1、 培优点十七培优点十七 圆锥曲线的几何性质圆锥曲线的几何性质 1椭圆的几何性质 例 1：如图，椭圆 22 22 +10 xy ab ab 的上顶点、左顶点、左焦点分别为B、A、F，中 心为O，其离心率为 3 2 ，则: ABFBFO SS （ ） A 23 :3 B 2 33 :3 C 23 :2 D 2 33 :2 【答案】B 【解析】 由 ABFABOBFO SSS ， 得: A B FB F OA B OB F OB F O SSSSSa b b c b c 而 3 2 c a ，所以 :2 33 :3 ABFBFO SS ，故选 B 2抛物线的几何性质 例 2： 已知抛物线 2 :20
2、C ypx p的焦点为F， 准线:1l x ， 点M在抛物线C上， 点M 在直线:1l x 上的射影为A，且直线AF的斜率为3，则MAF的面积为（ ） A3 B2 3 C4 3 D8 3 【答案】C 【解析】 设准线l与x轴交于点N，所以2FN ，因为直线AF的斜率为3，所以60AFN， 所以4AF ， 由抛物线定义知，MAMF，且60MAFAFN ，所以MAF是以 4 为边长的正三 角形，其面积为 2 3 44 3 4 故选 C 3双曲线的几何性质 例 3：已知点P是双曲线 22 1 3664 xy 的右支上一点，M，N分别是圆 2 2 104xy和 2 2 101xy上的点，则PMPN的最
3、大值为_ 【答案】15 【解析】在双曲线 22 1 3664 xy 中，6a ，8b ，10c ， 1 10,0F， 2 10,0F， 12 212PFPFa， 11 MPPFMF， 22 PNPFNF， 1122 15PMPNPFMFPFNF 一、单选题 1抛物线 2 20ypx p上的动点Q到其焦点的距离的最小值为 1，则p （ ） A 1 2 B1 C2 D4 【答案】C 【解析】抛物线 2 20ypx p上的动点Q到其焦点的距离的最小值即到准线的最小值， 很明显满足最小值的点为抛物线的顶点，据此可知：1 2 p ，2p本题选择 C 选项 2设点 1 F， 2 F是双曲线 2 2 1 3
4、 y x 的两个焦点，点P是双曲线上一点，若 12 34PFPF， 则 12 PFF的面积等于（ ） A5 3 B3 15 C4 5 D2 10 对点增分集训对点增分集训 【答案】B 【解析】据题意， 12 4 3 PFPF，且 12 2PFPF，解得 1 8PF ， 2 6PF 又 12 4FF ，在 12 PFF中由余弦定理，得 222 1212 12 12 7 cos 28 PFPFFF FPF PF PF 从而 2 1212 15 sin1cos 8 FPFFPF，所以 1 2 115 6 83 15 28 PF F S ，故选 B 3经过椭圆 22 22xy的一个焦点作倾斜角为45的
5、直线 l，交椭圆于M，N两点，设O 为坐标原点，则OM ON等于（ ） A3 B 1 3 C 1 3 D 1 2 【答案】C 【解析】椭圆方程为 2 2 1 2 x y，2a ，1b ，1c ，取一个焦点1,0F，则直线方程 为1yx， 代入椭圆方程得 2 340 xx，0, 1M， 4 1 , 3 3 N ，所以 1 3 OM ON ，故选 C 4过抛物线 2 0ymx m的焦点作直线交抛物线于P，Q两点，若线段PQ中点的横坐标 为 3， 5 4 PQm，则m （ ） A4 B6 C8 D10 【答案】B 【解析】设PQ的坐标分别为 11 ,x y， 22 ,xy，线段PQ中点的横坐标为 3
6、，则 12 3 2 xx ， 12 5 6 44 m PQxxpm，由此解得6m 故选 B 5 已知双曲线 22 22 10,0 xy ab ab 的右焦点为F， 点A在双曲线的渐近线上，OAF是 边长为 2 的等边三角形（O为原点） ，则双曲线的方程为（ ） A 2 2 1 3 x y B 2 2 1 3 y x C 22 1 412 xy D 22 1 124 xy 【答案】B 【解析】双曲线 22 22 10,0 xy ab ab 的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，OAF 是边长为 2 的 等边三角形（O为原点） ，可得2c ，3 b a ，即 2 2 3 b a ， 22 2 3
