1、考点考点1 1 随机事件的概率随机事件的概率 1.(2018课标,5,5分)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45,既用现金支付也用非现金支 付的概率为0.15,则不用现金支付的概率为( ) A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.7 答案答案 B 本题考查互斥事件、对立事件的概率. 设事件A为“不用现金支付”,事件B为“既用现金支付也用非现金支付”,事件C为“只用现金支 付”,则P(A)=1-P(B)-P(C)=1-0.15-0.45=0.4.故选B. 2.(2019课标,14,5分)我国高铁发展迅速,技术先进.经统计,在经停某站的高铁列车中,有10个车次 的正点率为0.97,有2
2、0个车次的正点率为0.98,有10个车次的正点率为0.99,则经停该站高铁列车所 有车次的平均正点率的估计值为 . 答案答案 0.98 解析解析 设经停该站高铁列车所有车次中正点率为0.97的事件为A,正点率为0.98的事件为B,正点率 为0.99的事件为C,则用频率估计概率有P(A)=,P(B)=,P(C)= ,所以经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为0.97+0.98+0.99=0.98. 10 1020 10 1 4 20 1020 10 1 2 10 1020 10 1 4 1 4 1 2 1 4 3.(2020北京,18,14分)某校为举办甲、乙两项不同活动,分别设计了相应
3、的活动方案:方案一、方案 二.为了解该校学生对活动方案是否支持,对学生进行简单随机抽样,获得数据如下表: 假设所有学生对活动方案是否支持相互独立. (1)分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率; (2)从该校全体男生中随机抽取2人,全体女生中随机抽取1人,估计这3人中恰有2人支持方案一的 概率; (3)将该校学生支持方案二的概率估计值记为p0.假设该校一年级有500名男生和300名女生,除一年 级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为p1.试比较p0与p1的大小.(结论不要求证明) 男生 女生 支持 不支持 支持 不支持 方案一 200人 400人 300人 100人 方
4、案二 350人 250人 150人 250人 解析解析 (1)设“该校男生支持方案一”为事件A,“该校女生支持方案一”为事件B. 依题意知,抽取的样本中共有男生600人,其中支持方案一的有200人,故P(A)=;抽取的样本 中共有女生400人,其中支持方案一的有300人,故P(B)=. (2)由(1)可知,“该校男生支持方案一”的概率估计值为;“该校女生支持方案一”的概率估计 值为. 设“抽取的该校2个男生和1个女生中,支持方案一的恰有2人”为事件C,该事件包括“2个男生均 支持方案一而女生不支持方案一”“2个男生中有且只有1人支持方案一且女生支持方案一”,故 所求概率为 P(C)=+=. (
5、3)p1=, 则p2p0,故可知该校除一年级外其他年级学生支持方案二的概率应低于平均概率,即p1,所以该校除一年级外 其他年级学生支持方案二的概率应低于平均概率,即p1p0. 81 160 81 160 80 160 1 2 350 150 600400 1 2 5 3 3 2 4.(2017课标,18,12分)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每 瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量 与当天最高气温(单位:)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间2 0,25),需求量为300瓶
6、;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前 三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表: 以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率. (1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率; (2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元).当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时, 写出Y的所有可能值,并估计Y大于零的概率. 最高气温 10,15) 15,20) 20,25) 25,30) 30,35) 35,40) 天数 2 16 36 25 7 4 解析解析 本题考查概率的计算. (1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶,当且仅
