1、 - 1 - 海南省 2020 年普通高中高考调研测试 数学试题数学试题 一一 单项选择题：本题共单项选择题：本题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分分. .在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. . 1.设集合|214Axx ， 2 |412 0Bx xx，则 AB R （ ） A. 2, 1 B. 3,6 C. 3,6 D. 6,2 【答案】B 【分析】算出集合B，求出B R ，直接进行交集运算即可. 【详解】因为| 31Axx ，| 26Bxx R ，所以 | 36ABxx R .故选：
2、B 【点睛】本题考查集合的并集、补集运算，属于基础题. 2.已知复数1zi ，z为z的共轭复数，则 1z z （ ） A. 3 2 i B. 1 2 i C. 1 3 2 i D. 13 2 i 【答案】C 【分析】求出z，直接由复数的代数形式的乘除运算化简复数. 【详解】 121 3 12 zii zi .故选：C 【点睛】本题考查复数的代数形式的四则运算，共轭复数，属于基础题. 3.已知向量()0,2= r a，2 3,bx，且a与b的夹角为 3 ，则x=（ ） A. -2 B. 2 C. 1 D. -1 【答案】B 【分析】 由题意cos 3 a b a b ，代入解方程即可得解. 【详
3、解】由题意 2 21 cos 32 212 a bx a bx ， - 2 - 所以0 x，且 2 212xx ，解得2x.故选：B. 【点睛】本题考查了利用向量的数量积求向量的夹角，属于基础题. 4.“lnlnmn”是“ 22 mn”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据对数函数的定义域及单调性，可得 ,m n的关系，结合充分必要条件性质即可判 断. 【详解】若lnlnmn，根据对数函数的定义域及单调性可知0mn，可得 22 mn，因 而具有充分关系； 若 22 mn，则m n，当0,0mn时对数函数无意义，
4、因而不具有必要性； 综上可知“lnlnmn”是“ 22 mn”的充分不必要条件 故选：A. 【点睛】本题考查了充分必要条件的定义域判断，对数函数与图像性质的应用，属于基础题. 5.若双曲线 22 1mxny(0m)的离心率为5，则 m n （ ） A. 1 4 B. 1 4 C. 4 D. 4 【答案】D 【分析】将双曲线的方程化成标准形式，再利用离心率公式得到关于 ,m n的方程，即可得答 案； 【详解】因为 22 1mxny(0m)可化为 22 1 11 xy mn (0m)， 所以 2 2 15 b e a ，则 2 2 1 4 1 b n a m ，即4 m n .故选：D. 【点睛】
5、本题考查已知双曲线的离心率求参数值，考查函数与方程思想、转化与化归思想， 考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意双曲线方程先化成标准形式. 6.张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾经得出圆周率的平方除以十六等于八 分之五.已知三棱锥ABCD的每个顶点都在球O的球面上，AB 底面BCD，BCCD， - 3 - 且3ABCD，2BC ，利用张衡的结论可得球O的表面积为（ ） A. 30 B. 10 10 C. 33 D. 12 10 【答案】B 【分析】由,BCCD ABBC ABCD判断出球心的位置，由此求得求的直径.利用张恒 的结论求得的值，进而根据球的表面积公式计算出球的表面积
6、. 【详解】因为BCCD，所以 7BD ，又AB 底面BCD， 所以球O的球心为侧棱AD的中点， 从而球O的直径为10. 利用张衡的结论可得 2 5 168 ，则10， 所以球O的表面积为 2 10 41010 10 2 .故选：B 【点睛】本小题主要考查几何体外接球表面积的计算，考查中国古代数学文化，考查空间想 象能力和逻辑推理能力，属于基础题. 7.已知f(x)= -1 x x e ea 是定义在R上的奇函数，则不等式f(x-3)f(9-x 2)的解集为（ ） A. (-2,6) B. (-6,2) C. (-4,3) D. (-3,4) 【答案】C 【分析】由奇函数的性质可得1a ，进而
