1、 培优点十培优点十 等差、等比数列等差、等比数列 1等差数列的性质 例 1：已知数列 n a， n b为等差数列，若 11 7ab， 33 21ab，则 55 ab_ 【答案】35 【解析】 n a， n b为等差数列， nn ab也为等差数列， 331155 2 ababab， 553311 235ababab 2等比数列的性质 例 2：已知数列 n a为等比数列，若 46 10aa，则 71339 2aaaa a的值为（ ） A10 B20 C100 D200 【答案】C 【解析】与条件 46 10aa联系，可将所求表达式向 4 a， 6 a靠拢， 从而 2 22 713397173394
2、46646 222aaaa aa aa aa aaa aaaa， 即所求表达式的值为100故选 C 3等差、等比综合 例 3： 设 n a是等差数列， n b为等比数列， 其公比1q ， 且01,2,3, i binL， 若 11 ab， 1111 ab， 则有（ ） A 66 ab B 66 ab C 66 ab D 66 ab或 66 ab 【答案】B 【解析】抓住 1 a， 11 a和 1 b， 11 b的序数和与 6 a， 6 b的关系，从而以此为入手点 由等差数列性质出发， 11 ab， 1111111111 abaabb， 因为 1116 2aaa，而 n b为等比数列，联想到 1
3、11 b b与 6 b有关， 所以利用均值不等式可得： 2 1111 1166 222bbbbbb； （1q 故 111 bb，均值不等式等号不成立） 所以 11111166 22aabbab即 66 ab故选 B 一、单选题 1我国古代名著九章算术中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤， 斩末一尺，重二斤，中间三尺重几何”意思是：“现有一根金锤，长 5 尺，头部 1 尺，重 4 斤，尾部 1 尺，重 2 斤，且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，问中间三尺共重多少 斤”（ ） A6 斤 B7 斤 C8 斤 D9 斤 【答案】D 【解析】原问题等价于等差数列中，已知 1 4a ，
4、 5 2a ，求 234 aaa的值 由等差数列的性质可知： 2415 6aaaa， 15 3 3 2 aa a ， 则 234 9aaa，即中间三尺共重 9 斤故选 D 2设 n S为等差数列 n a的前n项和，若 5 40S ， 9 126S ，则 7 S （ ） A66 B68 C77 D84 【答案】C 【解析】根据等差数列的求和公式 53 540Sa， 95 9126Sa，化简得 3 5 8 14 a a ， 根据等差数列通项公式得 1 1 28 414 ad ad ，解方程组得 1 2 3 a d ， 741 773723 377Saad 故选 C 3已知等比数列 n a的前n项和
5、为 n S，且满足 1 22n n S ，则的值为（ ） A4 B2 C2 D4 【答案】C 对点增分集训对点增分集训 【解析】根据题意，当1n 时， 11 224Sa，故当2n 时， 1 1 2n nnn aSS ， 数列 n a是等比数列，则 1 1a ，故 4 1 2 ；解得2 故选 C 4已知等差数列 n a的前n项和为 n S， 57 14aa，则 11 S（ ） A140 B70 C154 D77 【答案】D 【解析】等差数列 n a的前n项和为 n S， 57 14aa， 57111 11 14 11111177 222 aaaa S 故选 D 5 已知数列 n a是公比为q的等
6、比数列， 且 1 a， 3 a， 2 a成等差数列， 则公比q的值为 （ ） A 1 2 B2 C1 或 1 2 D1或 1 2 【答案】C 【解析】由题意知： 312 2aaa， 2 111 2a qa qa，即 2 21qq， 1q 或 1 2 q 故选 C 6公比不为 1 的等比数列 n a的前n项和为 n S，且 1 2a， 2 1 2 a， 3 a成等差数列，若 1 1a ， 则 4 S （ ） A5 B0 C5 D7 【答案】A 【解析】设 n a的公比为q，由 1 2a， 2 1 2 a， 3 a成等差数列，可得 213 2aaa ， 若 1 1a ，可得 2 2qq ，解得2
7、1q 舍去， 则 44 1 4 1 12 5 112 aq S q ，故选 A 7等比数列 n a的各项均为正数，且 5647 18a aa a，则 3132310 logloglogaaaL （ ） A12 B10 C8 D 3 2log 5 【答案】B 【解析】由等比数列的性质结合题意可知： 5647 9a aa a， 且 1 1029384756 9a aa aa aa aa a， 据此结合对数的运算法则可得： 5 3132310312103 logloglogloglog 910aaaa aaLL故选 B 8设公差为2的等差数列 n a，如果 14797 50aaaaL，那么 3699