7、当最高气温低于25,由表格数据知,最高气温低于25 的频率为=0.6,所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6. (2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时, 若最高气温不低于25,则Y=6450-4450=900; 若最高气温位于区间20,25),则Y=6300+2(450-300)-4450=300; 若最高气温低于20,则Y=6200+2(450-200)-4450=-100. 所以,Y的所有可能值为900,300,-100. Y大于零当且仅当最高气温不低于20,由表格数据知,最高气温不低于20的频率为=0. 8,因此Y大于零的概率的估计值为0.8. 2 1636 90
8、 362574 90 5.(2016课标,18,12分)某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续 保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下: 随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表: (1)记A为事件:“一续保人本年度的保费不高于基本保费”.求P(A)的估计值; (2)记B为事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”.求P(B)的估计值; (3)求续保人本年度平均保费的估计值. 上年度出险 次数 0 1 2 3 4 5 保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 出险次数 0 1 2 3
9、4 5 频数 60 50 30 30 20 10 解析解析 (1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2. 由所给数据知,一年内出险次数小于2的频率为=0.55,故P(A)的估计值为0.55.(3分) (2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4. 由所给数据知,一年内出险次数大于1且小于4的频率为=0.3, 故P(B)的估计值为0.3.(6分) (3)由所给数据得 (10分) 调查的200名续保人的平均保费为 0.85a0.30+a0.25+1.25a0.15+1.5a0.15+1.75a0.10+2a0.05=1.192 5a. 因此,续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a
10、.(12分) 保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 频率 0.30 0.25 0.15 0.15 0.10 0.05 6050 200 3030 200 6.(2019北京,17,12分)改革开放以来,人们的支付方式发生了巨大转变.近年来,移动支付已成为主 要支付方式之一.为了解某校学生上个月A,B两种移动支付方式的使用情况,从全校所有的1 000名 学生中随机抽取了100人,发现样本中A,B两种支付方式都不使用的有5人,样本中仅使用A和仅使 用B的学生的支付金额分布情况如下: (1)估计该校学生中上个月A,B两种支付方式都使用的人数; (2)从样本仅使用B的学生中随机
11、抽取1人,求该学生上个月支付金额大于2 000元的概率; (3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人,发 现他本月的支付金额大于2 000元.结合(2)的结果,能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额 大于2 000 元的人数有变化?说明理由. 支付金额 支付方式 不大于2 000元 大于2 000元 仅使用A 27人 3人 仅使用B 24人 1人 解析解析 (1)由题知,样本中仅使用A的学生有27+3=30人,仅使用B的学生有24+1=25人,A,B两种支付 方式都不使用的学生有5人.故样本中A,B两种支付方式都使用的学生有100-30-25-5=
12、40人. 估计该校学生中上个月A,B两种支付方式都使用的人数为1 000=400. (2)记事件C为“从样本仅使用B的学生中随机抽取1人,该学生上个月的支付金额大于2 000元”, 则P(C)=0.04. (3)记事件E为“从样本仅使用B的学生中随机抽查1人,该学生本月的支付金额大于2 000元”. 假设样本仅使用B的学生中,本月支付金额大于2 000元的人数没有变化,则由(2)知,P(E)=0.04. 答案示例1:可以认为有变化. 理由如下: P(E)比较小,概率比较小的事件一般不容易发生,一旦发生,就有理由认为本月支付金额大于2 000 元的人数发生了变化.所以可以认为有变化. 答案示例2