7、可知 f x在R上为增函数，转化条件得 2 39xx ，解一元二次不等式即可得解. 【详解】因为 1 x x e f x ea 是定义在R上的奇函数，所以 011ff， 即 1 1 1 0 1 e e ea a e ，解得1a ，即 12 1 11 x xx e f x ee ， 易知 f x在R上为增函数. 又 2 39f xfx，所以 2 39xx ，解得43x .故选：C. - 4 - 【点睛】本题考查了函数单调性和奇偶性的应用，考查了一元二次不等式的解法，属于中档 题. 8.已知等差数列 n a， n b的前n项和分别为 n S和 n T，且 5 21 n n Sn Tn ，则 7 6
8、 a b （ ） A. 6 7 B. 12 11 C. 18 25 D. 16 21 【答案】A 【分析】由条件可设(5) n Skn n，(21) n Tknn，然后计算出 7 a和 6 b即可. 【详解】因为等差数列 n a， n b的前n项和分别为 n S和 n T，且 5 21 n n Sn Tn ， 所以可设(5) n Skn n，(21) n Tknn， 所以 776 18aSSk， 665 21bTTk，所以 7 6 6 7 a b .故选：A 【点睛】本题考查的是等差数列前n项和的特点，属于基础题. 二二 多项选择题：本题共多项选择题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题
9、5 5 分，共分，共 2020 分分. .在每小题给出的四个选项中，有多项在每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求的符合题目要求的. .全部选对的得全部选对的得 5 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 0 分分. . 9.为了了解运动健身减肥的效果，某健身房调查了 20 名肥胖者，健身之前他们的体重(单位： kg)情况如柱形图 1 所示，经过四个月的健身后，他们的体重情况如柱形图 2 所示.对比健身 前后，关于这 20 名肥胖者，下面结论正确的是（ ） A. 他们健身后，体重在区间90,100)内的人数增加了 2 个 B. 他们健身后，体重在区
10、间100,110)内人数没有改变 C. 因为体重在100,110)内所占比例没有发生变化，所以说明健身对体重没有任何影响 D. 他们健身后，原来体重在区间110,120)内的肥胖者体重都有减少 【答案】ABD 【分析】根据两个柱形图中的数据逐一判断即可 - 5 - 【详解】体重在区间90,100)内的肥胖者由健身前的 6 人增加到健身后的 8 人，故人数增加了 2 个，A正确； 他们健身后，体重在区间100,110)内的百分比没有变，所以人数没有变，B正确； 他们健身后，已经出现了体重在80,90)内的人，健身之前是没有这部分体重的，C错误； 因为图 2 中没有体重在区间110,120)内的比
11、例，所以原来体重在区间110,120)内的肥胖者体 重都有减少，D正确.故选：ABD 【点睛】本题考查的是以柱形图为背景的统计知识，属于基础题. 10.将函数( )sin33cos31f xxx的图象向左平移 6 个单位长度，得到函数( )g x的图象， 给出下列关于( )g x的结论：它的图象关于直线 5 9 x 对称；它的最小正周期为 2 3 ； 它的图象关于点 11 ,1 18 对称； 它在 519 , 39 上单调递增.其中正确的结论的编号是 （ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【分析】根据图象的变换得出( )g x的解析式，然后利用三角函数的知识逐一判断即可. 【详解】因为
12、 ( )sin33cos312sin 31 3 f xxxx ， 所以 ( )2sin 312sin 31 636 g xxx ， 令3 62 xk ，得() 39 k xkZ ，所以 5 9 x 不是对称轴错误，显然正确， 令3 6 xk ，得() 318 k xkZ ，取 2k ，得 11 18 x ，故关于点 11 ,1 18 对称，正 确， 令232, 262 kxkkZ 剟，得 222 3939 kk x 剟， 取2k ，得 1013 99 x 剟，取 3k ，得 1619 99 x 剟，所以错误. 所以选项BC正确.故选：BC 【点睛】本题考查的是三角函数的图象及其性质，在解决本类