8、9 aaaaL 等于（ ） A182 B78 C148 D82 【答案】D 【解析】 由两式的性质可知： 3699914797 2222aaaaadadadad， 则 36999 506682aaaad 故选 D 9已知等差数列 n a的前n项和为 n S，且 13 3215SS，则数列 n a的第三项为（ ） A3 B4 C5 D6 【答案】C 【解析】设等差数列 n a的公差为 d， 13 3215SS， 112312 321536aaaaaa， 13 25ada 故选 C 10等差数列 n a的前n项和为 n S，若 810 26aa，则 11 S（ ） A27 B36 C45 D66
9、【答案】D 【解析】 810 26aa， 61010 6aaa， 6 6a ， 111 116 11 1166 2 aa Sa ，故 选 D 11设 n a是各项为正数的等比数列，q是其公比， n K是其前n项的积，且 56 KK， 678 KKK，则下列结论错误 的是（ ） A01q B 7 1a C 95 KK D 6 K与 7 K均为 n K的最大值 【答案】C 【解析】设等比数列 1 1 n n aa q ， n K是其前n项的积，所以 1 2 1 n n n n Ka q ， 由此 5 561 1KKa q ， 6 671 1KKaq ， 7 781 1KKaq 所以 6 71 1a
10、a q，所以 B 正确， 由 5 1 1aq，各项为正数的等比数列，可知01q，所以 A 正确， 6 1 1aq， 1 2 1 n n n n Ka q 可知 113 22 1 n nn n n n Ka qq ， 由01q，所以 x q单调递减， n n13 2 在6n ，7 时取最小值， 所以 n K在6n ，7 时取最大值，所以 D 正确故选 C 12 定 义 函 数 f x如 下 表 ， 数 列 n a满 足 1nn af a ，n N， 若 1 2a ， 则 1232 0 1 8 aaaaL（ ） A7042 B7058 C7063 D7262 【答案】C 【解析】由题设知 13f，
11、 25f， 34f， 46f， 51f， 62f， 1 2a ， 1nn af a ，n N， 1 2a ， 2 25af， 3 51af， 4 13af， 5 34af， 6 46af， 7 62af， n a是周期为 6 的周期数列， 201833662， 1232018 3361 23456257063aaaa L，故选 C 二、填空题 13已知等差数列 n a，若 237 6aaa，则 17 aa_ 【答案】4 【解析】 237 6aaa， 1 396ad， 1 32ad， 4 2a ， 174 24aaa故答案为 4 14已知等比数列 n a的前n项和为 n S，若公比 3 2q ，
12、且 123 1aaa，则 12 S的值是 _ 【答案】15 【解析】已知 123 1aaa，则 3 1 3 1 1 1 aq S q ， 又 3 2q 代入得 1 1aq； 12 3 12 1 12 1 12 1 15 11 q aq S qq 15设 n S是等差数列 n a的前n项和，若 5 3 10 9 a a ，则 9 5 S S _ 【答案】2 【解析】 19 95 53 15 9 9 2 5 5 2 aa Sa Sa aa ，又 5 3 10 9 a a ，代入得 9 5 910 2 59 S S 16在等差数列 n a中， 14101619 100aaaaa，则 161913 a
13、aa的值是_ 【答案】20 【解析】根据等差数列性质 1410161910 5100aaaaaa，所以 10 20a， 根据等差数列性质， 16191316131919101910 20aaaaaaaaaa 三、解答题 17已知数列 n a中， 1 2a ， 1 2 nn aa （1）求 n a； （2）若 nn bna，求数列 n b的前 5 项的和 5 S 【答案】 （1）2n n a ； （2）77 【解析】 （1） 1 2a ， 1 2 nn aa ， 则数列 n a是首项为 2，公比为 2 的等比数列， 1 2 22 nn n a ； （2）2n nn bnan， 2345 5 12
14、22324252S 2345 1234522222 5 155222 77 212 18设 n a是等差数列，其前n项和为 * n SnN； n b是等比数列，公比大于 0，其前n项 和为 * n T nN 已知 1 1b ， 32 2bb， 435 baa， 546 2baa （1）求 n S和 n T； （2）若 12 4 nnnn STTTabL，求正整数n的值 【答案】 （1） 1 2 n n n S ，21 n n T ； （2）4 【解析】 （1）设等比数列 n b的公比为q，由 1 1b ， 32 2bb，可得 2 20qq 因为0q ，可得2q ，故 1 2n n b 所以 12 21 12 n n n T 设等差数列 n a的公差为d 由 435 baa，可得 1 34ad 由 546 2baa得 1 31316ad，从而 1 1a ，1d ， 故 n an，所以 1 2 n n n S （2）由（1） ，有 1 12 12 212 222 12 22 n n n n nTnTTn LL 由 12 4 nnnn STTTabL，可得 11 1 222 2 nn n n nn ， 整理得 2 340nn，解得1n （舍） ，或4n 所以n的值为 4