13、:无法确定有没有变化. 理由如下: 事件E是随机事件,P(E)比较小,一般不容易发生,但还是有可能发生的.所以无法确定有没有变化. 40 100 1 25 1.(2016天津,2,5分)甲、乙两人下棋,两人下成和棋的概率是,甲获胜的概率是,则甲不输的概率 为( ) A. B. C. D. 1 2 1 3 5 6 2 5 1 6 1 3 以下为教师用书专用 答案答案 A 设“两人下成和棋”为事件A,“甲获胜”为事件B.事件A与B是互斥事件,所以甲不输 的概率P=P(A+B)=P(A)+P(B)=+=,故选A. 1 2 1 3 5 6 2.(2018北京,17,13分)电影公司随机收集了电影的有关
14、数据,经分类整理得到下表: 好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值. (1)从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率; (2)随机选取1部电影,估计这部电影没有获得好评的概率; (3)电影公司为增加投资回报,拟改变投资策略,这将导致不同类型电影的好评率发生变化.假设表 格中只有两类电影的好评率数据发生变化,那么哪类电影的好评率增加0.1,哪类电影的好评率减 少0.1,使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大?(只需写出结论) 电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类 电影部数 140 50 300 200
15、800 510 好评率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1 解析解析 (1)由题意知,样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2 000, 第四类电影中获得好评的电影部数是2000.25=50. 故所求概率为=0.025. (2)由题意知,样本中获得好评的电影部数是 1400.4+500.2+3000.15+2000.25+8000.2+5100.1 =56+10+45+50+160+51 =372. 故所求概率估计为1-=0.814. (3)增加第五类电影的好评率,减少第二类电影的好评率. 50 2 000 372 2 000 3.(2012课标全国
16、,18,12分)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10 元的价格出售.如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理. (1)若花店一天购进17枝玫瑰花,求当天的利润y(单位:元)关于当天需求量n(单位:枝,nN)的函数 解析式; (2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表: (i)假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花,求这100天的日利润(单位:元)的平均数; (ii)若花店一天购进17枝玫瑰花,以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率,求当天 的利润不少于75元的概率. 日需求量n 14 15 16 17 18 19 20 频数 1
17、0 20 16 16 15 13 10 解析解析 (1)当日需求量n17时,利润y=85. 当日需求量n17时,利润y=10n-85. 所以y关于n的函数解析式为 y=(nN). (2)(i)这100天中有10天的日利润为55元,20天的日利润为65元,16天的日利润为75元,54天的日利润 为85元,所以这100天的日利润的平均数为(5510+6520+7516+8554)=76.4. (ii)利润不低于75元当且仅当日需求量不少于16枝.故当天的利润不少于75元的概率为P=0.16+0.1 6+0.15+0.13+0.1=0.7. 10 -85,17, 85,17 nn n 1 100 1
18、.(2020课标,4,5分)设O为正方形ABCD的中心,在O,A,B,C,D中任取3点,则取到的3点共线的概率 为( ) A. B. C. D. 1 5 2 5 1 2 4 5 考点考点2 2 古典概型古典概型 答案答案 A 从O,A,B,C,D中任取3点的情况有(O,A,B),(O,A,C),(O,A,D),(O,B,C),(O,B,D),(O,C,D),(A,B, C),(A,B,D),(B,C,D),(A,C,D),共有10种不同的情况,由图可知取到的3点共线的有(O,A,C)和(O,B,D) 两种情况,所以所求概率为=.故选A. 2 10 1 5 2.(2019课标,3,5分)两位男同
19、学和两位女同学随机排成一列,则两位女同学相邻的概率是( ) A. B. C. D. 1 6 1 4 1 3 1 2 答案答案 D 本题考查古典概型,以现实生活中常见的学生排队问题为背景,考查学生对数学知识的 应用意识. 设两位男同学分别为A、B,两位女同学分别为a、b,则四位同学排成一列,所有可能的结果用树状 图表示为 共24种结果,其中两位女同学相邻的结果有12种, P(两位女同学相邻)=,故选D. 12 24 1 2 3.(2019课标,4,5分)生物实验室有5只兔子,其中只有3只测量过某项指标.若从这5只兔子中随机 取出3只,则恰有2只测量过该指标的概率为( ) A. B. C. D.