13、题目时，一般是把 x 当成 整体. 11.若104 a ，1025 b ，则（ ） A. 2ab B. 1ba C. 2 81g 2ab D. - 6 - lg6ba 【答案】ACD 【分析】根据指数和对数的关系将指数式化成对数式，再根据对数的运算法则计算可得. 【详解】解：由104 a ，1025 b ，得 lg4a ，lg25b ，则 lg4lg25lg1002ab ， 25 lg25lg4lg 4 ba ， 25 lg101lglg6 4 lg6ba 2 4lg2lg54lg2lg48lg 2ab， 故正确的有：ACD 故选：ACD. 【点睛】本题考查对数的运算，对数和指数的互化，属于基
14、础题. 12.已知函数 sincosf xxxxx的定义域为2 ,2，则（ ） A. f x为奇函数 B. f x在0,上单调递增 C. f x恰有 4 个极大值点 D. f x有且仅有 4 个极值点 【答案】BD 【分析】由函数的定义域不关于原点对称，可知函数是非奇非偶函数，求出函数的导数， 利用导数分析函数的单调性与极值. 【详解】解：因为 f x的定义域为2 ,2，所以 f x是非奇非偶函数， sincosf xxxxx 1 coscossin1sinfxxxxxxx ， - 7 - 当 ) 0,xp时， 0fx，则 f x在 ) 0,p上单调递增. 显然 00 f ，令 0fx，得 1
15、 sin x x ， 分别作出 sinyx ， 1 y x 在区间2 ,2上的图象， 由图可知，这两个函数的图象在区间2 ,2上共有 4 个公共点，且两图象在这些公共点上 都不相切，故 f x在区间2 ,2上的极值点的个数为 4，且 f x只有 2 个极大值点. 故选：BD 【点睛】本题考查函数 的奇偶性，有利于导数研究函数的极值与单调性，属于中档题. 三三 填空题：本题共填空题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分. . 13.已知函数 2 1 2 ,0 3 4log,0 x x x f x x x ,则 8ff_. 【答案】5 【分析】先将8x 代
16、入解析式可得 81f,再求1f 即可 【详解】由题, 2 4log 88431f , 所以 1 1 25 3 81fff 故答案为：5 【点睛】本题考查分段函数求值,考查指数、对数的运算 14.某工厂质检部要对即将出厂的 1000 个零件进行质检，已知每个零件质检合格的概率为 - 8 - 0.95，且每个零件质检是否合格是相互独立的，设质检合格的零件数为X，则随机变量X的 方差DX _. 【答案】47.5 【分析】由题意得到(1000,0.95)XB，然后即可算出答案. 【详解】由题意可知，(1000,0.95)XB，10000.95 (10.95)47.5DX . 故答案为：47.5 【点睛
17、】本题考查的是二项分布的知识，较简单. 15.已知0a，0b，且2ab，则 51 5ab 的最小值是_. 【答案】 18 5 【分析】 由条件可得 511511 526 () 525255 ba ab ababab ，然后利用基本不等式求解即 可. 【详解】因为2ab，所以 511511 526 () 525255 ba ab ababab . 因为0,0ab，所以 5 2 5 ba ab (当且仅当 5 3 a ， 1 3 b 时，等号成立)， 所以 5112618 2 5255ab .故答案为： 18 5 【点睛】本题考查的是利用基本不等式求最值，属于典型题. 16.在正方体 1111 A
18、BCDABC D中，E为棱CD上一点，且2CEDE，F为棱 1 AA的中点， 且平面BEF与 1 DD交于点G，与 1 AC交于点H，则 1 DG DD _， 1 AH HC _. 【答案】 (1). 1 6 (2). 3 8 【分析】 由线面平行的性质可得/BF GE，即可得到 AFDG ABDE ，又2CEDE，则 1 DG DD 可求. 连 接AC交BE于M，过M作 1 /MN CC，MN与 1 AC交于N，连接FM，则H为FM与 1 AC的交点， - 9 - 根据三角形相似可得线段的比. 【详解】解： 1111 ABCDABC D是正方体 面 11 /AB BA面 11 C DDC B
19、F 面 11 AB BA /BF平面 11 CDDC， 面BFGE面 11 C D DCGE 则/BF GE，则 AFDG ABDE ，即 1 2 DG DE ，又2CEDE，则 1 1 6 DG DD . 连接AC交BE于M，过M作 1 /MN CC，MN与 1 AC交于N，连接FM，则H为FM与 1 AC 交点. 因为/AB CE，所以 3 2 AMAB MCCE ，则 1 3 2 ANA C M MCN .所以 1 3 5 MN CC ，所以 6 5 MNHN FAAH ，故 1 3 8 AH HC . 故答案为： 1 6 ； 3 8 【点睛】本题考查线面平行的性质及判定，属于基础题.
