9 n m (2020 5 3原创题)我们知道,互为反函数的指数函数y=ax(a0,且a1)与对数函数y=logax(a0,且a 1)的图象关于直线y=x对称,而所有偶函数的图象都关于y轴对称.现在我们定义:如果函数y=f(x)的 图象关于直线y=x对称,即已知函数f(x)的定义域为D,xD,若y=f(x),x=f(y)也成立,则称函数f(x)为 “自反函数”.显然斜率为-1的一次函数f(x)=-x+b都是“自反函数”,它们都是单调递减的函数.你 认为是否还存在其他的“自反函数”?如果有,请举例说明,并对该“自反函数”的基本性质提出 一些猜想
30、;如果没有,请说明理由. 解析解析 有.举例如下:根据“自反函数”的定义,函数f(x)=(k0)是“自反函数”. “自反函数”f(x)=(k0)的定义域、值域均为(-,0)(0,+);当k0时, f(x)=(k0)在区间(- ,0),(0,+)上为减函数;当k0时, f(x)=(k0)在区间(-,0),(0,+)上为增函数;f(x)=(k0)是 奇函数,但不是周期函数. k x k x k x k x k x 素养解读素养解读 本题以熟悉的“轴对称”为背景,通过函数图象为轴对称图形(关于直线对称),形成一 个新定义,要求答题者准确理解新定义,并在个人的知识储备中选择熟悉的函数,对其函数性质进 行正确的表述.重点考查逻辑推理和直观想象的核心素养,对数学建模能力也有一定要求,要求答 题者能从数学角度发现、分析、解决问题.