20、2 3 3 5 2 5 1 5 答案答案 B 本题主要考查古典概型;考查学生的逻辑推理和运算求解能力;考查的核心素养是数学 运算与数据分析. 记5只兔子分别为A,B,C,D,E,其中测量过某项指标的3只兔子为A,B,C,则从这5只兔子中随机取出3 只的基本事件有ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,BCD,BCE,BDE,CDE,共10种,其中恰有2只测量过 该指标的基本事件有ABD,ABE,ACD,ACE,BCD,BCE,共6种,所以所求事件的概率P=. 6 10 3 5 4.(2018课标,5,5分)从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务,则选中的2人都是女同学 的概率为
21、( ) A.0.6 B.0.5 C.0.4 D.0.3 答案答案 D 设两名男生为A,B,三名女生为a,b,c,则从5人中任选2人有(A,a),(A,b),(A,c),(B,a),(B,b),(B, c),(a,b),(a,c),(b,c),(A,B),共10种.2人都是女同学的有(a,b),(a,c),(b,c),共3种,所以所求概率为=0.3. 3 10 方法总结方法总结 古典概型概率的求法: (1)应用公式P(A)=求概率的关键是寻求基本事件的总数和待求事件包含的基本事件的个数. (2)基本事件个数的确定方法: 列举法:此法适用于基本事件较少的古典概型; 列表法:此法适用于从多个元素中选
22、定两个元素的试验,也可看成是坐标法; 画树状图法:画树状图法是进行列举的一种常用方法,适用于有顺序的问题或较复杂问题中基 本事件数的探求. m n 5.(2017课标,11,5分)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张,放回后再随机抽取1张,则抽 得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( ) A. B. C. D. 1 10 1 5 3 10 2 5 答案答案 D 画出树状图如图: 可知所有的基本事件共有25个,满足题意的基本事件有10个,故所求概率P=.故选D. 10 25 2 5 思路分析思路分析 由树状图列出所有的基本事件,可知共有25个,满足题目要求的基本事件共
23、有10个.由 古典概型概率公式可知所求概率P=. 10 25 2 5 易错警示易错警示 本题易因忽略有放回抽取而致错. 6.(2016课标,3,5分)为美化环境,从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中,余 下的2种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( ) A. B. C. D. 1 3 1 2 2 3 5 6 答案答案 C 从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种有以下选法:(红黄)、(红白)、(红紫)、(黄 白)、(黄紫)、(白紫),共6种,其中红色和紫色的花不在同一花坛(亦即黄色和白色的花不在同一花 坛)的选法有4种,所以所求事件的概率P=,故选C. 2
24、 3 7.(2016课标,5,5分)小敏打开计算机时,忘记了开机密码的前两位,只记得第一位是M,I,N中的一 个字母,第二位是1,2,3,4,5中的一个数字,则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是( ) A. B. C. D. 8 15 1 8 1 15 1 30 答案答案 C 小敏输入密码前两位的所有可能情况如下: (M,1),(M,2),(M,3),(M,4),(M,5), (I,1),(I,2),(I,3),(I,4),(I,5), (N,1),(N,2),(N,3),(N,4),(N,5),共15种. 而能开机的密码只有一种,所以小敏输入一次密码能够成功开机的概率为. 1 15 8.(
25、2017天津,3,5分)有5支彩笔(除颜色外无差别),颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中 任取2支不同颜色的彩笔,则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为( ) A. B. C. D. 4 5 3 5 2 5 1 5 答案答案 C 本题考查古典概型. 从5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔,有以下10种情况:(红,黄),(红,蓝),(红,绿),(红,紫),(黄,蓝),(黄, 绿),(黄,紫),(蓝,绿),(蓝,紫),(绿,紫).其中含有红色彩笔的有4种情况:(红,黄),(红,蓝),(红,绿),(红,紫), 所以所求事件的概率P=,故选C. 4 10 2 5 9.(2020江苏,4,5分)将
26、一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次,观察向上的点数,则点数和为5的概 率是 . 答案答案 1 9 解析解析 抛掷一颗骰子2次,所有基本事件有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6, 4),(6,5),(6,6),共36个,其中点数之和为5的有(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),共4个,故所求概率P=. 4 36 1 9 10.(2017上海,9,5分)已知四个函数:y=-x,y=-,y=x3,y=,从中任选2个,则事件“所选2个 函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为 . 1 x 1 2 x 答案答案 1