20、四四 解答题：本题共解答题：本题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分分. .解答应写出文字说明解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤. . 17.在cos23sin20BB，2 cos2bCac， cos1 3sin bB aA 三个条件中任选 一个，补充在下面问题中，并加以解答 已知ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c， 若_， 且a，b，c成等差数列， 则ABC 是否为等边三角形？若是，写出证明；若不是，说明理由 - 10 - 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 【答案】；证明见解析 【分析】 选择： 由余弦降幂公式代入即可求得sinB， 结合
21、a，b，c成等差数列可得2bac， 3 B ，代入余弦定理公式，即可得 2 bac，结合等式2bac可求得a c ，进而证明 ABC为等边三角形. 【详解】选择cos23sin20BB， 证明：则由余弦降幂公式可得 2 1 2sin3sin20BB ， 即2sin3sin30BB， 由0B可得 3 sin 2 B ， 又因为a，b，c成等差数列，则 B 为锐角， 则2bac， 3 B ， 由余弦定理可知 222 2cosbacacB， 代入可得 2 2 3bacac，即 2 bac， 则 2 2 ac ac ，化简可得 2 0ac， 即ac，又因为 3 B ， 所以ABC为等边三角形. 【点睛
22、】本题考查了三角函数解析式的化简应用，余弦降幂公式化简三角函数式，余弦定理 解三角形，等差中项性质的应用，综合性较强，属于中档题. 18.设等差数列 nn ab的公差为 2，等比数列 nn ab的公比为 2，且 1 2a ， 1 1b （1）求数列 n a的通项公式； （2）求数列22 n n a 的前n项和 n S 【答案】 （1） 1 21 3 2 2 n n n a （2） n S 2 525 n n - 11 - 【分析】 （1）根据题意可得21 nn abn-=-， 1 3 2n nn ab ，联立解方程可得数列 n a的通项公 式； （2）通过分组求和法可得数列22 n n a 的
23、前n项和 n S. 【详解】解： （1）因为 1 2a ， 1 1b ，所以 11 1ab， 11 3ab ， 依题意可得，1 2121 nn abnn ， 1 3 2n nn ab ， 故 1 21 3 2 2 n n n a ； （2）由（1）可知， 1 2221 5 2 nn n an ， 故 1 1 3215122n n Sn 2 1 21 5215 25 2 nn nn n . 【点睛】本题考查等差数列，等比数列的通项公式，考查分组法求和，是基础题. 19.在四棱锥PABCD中，PAB是边长为 2 的等边三角形，底面ABCD为直角梯形，ABCD， ABBC，BCCD1，PD 2 .