7、ca a ，解得1a ，3b ， 双曲线的焦点坐标在x轴，所得双曲线的方程为 2 2 1 3 y x ，故选 B 6如图所示， “嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P变轨进入 以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行， 之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为 一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道 绕月飞行已知椭圆轨道I和的中心与F在同一直线上，设椭圆轨道I和的长半轴长 分别为 1 a， 2 a，半焦距分别为 1 c， 2 c，则有（ ） A 12 12 cc aa B 1122 acac C 12 12 cc aa D 1122 a
8、cac 【答案】C 【解析】设圆形轨道的半径为R， 1122 acacR， 11 111 1 caRR aaa ， 22 222 1 caRR aaa ， 由 12 aa知 12 12 cc aa ，故选 C 7 已知双曲线 2 2 1: 1 4 x Cy， 双曲线 22 2 22 :10 xy Cab ab 的左、 右焦点分别为 1 F， 2 F， M是双曲线 2 C的一条渐近线上的点，且 2 OMMF ，O为坐标原点，若 2 16 OMF S ，且双 曲线 1 C， 2 C的离心率相同，则双曲线 2 C的实轴长是（ ） A32 B4 C8 D16 【答案】D 【解析】双曲线 2 2 1:
9、1 4 x Cy的离心率为 5 2 ，设 2 ,0F c，双曲线 2 C一条渐近线方程为 b yx a ， 可得 2 22 bc F Mb ab ，即有 22 OMcba， 由 2 16 OMF S ，可得 1 16 2 ab ，即32ab ，又 222 abc，且 5 2 c a ， 解得8a ，4b ，4 5c ，即有双曲线的实轴长为 16故选 D 8已知F是抛物线 2 :2C yx的焦点，N是x轴上一点，线段FN与抛物线C相交于点M， 若2FMMN，则FN （ ） A1 B 1 2 C 5 2 D 5 8 【答案】D 【解析】由题意得点F的坐标为 1 0, 8 ，设点M的坐标 00 ,x
10、y，点N的坐标,0a， 所以向量： 00 , 1 8 FMxy ， 00 ,MNaxy， 由向量线性关系可得： 0 3xa， 00 1 2 4 yy ，解得： 0 1 12 y ， 代入抛物线方程可得： 0 6 12 x ，则 6 4 a ， 由两点之间的距离公式可得： 5 8 FN 故选 D 9已知椭圆 22 111 22 11 :10 xy Cab ab 与双曲线 22 222 22 22 :10,0 xy Cab ab 有相同的焦点 1 F， 2 F， 点P是曲线 1 C与 2 C的一个公共点，1e，2e分别是 1 C和 2 C的离心率， 若 12 PFPF， 则 22 12 4ee 的
11、最小值为（ ） A 9 2 B4 C 5 2 D9 【答案】A 【解析】由题意设焦距为2c，椭圆长轴长为 1 2a，双曲线实轴为 2 2a， 令P在双曲线的右支上，由双曲线的定义 122 2PFPFa， 由椭圆定义 121 2PFPFa， 又 12 PFPF， 22 2 12 4PFPFc， 22 ，得 22 22 1212 44PFPFaa， 将代入，得 222 12 2aac， 2222 2221 12 2222 1212 24559 42 2222 aacc ee aaaa ，故选 A 10已知F为抛物线 2 :4C yx的焦点，A，B，C为抛物线C上三点，当FAFBFC 0 时， 称A
12、BC为“和谐三角形”，则“和谐三角形”有（ ） A0 个 B1 个 C3 个 D无数个 【答案】D 【解析】抛物线方程为 2 4yx，A，B，C为曲线C上三点， 当FAFBFC 0时，F为ABC的重心， 用如下办法构造ABC，连接AF并延长至D，使 1 2 FDAF， 当D在抛物线内部时，设 00 ,D xy，若存在以D为中点的弦BC， 设 11 ,B m n， 22 ,C m n， 则 120 2mmx， 120 2nny， 12 12 BC nn k mm ， 则 2 11 2 22 4 4 nm nm ，两式相减化为 12 12 12 4 nn nn mm ， 12 120 2 BC n