27、3 解析解析 给出四个函数:y=-x,y=-,y=x3,y=,从中任选2个,基本事件总数n=6, 结合函数图象(图略)可知,事件A:“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”包含的基本事件有 ,共2个, P(A)=. 1 x 1 2 x 2 6 1 3 11.(2019江苏,6,5分)从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务,则选出的2名同学 中至少有1名女同学的概率是 . 答案答案 7 10 解析解析 本题主要考查了古典概型和古典概型概率的计算方法,考查学生的应用意识和运算求解能 力,考查的核心素养是逻辑推理和数学运算. 记3名男同学分别为a1、a2、a3,2名女同学分别为b1、b
28、2,从这5名同学中选出2名同学的选法如下:(a 1,a2),(a1,a3),(a1,b1),(a1,b2),(a2,a3),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),(b1,b2),共10种,其中至少有1名女同学的选 法如下:(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),(b1,b2),共7种,故所求概率P=. 7 10 解后反思解后反思 解决古典概型概率问题的关键是不重不漏地列出所有基本事件,既可以从正面直接求 解,也可以从反面找对立事件来求解. 12.(2019天津,15,13分)2019年,我国施行个人所得税专项附加
29、扣除办法,涉及子女教育、继续教 育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青 员工分别有72,108,120人,现采用分层抽样的方法,从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣 除的享受情况. (1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人? (2)抽取的25人中,享受至少两项专项附加扣除的员工有6人,分别记为A,B,C,D,E,F.享受情况如下 表,其中“”表示享受,“”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访. (i)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果; (ii)设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”,求事件M发生的概率. 员工 项
30、目 A B C D E F 子女教育 继续教育 大病医疗 住房贷款利息 住房租金 赡养老人 解析解析 本题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率 计算公式等基本知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力. (1)由已知,老、中、青员工人数之比为6910,由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员工,因 此应从老、中、青员工中分别抽取6人,9人,10人. (2)(i)从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为A,B,A,C,A,D,A,E,A,F,B,C,B,D, B,E,B,F,C,D,C,E,C,F,D,E,D,F,E,F,共15种. (ii)由表格知,符合题
31、意的所有可能结果为A,B,A,D,A,E,A,F,B,D,B,E,B,F,C,E, C,F,D,F,E,F,共11种. 所以,事件M发生的概率P(M)=. 11 15 1.(2016北京,6,5分)从甲、乙等5名学生中随机选出2人,则甲被选中的概率为( ) A. B. C. D. 1 5 2 5 8 25 9 25 以下为教师用书专用 答案答案 B 设这5名学生为甲、乙、丙、丁、戊,从中任选2人的所有情况有(甲,乙),(甲,丙),(甲,丁), (甲,戊), (乙,丙),(乙,丁),(乙,戊), (丙,丁),(丙,戊), (丁,戊), 共4+3+2+1=10种. 其中甲被选中的情况有(甲,乙),
32、(甲,丙),(甲,丁),(甲,戊),共4种, 故甲被选中的概率为=.故选B. 4 10 2 5 易错警示易错警示 在列举基本事件时要做到不重不漏,可画树状图,如图. 2.(2015课标全国,4,5分)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这3个数为一 组勾股数.从1,2,3,4,5中任取3个不同的数,则这3个数构成一组勾股数的概率为( ) A. B. C. D. 3 10 1 5 1 10 1 20 答案答案 C 从1,2,3,4,5中任取3个不同的数有10种取法:(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5), (2,3,4),(
33、2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),其中能构成一组勾股数的有1种:(3,4,5),故所求事件的概率P=,故选 C. 1 10 3.(2013课标全国,3,5分)从1,2,3,4中任取2个不同的数,则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是 ( ) A. B. C. D. 1 2 1 3 1 4 1 6 答案答案 B 从1,2,3,4中任取2个不同的数,共有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)6种不同的结果,取出 的2个数之差的绝对值为2的有(1,3),(2,4)2种结果,概率为,故选B. 1 3 4.(2018江苏,6,5分)某兴趣小组有2名男生和3名女