24、（1）证明：ABPD. （2）求二面角APBC的余弦值. 【答案】 （1）证明见解析（2） 1 3 【分析】 （1）根据勾股定理的逆定理、线面垂直的判定定理、线面垂直的性质进行证明即可； - 12 - （2）由AD 2+BD2AB2，可得 ADBD，以D为原点，DA为x轴，DB为y轴，DP为z轴，建立 空间直角坐标系，根据空间向量夹角公式进行求解即可. 详解】 （1）证明：连结BD， 在四棱锥PABCD中，PAB是边长为 2 的等边三角形， 底面ABCD为直角梯形，ABCD，ABBC，BCCD1，PD 2 . BDAD 1 12 ， AD 2+PD2AP2，BD2+PD2PB2， ADPD，B
25、DPD， ADBDD，PD平面ABCD， AB 平面ABCD，ABPD. （2）解：AD 2+BD2AB2，ADBD， 以D为原点，DA为x轴，DB为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系， 则A（ 2，0，0） ，B（0，2，0） ，C（ 22 22 ，0） ，P（0，0，2） ， PA（202， ， ） ，PB （0， 2，2 ） ，PC （ 2 2 ， 2 2 ， 2 ） ， 设平面ABP的法向量n （x，y，z） ， 则 220 220 n PAxz n PByz ，取x1，得n （1，1，1） ， 设平面PBC的法向量 111 ,mx y z， - 13 - 则 11 111 220
26、22 20 22 m PByz m PCxyz ，取 1 1z ，得m（1，1，1） ， 设二面角APBC的平面角为， 则二面角APBC的余弦值为：cos 1 3 m n m n . 【点睛】本题考查了线面垂直判定定理和性质的应用，考查了利用空间向量求二面角问题， 考查了推理论证能力和数学运算能力. 20.某工厂为提高生产效率，需引进一条新的生产线投入生产，现有两条生产线可供选择，生 产线：有A，B两道独立运行的生产工序，且两道工序出现故障的概率依次是 0.02，0.03. 若两道工序都没有出现故障，则生产成本为 15 万元；若A工序出现故障，则生产成本增加 2 万元；若B工序出现故障，则生产
27、成本增加 3 万元；若A，B两道工序都出现故障，则生产成 本增加 5 万元.生产线：有a，b两道独立运行的生产工序，且两道工序出现故障的概率依 次是 0.04，0.01.若两道工序都没有出现故障，则生产成本为 14 万元；若a工序出现故障， 则生产成本增加 8 万元；若b工序出现故障，则生产成本增加 5 万元；若a，b两道工序都出 现故障，则生产成本增加 13 万元. （1）若选择生产线，求生产成本恰好为 18 万元的概率； （2）为最大限度节约生产成本，你会给工厂建议选择哪条生产线？请说明理由. 【答案】 （1）0.0294.（2）应选生产线.见解析 【分析】 （1）由题意转化条件得A工序不
28、出现故障B工序出现故障，利用相互独立事件的概率公式即 可得解； （2）分别算出两个生产线增加的生产成本的期望，进而求出两个生产线的生产成本期望值， 比较期望值即可得解. 【详解】 （1）若选择生产线，生产成本恰好为 18 万元，即A工序不出现故障B工序出现故 障，故所求的概率为1 0.020.030.0294. （2）若选择生产线，设增加生产成本为(万元)，则的可能取值为 0，2，3，5. 1 0.021 0.0300.9506P， 20.020.01 0.19403P， - 14 - 31 0.020.030.0294P, 50.02 0.020.0006P, 所以 0 0.95062 0.
29、0194 3 0.0294 5 0.00060.13E 万元； 故选生产线的生产成本期望值为15 0.13 15.13 (万元). 若选生产线，设增加的生产成本为（万元） ，则的可能取值为 0，8，5，13. 1 0.041 0.010.95040P， 0.041 0.8010.0396P， 1 0.040.5010.0096P， 0.04 0.0110.00034P， 所以 0 0.9504 8 0.03965 0.0096 13 0.00040.37E ， 故选生产线的生产成本期望值为14 0.3714.37 (万元)， 故应选生产线. 【点睛】本题考查了相互独立事件的概率，考查了离散型随
30、机变量期望的应用，属于中档题. 21.已知O为坐标原点，( 2,0)A ，(2,0)B， 直线AG，BG相交于点G， 且它们的斜率之积为 3 4 . 记点G的轨迹为曲线C. （1）若射线2(0)xy与曲线C交于点D，且E为曲线C的最高点，证明：/OD AE. （2）直线:(0)l ykx k与曲线C交于M，N两点，直线AM，AN与y轴分别交于P，Q两点. 试问在x轴上是否存在定点T，使得以PQ为直径的圆恒过点T？若存在，求出T的坐标；若 不存在，请说明理由. 【答案】 （1）证明见解析； （2）存在定点(3,0)T ，使得以PQ为直径的圆恒过点T. 【分析】 （1）设点()G x y,，根据