13、n k mmy ， 所以总存在以D为中点的弦BC， 所以这样的三角形有无数个， 故选 D 11已知双曲线 22 1 22 :10,0 xy ab ab 的左右焦点分别为 1 F， 2 F，椭圆 22 2: 1 34 xy 的离心率为e，直线MN过点 2 F与双曲线交于M，N两点，若 112 coscosFMNF F M， 且 1 1 F M e F N ，则双曲线 1 的两条渐近线的倾斜角分别为（ ） A30，150 B45，135 C60，120 D15，165 【答案】C 【解析】 由题 112 coscosFMNF F M， 112 FMNF F M ， 112 2MFF Fc， 由双曲
14、线的定义可得| 21| 2 22MFMFaca， 椭圆 22 2: 1 34 xy 的离心率为： 431 22 e ， 1 1 1 2 FM e F N ， 1 4NFc， 2 42NFca， 在 12 MF F中，由余弦定理的 2 22 12 4224 cos 2 2222 ccacca F F M ccac ， 在 12 NF F中，由余弦定理可得： 2 22 22 12 442164 cos 2 24222 ccacacac F F N ccacca ， 1212 F F MF F N， 1212 coscos0F F MF F N，即 22 4 0 222 caacac ccca ，
15、整理得， 设双曲线的离心率为 1 e， 2 11 3720ee，解得 1 2e 或 1 3 （舍） 22 2 4 ab a ， 22 3ab，即3 b a 双曲线的渐近线方程为3yx ， 渐近线的倾斜角为60，120故选 C 12已知P为椭圆 22 1 43 xy 上一个动点，过点P作圆2 2 11xy的两条切线，切点分 别是A，B，则PA PB的取值范围为（ ） A 3 , 2 B 3 56 , 29 C 56 2 23, 9 D 2 23, 【答案】C 【解析】如图，由题意设2APB，则 1 tan PAPB ， 2 11cos2 cos2cos2cos2 1cos2tan PA PBPA
16、 PB ， 设cos2t，则 122 132132 23 111 tt PA PBtt ttt ， 当且仅当 2 1 1 t t ，即12t 时等号成立，此时cos212 又当点P在椭圆的右顶点时， 1 sin 3 ， 2 7 cos212sin 9 ， 此时PA PB最大，且最大值 7 1 756 9 7 99 1 9 PA PB的取值范围是 56 2 23, 9 ，故选 C 二、填空题 13已知过抛物线 2 2yx 的焦点F，且斜率为3的直线与抛物线交于A、B两点，则 AFBF AB _ 【答案】 1 2 【解析】由 2 2yx 知1p ，由焦点弦性质 112 +2 AFBFp ， 而 1
17、1 11 +22 + AFBFAFBFp ABAFBF AFBF 14已知椭圆 2 2 2 1 x y a 的左、右焦点为 1 F、 2 F，点 1 F关于直线yx 的对称点P仍在椭 圆上， 则 12 PF F的周长为_ 【答案】2 22 【解析】设 1 ,0Fc， 2 ,00F cc ， 1 F关于直线yx 的对称点P坐标为0,c， 点P在椭圆上，则： 2 2 0 1c a ，则1cb， 222 2abc，则2a ， 故 12 PF F的周长为： 1212 222 22PFPFF Fac 15P为双曲线 22 1 49 xy 右支上一点， 1 F， 2 F分别为双曲线的左、 右焦点， 且 1
18、2 0PF PF， 直线 2 PF交y轴于点A，则 1 AF P的内切圆半径为_ 【答案】2 【解析】 12 PFPF， 1 APF的内切圆半径为r， 11 2PFPAAFr， 21 22PFaPAAFr， 21 24AFAFr， 由图形的对称性知： 21 AFAF，2r 故答案为 2 16已知直线l与椭圆 22 22 10,0 xy ab ab 相切于第一象限的点 00 ,P xy，且直线l与x 轴、y轴分别交于点A、B，当AOB(O为坐标原点)的面积最小时， 12 60F PF( 1 F、 2 F是椭圆的两个焦点)， 若此时在 12 PF F中， 12 F PF的平分线的长度为 3 a m