34、生,现从中任选2名学生去参加活动,则恰好选中2 名女生的概率为 . 答案答案 3 10 解析解析 本题考查古典概型. 把男生编号为男1,男2,女生编号为女1,女2,女3,则从5名学生中任选2名学生有:男1男2,男1女1,男1女2,男1 女3,男2女1,男2女2,男2女3,女1女2,女1女3,女2女3,共10 种情况,其中选中2名女生有3种情况,则恰好选中2 名女生的概率为. 3 10 易错警示易错警示 在使用古典概型的概率公式时,应注意:(1)要判断该概率模型是不是古典概型;(2)分清 基本事件总数n与事件A包含的基本事件数m,常用列举法把基本事件一一列举出来,再利用公式P (A)=求出事件A
35、发生的概率,列举时尽量按某一顺序,做到不重复、不遗漏. m n 5.(2018上海,9,5分)有编号互不相同的五个砝码,其中5克、3克、1克砝码各一个,2克砝码两个,从 中随机选取三个,则这三个砝码的总质量为9克的概率是 (结果用最简分数表示). 答案答案 1 5 解析解析 本题主要考查古典概型的概率计算.记5克、3克、1克砝码分别为5、3、1,两个2克砝码分 别为2a,2b,则从这五个砝码中随机选取三个,有以下选法:(5,3,1),(5,3,2a),(5,3,2b),(5,1,2a),(5,1,2b), (5,2a,2b),(3,1,2a),(3,1,2b),(3,2a,2b),(1,2a,
36、2b),共10种,其中满足三个砝码的总质量为9克的有(5,3,1), (5,2a,2b),共2种,故所求概率P=. 2 10 1 5 6.(2016上海,11,4分)某食堂规定,每份午餐可以在四种水果中任选两种,则甲、乙两同学各自所选 的两种水果相同的概率为 . 答案答案 1 6 解析解析 将4种水果每两种分为一组,有=6种方法,则甲、乙两位同学各自所选的两种水果相同的 概率为. 2 4 C 1 6 名师点睛名师点睛 本题主要考查古典概型概率的计算.解答本题时,关键在于能准确确定所研究对象的基 本事件空间、基本事件个数,利用古典概型概率的计算公式求解.本题能较好地考查考生的数学应 用意识、基本
37、运算求解能力等. 7.(2016四川,13,5分)从2,3,8,9中任取两个不同的数字,分别记为a,b,则logab为整数的概率是 . 答案答案 1 6 解析解析 所有的基本事件有(2,3),(2,8),(2,9),(3,2),(3,8),(3,9),(8,2),(8,3),(8,9),(9,2),(9,3),(9,8),共12个. 记“logab为整数”为事件A, 则事件A包含的基本事件有(2,8),(3,9),共2个. P(A)=. 2 12 1 6 易错警示易错警示 对a,b取值时要注意顺序. 8.(2016江苏,7,5分)将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6
38、个点的正方体玩具) 先后抛掷2次,则出现向上的点数之和小于10的概率是 . 答案答案 5 6 解析解析 先后抛掷2次骰子,所有可能出现的情况可用数对表示为(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6), (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6), (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6), (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),共36个. 其中出现向上的点数之和不小于10的有(4,6),(5,5),(5,6),(6,4),(6,5),(6,6),共6个.从而出现向上的点 数之和
39、小于10的数对共有30个,故所求概率P=. 30 36 5 6 9.(2014课标,13,5分)将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行,则2本数学书相邻 的概率为 . 答案答案 2 3 解析解析 设2本不同的数学书为a1、a2,1本语文书为b,在书架上的排法有a1a2b,a1ba2,a2a1b,a2ba1,ba1a2, ba2a1,共6种,其中2本数学书相邻的有a1a2b,a2a1b,ba1a2,ba2a1,共4种,因此2本数学书相邻的概率P= . 4 6 2 3 10.(2014课标,13,5分)甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1 种,则他们选择相同
40、颜色运动服的概率为 . 答案答案 1 3 解析解析 甲、乙的选择方案有红红、红白、红蓝、白红、白白、白蓝、蓝红、蓝白、蓝蓝9种,其 中颜色相同的有3种,所以所求概率为=. 3 9 1 3 11.(2013课标,13,5分)从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数,其和为5的概率是 . 答案答案 0.2 解析解析 任取两个不同的数的情况有:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共10种,其 中和为5的有2种,所以所求概率为=0.2. 2 10 12.(2018天津,15,13分)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志
41、愿者人数分别为240,160,160.现采 用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动. (1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人? (2)设抽出的7名同学分别用A,B,C,D,E,F,G表示,现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作. 试用所给字母列举出所有可能的抽取结果; 设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”,求事件M发生的概率. 解析解析 本题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率 计算公式等基本知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力. (1)由已知,甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为322,由于采用分层抽