31、3 4 GAGB kk ，求得点G的轨迹方程为 22 1(2) 43 xy x ，联 立方程组，解答,D E坐标，结合斜率公式，即可求解. - 15 - （2）设 00 (,)M xy，则 00 (,)Nxy，解得 0 0 2 2 P y y x , 0 0 2 2 Q y y x ，假设顶点T，使得PQ 为直径的圆恒过点T，则 2 OPOQOT，求得 2 2 0 2 0 4 3 4 T y x x ，即可得到结论. 【详解】 （1）设点()G x y,，因为 3 4 GAGB kk ，即 3 224 yy xx ， 整理得点G的轨迹方程为 22 1(2) 43 xy x ， 联立方程组 22
32、 1 43 2(0) xy xy ，解得 6 ( 2,) 2 D且(0, 3)E， 所以 3 2 ODAE kk，所以/OD AE. （2）设 00 (,)M xy，则 00 (,)Nxy， 所以直线AM的方程为 0 0 (2) 2 y yx x ，令0 x，解得 0 0 2 2 P y y x , 同理可得 0 0 2 2 Q y y x , 假设定点T，使得PQ为直径的圆恒过点T，则 2 OPOQOT,即 2 TPQ xy y， 又由 22 00 1 43 xy ，可得 2 2 0 2 0 4 3 4 T y x x ，所以(3,0)T ， 即在x轴上存在定点(3,0)T ，使得以PQ为直
33、径的圆恒过点T. 【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用,解 答此类题目，通常联立直线方程与椭圆方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解， 能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等. 22.已知函数 22 ( )1 e x f xaxax . （1）若函数( )( )g xfx ，试讨论( )g x的单调性； （2）若(0,)x ，( )0f x ，求a的取值范围. - 16 - 【答案】 （1）答案不唯一，具体见解析（2）,2 【分析】 （1）由于函数 2 ( )( )22e x g xxaxfa，得出 2 ( )2
34、2e x g xa ，分类讨论当0a 和0a时，( ) g x 的正负，进而得出 g x的单调性； （2）求出 2 2e (21) 21 x fxxa x ，令( )0fx ，得 2 2e 21 x a x ，设 2 2 ( ) 21 x e h x x ， 通过导函数 h x ，可得出 h x在(0,)上的单调性和值域，再分类讨论2a和2a时， ( )f x的单调性，再结合(0,)x ，( )0f x 恒成立，即可求出a的取值范围. 【详解】解： （1）因为 2 ( )( )22e x g xxaxfa， 所以 22 ( )24e2 2e xx g xaa ， 当0a 时，( )0g x ，
35、( )g x在R上单调递减. 当0a时，令( )0g x ，则 1 ln 22 a x ；令( )0g x ，则 1 ln 22 a x ， 所以( )g x在 1 ,ln 22 a 单调递增，在 1 ln, 22 a 上单调递减. 综上所述，当0a 时，( )g x在R上单调递减； 当0a时，( )g x在 1 ,ln 22 a 上单调递增，在 1 ln, 22 a 上单调递减. （2）因为 22 ( )1 e x f xaxax ，可知 (0)0f ， 2 ( )22e x fxaxa 2 2 2e (21)2e(21) 21 x x axxa x ， 令( )0fx ，得 2 2e 21
36、 x a x . 设 2 2 ( ) 21 x e h x x ，则 2 2 8 e ( ) (21) x x h x x . 当0 x时，( )0h x ，( )h x在(0,)上单调递增， - 17 - 所以( )h x在(0,)上的值域是(2,)，即 2 2 2 21 x e x . 当2a时，( )0fx 没有实根，且( )0fx ， ( )f x在(0,)上单调递减，( )(0)0f xf ，符合题意. 当2a时，(0)2ha， 所以 2 2e ( ) 21 x h xa x 有唯一实根 0 x， 当 0 0,xx时，( )0fx，( )f x在 0 0,x上单调递增，( )(0)0f xf，不符合题意. 综上，2a，即a的取值范围为,2. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性和根据恒成立问题求参数范围，还运用了构造 函数法，还考查分类讨论思想和计算能力，属于难题.