19、 ， 则实数m的 值是_ 【答案】 5 2 【解析】由题意，切线方程为 00 22 1 xy xy ab ， 直线l与x轴分别相交于点A，B， 2 0 ,0 a A x ， 2 0 0, b B y ， 22 00 1 2 AOB a b S x y ， 22 0000 22 2 1 xyx y abab ， 00 12 x yab ， AOB Sab ，当且仅当 00 2 2 xy ab 时， AOB（O为坐标原点）的面积最小， 设 1 PFx， 2 PFy， 由余弦定理可得 2222 443cxyxyaxy， 2 4 3 xyb， 1 2 2 13 sin60 23 PF F Sxyb ，
20、 2 0 13 2 23 cyb， 2 0 32 32 b yb c ， 6 3 cb ， 15 3 ab， 12 F PF的内角平分线长度为 3 a m ， 2 1311313 22223 xayab mm ， 2 133 223 a xyb m ， 22 133153 2 22293 a abb mm ， 5 2 m，故答案为 5 2 三、解答题 17设常数2t 在平面直角坐标系xOy中，已知点2,0F，直线l：xt，曲线： 2 80,0yxxt yl与x轴交于点A、与交于点BP、Q分别是曲线与线段AB 上的动点 （1）用t表示点B到点F距离； （2）设3t ，2FQ ，线段OQ的中点在直
21、线FP，求AQP的面积； （3）设8t ，是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在上？若存在，求点 P的坐标； 若不存在，说明理由 【答案】 （1）2t ； （2） 7 3 6 ； （3）存在， 2 4 5 , 55 P 【解析】 （1）方法一：由题意可知：设 ,2 2B tt， 则2282BFttt ，2BFt ； 方法二：由题意可知：设 ,2 2B tt， 由抛物线的性质可知：2 2 p BFtt ，2BFt ； （2）2,0F，2FQ ，3t ，则1FA ， 3AQ ， 3, 2Q，设OQ的中点D， 32 , 22 D ， 3 0 2 3 3 2 2 QF k ，则直线PF方
22、程：32yx ， 联立 2 32 8 yx yx ，整理得： 2 320120 xx， 解得： 2 3 x ，6x （舍去） ，AQP的面积 177 3 3 236 S ； （3）存在，设 2 , 8 y Py ， 2 , 8 m Em ，则 22 8 16 2 8 PF yy k yy ， 2 16 8 FQ y k y ， 直线QF方程为 2 16 2 8 y yx y ， 22 16483 82 84 Q yy y yy ， 2 483 8 4 y Q y ， 根据FPFQFE，则 22 48 6, 84 yy E y ， 2 22 48 86 48 yy y ，解得： 2 16 5 y
23、 ， 存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在上，且 2 4 5 , 55 P 18与椭圆相交于A、B两点， 2 F关于直线 1 l的对称点E在椭圆上斜率为1的直线 2 l与 线段AB相交于点P，与椭圆相交于C、D两点 （1）求椭圆的标准方程； （2）求四边形ACBD面积的取值范围 【答案】 （1） 22 1 84 xy ； （2） 32 32 , 93 【解析】 （1）由椭圆焦距为 4，设 1 2,0F ， 2 2,0F，连结 1 EF，设 12 EF F， 则tan b c ，又 222 abc，得sin b a ，cos c a ， 12 12 2sin901 2|sinsin
24、90 F F cac e bc aEFEFbca aa ， 解得 22 2abccbc， 2 8a ，所以椭圆方程为 22 1 84 xy （2）设直线 2 l方程：yxm ， 11 ,C x y、 22 ,D xy， 由 22 1 84 xy yxm ，得 22 34280 xmxm，所以 12 2 1 2 4 3 28 3 xxm m x x ， 由（1）知直线 1 l：yx，代入椭圆得 22 6,6 33 A ， 22 6,6 33 B ，得 8 3 3 AB ， 由直线 2 l与线段AB相交于点P，得 44 6,6 33 m ， 2 2 2 2 12121 2 4 28 164 228212 933 m m CDxxxxx xm ， 而 2 1 l k 与 1 1 l k ，知 21 ll， 2 116 3 12 29 ACBD SABCDm， 由 44 6,6 33 m ，得 2 32 ,0 3 m ，所以 2 16 332 32 12, 993 m ， 四边形ACBD面积的取值范围 32 32 , 93