42、样的方法从中 抽取7名同学,因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人,2人,2人. (2)从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为A,B,A,C,A,D,A,E,A,F,A, G,B,C,B,D,B,E,B,F,B,G,C,D,C,E,C,F,C,G,D,E,D,F,D,G,E,F,E,G, F,G,共21种. 由(1),不妨设抽出的7名同学中,来自甲年级的是A,B,C,来自乙年级的是D,E,来自丙年级的是F,G, 则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为A,B,A,C,B,C, D,E,F,G,共5种. 所以,事件M发生的概率P(M)=. 5
43、21 易错警示易错警示 解决古典概型问题时,需注意以下几点: (1)忽视基本事件的等可能性导致错误; (2)列举基本事件考虑不全面导致错误; (3)在求基本事件总数和所求事件包含的基本事件数时,一个按有序,一个按无序处理导致错误. 13.(2017山东,16,12分)某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1,A2,A3和3个欧洲国家B1,B2,B3中选择2个 国家去旅游. (1)若从这6个国家中任选2个,求这2个国家都是亚洲国家的概率; (2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个,求这2个国家包括A1但不包括B1的概率. 解析解析 本题考查古典概型. (1)由题意知,从6个国家中任选两个国家,其一切可
44、能的结果组成的基本事件有:A1,A2,A1,A3,A 2,A3,A1,B1,A1,B2,A1,B3,A2,B1,A2,B2,A2,B3,A3,B1,A3,B2,A3,B3,B1,B2,B1,B3,B2,B3,共 15个. 所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有:A1,A2,A1,A3,A2,A3,共3个, 则所求事件的概率P=. (2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个,其一切可能的结果组成的基本事件有:A1,B1,A1,B2,A 1,B3,A2,B1,A2,B2,A2,B3,A3,B1,A3,B2,A3,B3,共9个. 包括A1但不包括B1的事件所包含的基本事件有:A1,B2,A1,
45、B3,共2个, 则所求事件的概率P=. 3 15 1 5 2 9 方法总结方法总结 求古典概型概率的一般步骤: 1.求出所有基本事件的个数n,常用的方法有列举法、列表法、画树状图法; 2.求出事件A所包含的基本事件的个数m; 3.代入公式P(A)=求解. m n 14.(2016山东,16,12分)某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转 动如图所示的转盘两次,每次转动后,待转盘停止转动时,记录指针所指区域中的数.设两次记录的 数分别为x,y.奖励规则如下: 若xy3,则奖励玩具一个; 若xy8,则奖励水杯一个; 其余情况奖励饮料一瓶. 假设转盘质地均匀,四个区域划分均
46、匀.小亮准备参加此项活动. (1)求小亮获得玩具的概率; (2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小,并说明理由. 解析解析 用数对(x,y)表示儿童参加活动先后记录的数,则基本事件空间与点集S=(x,y)|xN,yN, 1x4,1y4一一对应. 因为S中元素的个数是44=16, 所以基本事件总数n=16. (1)记“xy3”为事件A, 则事件A包含的基本事件数共5个, 即(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1). 所以P(A)=,即小亮获得玩具的概率为. (2)记“xy8”为事件B,“3xy,所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率. 5 16 3 8 5 16 易错警
47、示易错警示 本题出错的原因有两个:(1)理解不清题意,不能将基本事件列举出来;(2)列举基本事件 有遗漏. 考点考点3 3 几何概型几何概型 1.(2017课标,4,5分)如图,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色 部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概 率是( ) A. B. C. D. 1 4 8 1 2 4 答案答案 B 本题考查几何概型. 设正方形的边长为2,则正方形的内切圆的半径为1,其中黑色部分和白色部分关于正方形的中心对 称,则黑色部分的面积为,所以在正方形内随机取一点,此点取自黑色部分的概率P=,故选 B. 2 2 22 8 2.(2016课标,8,5分)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现,红灯持续时间为40秒.若一 名行人来到该路口遇到红灯,则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( ) A. B. C. D. 7 10 5 8 3 8 3 10 答案答案 B 行人在红灯亮起的25秒内到达该路口,
